第一章 第4节 一元二次不等式及其解法-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关课件PPT

第4节　一元二次不等式及其解法 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 夯实 必备知识 跃升 关键能力 01 02 课时作业 04 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 夯实 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 艺考生文化课百日冲关 数学 课程标准 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义． 2．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系 核心素养 1.一元二次不等式的解法，达成直观想象和数学运算素养． 2．与一元二次不等式有关的恒成立问题，提升直观想象和数学运算素养． 3．一元二次不等式的实际应用，增强数学建模和数学运算素养 考情聚焦 　　一元二次不等式、分式不等式的解法，及一元二次不等式的恒成立问题是高考的热点，常常与集合运算、函数定义域求解、用导数求单调区间等问题结合考查．题型多样，选择题或填空题考查解法及恒成立问题，难度不大，属于低中档题型，解答题与导数结合，考查函数的单调性，难度中等及以上，属于中高档题 [必备知识] 1．一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数　大于　零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)． (2)计算相应的　判别式　. (3)当　Δ≥0　时，求出相应的一元二次方程的根． (4)利用二次函数的图象与x轴的　交点　确定一元二次不等式的解集． 2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等实根x1＝x2＝－eq \f(b,2a) 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 　{x|x＜x1，或x＞x2}　 　eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(b,2a)))　 　R　 ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 　{x|x1＜x＜x2}　 　∅　 　∅　 　简单的分式不等式与一元二次不等式的等价关系 1.eq \f(x－a,x－b)＞0等价于(x－a)(x－b)＞0. 2.eq \f(x－a,x－b)＜0等价于(x－a)(x－b)＜0. 3.eq \f(x－a,x－b)≥0等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－ax－b≥0，,x－b≠0.)) 4.eq \f(x－a,x－b)≤0等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－ax－b≤0，,x－b≠0.)) [自主诊断] [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　 ) (2)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　　 ) (3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(　　 ) (4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　 ) (5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集．(　　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ [小题查验] 1．函数f(x)＝eq \f(1,ln－x2＋4x－3)的定义域是(　　 ) A．(－∞，1)∪(3，＋∞)　　　 B．(1,3) C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3) 解析：D　[由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x2＋4x－3>0，,－x2＋4x－3≠1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1<x<3，,x≠2，)) 故函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3)．] 2．不等式eq \f(x－2,x＋1)≤0的解集是(　　 ) A．(－∞，－1)∪(－1,2] B．[－1,2] C．(－∞，－1)∪[2，＋∞) D．(－1,2] 解析：D　[eq \f(x－2,x＋1)≤0⇔(x＋1)(x－2)≤0，且x≠－1，即x∈(－1,2]．] 3．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(3)＝0，则不等式(2x－5)f(x－1)＜0的解集为(　　 ) A．(－∞，－2)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，4)) B．(4，＋∞) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(5,2)))∪(4，＋∞) D．(－∞，－2) 解析：C　[因为f(x)是定义在R上的偶函数，在[0，＋∞)上单调递减，且f(3)＝0，所以f(x)在(－∞，0]上单调递增，且f(－3)＝0. 则当x＞3或x＜－3时，f(x)＜0； 当－3＜x＜3时，f(x)＞0. 不等式(2x－5)f(x－1)＜0化为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－5＞0，,fx－1＜0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－5＜0,fx－1＞0)). 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－5＞0，,x－1＞3，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－5＞0，,x－1＜－3，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－5＜0，,－3＜x－1＜3，)) 解得x＞4或x∈∅或－2＜x＜eq \f(5,2)， 即－2＜x＜eq \f(5,2)或x＞4，即原不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(5,2)))∪(4，＋∞)．] 4．(2025·上海卷)不等式eq \f(x－1,x－3)<0的解集为______． 解析：∵eq \f(x－1,x－3)＜0 ∴(x－3)(x－1)＜0 ∴1＜x＜3 ∴原不等式的解集为{x|1＜x＜3}，即(1,3)． 答案：(1,3) 5．(2024·上海卷)不等式x2－2x－3＜0的解集为____________． 解析：将不等式分解因式得(x－3)(x＋1)＜0，解得－1＜x＜3. 答案：(－1,3) 考点一　一元二次不等式的解法(自主练透) [题组集训] 解关于x的不等式： (1)x2＋3x＋4＜0； (2)－3x2－2x＋8≤0； (3)ax2－(a＋1)x＋1<0. 解：(1)由Δ＝9－16＝－7＜0，故不等式的解集为∅. (2)原不等式等价于3x2＋2x－8≥0⇔(x＋2)(3x－4)≥0⇔x≤－2或x≥eq \f(4,3)， 故不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≤－2，或x≥\f(4,3))). (3)原不等式可化为(x－1)(ax－1)<0， ∴①当a＝0时，可解得x>1， ②当a>0时，不等式可化为(x－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))<0， ∴当a＝1时，不等式可化为(x－1)2<0，解集为∅； 当0<a<1时，eq \f(1,a)>1，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|1<x<\f(1,a)))； 当a>1时，eq \f(1,a)<1，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,a)<x<1))； 当a<0时，不等式可化为(x－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))>0， ∴不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x>1，或x<\f(1,a)))， 综上可知，当a<0时， 不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x>1，或x<\f(1,a)))； 当a＝0时，解集为{x|x>1}； 当0<a<1时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|1<x<\f(1,a)))； 当a＝1时，不等式的解集为∅； 当a>1时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,a)<x<1)). 1．解一元二次不等式的一般步骤 (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式． (3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 2．解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据 (1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式． (2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系． (3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两个根的大小关系，从而确定解集形式． 　提醒： 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况． 考点二　与一元二次不等式有关的恒成立问题(多维探究) 直观想象——一元二次不等式恒成立问题中的核心素养 直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程．解决一元二次不等式的恒成立问题，常常将一元二次不等式与一元二次方程、二次函数联系在一起，做到相互转化，借助于二次函数的图象——抛物线进行求解． [命题角度1]　在实数R上的恒成立　 1．若一元二次不等式2kx2＋kx－eq \f(3,8)＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　 ) A．(－3,0]　　　　　 B．[－3,0) C．[－3,0] D．(－3,0) 解析：D　[2kx2＋kx－eq \f(3,8)＜0对一切实数x都成立， 因2kx2＋kx－eq \f(3,8)＜0是一元二次不等式，所以k≠0. 则必有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2k＜0，,Δ＝k2－4×2k×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,8)))＜0，)) 解得－3＜k＜0.] [命题角度2]　在给定区间上的恒成立问题　 2．设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，则m的取值范围是____________________. [破题关键点]　函数f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立，即meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立．方法一：构造函数g(x)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)m－6，x∈[1,3]，分m＞0与m＜0两种情况判断g(x)在[1,3]上的单调性，由g(x)max＜0求出m的取值范围； 方法二：由于x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)＞0，所以将参数m分离出来，即m＜eq \f(6,x2－x＋1)， 转化为求函数y＝eq \f(6,x2－x＋1)在[1,3]上的最小值． 解析：要使f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立， 则mx2－mx＋m－6＜0， 即meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法： 法一：令g(x)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)m－6，x∈[1,3]． 当m＞0时，g(x)在[1,3]上是增函数， 所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0. 所以m＜eq \f(6,7)，则0＜m＜eq \f(6,7). 当m＜0时，g(x)在[1,3]上是减函数， 所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0. 所以m＜6，所以m＜0. 综上所述，m的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m|0＜m＜\f(6,7)，或m＜0)). 法二：因为x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)＞0， 又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜eq \f(6,x2－x＋1). 因为函数y＝eq \f(6,x2－x＋1)＝eq \f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4))在[1,3]上的最小值为eq \f(6,7)，所以只需m＜eq \f(6,7)即可． 因为m≠0，所以m的取值范围是 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m|0＜m＜\f(6,7)，或m＜0)). 答案：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m|0＜m＜\f(6,7)，或m＜0)) [命题角度3]　给定参数范围的恒成立问题　 3．已知a∈[－1,1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为(　　 ) A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞) C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(1,3) 解析：C　[把不等式的左端看成关于a的一次函数， 记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4， 则由f(a)＞0对于任意的a∈[－1,1]恒成立， 所以f(－1)＝x2－5x＋6＞0， 且f(1)＝x2－3x＋2＞0即可，解不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－5x＋6＞0，,x2－3x＋2＞0，))得x＜1或x＞3.] 恒成立问题求解思路 (1)由一元二次不等式在R上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解． (2)由一元二次不等式在x∈[a，b]上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值≥0，从而求参数的范围． (3)由一元二次不等式对于参数m∈[a，b]恒成立确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数． 考点三　一元二次不等式的实际应用(师生共研) [典例]　某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ [思维导引]　(1)由年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量，建立年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)由本年度的年利润比上年度有所增加，建立关于投入成本增加的比例x的不等式组，求x的取值范围． [解析]　(1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x) (0<x<1)， 整理得y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0<x<1)． (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y－12－10×10 000>0，,0<x<1，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－6 000x2＋2 000x>0，,0<x<1，))解得0<x<eq \f(1,3)， 所以投入成本增加的比例应在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))范围内． 求解不等式应用题的四个步骤 [跟踪训练] 某农贸公司按每担200元收购某农产品，并且每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点． (1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式； (2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围． 解：(1)降低税率后的税率为(10－x)%， 农产品的收购量为a(1＋2x%)万担， 收购总金额为200a(1＋2x%)万元． 依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)% ＝eq \f(1,50)a(100＋2x)(10－x)(0<x<10)． (2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)． 依题意得eq \f(1,50)a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%， 化简得x2＋40x－84≤0，解得－42≤x≤2. 又∵0<x<10，∴0<x≤2. ∴x的取值范围为(0,2]. $