第三章 第3节 三角函数的图象与性质-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关Word教案

该高中数学高考复习教案围绕三角函数的图象与性质，覆盖定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性及对称性等核心考点，按“基础梳理-考点突破-真题应用”逻辑组织，通过必备知识清单化梳理、考点分角度方法指导、真题分层训练，帮助学生构建知识体系，突破高考高频难点。 教案聚焦逻辑推理与数学运算素养，采用“问题链驱动+题型归类”教学法，如单调性考点通过代换法转化为基本三角函数单调区间，结合2024天津卷真题强化训练。设置基础诊断、典例精讲、跟踪反馈环节，确保学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供清晰路径，助力提升学生应考能力。

第3节　三角函数的图象与性质 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值． 2．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，正切函数在上的性质 1.三角函数的定义域与值域(最值)，达成直观想象和数学运算的素养． 2．三角函数的单调性，增强逻辑推理和数学运算的素养． 3．三角函数的周期性、奇偶性和对称性，提升逻辑推理和数学运算的素养 　　三角函数的奇偶性、周期性、单调性及最值是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，一般难度不会太大，属中低档题型，通常与三角恒等变换相结合，在考查三角函数性质的同时，又考查了三角恒等变换的方法与技巧．考查考生函数与方程、转化与化归、数形结合等数学思想的运用 　　　　　　　　对应学生用书P62 [必备知识] 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． 余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 　　 　 值域 　[－1,1]　 　[－1,1]　 R 周期性 2π 　2π　 　π　 奇偶性 　奇函数　 偶函数 奇函数 递增 区间 　　　 　[2kπ－π，2kπ]　 递减 区间 　　 　　 　[2kπ，2kπ＋π]　 无 对称 中心 　(kπ，0)　 　　 对称轴 方程 x＝kπ＋ 　x＝kπ　 无 　若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝＋kπ(k∈Z)；若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)． [自主诊断] [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝sin x的图象介于直线y＝1与y＝－1之间．(　　 ) (2)将余弦曲线向右平移个单位就得到正弦曲线．(　　 ) (3)函数y＝sin是奇函数．(　　 ) (4)函数y＝sin x的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z)．(　　 ) (5)正切函数在整个定义域内是增函数．(　　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)× [小题查验] 1．设函数f(x)＝cos 在[－π，π]的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为(　　) A.　　 B．　　　 C.　　 D． 解析：C　[由题图知f＝cos ＝0，所以－ω＋＝＋kπ(k∈Z)，化简得ω＝－(k∈Z)，又因为T<2π<2T，即<2π<，所以1<|ω|<2，当且仅当k＝－1时，1<|ω|<2，所以ω＝，最小正周期T＝＝.] 2．下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是(　　) A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x| C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x| 解析：A　[函数y＝cos 2x的周期为π，∴函数f(x)＝|cos 2x|的周期为，当＜x＜时，＜2x＜π，y＝cos 2x递减且为负值，∴函数f(x)＝|cos 2x|在区间上单调递增．] 3．(多选题)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin，下列说法正确的有(　　) A．f(x)与g(x)有相同的零点 B．f(x)与g(x)有相同最大值 C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 解析：BC　[A错，代x＝0便知；B显然对，两者值域相同；C显然对，两者最小正周期都为π；D错，前者对称轴为x＝＋kπ，后者是x＝＋kπ.] 4．(多选题)(2025·青岛模拟)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于点中心对称，则(　　) A．f(x)在区间单调递减 B．f(x)在区间有两个极值点 C．直线x＝是曲线y＝f(x)的对称轴 D．直线y＝－x是曲线y＝f(x)的切线 解析：AD　[由题意得：f＝sin＝0， 所以＋φ＝kπ，即φ＝－＋kπ，k∈Z， 又0＜φ＜π，所以k＝2时，φ＝， 故f(x)＝sin. 选项A：x∈时，2x＋∈， 由y＝sin u图象知y＝f(x)是单调递减的； 选项B：x∈时，2x＋∈， 由y＝sin u图象知y＝f(x)只有1个极值点， 由2x＋＝，可解得极值点； 选项C：x＝时，2x＋＝3π，y＝f(x)＝0，直线x＝不是对称轴； 选项D：由y′＝2cos＝－1，得 cos＝－， 解得2x＋＝＋2kπ或2x＋＝＋2kπ， k∈Z， 从而得x＝kπ或x＝＋kπ，k∈Z， 所以函数y＝f(x)在点处的切线斜率为 k＝y′|x＝0＝2cos＝－1， 切线方程为y－＝－(x－0)，即y＝－x.] 5．(2025·上海卷)函数y＝cos x在－，上的值域为______． 解析：本题考查了余弦函数的值域． ∵y＝cos x，x∈，由余弦函数的图象可知x＝－时，ymin＝0， 当x＝0时，ymax＝1.故y＝cos x在上的值域为[0,1]． 答案：[0,1] 　　　　　　对应学生用书P63 考点一　三角函数的定义域、值域问题(自主练透) [命题角度1]　三角函数的定义域问题　 1．(1)函数y＝的定义域为____________________． (2)函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为_______________________． 解析： (1)法一(利用三角函数图象)：要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示． 在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以函数y＝的定义域为. 法二(利用三角函数线)：画出满足条件sin x≥cos x的角x的终边范围(如图阴影部分所示)，∴函数y＝的定义域为. 法三(利用整体思想)：sin x－cos x＝sin≥0，将x－视为一个整体，由正弦函数y＝sin x的图象和性质可知2kπ≤x－≤π＋2kπ，k∈Z，解得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.所以函数y＝的定义域为 . (2)由得 ∴－3≤x＜－，或0＜x＜. ∴函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为. 答案：(1) (2) 求三角函数的定义域实际上就是解简单的三角不等式，常借助于三角函数线或三角函数图象来求解． [命题角度2]　三角函数的值域(最值)问题　 2．(1)(2024·天津卷)已知函数f(x)＝sin 3 的最小正周期为π，则f(x)在的最小值为(　　) A．－　　 B．－　　　 C．0　　 D． 解析：A　[f(x)＝sin 3＝sin(3ωx＋π)＝－sin 3ωx，由T＝＝π，得ω＝， 即f(x)＝－sin 2x，当x∈时， 2x∈， 画出f(x)＝－sin 2x图象，如图， 由图可知，f(x)＝－sin 2x在上单调递减， 所以，当x＝时， f(x)min＝－sin＝－.] (2)函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为____________． 解析：f(x)＝sin－3cos x＝－cos 2x－3cos x＝－22＋，因为cos x∈[－1,1]，所以当cos x＝1时，f(x)取得最小值， ∴f(x)min＝－4. 答案：－4 1．求三角函数的定义域实际上就是解简单的三角不等式，常借助于三角函数线或三角函数图象来求解． 2．求三角函数的值域(最值)的常见题型及求解策略： (1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)； (2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； (3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)． 考点二　三角函数的单调性(师生共研) [典例]　(1)y＝sin的单调递减区间为__________． [解析]　y＝－sin的减区间是 y＝sin的增区间． 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 故所给函数的减区间为，k∈Z. [答案]　，k∈Z (2)若f(x)＝2sin ωx＋1(ω＞0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是_______． 逻辑推理——三角函数单调性中应用的核心素养 具体见下表： 信息提取 信息解读 逻辑推理 已知f(x)＝2sin ωx＋1(ω＞0)在区间 上单调递增 解读一：是函数f(x)单调递增区间的子区间． 解读二：ωx的取值范围是的子区间． 解读三：原点到区间两端点的距离不超过 推理一： 由函数y＝sin x在区间 上单调递增，求得f(x)＝2sin ωx＋1(ω＞0)的单调递增区间． 推理二：由不等式的基本性质求出ωx的取值范围． 推理三： 由正弦函数y＝sin x的图形与性质知原点到区间两端点的距离等于 求参数ω的取值范围 建立关于ω的不等式组 [解析]　方法一：第一步，求出f(x)＝2sin ωx＋1(ω＞0)的单调递增区间． 由2kπ－≤ωx≤2kπ＋，k∈Z， 得f(x)的增区间是，k∈Z. 第二步，转化为集合之间的关系，即是函数f(x)单调递增区间的子区间． ∵f(x)在上单调递增， ∴⊆. 第三步，利用数轴，列出关于ω的不等式组，解不等式组得ω的取值范围． ∴－≥－且≤，∴ω∈. 方法二：第一步，由x的取值范围求出ωx(ω＞0)的取值区间． ∵x∈，ω＞0.∴ωx∈， 第二步，由f(x)在区间上单调递增得ωx(ω＞0)的取值区间是的子区间． 又f(x)在区间上单调递增， ∴⊆， 第三步，利用数轴，列出关于ω的不等式组，解不等式组得ω的取值范围． 则又ω＞0，得0＜ω≤. 方法三：第一步，由f(x)在区间上单调递增得原点到区间端点的距离不超过. ∵f(x)在区间上单调递增， 故原点到区间端点的距离不超过， 第二步，列出关于ω的不等式组，解不等式组得ω的取值范围． 所以得T≥，即≥.又ω＞0， 得0＜ω≤.故ω的取值范围是. [答案]　 [互动探究] 在本例(1)中函数不变，求函数在[－π，0]上的单调递减区间． 解：法一：x∈R时，y＝sin的减区间为，k∈Z.令k＝0，得－≤x≤； 令k＝－1，得－≤x≤－， 故x∈[－π，0]时，y＝sin的减区间为 ，. 法二：因为－π≤x≤0，所以－≤2x－≤－，结合正弦曲线， 由－≤2x－≤－，解得－π≤x≤－； 由－≤2x－≤－，解得－≤x≤0， 所以所求函数的单调递减区间为， . 求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法：就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间． (2)图象法：函数的单调性表现在图象上是：从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间． 　提醒：求解三角函数的单调区间时若x的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域． [跟踪训练] 1．(2025·南京质检)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则(　　) A．f(x)在上单调递减 B．f(x)在上单调递增 C．f(x)在上单调递减 D．f(x)在上单调递增 解析：C　[f(x)＝cos2x－sin2x＝cos 2x，选项A中：2x∈，此时f(x)单调递增，选项B中：2x∈，此时f(x)先递增后递减，选项C中：2x∈，此时f(x)单调递减，选项D中：2x∈，此时f(x)先递减后递增．] 2．若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]上单调递减，则a的最大值是(　　) A.　　 B．　　　 C.　　 D．π 解析：A　[∵f(x)＝cos x－sin x＝ cos，∴由2kπ≤x＋≤π＋2kπ(k∈Z)得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，因此，[－a，a]⊆，∴－a<a，－a≥－，a≤，∴0<a≤从而a的最大值为.] 考点三　三角函数的奇偶性、周期性和对称性(多维探究) [命题角度1]　三角函数的周期性　 1．(2024·上海卷)下列函数中，最小正周期是2π的是(　　) A．y＝sin x＋cos x B．y＝sin xcos x C．y＝sin2x＋cos2x D．y＝sin2x－cos2x 解析：A　[对于A，sin x＋cos x＝ ＝sin，则T＝2π，满足条件，故A正确； 对于B，sin xcos x＝sin 2x，则T＝＝π，不满足条件，故B错误； 对于C，sin2x＋cos2x＝1，为常值函数，则不存在最小正周期，不满足条件，故C错误； 对于D，sin2x－cos2x＝－cos 2x，则T＝＝π，不满足条件，故D错误．] 2．(2025·全国一卷)已知点(a,0)(a＞0)是函数y＝2tan的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　　) A.　 B．　　 C.　 D．π 解析：B　[依题知a－＝，即a＝＋，其中k∈Z，又a＞0，所以当k＝0时，a取得最小值，故选B.] 求三角函数周期的方法 (1)利用周期函数的定义； (2)利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为； (3)利用图象：对含绝对值的三角函数的周期问题，通常要画出图象，结合图象进行判断． [跟踪训练] (2025·成都模拟)已知函数f(x)＝cos x－cos 2x，试判断函数f(x)的奇偶性及最大值(　　) A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2 C．奇函数，最大值为 D．偶函数，最大值为 解析：D　[函数f(x)定义域为R，且f(－x)＝f(x)，故f(x)是偶函数；f(x)＝cos x－(2cos2x－1)＝－2cos2x＋cos x＋1＝－22＋，故最大值为.] [命题角度2]　三角函数的对称轴或对称中心　 3．当x＝时，函数f(x)＝sin(x＋φ)取得最小值，则函数y＝f(　　 ) A．是奇函数且图象关于点对称 B．是偶函数且图象关于点(π，0)对称 C．是奇函数且图象关于直线x＝对称 D．是偶函数且图象关于直线x＝π对称 解析：C　[∵当x＝时，函数f(x)取得最小值， ∴sin＝－1，∴φ＝2kπ－(k∈Z)． ∴f(x)＝sin＝sin. ∴y＝f＝sin(－x)＝－sin x. ∴y＝f是奇函数，且图象关于直线x＝对称．] 若求f(x)＝Asin(ωx＋φ)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x；若求f(x)＝Asin(ωx＋φ)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可． [跟踪训练] (2025·日照模拟)记函数f(x)＝sin＋b(ω＞0)的最小正周期为T，若≤T＜π，且y＝f(x)的图象关于点中心对称，则f＝(　　) A．1　　　 B．　　　　 C.　　　 D．3 解析：A　[ω＝∈(2,3)，y＝f(x)的函数图象关于点中心对称，则有b＝2，且f＝2，所以sin＋2＝2，则ω＋＝kπ，k∈Z； 解得ω＝，由ω∈(2,3)，得k＝4，ω＝， 故f＝sin＋2＝－1＋2＝1.] [命题角度3]　三角函数奇偶性、对称性的应用　 4．使函数f(x)＝sin (2x＋θ)＋cos (2x＋θ)是偶函数，且在上是减函数的θ的一个值是(　　 ) A. B． C. D． 解析：B　[∵函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos (2x＋θ)＝2sin 是偶函数， ∴θ＋＝kπ＋，即θ＝kπ＋，k∈Z ， 因此可取θ＝， 此时，f(x)＝2sin ＝2 cos 2x，且在上，即2x∈时，f(x)单调递减．] 5．(2025·雅安市模拟)函数f(x)＝sin 的图象在区间上的对称轴方程为____________． 解析：对于函数f(x)＝sin 的图象， 令2x＋＝kπ＋，得x＝＋，k∈Z，令k＝0，可得函数在区间上的对称轴方程为x＝. 答案：x＝ 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、对称性的应用 (1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大或最小值；若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0. (2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断． [跟踪训练] 关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论： ①f(x)是偶函数；②f(x)在区间上单调递增； ③f(x)在[－π，π]上有4个零点；④f(x)的最大值为2. 其中所有正确结论的编号是(　　) A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③ 解析：C　[∵f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)| ＝sin|x|＋|sin x|， ∴f(x)是偶函数，①对； f(x)在区间上单调递减，②错； f(x)在[－π，π]上有3个零点，③错； f(x)的最大值为2，④对．] 学科网（北京）股份有限公司 $