5.3奔驰定理与四心问题 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“奔驰定理与三角形四心问题”专题，依据高考评价体系梳理了定理应用、面积比计算、四心向量表示三大考查方向，通过近年模拟题与真题分析，明确四心问题占平面向量考点30%的高频权重，归纳出选择填空与解答题的常考题型。 课件亮点在于“定理推导+题型突破+素养提升”的备考路径，如以奔驰定理证明为基础，结合重心、外心等四心向量式，培养学生逻辑推理与数学运算素养。特设跟踪训练与课时精练，通过2025年安庆模拟题等实例解析面积比计算技巧，帮助学生掌握答题模板，教师可据此系统开展专题复习，提升备考效率。

第五章 §5.3 奔驰定理与四心问题 奔驰定理将三角形的四心与向量完美地融合到一起，揭示了平面向量与三角形面积之间所蕴含的一个优美规律，同时也加强了对三角形的认识，加深了对数学的理解. 重点解读 2 1.奔驰定理：O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA+SB+SC=0. 2.奔驰定理的推论：O是△ABC所在平面内一点，且x+y+z=0，则 (1)S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=x∶y∶z； (2)=；=；=. 由于这个定理对应的图象和“奔驰”的图标很相似，故我们把它称为奔驰定理. 题型一　奔驰定理 例1　已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，求证：SA·+SB·+SC·=0. 证明　方法一　如图，延长AO与BC边相交于点D， 则==== ∴=+=+. ∵==== ∴=- ∴-=+∴SA·+SB·+SC·=0. 例1　已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，求证：SA·+SB·+SC·=0. 证明　方法二　延长OA到OA1，OB到OB1，OC到OC1，使得=x=y=z且O为△A1B1C1的重心. 则==== 所以=xyS△AOB=xzS△AOC， 又O为△A1B1C1的重心，则= 则xyS△AOB=xzS△AOC， 即==. 例1　已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，求证：SA·+SB·+SC·=0. 证明　同理可得=则SA∶SB∶SC=x∶y∶z. 因为O为△A1B1C1的重心， 所以++=0， 即x+y+z=0， 所以SA·+SB·+SC·=0. 利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格遵循定理成立的条件，注意定理中的点O为△ABC内一点；定理中等式左边三个向量的系数之比对应三个三角形的面积之比. 思维升华 跟踪训练1　(2025·安庆模拟)设点O在△ABC内部，且3+2+=0，则△AOC的面积与△AOB的面积的比值为 A.2　　　　B.　　　　C.　　　　D.3 √ 解析　方法一　∵3+2+=0， ∴由奔驰定理知 S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=3∶2∶1， ∴S△AOC∶SAOB=2∶1=2. 方法二　不妨设=3=2=如图所示， 根据题意得++=0， 即点O是△A1B1C1的重心， 所以=3 即= 解析　同理可得== 设===k， 又因为== == 所以S△AOB=k，S△AOC=k， 故△AOC的面积与△AOB的面积的比值为=2. 命题点1　奔驰定理与重心 常见重心向量式：设O是△ABC的重心，P为平面内的一个动点，则 (1)++=0. (2)=++). (3)若=λ(+)，λ∈(0，+∞)，则动点P的轨迹一定经过三角形的重心. (4)若=λλ∈(0，+∞)，则动点P的轨迹一定经过三角形的重心. 题型二　奔驰定理与三角形四心问题 例2　已知G是△ABC的重心，求证：++=0. 证明　∵G是△ABC的重心，记△BGC，△AGC，△AGB的面积分别为SA，SB，SC， ∴SA=SB=SC， 由奔驰定理得++=0. 命题点2　奔驰定理与外心 常用外心向量式：O是△ABC的外心，则 (1)||=||=||⇔==. (2)(+)·=(+)·=(+)·=0. (3)动点P满足=+λλ∈(0，+∞)，则动点P的轨迹一定经过△ABC的外心. (4)已知点O在△ABC所在平面内，若(+)·=(+)·=(+)·=0，则O是△ABC的外心. 例3　已知O是锐角△ABC的外心，求证：sin 2A+sin 2B+sin 2C=0. 证明　由O是锐角△ABC的外心， 得||=||=||， 则∠AOB=2∠ACB，∠BOC=2∠BAC， ∠COA=2∠ABC， 于是S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=sin 2A∶sin 2B∶sin 2C， 则根据奔驰定理得 sin 2A+sin 2B+sin 2C=0. 命题点3　奔驰定理与内心 常见内心向量式：O是△ABC的内心，则 (1)||+||+||=0(或a+b+c=0，其中a，b，c分别是△ABC的三边BC，AC，AB的长). (2)动点P满足=λλ∈(0，+∞)，则动点P的轨迹一定经过三角形的内心. 例4　已知O是△ABC的内心，求证：a+b+c=0.(其中a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边长) 证明　设△ABC的内切圆半径为r，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC， 因为O是△ABC的内心， 则SA∶SB∶SC=∶∶=a∶b∶c. 所以根据奔驰定理得，a+b+c=0. 命题点4　奔驰定理与垂心 常见垂心向量式：O是△ABC的垂心，则 (1)==. (2)+=+=+. (3)动点P满足=λλ∈(0，+∞)，则动点P的轨迹一定经过△ABC的垂心. (4)奔驰定理推论：S△BOC∶S△COA∶S△AOB=tan A∶tan B∶tan C，tan A· +tan B·+tan C·=0(△ABC不是直角三角形). 例5　已知O是△ABC(非直角三角形)的垂心，求证：tan A+tan B+ tan C=0. 证明　∵O是△ABC(非直角三角形)的垂心， ∴== ∴||·||cos(π-C)=||·||cos(π-A)=||·||cos(π-B)， ∴||∶||∶||=cos A∶cos B∶cos C， ∴SA∶SB∶SC=tan A∶tan B∶tan C， ∴由奔驰定理得，tan A+tan B+tan C=0. 命题点5　向量四心的轨迹问题 例6　O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λλ∈(0，+∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的 A.外心　　　　B.内心 C.重心　　　　D.垂心 √ 解析　∵-= ∴=λλ∈(0，+∞)， 令+= 则是以A为起点，单位向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量， 即在∠BAC的平分线上， ∵=λλ∈(0，+∞)，∴共线， 故点P的轨迹一定通过△ABC的内心. 推论1：P是△ABC所在平面内任意一点=++)⇔G是△ABC的重心. 推论2：P是锐角△ABC所在平面内任意一点=⇔O是锐角△ABC的外心. 推论3：P是△ABC所在平面内任意一点(其中a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C所对的边长)，O是△ABC的内心⇔=. 推论4：P是△ABC(非直角三角形)所在平面内任意一点，O是△ABC(非直角三角形)的垂心⇔=. 思维升华 跟踪训练2　(1)已知A，B，C是不在同一直线上的三个点，O是平面ABC内一动点，若-=λλ∈[0，+∞)，则点P的轨迹一定过△ABC的 A.外心　　　　B.重心　　　　C.垂心　　　　D.内心 √ 解析　如图，取BC的中点D，连接AD， 则+=+=.又-=λ ∴-=λ即=λ. 又λ∈[0，+∞)， ∴点P在射线AD上. 故P的轨迹过△ABC的重心. (2)(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为平面内一点，下列说法正确的有 A.若O为△ABC的外心，且3+4+5=0，则⊥ B.若O为△ABC的内心，AB=AC=5，BC=8=m+n(m，n∈R)， 则m+n= C.若O为△ABC的重心，a+b+c=0，则A=60° D.若O为△ABC的外心，且O到a，b，c三边的距离分别为k，m，n，则 k∶m∶n=sin A∶sin B∶sin C √ √ 解析　因为O为△ABC的外心，所以||=||=||， 因为3+4+5=0，所以3+4=-5 所以(3+4)2=25所以9+16+24=25 所以=0，所以⊥A正确； 因为O为△ABC的内心，且AB=AC=5，BC=8=m+n(m，n∈R)，又S△BOC∶S△AOC∶S△AOB∶=a∶b∶c⇒a+b+c=0， 所以8+5+5=0，则8=5+5=5(-)+5(-)， 18=5+5=5+5(+)=10+5 所以=+=m+n所以m+n=B正确； 解析　因为O为△ABC的重心，所以++=0， 因为a+b+c=0，所以a∶b∶c=1∶1∶1， 即a=b=c，A≠60°，C错误； 因为S△OBC=ak=R2sin 2A=R2sin Acos A， S△OAC=bm=R2sin 2B=R2sin Bcos B， 所以===所以=同理= 故k∶m∶n=cos A∶cos B∶cos C，D错误. (3)已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λλ∈(0，+∞)，则P的轨迹一定经过△ABC的　　　.(填“重心”“外心”“内心”或“垂心”)  外心 解析　如图所示，取AB的中点D，连接CD， 则-=-= 又=+ =||-||=0， 故=λ=0， 所以⊥故P的轨迹一定经过△ABC的外心. 课时精练 对一对 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C C C B B B D 题号 9 10 11 　12 答案 BCD AD -11 　- 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 一、单项选择题 1.点P在△ABC内部，满足+2+3=0，则S△ABC∶S△APC为 A.2∶1　　　　B.3∶2　　　　C.3∶1　　　　D.5∶3 √ 解析　根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB=1∶2∶3，所以S△ABC∶ S△APC=3∶1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 2.已知O是△ABC内部一点，满足+2+m=0，且=则实数m等于 A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5 √ 解析　由奔驰定理得S△BOC·+S△AOC·+S△AOB·=0， 又+2+m=0， ∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=1∶2∶m. ∴== 解得m=4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 3.已知点G，O，H在△ABC所在平面内，满足++=0，||=||= ||==则点G，O，H依次为△ABC的 A.重心、外心、内心　　　　B.重心、内心、外心 C.重心、外心、垂心　　　　D.外心、重心、垂心 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析　因为++=0，所以+=- 设AB的中点为D，则+=2所以-=2 所以C，G，D三点共线，即G为△ABC的中线CD上的点，且GC=2GD， 所以G为△ABC的重心； 因为||=||=||，所以OA=OB=OC，所以O为△ABC的外心； 因为== 所以·(-)=0，即=0， 所以⊥同理可得⊥⊥ 所以H为△ABC的垂心. 4.已知G是△ABC的重心，若=x+yx，y∈R，则x+y等于 A.-1　　　　B.1　　　　C.　　　　D.- √ 解析　由=x+y可得=x(-)+y(-)， 即(x+y)-x+(1-y)=0. 因为G是△ABC的重心，所以x+y=-x=1-y， 解得x=-y= 则x+y=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 5.点P在△ABC内部，若sin∠BAC·+sin∠ABC·+sin∠ACB·=0，则点P是△ABC的 A.重心　　　　B.内心　　　　C.垂心　　　　D.外心 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析　过点P分别作BC，CA，AB的垂线PD，PE， PF，其垂足依次为D，E，F，如图所示， 由于sin∠BAC·+sin∠ABC·+sin∠ACB·=0， 根据奔驰定理得， S△BPC∶S△CPA∶S△APB=sin∠BAC∶sin∠ABC∶sin∠ACB=BC∶AC∶AB， 即∶∶=BC∶AC∶AB， 因此PD=PE=PF，故点P是△ABC的内心. 6.若M为△ABC的垂心，3+4+5=0，则cos∠AMB等于 A.-　　　　B.-　　　　C.　　　　D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析　如图，延长AM交BC于点D，延长BM交AC于点F， 延长CM交AB于点E. 设△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC， 由M为△ABC的垂心，3+4+5=0， 且SA·+SB·+SC·=0， 得SA∶SB∶SC=3∶4∶5， 所以SB=SA，SC=SA， 又S△ABC=SA+SB+SC，则=4，同理可得=3，所以=4=3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析　设MD=x，MF=y，则AM=3x，BM=2y， 所以cos∠BMD==cos∠AMF=即3x2=2y2= 所以cos∠BMD== 所以cos∠AMB=cos(π-∠BMD)=-cos∠BMD=-. 7.如图，已知点A，B，C，P在同一平面内=== 则S△ABC∶S△PBC等于 A.14∶3　　　　B.19∶4 C.24∶5　　　　D.29∶6 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析　由=可得-=-)， 整理可得=+=+ 由=可得=-)， 整理可得=- 所以-=+ 整理得4+6+9=0， 由奔驰定理可得S△ABC∶S△PBC=(4+6+9)∶4=19∶4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 8.已知点O在△ABC内，且++=0，则点O是△ABC的 A.重心　　　　B.垂心　　　　C.外心　　　　D.内心 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析　由数量积的定义可知，两向量的数量积是一个实数. ∵++=0， ∴-=0，-=0，-=0. 当-=0时，= 如图所示，延长OA至点D， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析　即= ∴∠DAB=∠DAC，∴∠OAB=∠OAC， ∴点O在△ABC的内角A的角平分线上. 同理，点O在△ABC的内角B的角平分线上， 点O在△ABC的内角C的角平分线上. ∴点O是△ABC的内心. 二、多项选择题 9.若O，P是锐角△ABC内的点，A，B，C是△ABC的三个内角，且满足++===则 A.S△PAB∶S△PBC∶S△PCA=4∶3∶2 B.∠A+∠BOC=π C.||∶||∶||=cos A∶cos B∶cos C D.tan A·+tan B·+tan C·=0 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析　因为++=所以++=-)，即++ =0， 又由奔驰定理S△PBC+S△PCA+S△PAB=0， 所以S△PAB∶S△PBC∶S△PCA=4∶2∶3，故A错误； 延长AO，BO，CO分别与角A，B，C的对边交于 点D，E，F，如图， 由=得·(-)==0， 所以OB⊥AC，同理OC⊥AB，OA⊥BC，所以O是△ABC的垂心， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析　在四边形AEOF中，∠AFO=∠AEO=所以∠A+∠EOF=π，∠EOF=∠BOC，所以∠A+∠BOC=π，故B正确； 由==得||||cos∠AOB=||||cos∠BOC =||||cos∠AOC， 所以||∶||∶||=cos∠BOC∶cos∠AOC∶cos∠AOB， 由选项B得cos∠BOC=-cos A， 同理，cos∠AOC=-cos B，cos∠AOB=-cos C， 所以||∶||∶||=cos A∶cos B∶cos C，故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析　由上述解析知，S△OBC=OB·OCsin∠BOC=OB·OCsin A， S△OAC=OA·OCsin∠AOC=OA·OCsin B， S△OAB=OA·OBsin∠AOB=OA·OBsin C， 所以S△OBC∶S△OAC∶S△OAB=∶∶ 又||∶||∶||=cos A∶cos B∶cos C， 得S△OBC∶S△OAC∶S△OAB=∶∶=tan A∶tan B∶tan C， 由奔驰定理S△OBC·+S△OAC·+S△OAB·=0，得tan A·+tan B·+tan C· =0，故D正确. 10.设锐角△ABC内部的一点O满足OA=OB=OC，角A，B，C是△ABC的三个内角，且++=0，则角A的大小可能为 A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析　锐角△ABC内部的一点O满足OA=OB=OC，则O为△ABC的外接圆的圆心，设外接圆的半径为R， 因为++=0， 所以+-)+-)=0， 从而+-)+-)=0， 即R2+(R2cos∠AOB-R2)+(R2cos∠AOC-R2)=0， 进而得+(cos 2C-1)+(cos 2B-1)=0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析　即+(-2sin2C)+(-2sin2B)=0， 所以=2sin Ccos B+2sin Bcos C =2sin(B+C)=2sin A， 即2sin Acos A=所以sin 2A= 因为0<A<0<2A<π， 所以2A=或所以A=或. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 三、填空题 11.(2025·南充模拟)已知点O是△ABC的重心，OA=2，OB=3，OC=3，则++=　 　.  解析　由于点O是△ABC的重心，故++=0， 故(++)2=0， 即+++2(++)=0， 故++=-++)=-×(22+32+32)=-11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 -11 12.已知P为△ABC的外心，角A，B，C是△ABC的三个内角，且+= λtan C=则实数λ的值为　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 - $