第一章 第5节 基本不等式-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关Word课时作业

第5节　基本不等式 1．(多选题)下列命题正确的是(　　) A．若x≠kπ，k∈Z，则sin2x＋≥4 B．若a<0，则a＋≤－4 C．若a>0，b>0，则lg a＋lg b≥2 D．若a<0，b<0，则＋≥2 解析：BD　[当sin2x＝1时，1＋1＝2＜4，所以A错误；若a＜0，则a＋≤－4，所以B正确；因为lg a，lg b可以小于零，C错误；由a＜0，b＜0，所以，都大于零，D正确．] 2．(2025·郑州外国语学校质检)已知a＞0，b＞0，则“a＋b＞2”是“a2＋b2＞2”的(　　) A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[若a＞0，b＞0，a＋b＞2，则a2＋b2≥(a＋b)2＞2，充分性成立；若a2＋b2＞2，可能a＝，b＝0.1，此时a＋b＜2，所以必要性不成立．综上所述，“a＋b＞2”是“a2＋b2＞2”的充分不必要条件．] 3．已知正数a，b的等比中项是2，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是(　　) A．3　　　B．4　　　　C．5　　　 D．6 解析：C　[由已知正数a，b的等比中项是2，可得ab＝4，又m＝b＋，n＝a＋，∴m＋n＝(a＋b)＋≥2＋＝5，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，故m＋n的最小值为5.] 4．(多选题)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　) A．a2＋b2≥　　　 B．2a－b> C．log2a＋log2b≥－2 D．＋≤ 解析：ABD　[对于A选项， ≥＝⇒a2＋b2≥，正确；对于B选项，由a＋b＝1且a>0，b>0可得，a－b＝2a－1>－1，因此2a－b>，正确；对于C选项，a＋b＝1≥2⇒ab≤⇒log2ab≤log2＝－2，错误；对于D选项，≤ ＝⇒＋≤，正确．] 5．(多选题)(2025·山师大附中模拟)已知实数a＞b＞0，则(　　) A.＜ B．a＋＞b＋ C．ab＞ba D．lg＞ 解析：ABD　[对于A，－＝＜0， 则＜，正确； 对于B，a＋－b－＝(a－b)＋＝ (a－b)＞0，则a＋＞b＋，正确； 对于C，当a＝4，b＝2时，ab＝ba，错误； 对于D，由＞(注意等号取不到)， 则lg＞lg＝，正确．] 6．当x＞1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的最大值为____________． 解析：因为x＞1，所以x－1＞0.又x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时等号成立，所以实数a的最大值为3. 答案：3 7．(2025·天津市模拟)若直线x－y＋2＝0(a>0，b>0)和圆x2＋y2＝1相切，则a＋4b的最小值为____________． 解析：由题意知圆心到直线的距离d＝＝1，即a＋b＝4ab，即＋＝4，a＋4b＝(a＋4b)··＝＋≥＋×2×＝，当且仅当a＝2b时，等号成立，所以a＋4b的最小值为. 答案： 8．(工程设计)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为____________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为____________万元． 解析：设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元， 则y1＝k1x(k1≠0)，y2＝(k2≠0)， 因为工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，所以k1＝5，k2＝20， 所以运费与仓储费之和为万元， 因为5x＋≥2＝20，当且仅当5x＝，即x＝2时，运费与仓储费之和最小，最小为20万元． 答案：2　20 9．已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：＋＋≥a＋b＋c. 证明：∵a＞0，b＞0，c＞0，∴＋≥2＝2c，＋≥2＝2b， ＋≥2＝2a. 以上三式相加得：2≥2(a＋b＋c)， 即＋＋≥a＋b＋c. 10．已知lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)． (1)求xy的最小值； (2)求x＋y的最小值． 解：由lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)得 (1)∵x＞0，y＞0，∴3xy＝x＋y＋1≥2 ＋1， ∴3xy－2 －1≥0， 即3()2－2－1≥0， ∴(3＋1)(－1)≥0， ∴≥1，∴xy≥1， 当且仅当x＝y＝1时，等号成立． ∴xy的最小值为1. (2)∵x＞0，y＞0，∴x＋y＋1＝3xy≤3·2， ∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0， ∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0， ∴x＋y≥2， 当且仅当x＝y＝1时取等号，∴x＋y的最小值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $