第三章 第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函数-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关Word教案

第1节　任意角、弧度制及任意角的三角函数 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.了解任意角的概念和弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 1.角的集合表示及象限角的判定，达成数学抽象素养． 2．扇形的弧长及面积公式，发展数学抽象和数学运算素养． 3．三角函数的定义，提升数学抽象和数学运算素养． 4．三角函数线、三角函数值的符号，提升直观想象素养 　　对于角的概念与分类、弧度制及任意角的三角函数定义单独命题的概率很小，多与其他知识相结合，如三角恒等变换、同角三角函数基本关系式及诱导公式等综合命题，题型一般为选择题、填空题形式，属于中低档题目，考查学生的基本运算能力及等价转化能力 　　　　　　　　对应学生用书P55 [必备知识] 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着　端点　从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于　半径长　的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝rad； ②1 rad＝　°　 弧长公式 弧长l＝　|α|r　 扇形面积公式 S＝　　lr＝　|α|r2　 3.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 　y　叫做α的正弦，记作sin α 　x　叫做α的余弦，记作cos α 　　叫做α的正切，记作tan α 各象 限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 口决 一全正、二正弦、三正切、四余弦 三角 函数线 有向线段　MP　为正弦线 有向线段　OM　为余弦线 有向线段　AT　为正切线 1．任意角三角函数的定义的推广 设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． 2．若α分别为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限角，则所在象限如图 [自主诊断] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)小于90°的角是锐角．(　　) (2)锐角是第一象限角，反之亦然．(　　) (3)三角形的内角必是第一、第二象限角．(　　) (4)不相等的角终边一定不相同．(　　) (5)终边相同的角的同一三角函数值相等．(　　) (6)点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α终边在第二象限．(　　) (7)α∈，则tan α>α>sin α.(　　) (8)α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ (6)√　(7)√　(8)√ [小题查验] 1．－870°角的终边在第几象限(　　) A．一　　　 B．二　　　　 C．三　　　 D．四 解析：C　[∵－870°＝－360°×3＋210°， ∴－870°与210°角终边相同． 又∵210°角的终边在第三象限， ∴－870°角的终边在第三象限．] 2．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　 ) A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) 解析：C　[与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确．] 3．(2025·聊城模拟)若α为第四象限角，则(　　) A．cos 2α>0 B．cos 2α<0 C．sin 2α>0 D．sin 2α<0 解析：D　[∵－＋2kπ<α<2kπ(k∈Z)，∴－π＋4kπ<2α<4kπ(k∈Z)，∴2α是第三或第四象限角或终边在y轴负半轴上的角，∴sin 2α<0.] 4．(2025·唐山三模)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(－1，－2)，则sin2α＋sin 2α＝(　　) A. B． C. D． 解析：B　[由三角函数的定义有 sin α＝＝－， cos α＝＝－， 所以sin2α＋sin 2α＝sin2α＋2sin αcos α＝＋2××＝.] 5．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为____________． 解析：设扇形的半径为R，则×4×R2＝2， ∴R＝1，弧长l＝4，∴扇形的周长为l＋2R＝6. 答案：6 　　　　　　对应学生用书P56 考点一　角的集合表示及象限角的判定(师生共研) [典例]　(1)若角θ的终边与角的终边相同，则在[0,2π)内终边与角的终边相同的角为______________． (2)如果α是第三象限的角，则角－α的终边所在位置是____________，角2α的终边所在位置是____________． [解析]　(1)∵θ＝＋2kπ(k∈Z)， ∴＝＋(k∈Z)． 依题意0≤＋＜2π⇒－≤k＜，k∈Z. ∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与相同的角为，，. (2)由α是第三象限的角得π＋2kπ＜α＜＋2kπ，∴－－2kπ＜－α＜－π－2kπ， 即＋2kπ＜－α＜π＋2kπ(k∈Z)， ∴角－α的终边在第二象限． 由π＋2kπ＜α＜＋2kπ， 得2π＋4kπ＜2α＜3π＋4kπ(k∈Z)， ∴角2α的终边在第一、二象限或y轴的非负半轴上． [答案]　(1)，，　(2)第二象限　第一、二象限或y轴的非负半轴上 [互动探究] 在本例(2)的条件下，角的终边所在的位置是____________． 解析：因为π＋2kπ＜α＜＋2kπ(k∈Z)， 所以＋＜＜＋(k∈Z)． 当k＝3n(n∈Z)时，＋2nπ＜＜＋2nπ(n∈Z)； 当k＝3n＋1(n∈Z)时，π＋2nπ＜＜＋2nπ(n∈Z)； 当k＝3n＋2(n∈Z)时，＋2nπ＜＜＋2nπ(n∈Z)． 综上可知，的终边在第一、三、四象限． 答案：第一、三、四象限 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角． (2)表示区间角的三个步骤 ①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界． ②按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间． ③起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合． (3)已知角α终边所在的象限，求2α、、π－α等角的终边所在象限问题，可由条件先写出α的范围，解不等式得出角2α、、π－α等的范围，再根据范围确定象限． [跟踪训练] 1．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在(　　 ) A．第一或第三象限　　 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 解析：A　[当k＝2n(n∈Z)时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，α为第一象限角．当k＝2n＋1(n∈Z)时，α＝(2n＋1)·180°＋45°＝n·360°＋225°，α为第三象限角．所以α为第一或第三象限角．] 2．已知角α的终边落在阴影所表示的范围内(包括边界)，则角α的集合为__________． 解析：在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角为90°≤α≤135°或270°≤α≤315°.所以终边落在阴影所表示的范围内的角α的集合为{α|90°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}∪{α|270°＋k·360°≤α≤315°＋k·360°，k∈Z}＝{α|90°＋2k·180°≤α≤135°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|90°＋(2k＋1)·180°≤α≤135°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|90°＋n·180°≤α≤135°＋n·180°，n∈Z}． 答案： {α|90°＋n·180°≤α≤135°＋n·180°，n∈Z} 考点二　扇形的弧长及面积公式(师生共研) [典例]　已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？ [思维导引]　建立扇形的面积S与其半径r的函数关系式求解． [解]　设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40. 又S＝θr2＝r(40－2r)＝r(20－r) ＝－(r－10)2＋100≤100. 当且仅当r＝10时，Smax＝100， 此时2×10＋10θ＝40，θ＝2. 所以当r＝10，θ＝2时，扇形的面积最大． [互动探究] 1．本例题条件若变为“周长为6，面积是2”，试求圆心角的弧度数． 解：设半径为r，弧长为l， 则解得或 ∴圆心角的弧度数为α＝4或1. 2．本例题条件若变为“扇形的圆心角为120°，弦长为AB＝12”，试求弧长l. 解：设半径为r.则由＝sin 60°， ∴r＝4，∴l＝|α|·r＝π. 应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理利用圆心角所在的三角形． [跟踪训练] 一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则扇形的弧长与圆周长之比为____________． 解析：设圆的半径为r，则扇形的半径为，记扇形的圆心角为α， 则＝，∴α＝. ∴扇形的弧长与圆周长之比为＝＝. 答案： 考点三　三角函数的定义(子母变式) [母题]　设角α终边上一点P(－4a,3a)(a＜0)，则 sin α的值为____________． 数学运算——三角函数定义应用中的核心素养 信息提取 信息解读 数学运算 已知角α终边上一点P的坐标(－4a,3a)(a＜0) 角α的顶点在坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边可以由点P的坐标确定 先求点P到坐标原点的距离r，在利用sin α＝，求sin α的值 求sin α的值 可以利用任意角的三角函数定义，求sin α的值 [解析]　第一步：利用两点间的距离公式求出点P到坐标原点的距离r. 设P与原点的距离为r，∵P(－4a,3a)，a＜0， ∴r＝＝|5a|＝－5a. 第二步，利用任意角的三角函数定义式求出sin α的值．∴sin α＝＝－. [答案]　－ [子题1]　若母题中“a＜0”，改为“a≠0”，则sin α的值为____________． 解析：当a＜0时，sin α＝－；当a＞0时，r＝5a, sin α＝. 答案：－或 [子题2]　已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 解：设α终边上任一点为P(－4a,3a)，当a＞0时， r＝5a，sin α＝，cos α＝－，tan α＝－； 当a＜0时，r＝－5a，sin α＝－，cos α＝， tan α＝－. [子题3]　已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0), 且sin α＝，求cos α， tan α的值． 解：由题设知x＝－，y＝m， ∴r2＝|OP|2＝(－)2＋m2(O为原点)， r＝ . ∴sin α＝＝＝，∴r＝ ＝2， 即3＋m2＝8，解得m＝±. 当m＝时，r＝2，x＝－，y＝， ∴cos α＝＝－， tan α＝－； 当m＝－时，r＝2，x＝－，y＝－， ∴cos α＝＝－， tan α＝. 用定义法求三角函数值的两种情况 (1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解． (2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解． 考点四　三角函数线、三角函数值的符号(自主练透) [题组集训] 1．下列各选项中正确的是(　　 ) A．sin 300°>0　　　　　 B．cos(－305°)<0 C．tan >0 D．sin 10<0 解析：D　[300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；而－π＝－8π＋π，所以－π是第二象限角， 故tan <0，因为3π<10<π，所以10是第三象限角，故sin 10<0.] 2．已知sin 2θ<0，且|cos θ|＝－cos θ，则点P(tan θ，cos θ)在第____________象限． 解析：法一：由sin 2θ<0，得2kπ＋π<2θ<2kπ＋2π (k∈Z)，kπ＋<θ<kπ＋π(k∈Z)． 当k为奇数时，θ的终边在第四象限； 当k为偶数时，θ的终边在第二象限． 又因cos θ≤0，所以θ的终边在左半坐标平面(包括y轴)，所以θ的终边在第二象限． 所以tan θ<0，cos θ<0，点P在第三象限． 法二：由|cos θ|＝－cos θ，知cos θ≤0，① 又sin 2θ<0，即2sin θcos θ<0，② 由①②可推出. 因此θ在第二象限，P(tan θ，cos θ)在第三象限． 答案：三 熟练掌握三角函数在各象限的符号．三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦. 学科网（北京）股份有限公司 $