第八章 第3节 成对数据的统计分析-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关课件PPT

第八章 统计与成对数据的统计分析 第3节　成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 夯实 必备知识 跃升 关键能力 01 02 课时作业 04 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 夯实 必备知识 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 艺考生文化课百日冲关 数学 第八章 统计与成对数据的统计分析 课程标准 1.结合实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系，会通过相关系数比较多组成对样本数据的相关性． 2．结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘法原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法． 3．针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测． 4．通过实例，理解2×2列联表的统计意义，了解2×2列联表独立性检验及其应用. 核心素养 1.相关关系的判断，达成直观想象和数据分析的素养． 2．回归方程的求法及回归分析，增强逻辑推理、数据分析和数学运算的素养． 3．独立性检验，增强逻辑推理、数据分析和数学运算的素养. 考情聚焦 　　预计2026年的高考将以选择题、填空题的形式考查线性回归系数或利用线性回归方程进行预测；在给出临界值的情况下判断两个变量是否相关；在解答题中与频率分布相结合，考察线性回归方程的建立及应用和独立性检验的应用，难度中等 [必备知识] 一、相关关系 1．两个变量有关系，但又没有确切到由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为　相关关系　. 2．散点图 将成对样本数据用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图叫做散点图． 3．正相关、负相关 如果从整体上看，当一个变量的值　增加　时，另一个变量的相应值也呈现　增加　的趋势，我们就称这两个变量正相关；如果当一个变量的值　增加　时，另一个变量的相应值呈现　减少　的趋势，则称这两个变量负相关． 二、线性相关与非线性相关(或曲线相关) 1．线性相关 一般地，如果两个变量的取值呈现　正相关　或　负相关　，而且散点落在　一条直线　附近，我们就称这两个变量线性相关． 2．非线性相关(或曲线相关) 一般地，如果两个变量具有　相关性　，但　不是　线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关． 三、样本相关系数 1．样本相关系数 对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的均值分别为eq \o(x,\s\up16(－))和eq \o(y,\s\up16(－))，记r＝ 我们称r为变量x和变量y的样本相关系数． 2．样本相关系数的意义 样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数字特征，它的正负性和绝对值的大小可以反映成对样本数据的变化特征：当r>0时，称成对样本数据　正相关　；当r<0时，称成对样本数据　负相关　. 3．相关系数r具有的性质 (1)样本相关系数r的取值样本范围为　[－1,1]　，即　|r|≤1　； (2)当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度　越强　； (3)当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度　越弱　. 4．两个随机变量的相关性与样本相关系数r之间的关系 两个随机变量的相关性可以通过成对样本数据进行分析，而样本相关系数r可以反映两个随机变量之间的　线性相关程度　：r的符号反映了相关关系的　正负性　；|r|的大小反映了两个变量线性相关的 　程度　，即散点集中于一条直线的程度．一般地，样本容量　越大　，用样本相关系数估计两个变量的相关系数的效果　越好　. 四、一元线性回归模型 称下式为Y关于x的一元线性回归模型． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Y＝bx＋a＋e，,Ee＝0，De＝σ2.)) 其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差． 说明： (1)模型中的Y也是随机变量，其值虽然不能由变量x的值确定，但是却能表示为bx＋a与e的和(叠加)，前一部分由x所确定，后一部分是随机的． (2)如果e＝0，那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述． 五、一元线性回归模型参数的最小二乘法 　我们将eq \o(y,\s\up16(^))＝eq \o(b,\s\up16(^))x＋eq \o(a,\s\up16(^))称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的eq \o(b,\s\up16(^))，eq \o(a,\s\up16(^))叫做b，a的最小二乘估计．其中： 六、刻画回归效果的方式——残差分析 残差 对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的eq \o(y,\s\up16(^))称为预测值，观测值减去预测值称为残差． 残差图 利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图． 残差 图法 残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较适合，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高． 意义 一般地，建立经验回归方程后，通常需要对模型刻画数据的效果进行分析，借助残差分析还可以对模型进行改进，使我们能根据改进模型作出更符合实际的预测与决策． 残差平 方和 残差平方和为 (yi－eq \o(y,\s\up16(^))i)2，残差平方和越小，模型拟合效果越好． 决定系 数R2 R2＝1－，R2越大，模型的拟合效果越好；R2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差. 1.相关关系与函数关系的异同 共同点：二者都是指两个变量间的关系； 不同点：函数关系是一种确定性关系，体现的是因果关系，而相关关系是一种非确定性关系，体现的不一定是因果关系，也可能是伴随关系． 2．相关系数：r＝，当r＞0时，两变量正相关，当r＜0时，两变量负相关，当|r|≤1且|r|越接近于1，相关程度越高，当|r|≤1且|r|越接近于0，相关程度越低． 七、分类变量 1．分类变量：用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量． 2．取值：分类变量的取值可以用　实数　表示． 3．范围：本节主要讨论取值于　{0,1}　的分类变量的关联性问题． 八、2×2列联表 将如下表所示这种形式的数据统计表称为2×2列联表，它给出了成对分类变量数据的交叉分类频数． 性别 锻炼 合计 不经常(Y＝0) 经常(Y＝1) 女生(X＝0) 192 331 523 男生(X＝1) 128 473 601 合计 320 804 1 124 它包含了X和Y如下信息：最后一行的前两个数分别是事件{Y＝0}和{Y＝1}中样本点的个数；最后一列的前两个数分别是事件{X＝0}和{X＝1}中样本点的个数；中间的四个格中的数是表格的核心部分，给出了事件{X＝x，Y＝y}(x，y＝0,1)中样本点的个数；右下角格中的数是样本空间中样本点的　总数　. 九、独立性检验 1．零假设H0：分类变量X和Y独立． 2．公式：χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d). 3．临界值：忽略χ2的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使下面关系式成立：P(x2≥xα)＝α. 我们称xα为α的临界值，这个临界值可作为判断χ2大小的标准．概率值α越小，临界值xα越大． 4．独立性检验 基于小概率值α的检验规则是： 当　χ2≥xα　时，我们就推断H0　不成立　，即认为X和Y　不独立　，就推断犯错误的概率　不超过α　； 当　χ2<xα　时，我们　没有　充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y　独立　. 这种利用x2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为x2独立性检验，读作“　卡方独立性检验　”，简称独立性检验． [自主诊断] [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)Ceq \o\al(k,n)an－kbk是二项展开式的第k项．(　　 ) (2)通项Ceq \o\al(k,n)an－kbk中的a和b不能互换．(　　 ) (3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　 ) (4)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　　 ) (5)Ceq \o\al(1,n)－2Ceq \o\al(2,n)＋3Ceq \o\al(3,n)－…＋(－1)n－1nCeq \o\al(n,n)＝0.(　　 ) (6)Ceq \o\al(0,n)＋Ceq \o\al(2,n)＋Ceq \o\al(4,n)＋…＝Ceq \o\al(1,n)＋Ceq \o\al(3,n)＋Ceq \o\al(5,n)＋….(　　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√　(6)√ [小题查验] 1．(人教A版教材例题改编)二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,x2)))6的展开式中，常数项的值是(　　) A．240　　 B．60　　　 C．192　　 D．180 解析：A　[二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,x2)))6展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \o\al(r,6)(2x)6－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)))r＝26－rCeq \o\al(r,6)x6－3r，令6－3r＝0，得r＝2，所以常数项为26－2Ceq \o\al(2,6)＝16×eq \f(6×5,2×1)＝240.故选A.] 2．(2024·北京卷)在(x－eq \r(x))4的二项展开式中，x3的系数为(　　) A．6　　　　　　　 B．－6 C．12 D．－12 解析：A　[(x－eq \r(x))4的展开式的通项Tk＋1＝Ceq \o\al(k,4)x4－k(－eq \r(x))k＝(－1)kCeq \o\al(k,4)x4－eq \f(k,2)，令4－eq \f(k,2)＝3，解得k＝2，所以在(x－eq \r(x))4的展开式中，x3的系数为(－1)2Ceq \o\al(2,4)＝6.] 3．(2025·上饶市模拟)已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋my))(2x－y)5的展开式中x2y4的系数为80，则m的值为(　　) A．－2　　 B．2　　　 C．－1　　 D．1 解析：A　[eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋my))(2x－y)5＝eq \f(1,x)(2x－y)5＋my(2x－y)5，(2x－y)5的展开式中不存在x3y4的项，存在x2y3的项的系数为Ceq \o\al(2,5)×22(－1)3， 故有(2x＋my)(x－y)5的展开式中x3y4的系数为Ceq \o\al(2,5)×22(－1)3m＝80，解得m＝－2，故选A.] 4．(2025·上海)在二项式(2x－1)5的展开式中，x3的系数为______． 解析：本题考查了二项式定理中项的系数的求法． ∵(2x－1)5展开式的通项Tr＋1＝Ceq \o\al(r,5)(2x)5－r.(－1)r＝(－1)rCeq \o\al(r,5)25－r·x5－r 令5－r＝3， 得r＝2 ∴x3的系数为：Ceq \o\al(2,5)23(－1)2＝80 答案：80 5．(2025·北京卷)已知(1－2x)4＝a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋16a4x4，则a0＝____________；a1＋a2＋a3＋a4＝________. 解析：利用赋值法可求a0，利用换元法结合赋值法可求a1＋a2＋a3＋a4的值． 令x＝0，则a0＝1， 又(1－2x)4＝a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋16a4x4， 故(1－2x)4＝a0＋a1(－2x)＋a2(－2x)2＋a3(－2x)3＋a4(－2x)4， 令t＝－2x，则(1＋t)4＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4， 令t＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝24，故a1＋a2＋a3＋a4＝15 答案：1　15 考点一　二项展开式中特定项或系数问题(自主练透) [题组集训] 1.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(2,x)))5的展开式中的x4系数为(　　) A．10　　 B．20　　　 C．40　　 D．80 解析：C　[eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(2,x)))5的第k＋1项为Tk＋1＝Ceq \o\al(k,5)2kx10－3k.令10－3k＝4，得k＝2.∴x4的系数为Ceq \o\al(2,5)×22＝40.] 2．(2025·天津卷)在(x－1)6的展开式中，x3项的系数为________． 解析：本题考查了二项式定理．求特定项系数，Tr＋1＝Ceq \o\al(r,6)x6－r(－1)r＝(－1)rCeq \o\al(r,6)x6－r，令6－r＝3，∴r＝3. ∴展开式中含x3的系数为(－1)3Ceq \o\al(3,6)＝－20. 答案：－20 3．(2024·上海卷)在(x＋1)n的展开式中，若各项系数和为32，则展开式中x2的系数为____________． 解析：由题意可知，令x＝1得，展开式中各项系数的和是(1＋1)n＝32，所以n＝5，该二项式的展开式的通项公式是Tr＋1＝Ceq \o\al(r,5)·x5－r·1r，令5－r＝2，得r＝3，则x2项的系数为Ceq \o\al(3,5)＝10. 答案：10 求二项展开式中的项或项的系数的方法 (1)展开式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零和整数．解决这类问题时，先要合并通项中同一字母的指数，再根据上述特征进行分析． (2)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等，一般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等式(组)求取值范围． 提醒：二项展开式中各项的系数与二项式系数是不同的概念．一般地，某一项的系数是指该项中字母前面的常数值(包括正负号)，它与a，b的取值有关，而二项式系数与a，b的取值无关． 考点二　二项式系数及项的系数问题(师生共研) [典例]　(1)(2025·马鞍山市二模)二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)x＋\f(1,\r(3,x))))n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为(　　) A．3　　 B．5　　　 C．6　　 D．7 [解析]　D　[根据eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)x＋\f(1,\r(3,x))))n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n＝20； ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)x＋\f(1,\r(3,x))))20展开式的通项为 Tr＋1＝Ceq \o\al(r,20)·(eq \r(3)x)20－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))r＝(eq \r(3))20－r·Ceq \o\al(r,20)·x20－eq \f(4r,3)； 要使x的指数是整数，需r是3的倍数，∴r＝0,3,6,9,12,15,18；∴x的指数是整数的项共有7项．故选D.] (2)(2025·雅安市模拟)已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(x)＋\f(1,x)))n展开式的各个二项式系数的和为128，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(x)＋\f(1,x)))n的展开式中x2的系数(　　) A．448 B．560 C．7 D．35 [解析]　A　[由题意可知，2n＝128，得n＝7. ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(x)＋\f(1,x)))n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(x)＋\f(1,x)))7，其通项为Tr＋1＝Ceq \o\al(r,7)·(2eq \r(x))7－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))r＝27－r·Ceq \o\al(r,7)·xeq \f(7－3r,2) 取eq \f(7－3r,2)＝2，得r＝1.∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(x)＋\f(1,x)))n的展开式中x2的系数为26×Ceq \o\al(1,7)＝448.故选A.] (3)(2025·青岛三模)二项式(x＋1)n(n∈N*)的展开式中x2的系数为15，则n等于________． 解析：根据题意，(x＋1)n(n∈N*)展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \o\al(r,n)xr，令r＝2，则Ceq \o\al(2,n)＝15⇒n＝6. 答案：6 1．赋值法研究二项式的系数和问题 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可． (2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝ eq \f(f1＋f－1,2)， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝ eq \f(f1－f－1,2). 2．二项式系数最大项的确定方法 (1)如果n是偶数，则中间一项eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)＋1))项))的二项式系数最大； (2)如果n是奇数，则中间两项 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n＋1,2)项与第\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,2)＋1))项))的二项式系数相等并最大． 3．二项展开式系数最大项的求法 如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Ak≥Ak－1，,Ak≥Ak＋1，))从而解出k来，即得． [跟踪训练] (2025·朝阳区三模)在二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(3,x)))n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则展开式中常数项的值为(　　) A．6 B．9 C．12 D．18 解析：B　[在二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(3,x)))n的展开式中， 令x＝1得各项系数之和为4n，∴A＝4n. 据二项展开式的二项式系数和为2n，∴B＝2n. ∴4n＋2n＝72，解得n＝3. ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(3,x)))n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(3,x)))3的展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \o\al(r,3)(eq \r(x))3－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x)))r＝3rCeq \o\al(r,3)xeq \f(3－3r,2)， 令eq \f(3－3r,2)＝0得r＝1，故展开式的常数项为T2＝3Ceq \o\al(1,3)＝9，故选B.] 考点三　多项式展开式中的特定项或系数问题(多维探究) [命题角度1]　几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题　 1.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3－\f(2,x)))4＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))8的展开式中的常数项为(　　 ) A．32　　 B．34　　　 C．36　　 D．38 解析：D　[eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3－\f(2,x)))4的展开式的通项为Tm＋1＝ Ceq \o\al(m,4)(x3)4－m·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x)))m＝Ceq \o\al(m,4)(－2)mx12－4m，令12－4m＝0，解得m＝3，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))8的展开式的通项为Tn＋1＝Ceq \o\al(n,8)x8－neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))n＝Ceq \o\al(n,8)x8－2n，令8－2n＝0，解得n＝4，所以所求常数项为Ceq \o\al(3,4)(－2)3＋Ceq \o\al(4,8)＝38.] 对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可． [跟踪训练] (2025·台州市一模)在(2x－1)2＋(2x－1)3＋…＋(2x－1)8的展开式中，含x2项的系数为____________． 解析：在(2x－1)2＋(2x－1)3＋…＋(2x－1)8的展开式中，含x2项为Ceq \o\al(0,2)(2x)2－Ceq \o\al(1,3)(2x)2＋Ceq \o\al(2,4)(2x)2－Ceq \o\al(3,5)(2x)2＋Ceq \o\al(4,6)(2x)2－Ceq \o\al(5,7)(2x)2＋Ceq \o\al(6,8)(2x)2， 则含x2项的系数为4×(1－3＋6－10＋15－21＋28)＝64. 答案：64 [命题角度2]　几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题　 2．(2025·湖北八市联考)(1＋x2)(1＋x)5的展开式中x4的系数为________． 解析：(1＋x)5的展开式通项为Tk＋1＝Ceq \o\al(k,5)·xk(0≤k≤5，k∈N)，因为(1＋x2)(1＋x)5＝(1＋x)5＋x2(1＋x)5，在(1＋x)5中，其通项为Ceq \o\al(k,5)·xk(0≤k≤5，k∈N)，令k＝4，在x2(1＋x)5中，展开式通项为x2Ceq \o\al(r,5)·xr＝Ceq \o\al(r,5)·xr＋2(0≤r≤5，r∈N)，令r＋2＝4，可得r＝2，所以，(1＋x2)(1＋x)5的展开式中x4的系数为Ceq \o\al(4,5)＋Ceq \o\al(2,5)＝15. 答案：15 对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，把每一个因式用二项展开式展开，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏． [跟踪训练] (2025·淮安二模)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(y,x)))(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为____________(用数字作答)． 解析：原式等于(x＋y)8－eq \f(y,x)(x＋y)8，由二项式定理，其展开式中x2y6的系数为Ceq \o\al(6,8)－Ceq \o\al(5,8)＝Ceq \o\al(2,8)－Ceq \o\al(3,8)＝－28. 答案：－28 [命题角度3]　三项展开式中特定项(系数)问题　 3．(2025·龙岩市模拟)已知二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)－2x))4，则展开式的常数项为(　　) A．－1 B．1 C．－47 D．49 解析：B　[二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)－2x))4＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－2x))))4＝1＋4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－2x))＋6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－2x))2＋4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－2x))3＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－2x))4， ∴二项式展开式中的常数项产生在1,6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－2x))2，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－2x))4中； 分别是1,6×2·eq \f(1,x)·(－2x)，Ceq \o\al(2,4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))2·(－2x)2； 它们的和为1－24＋24＝1.故选B.] 对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，把其中两项看做整体展开，再把这两项继续展开，要注意各参数的取值范围，适当地运用分类方法，以免重复或遗漏． [跟踪训练] (2025·黄冈中学押题卷)已知等差数列{an}的第5项是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)＋2y))6展开式中的常数项，则a2＋a8＝(　　) A．20 B．－20 C．40 D．－40 解析：D　[eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)＋2y))6展开式中的常数项为Ceq \o\al(3,6)x3·Ceq \o\al(3,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))3·(2y)0＝－20，(题眼) ∴a5＝－20，∴a2＋a8＝2a5＝－40，故选D.] $