第五章 第3节 等比数列及其前n项和-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关Word教案

第3节　等比数列及其前n项和 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义． 2．探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系． 3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 4．体会等比数列与指数函数的关系 1.等比数列的基本运算，达成逻辑推理和数学运算素养． 2．等比数列的判定与证明，发展数学抽象和数学运算素养． 3．等比数列的性质及应用，提升逻辑推理和数学运算素养 　　等比数列的定义、通项公式及前n项和公式，等比数列的性质，以及求a1、q、an、n、Sn的基本运算是高考的热点．高考考查形式多样，选择题、填空题主要考查等比数列的基本运算和性质，难度不大．在解答题中常与等差数列、数列求和等问题综合考查，难度中等 　　　　　　　　对应学生用书P95 [必备知识] 1．等比数列的概念 (1)如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于 同一个 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 公比 ，公比通常用字母q(q≠0)表示． 数学语言表达式：＝ q (n≥2，q为非零常数)，或＝q(n∈N*，q为非零常数)． (2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的 等比中项 ，其中G＝　±　. 2. 等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝ a1qn－1 ； 通项公式的推广：an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝　　＝. 推广：当q≠0,1时，{an}是等比数列⇔Sn＝Aqn－A(A为常数且A≠0)． 3．等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和． (1)若m＋n＝p＋q，则aman＝ apaq ，其中m，n，p，q∈N*，特别地，若2s＝p＋q，则apaq＝a，其中p，s，q∈N*. (2)等比数列{an}的单调性 当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列{an}是 递增 数列； 当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列{an}是 递减 数列； 当q＝1时，数列{an}是 常数列 ． (3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为 qm (k，m∈N*)． (4)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为 qn . 　 等比数列的主要性质 设数列{an}是首项为a1，公比是q的等比数列，Sn是其前n项和． 1．若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列． 2．Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn. 3．若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． 4．若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q. 5．等比数列{an}的单调性 当或时，{an}为递增数列，当或时，{an}为递减数列． [自主诊断] [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．(　　 ) (2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　 ) (3)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　 ) (4)如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　　 ) (5)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× [小题查验] 1．设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝(　　) A．12　　 B．24　　　 C．30　　 D．32 解析：D　[设等比数列{an}的公比为q，a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，所以q(a1＋a2＋a3)＝2，解得q＝2，所以a6＋a7＋a8＝q5(a1＋a2＋a3)＝25＝32.] 2．(2025·上饶质检)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　) A．14 B．12 C．6 D．3 解析：D　[设等比数列{an}首项为a1，公比为q，由题意，，即， 即，解得q＝，a1＝96，所以a6＝a1q5＝3.] 3．(2025·东营二模)已知正项等比数列{an}中，a1＝1，且－a5，a4，a6成等差数列，则a2＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 解析：A　[因为－a5，a4，a6成等差数列，所以2a4＝－a5＋a6，因为{an}是正项等比数列，且a1＝1,2a4＝－a4·q＋a4·q2，所以2＝－q＋q2，解得：q＝2或q＝－1(舍去)，所以a2＝a1q＝1×2＝2.] 4．(2025·济宁三模)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　) A．120 B．85 C．－85 D．－120 解析：C　[由等比数列的性质可得S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…，为等比数列，因此(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，将S4＝－5，S6＝21S2代入上式，解得S2＝－1或(舍)，此时S6＝，由等比数列性质可知S4－S2，S6－S4，S8－S6为等比数列，解得S8＝－85.] 5．(2025·全国一卷)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于________． 解析：易知q4＝＝＝16，所以q＝2(负数舍点)． 答案：2 　　　　　　对应学生用书P96 考点一　等比数列的基本运算(自主练透) [题组集训] 1．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　 ) A．21　　 B．42　　　 C．63　　 D．84 解析：B　[设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.] 2．(多选题)(2025·全国二卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q＞0.若S3＝7，a3＝1，则(　　) A．q＝ B．a5＝ C．S5＝8 D．an＋Sn＝8 解析：AD　[由题可知 ，解得 所以an＝4×n－1＝n－3，则a5＝5－3＝，S5＝＝， an＋Sn＝n－3＋＝n－3＋8－8×n＝8.] 3．(2025·滁州质检)已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前n项和为Sn，则S6＝________________________________________________________________________. 解析：S6＝3＋6＋12＋24＋48＋96＝189. 答案：189 解决等比数列有关问题的常用思想方法 (1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解． (2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝. 提醒：运用等比数列的前n项和公式时，必须对q＝1与q≠1分类讨论． 考点二　等比数列的判定与证明(师生共研) [典例]　已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝. (1)求b1，b2，b3； (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； (3)求{an}的通项公式． 逻辑推理——等比数列判定与证明中的核心素养 根据等比数列的定义、性质等对一个数列是否是等比数列作出判断与证明，是从一般到特殊的推理，使学生学会有逻辑地思考问题，形成合乎逻辑的思维品质，是高中生必须具备的最基础又应用最广的一种核心素养． 信息提取 信息解读 数学运算、逻辑推理 已知数列{an}满足a1＝1， nan＋1＝2(n＋1)an的递推关系式，求b1，b2，b3 先求出a2，a3，再利用bn＝求b1，b2，b3 着眼点1：数学运算： (1)先求出a2，a3； (2)再求出b1，b2，b3 判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由 由b1，b2，b3判断数列的类型并证明 着眼点2：逻辑推理： 定义法证明数列{bn}为等比数列 求{an}的通项公式 先求出数列{bn}的通项公式 着眼点3：数学运算： (1)先求出数列{bn}的通项公式； (2)再求出{an}的通项公式 [解]　(1)由条件可得an＋1＝an. 将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4. 将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12. 从而b1＝1，b2＝2，b3＝4. (2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1， 所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1. 等比数列的判定方法 (1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列． (2)中项公式法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列． (4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列． 提醒：(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明，而后两种方法常用于选择题、填空题中的判定． (2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． [跟踪训练] 已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式； (2)若S5＝，求λ. 解：(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1， 故λ≠1，a1＝，a1≠0. 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan， 由a1≠0，λ≠0，得an≠0，所以＝. 因此{an}是首项为，公比为的等比数列， 于是an＝n－1. (2)由(1)得Sn＝1－n. 由S5＝，得1－5＝，即5＝. 解得λ＝－1. 考点三　等比数列的性质及应用(师生共研) [典例]　(1)已知各项不为0的等差数列{an}满足2a2－a＋2a12＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b3b11＝(　　 ) A．16　　 B．8　　　 C．4　　 D．2 [解析]　A　[由等差数列性质得a2＋a12＝2a7，所以4a7－a＝0，又a7≠0，所以a7＝4，b7＝4，由等比数列性质得b3b11＝b＝16.] (2)在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝____________. [解析]　设数列{an}的公比为q， 由a1a2a3＝4＝aq3与a4a5a6＝12＝aq12， 可得q9＝3，an－1anan＋1＝aq3n－3＝324， 因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14. [答案]　14 (3)正项等比数列{an}的公比恰好等于函数f(x)＝x2－4x＋4的零点，且a5·a9＝4，则log2a12＝____________. [解析]　因为函数f(x)＝x2－4x＋4的零点为2，所以等比数列{an}的公比q＝2.因为a＝a5·a9＝4，所以a7＝2，所以a12＝a7·q5＝26，所以log2a12＝log226＝6. [答案]　6 等比数列性质应用中的常见题型与求解策略 题型 求解策略 求基本 量的值 在解决等比数列的有关问题时，利用性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”可以减少运算量，提高解题速度．要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用 确定单调性 利用数列相邻两项的大小关系或求出公比，从而判断单调性 求最大(小)值 或比较大小 根据题目条件，认真分析，确定首项与公比，发现具体的变化特征，利用等比数列的单调性或基本不等式求解 [跟踪训练] 1．在各项均为正数的等比数列{an}中，(a1＋a3)(a5＋a7)＝4a，则下列结论中正确的是(　　) A．数列{an}是递增数列 B．数列{an}是递减数列 C．数列{an}是常数列 D．数列{an}有可能是递增数列也有可能是递减数列 解析：C　[各项均为正数的等比数列{an}中，因为(a1＋a3)(a5＋a7)＝4a成立，即a1a5＋a1a7＋a3a5＋a3a7＝4a成立．利用等比数列的定义和性质化简可得a＋a＋a＋a＝4a，进一步化简得a＋a＝2a.设公比为q，则得aq4＋aq8＝2aq6，化简可得1＋q4＝2q2，即(q2－1)2＝0，所以q2＝1，故q＝1(由于各项均为正数的等比数列，故q＝－1舍去)．故此等比数列是常数列．] 2．等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则公比q＝____________. 解析：由＝，a1＝－1，知公比q≠1，＝－.由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－，q＝－. 答案：－ 学科网（北京）股份有限公司 $