第三章 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关Word教案

第2节　 同角三角函数的基本关系与诱导公式 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α. 2．借助单位圆的对称性，能利用三角函数线推导出诱导公式(±α，π±α，－α的正弦、余弦、正切) 1.同角三角函数的基本关系，发展数学抽象和数学运算素养． 2．三角函数的诱导公式，提升数学抽象和数学运算素养． 3．诱导公式、同角三角函数关系式的活用，提升数学抽象和数学运算素养 　　同角三角函数基本关系式及诱导公式多与和角、差角的正弦、余弦、正切公式及倍角公式综合命题，题型一般为选择题、填空题形式，属于中低档题目，考查学生的运算求解能力、等价转化能力及方程思想、整体思想的运用 　　　　　　　　对应学生用书P59 [必备知识] 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系： sin2α＋cos2α＝1 . (2)商数关系：　＝tan α　. 2．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α 　－sin α　 　－sin α　 　Sin α　 　Cos α　 　Cos α　 余弦 cos α 　－cos α　 　Cos α　 　－cos α　 　sinα　 　－sin α　 正切 tan α 　tan α　 　－tan α　 　－tan α　 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变， 符号看象限 　对于±α，k∈Z诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限． [自主诊断] [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)sin2θ＋cos2φ＝1.(　　 ) (2)同角三角函数的基本关系式中角α可以是任意角．(　　 ) (3)六组诱导公式中的角α可以是任意角．(　　 ) (4)诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”与α的大小无关．(　　 ) (5)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 　(4)√　(5)× [小题查验] 1．sin 2 025°的值为(　　 ) A．－　　 B．－　　　 C.　　 D． 解析：A　[sin 2 025°＝sin(5×360°＋225°)＝ sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－.] 2．(2025·呼和浩特市一模)若sin α＝，且α为第二象限角，则tan α的值等于(　　 ) A. B．－ C. D．－ 解析：D　[因为sin α＝，且α为第二象限角，得cos α＝－＝－， 所以tan α＝＝－.] 3．(2025·泉州模拟)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ＝(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：A　[(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，则2sin θcos θ＝， ∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝， ∵θ∈， ∴sin θ＞cos θ，则sin θ－cos θ＝.] 4．(2024·潍坊二模)若3sin α－sin β＝，α＋β＝，则sin α＝____________，cos 2β＝____________. 解析：由题3sin α－sin β＝，α＋β＝， 所以3sin α－cos α＝，又∵sin2α＋cos2α＝1， 解得sin α＝.所以cos 2β＝cos(π－2α) ＝－cos 2α＝2sin2α－1＝. 答案：　 5.＝____________. 解析：原式＝ ＝＝－1. 答案：－1 　　　　　　对应学生用书P60 考点一　同角三角函数的基本关系(子母变式) [母题]　已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝. (1)求tan α的值； (2)把用tan α表示出来，并求其值． [破题关键点]　(1)法一，利用已知条件及平方关系先求出sin α与cos α的值，再利用商数关系求出tan α的值．法二： 利用已知条件及平方关系先求出sin α－cos α的值，再求出sin α与cos α的值，再利用商数关系求出tan α的值．(2)先进行“1”的代换，即1＝sin2α＋cos2α，再化弦为切求值． [解]　(1)法一：联立方程 由①得 cos α＝－sin α，将其代入②，整理得 25sin2α－5sin α－12＝0.∵α是三角形内角， ∴∴tan α＝－. 法二：∵sin α＋cos α＝， ∴(sin α＋cos α)2＝2，即1＋2sin αcos α＝， ∴2sin αcos α＝－， ∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝. ∵sin αcos α＝－＜0，且0＜α＜π， ∴sin α＞0, cos α＜0, sin α－cos α ＞0. ∴sin α－cos α＝. 由得 ∴tan α＝－. (2)＝ ＝＝.∵tan α＝－， ∴＝＝＝－. [子题1]　将母题中的条件和结论互换：已知α是三角形的内角，且tan α＝－， 求 sin α＋cos α的值． 解：由tan α＝－，得sin α＝－cos α， 将其代入 sin2α＋cos2α＝1， 得cos2α＝1，∴cos2α＝，易知cos α＜0， ∴cos α＝－， sin α＝， 故 sin α＋cos α＝－. [子题2]　保持母题条件不变， 求：(1)； (2)sin2α＋2sin αcos α的值． 解：由母题解析可知：tan α＝－. (1)＝ ＝＝. (2)sin2α＋2sin αcos α＝ ＝＝＝－. [子题3]　若母题条件变为＝5, 求tan α的值． 解：由＝5, 得＝5，即tan α＝2. (1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化． (2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． (3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 考点二　三角函数的诱导公式(自主练透) [题组集训] 完成下列各题 (1)(2025·济南市二模)已知sin＝， 则sin的值为________． (2)设f(α)＝ (1＋2sin α≠0)，则f＝____________. (3)已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，则·tan2(π－α)＝_________. 解析：(1)sin＝sin＝sin＝. (2)∵f(α)＝ ＝＝ ＝(1＋2sin α≠0)，∴f ＝＝＝＝. (3)∵方程5x2－7x－6＝0的根为－或2， 又α是第三象限角，∴sin α＝－， ∴cos α＝－＝－， ∴tan α＝＝＝， ∴原式＝·tan2α＝－tan2α＝－. 答案：(1)　(2)　(3)－ 诱导公式应用的原则和步骤 ①原则：负化正、大化小、化到锐角为终了． ②步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为0～之间角的三角函数，然后求值，其步骤为： 考点三　诱导公式、同角三角函数关系式的活用(师生共研) 数学运算——三角函数式化简求值中的核心素养 三角运算是重要的“数学运算”，在正确分析条件和所求的基础上明确运算的方向，灵活地选用三角公式，完成三角运算． [典例]　(1)已知tan＝，则tan＝____________. (2)已知θ是第四象限角，且sin ＝， 则tan ＝____________. [解析]　(1)∵＋＝π， ∴tan＝tan ＝－tan＝－. (2)因为θ是第四象限角，且sin＝， 所以θ＋是第一象限角，所以cos＝， 所以sin＝sin ＝－sin＝－cos＝－， cos＝cos ＝cos＝sin＝， 所以tan＝＝－. [答案]　(1)－　(2)－ 巧用相关角的关系、简化解题过程 (1)常见的互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等． (2)常见的互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等． [跟踪训练] 1．已知sin＝，则cos＝____________. 解析：∵＋＝， ∴cos＝cos ＝sin＝. 答案： 2．已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝(　　) A.　　 B．　　　C.　　 D． 解析：A　[原式化简得3cos2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝－或2(舍)，又α∈(0，π)，所以sin α＝.] 学科网（北京）股份有限公司 $