第三章 第4节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关Word教案

第4节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及 三角函数模型的简单应用 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.结合具体实例，了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义． 2．能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，借助图象理解参数A，ω，φ的意义，了解参数的变化对函数图象的影响． 3．会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型 1.由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，发展直观想象和数学运算素养． 2．由图象变换法确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，增强直观想象和数学运算素养． 3．三角函数模型及其应用，提升数学建模和数学运算素养 　　函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的变换以及根据图象和简单性质确定A、ω、φ的取值为高考中的一个热点，主要考查考生识图、辨图的能力及三角恒等变换问题，题型多以选择题或填空题的形式出现，且难度不大，属中低档题．有时也作为解答题中的一问或某一环节中有所涉及 　　　　　　　　对应学生用书P66 [必备知识] 1．“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为： (1)定点：如下表所示． x 　－　 　　 　　 　　 　　 ωx＋φ 　0　 　　 　π　 　　 　2π　 y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 (2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象． (3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图象． 2．函数y＝Asin(ωx＋φ)中各量的物理意义 当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示简谐振动时，几个相关的概念如下表： 简谐振动 振幅 周期 频率 相位 初相 y＝Asin(ωx＋φ) (A＞0，ω＞0)， x∈[0，＋∞) A T＝　　 f＝ 　ωx＋φ　 　φ　 3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种途径 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中各个字母的含义 A所起的作用是图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变化为原来的A倍，简称为振幅变换；ω所起的作用是图象上的每个点的纵坐标不变，横坐标变化为原来的倍，简称为周期变换；φ所起的作用是将函数图象左右平移个单位，简称为相位变换． [自主诊断] [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)将函数y＝sin ωx的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图象．(　　 ) (2)要得到函数y＝sin ωx(ω＞0)的图象，只需将函数y＝sin x上所有点的横坐标变为原来的ω倍．(　　 ) (3)将函数y＝sin x图象上各点的纵坐标变为原来的A(A＞0)倍，便得到函数y＝Asin x的图象．(　　) (4)函数f(x)＝sin2x的最小正周期和最小值分别为π，0.(　　 ) (5)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ [小题查验] 1．函数y＝sin在区间上的简图是(　　 ) 解析：A　[令x＝0，得y＝sin＝－，排除B，D.由f＝0，f＝0，排除C.] 2．为了得到函数y＝2sin的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象(　　) A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 解析：A　[函数y＝2sin＝ 2sin，可由函数y＝2sin 2x的图象向右平移个单位长度得到．] 3．(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin的交点个数为(　　) A．3　　 B．4　　　 C．6　　 D．8 解析：C　[由题意可得：y＝2sin可知最小正周期T＝，所以y＝2sin＝2cos 3x，画出y＝sin x和y＝2cos 3x在[0,2π]上的函数图象，观察即可得到6个交点．] 4．函数y＝sin的振幅为________________， 周期为________________，初相为________________． 答案：　4π　－ 5．函数f(x)＝cos(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向左平衡个单位后与函数y＝－cos 2x的图象重合，则φ＝________. 解析：－cos 2x＝cos(2x＋π)，f＝cos＝cos， 因为平移后图象重合，故＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，因为0＜φ＜π，故φ＝. 答案： 　　　　　　对应学生用书P67 考点一　由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式(自主练透) [题组集训] 1．(多选题)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　) A．f(x)＝sin B．f(x)＝cos C．f＝f D．f＝－f 解析：ABD　[由题图可知－＝＝(T为f(x)的最小正周期)， 所以T＝π＝，解得ω＝2，则f(x)＝sin(2x＋φ)，由2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，得φ＝2kπ＋(k∈Z)，因为|φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝ sin，因此A选项正确；f(x)＝ sin＝cos＝cos ＝cos，所以B选项正确；令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，(易错：混淆对称轴与对称中心满足的方程) 即函数f(x)＝sin图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)，所以C选项不正确；令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，即函数f(x)＝sin图象的对称中心为(k∈Z)，当k＝1时，对称中心为，所以D选项正确．] 2．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)，y＝f(x)的部分图象如图所示，则f＝(　　 ) A．2＋　　　　　 B． C. D．2－ 解析：B　[由题图知，T＝＝2＝，∴ω＝2. 由2×＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝kπ－，k∈Z. 又∵|φ|＜，∴φ＝.由Atan＝1， 知A＝1，∴f(x)＝tan， ∴f＝tan ＝tan＝.] 3．(多选题)(2025·河南二模)已知如图是函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)，的部分图象，则(　　) A．f(x)的图象关于中心对称 B．f(x)在(－1,2)上单调递增 C．f(x)在点(0,1)处的切线方程为y＝x＋1 D．f(x)的图象向左平衡个单位长度后为偶函数 解析：BCD　[由图可得f(0)＝2cos φ＝1，即cos φ＝， 而－＜φ＜0，可得φ＝－，又∵f＝0，即2cos＝0， 可得－ω－＝－＋2kπ，k∈Z，可得ω＝－6k，k∈Z， 又∵＞0－，且ω＞0，即＞，即0＜ω＜，可得ω＝， ∴f(x)＝2cos， 对于选项A，∵×－＝≠＋kπ，k∈Z， ∴不是函数的对称中心，故A不正确； 对于选项B，∵x∈(－1,2)，可得x－∈⊆(－π，0)， ∴函数在(－1,2)上是单调递增，故B正确； 对于选项C中，f′(x)＝－sin，f′(0)＝， 则f(x)在点(0,1)处的切线方程为y＝x＋1，故C正确； 对于选项D中，将f(x)向左平移个单位后， 可得g(x)＝2cos＝2cosx，则g(x)为偶函数，故D正确．] 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝. (2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝. (3)求φ的常用方法 ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)． ②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下： “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝；“第五点”时ωx＋φ＝2π. 考点二　由图象变换法确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式(子母变式) [母题]　将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　) A．y＝2sin　　　 B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin 直观想象——图象变换法确定函数解析式中的核心素养 信息提取 信息解读 直观想象 已知函数y＝2sin 的图象向右平移个周期 由已知函数解析式y＝2sin可得其周期，从而得向右平移的单位 通过三角函数图象的左右平移变换，建立起形与数的联系，即平移前后的图象与平移前后函数解析式的对应关系 求平移后所得图象对应的函数解析式 按平移法则得平移后所得图象对应的函数解析式 [解析]　D　[函数y＝2sin的周期为T＝＝π，所以函数y＝2sin的图象向右平移个周期，即为函数y＝2sin的图象向右平移个单位，可得图象对应的函数为y＝2sin，即y＝2sin.] [子题1]　将母题变为：由函数y＝sin x的图象作怎样的变换可得到y＝2sin的图象？ 解：把y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位，得到y＝sin的图象，再把y＝sin的图象上的点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象，最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象． [子题2]　将母题中函数y＝2sin的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值为____________． 解析：把y＝2sin图象上所有的点向左平移m个单位长度后，得到y＝2sin的图象，此图象关于y轴对称．则2m＋＝kπ＋(k∈Z)，m＝kπ＋(k∈Z)，m＞0，∴m的最小值为. 答案： [子题3]　将母题变为：若将函数y＝tan(ω＞0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tan的图象重合，则ω的最小值为____________． 解析：将函数y＝tan(ω＞0)的图象向右平移个单位长度后，得到函数y＝tan(ω＞0)的图象，与函数y＝tan的图象重合，所以－＝＋kπ(k∈Z)，所以k＝0时，ω的最小值为. 答案： 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种作法 (1)五点法：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象． (2)图象变换法：由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”． 易错警示：平移变换(或伸缩变换)是针对x而言，即x本身加减多少值(或x应乘以即伸缩倍数的倒数)，而不是依赖于ωx加减(或乘以)多少值． 考点三　三角函数模型及其应用(师生共研) [典例]　某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cos t－sint，t∈[0,24)． (1)求实验室这一天的最大温差； (2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ [思维导引]　利用辅助角公式将f(t)＝10－cost－sint化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式就可以转化为求f(t)的最值问题和解不等式f(t)>11求t的取值范围问题． [解]　(1)因为f(t)＝10－2 ＝10－2sin， 又0≤t<24， 所以≤t＋<， 当t＝2时，sin＝1； 当t＝14时，sin＝－1. 于是f(t)在[0,24)上取得最大值12 ℃，取得最小值8 ℃. 故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f(t)>11时，实验室需要降温． 由(1)得f(t)＝10－2sin， 故有10－2sin>11， 即sin<－. 又0≤t<24，因此<t＋<， 即10<t<18. 故在10时至18时实验室需要降温． 三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题． [跟踪训练] 如图所示，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，φ∈(0，π)． (1)求这一天的最大用电量及最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式． 解：(1)最大用电量为50千瓦时，最小用电量为30千瓦时． (2)观察图象，可知从8～14时的图象是y＝ Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象． ∴A＝×(50－30)＝10，b＝×(50＋30)＝40. ∴＝14－8＝·，∴ω＝， ∴y＝10sin＋40. 将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝，∴所求解析式为y＝10sin＋40，x∈[8,14]． 学科网（北京）股份有限公司 $