第一章 第5节 基本不等式-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关课件PPT

第5节　基本不等式 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 夯实 必备知识 跃升 关键能力 01 02 课时作业 04 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 夯实 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 课程标准 1.掌握基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(a，b≥0)． 2．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题 核心素养 1.利用基本不等式求最值，达成逻辑推理和数学运算素养． 2．基本不等式的实际应用，发展数学建模和数学运算素养． 3．基本不等式的综合应用，提升逻辑推理和数学运算素养 考情聚焦 　　利用基本不等式求函数的最值，不等式的变形，构造基本不等式的形式，不等式的证明及利用不等式解决实际问题等是高考的热点，各种题型均有可能出现，难度中等，属于低中档题 [必备知识] 1．基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2). (1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当　a＝b　时取等号． (3)　eq \f(a＋b,2)　称为正数a，b的算术平均数，　eq \r(ab)　称为正数a，b的几何平均数． 2．利用基本不等式求最值 已知x＞0，y＞0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当　x＝y　时，x＋y有最小值是　2eq \r(p)　(简记：积定和最小)． (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当　x＝y　时，xy有最大值是　eq \f(s2,4)　(简记：和定积最大)． 　几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (2)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (3)eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (4)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号． [自主诊断] [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝x＋eq \f(1,x)的最小值是2.(　　 ) (2)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2成立的条件是ab＞0.(　　 ) (3)x＞0且y＞0是eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)≥2的充要条件．(　　 ) (4)若a＞0，则a3＋eq \f(1,a2)的最小值是2eq \r(a).(　　 ) (5)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ [小题查验] 1．设a>b>0，下列不等式不正确的是(　　 ) A．ab<eq \f(a2＋b2,2)　　　　 B．ab<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2 C.eq \f(2ab,a＋b)>eq \r(ab) D．eq \r(ab) >eq \f(2ab,a＋b) 解析：C　[由a2＋b2≥2ab，a＋b≥2eq \r(ab)及a>b>0，知eq \f(a2＋b2,2)>ab，ab<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，选项A、B正确；eq \f(2ab,a＋b)<eq \f(2ab,2\r(ab))＝eq \r(ab)，选项D正确．] 2．若实数a，b满足eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \r(ab)，则ab的最小值为(　　) A.eq \r(2)　　 B．2　　　C．2eq \r(2)　　 D．4 解析：C　[依题意知a＞0，b＞0，则eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)≥2eq \r(\f(2,ab))＝eq \f(2\r(2),\r(ab))，当且仅当eq \f(1,a)＝eq \f(2,b)，即b＝2a时，“＝”成立．因为eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \r(ab)，所以eq \r(ab)≥eq \f(2\r(2),\r(ab))，即ab≥2eq \r(2)，所以ab的最小值为2eq \r(2).] 3．(2025·北京卷)已知a>0，b>0，则(　　) A．a2＋b2>2ab B．eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥eq \f(1,ab) C．a＋b>eq \r(ab) D．eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≤eq \f(2,\r(ab)) 解析：C　[由基本不等式结合特例即可判断． 对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，故A错误；对于B、D，取a＝eq \f(1,2)，b＝eq \f(1,4)，此时eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2＋4＝6＜eq \f(1,\f(1,2)×\f(1,4))＝8＝eq \f(1,ab)，eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2＋4＝6＞eq \f(2,\r(\f(1,2)×\f(1,4)))＝4eq \r(2)＝eq \f(2,\r(ab))，故B、D错误；对于C，由基本不等式可得a＋b≥2eq \r(ab)＞eq \r(ab)，故C正确．故选：C.] 4．(2025·济南市诊断性考试)若实数x，y满足lg x＋lg y＝lg(x＋y)，则xy的最小值为________． 解析：依题意可知x＞0，y＞0，由lg x＋lg y＝lg(x＋y)，得lg(xy)＝lg(x＋y)，得xy＝x＋y.由基本不等式得xy＝x＋y≥2eq \r(xy)，即xy－2eq \r(xy)＝eq \r(xy)(eq \r(xy)－2)≥0. 所以eq \r(xy)≥2，xy≥4，当且仅当x＝y＝2时取等号，所以xy的最小值为4. 答案：4 5．已知a>0，b>0，且ab＝1，则eq \f(1,2a)＋eq \f(1,2b)＋eq \f(8,a＋b)的最小值为____________． 解析：∵a>0，b>0，∴a＋b>0，ab＝1，∴eq \f(1,2a)＋eq \f(1,2b)＋eq \f(8,a＋b)＝eq \f(a＋b,2ab)＋eq \f(8,a＋b)＝eq \f(a＋b,2)＋eq \f(8,a＋b)≥2eq \r(\f(a＋b,2)×\f(8,a＋b))＝4，当且仅当a＋b＝4时取等号，结合ab＝1，解得a＝2－eq \r(3)，b＝2＋eq \r(3)，或a＝2＋eq \r(3)，b＝2－eq \r(3)时，等号成立． 答案：4 考点一　利用基本不等式求最值(多维探究) [命题点1]　通过配凑法利用基本不等式 [典例]　(1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为____________． [解析]　x(4－3x)＝eq \f(1,3)·(3x)(4－3x) ≤eq \f(1,3)·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3x＋4－3x,2)))2＝eq \f(4,3)， 当且仅当3x＝4－3x，即x＝eq \f(2,3)时，取等号． [答案]　eq \f(2,3) (2)函数y＝eq \f(x2＋2,x－1)(x>1)的最小值为____________． [解析]　y＝eq \f(x2＋2,x－1)＝eq \f(x2－2x＋1＋2x－2＋3,x－1) ＝eq \f(x－12＋2x－1＋3,x－1) ＝(x－1)＋eq \f(3,x－1)＋2≥2eq \r(3)＋2. 当且仅当x－1＝eq \f(3,x－1)，即x＝eq \r(3)＋1时，等号成立． [答案]　2eq \r(3)＋2 [命题点2]　通过常数代换法利用基本不等式 [典例]　若a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为(　　) A．8　　　B．6　　　　C．4　　　 D．2 数学运算——基本不等式应用中的核心素养 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．应用基本不等式求最值就极大地提升了数学运算的核心素养． 信息提取 信息解读 数学运算 已知条件a>0，b>0，lga＋lgb＝lg(a＋b) 由lg a＋lg b＝lg(a＋b)， 得lg(ab)＝lg(a＋b)，即ab＝a＋b，则有eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1 着眼点一(对数的运算性质)：由lga＋lgb＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b) ，即ab＝a＋b. 着眼点二(等式的恒等变形)：再由ab＝a＋b，得eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1. 求则a＋b的最小值 利用常数“1”代换的方法，将a＋b的变形为a＋b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(a＋b)＝2＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)，在利用基本不等式求其最小值 着眼点三(“1”代换)：a＋b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(a＋b)＝2＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b). 着眼点四(基本不等式的应用)：2＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2＋2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立 [解析]　C　[由lg a＋lg b＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)，即ab＝a＋b，则有eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，所以a＋b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(a＋b)＝2＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2＋2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以a＋b的最小值为4.] 利用基本不等式求最值的三种常考类型及求解策略 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”． (2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值． [跟踪训练] 1．若正实数x，y满足4x＋y＝xy，则x＋4y取最小值时，y的值为(　　 ) A．1　　　B．2　　　　C．3　　　 D．5 解析：D　[∵x＞0，y＞0且4x＋y＝xy， ∴eq \f(1,x)＋eq \f(4,y)＝1， ∴x＋4y＝(x＋4y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))＝17＋eq \f(4x,y)＋eq \f(4y,x)≥25，当且仅当x＝y＝5时取等号．] 2．(2025·上海卷)设a，b>0，a＋eq \f(1,b)＝1，则b＋eq \f(1,a)的最小值为______． 解析：∵a＞0，b＞0，a＋eq \f(1,b)＝1，∴0＜a＜1，b＞1， ∴a＝1－eq \f(1,b)＝eq \f(b－1,b)＞0， ∴b＋eq \f(1,a)＝b＋eq \f(b,b－1)＝b－1＋eq \f(1,b－1)＋2≥ 2eq \r(b－1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b－1))))＋2＝4. 当且仅当eq \f(1,b－1)＝b－1，即b＝2，a＝eq \f(1,2)时，等号成立． 答案：4 考点二　基本不等式的实际应用(师生共研) [典例]　某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为eq \f(x,8)天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(　　 ) A．60件　 B．80件　　C．100件　 D．120件 [解析]　B　[若每批生产x件产品，则每件产品的生产费用是eq \f(800,x)元，仓储费用是eq \f(x,8)元，总的费用是eq \f(800,x)＋eq \f(x,8)≥2 eq \r(\f(800,x)·\f(x,8))＝20，当且仅当eq \f(800,x)＝eq \f(x,8)，即x＝80时取等号．] 在利用基本不等式解决实际问题时，一定要注意所涉及变量的取值范围，即定义域．若使基本不等式等号成立的变量值不在定义域内时，则要研究函数的单调性，利用单调性求最值． [跟踪训练] 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则该公司年平均利润的最大值是____________万元． 解析：每台机器运转x年的年平均利润为eq \f(y,x)＝18－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,x)))，而x>0，故eq \f(y,x)≤18－2eq \r(25)＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元． 答案：8 考点三　基本不等式的综合应用(师生共研) [典例]　(1)若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式： ①a2＋b2≥2；②eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥2；③ab≤1；④eq \r(a)＋eq \r(b)≤eq \r(2).恒成立的是(　　 ) A．①②④　　　　　　　 B．①②③ C．②③④ D．①③④ (2)已知函数f(x)＝eq \f(x2＋ax＋11,x＋1)(a∈R)，若对于任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是____________． [解析]　(1)因为a>0，b>0，a＋b＝2， 所以由 eq \r(\f(a2＋b2,2))≥eq \f(a＋b,2)＝1≥eq \r(ab) ≥eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))， 得a2＋b2≥2; eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥2；ab≤1；即①②③均正确；不妨令a＝b＝1，则eq \r(a)＋eq \r(b)＝2>eq \r(2)，故④错误；综上所述，恒成立的是①②③. (2)对任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，即eq \f(x2＋ax＋11,x＋1)≥3恒成立，即知a≥－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(8,x)))＋3. 设g(x)＝x＋eq \f(8,x)，x∈N*，则g(2)＝6，g(3)＝eq \f(17,3). ∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝eq \f(17,3).∴－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(8,x)))＋3≤－eq \f(8,3)，∴a≥－eq \f(8,3)，故a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)，＋∞)). [答案]　(1)B　(2) eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)，＋∞)) 综合应用基本不等式的重点题型与求解策略 题型 求解策略 判断或证明不等式或比较大小 对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解 求参数的值或范围 观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围 与函数、数列、解析几何等其他知识结合的问题 利用已知条件进行转化，再利用基本不等式求解 [跟踪训练] 1．若函数f(x)＝x＋eq \f(1,x－2)(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝(　　 ) A．1＋eq \r(2)　　B．1＋eq \r(3)　　　C．3　　 D．4 解析：C　[当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋eq \f(1,x－2)＋2≥ 2eq \r(x－2×\f(1,x－2))＋2＝4，当且仅当x－2＝eq \f(1,x－2)(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，a＝3.] 2．(多选题)(2025·江西南昌三模)已知a>0，b>0，a＋b＝ab，则(　　) A．a＞1且b＞1 B．ab≥4 C．a＋4b≤9 D．eq \f(b,a)＋eq \f(1,b)＞1 解析：ABD　[对于A，a＞0，b＞0，a＋b＝ab，则a＝eq \f(b,b－1)＞0，故b＞1，同理可得a＞1，A正确；对于B，a＞0，b＞0，ab＝a＋b≥2eq \r(ab)，∴ab≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，B正确；对于C，a＞0，b＞0，a＋b＝ab，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，则a＋4b＝(a＋4b)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝1＋eq \f(4b,a)＋eq \f(a,b)＋4≥5＋2eq \r(4)＝9， 当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(4b,a)＝\f(a,b),a＋b＝ab))，即a＝3，b＝eq \f(3,2)时取等号，C错误；对于D，由于b＞0，故eq \f(b,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(ab－a,a)＋eq \f(1,b)＝b－1＋eq \f(1,b)≥2－1＝1，当且仅当b＝1时取等号，而b＞1，故eq \f(b,a)＋eq \f(1,b)＞1，D正确．] $