第二章 第12节 利用导数研究函数的极值、最值-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关Word教案

第12节　利用导数研究函数的极值、最值 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件． 2．能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)． 3．体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系 1.利用导数研究函数的极值，达成数学抽象和数学运算素养． 2．利用导数研究函数的最值，提升逻辑推理和数学运算素养． 3．利用导数研究生活中的优化问题，发展数学建模和数学运算素养 　　函数的极值与最值是高考的热点内容，对极值的考查主要有2个命题角度：①判断极值的情况，②已知函数求极值．考查函数最值时必定涉及函数的单调性，还会涉及到方程和不等式．题型有大题也有小题且有一定难度．另外已知函数的极值(最值)情况求参数的取值范围也是考查的热点内容，涉及函数的单调性时，往往需要进行分类讨论，这类题综合性强，难度较大 　　　　　　　　对应学生用书P52 [必备知识] 1．函数极值的概念 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是 极大值 ． (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是 极小值 ． 2．求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)求导函数f′(x)． (2)求方程f′(x)＝0的根． (3)列表，检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右两侧的函数值的符号，如果 左正右负 ，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极大值；如果 左负右正 ，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极小值；如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点． (4)得极值，由表得极大值与极小值． 3．求函数f(x)在[a，b]上最值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的 极值 ． (2)将函数y＝f(x)的 各极值 与端点处的 函数值f(a)，f(b) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数f(x)在[a，b]上的最值． 4．利用导数求解实际问题中的优化问题 生活中求利润最大、用料最省、效率最高等问题称之为优化问题．导数是解决生活中优化问题的有力工具，用导数解决优化问题的基本思路是：优化问题→用函数表示的数学问题→用导数解决数学问题→优化问题的答案． 利用导数解决实际应用问题一般有如下几类： (1)给出了具体的函数关系式，只需研究这个函数的性质即可． (2)函数关系式中含有比例系数，根据已知数据求出比例系数得到函数关系式，再研究函数的性质． (3)没有给出函数关系，需要先建立函数关系，再研究函数的性质． 1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 2．若函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． 3．若函数f(x)在闭区间[a，b]内是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值． 4．若函数f(x)在开区间(a，b)上的图象连续不断，且有唯一的极值点，则这个极值点就是函数的最值点． [自主诊断] [思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的．(　　 ) (2)函数的极大值不一定比极小值大．(　　 ) (3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(　　 ) (4)函数的极大值一定是函数的最大值．(　　 ) (5)开区间上的单调连续函数无极值和最值．(　　 ) (6)函数f(x)＝在区间[－1,1]上有最值．(　　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√　(6)× [小题查验] 1．函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是(　　 ) A．x＝1　　　　　　 B．x＝－1 C．x＝1或－1或0 D．x＝0 解析：C　[∵f(x)＝x4－2x2＋3， ∵由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0，得 x＝0或x＝1或x＝－1. 又当x＜－1时，f′(x)＜0，当－1＜x＜0时，f′(x)＞0，当0＜x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0， ∴x＝0,1，－1都是f(x)的极值点．] 2．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为(　　 ) A．1，－3 B．1,3 C．－1,3 D．－1，－3 解析：A　[∵f′(x)＝3ax2＋b， ∴f′(1)＝3a＋b＝0.① 又当x＝1时有极值－2，∴a＋b＝－2.② 联立①②解得经检验符合题意．] 3．(多选题)(2025·曲师大附中模拟)定义：设f′(x)是f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导函数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋(ab≠0)图象的对称中心为(1,1)，则下列说法中正确的有(　　) A．a＝，b＝－1 B．函数f(x)既有极大值又有极小值 C．函数f(x)有三个零点 D．y＝f(x)在区间(1,2)上单调递减 解析：ABD　[f(x)＝ax3＋bx2＋(ab≠0)，f′(x)＝3ax2＋2bx，f″(x)＝6ax＋2b，令f″(x)＝6ax＋2b＝0，得x＝－，已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋(ab≠0)图象的对称中心为(1,1)． ∴，解得a＝，b＝－1，A正确； 所以f(x)＝x3－x2＋，由f′(x)＝x2－2x＝0，得x＝0或x＝2，且当x＜0或x＞2时， f′(x)＞0；当0＜x＜2时，f′(x)＜0， ∴f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增， 在(0,2)上单调递减，D正确； ∴函数f(x)既有极大值f(0)＝， 又有极小值f(2)＝，B正确； ∵极小值f(2)＝＞0，∴函数f(x)不可能有三个零点，C错误．] 4．(2025·全国二卷)若x＝2是函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a)的极值点，则f(0)＝________. 解析：因为f(x)＝(x2－3x＋2)(x－a)(x∈R)， 所以f′(x)＝(2x－3)(x－a)＋(x2－3x＋2) 由f′(2)＝0得：2－a＝0，所以a＝2， 所以f(x)＝(x－1)(x－2)2且f′(x)＝2(x－1)(x－2)＋(x－2)2＝(x－2)(3x－4) 当x变化时，f′(x)，f(x)变化如下表 x 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 即a＝2时，x＝2是f(x)的极值点 所以f(0)＝－4 答案：－4 5．从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为____________ cm3. 解析：设盒子容积为y cm3，盒子的高为x cm. 则y＝(10－2x)(16－2x)x ＝4x3－52x2＋160x(0<x<5)， ∴y′＝12x2－104x＋160. 令y′＝0，得x＝2或x＝(舍去)， ∴ymax＝6×12×2＝144(cm3)． 答案： 144 　　　　　　对应学生用书P53 考点一　利用导数研究函数的极值(多维探究) [命题角度1]　由函数图象判断其极值情况　 1．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　 ) A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 解析：D　[由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．] [命题角度2]　利用导数求函数的极值　 2．(2025·济南二模)已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝(e－2)x＋3－e. (1)求实数a，b的值； (2)求f(x)的单调区间和极值． 解：(1)f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2ax＝xex－2ax， 由题意知，f′(1)＝e－2a＝e－2，所以a＝1， 又因为f(1)＝－1＋b＝(e－2)×1＋3－e＝1， 所以b＝2. (2)由(1)知，f′(x)＝xex－2x＝x(ex－2)， 当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0；当x∈(0，ln 2)时， f′(x)＜0； 当x∈(ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0. 所以f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(ln 2，＋∞)，单调递减区间为(0，ln 2)； 当x＝0时，f(x)取得极大值f(0)＝1； 当x＝ln 2时，f(x)取得极小值f(ln 2)＝2ln 2－(ln 2)2. 运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的步骤 (1)先求函数的定义域，再求函数y＝f(x)的导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．如果左右符号相同，则此根处不是极值点． 易错警示：若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值． [命题角度3]　已知极值求参数的取值　 3．已知函数f(x)＝x(ln x－ax)在(0，＋∞)上有两个极植，则实数a的取值范围为_____． 解析：f′(x)＝ln x＋1－2ax， 由题意知ln x＋1－2ax＝0在(0，＋∞)上有两个不相等的实根，则2a＝， 设g(x)＝，则g′(x)＝－. 当0＜x＜1时，g′(x)＞0，g(x)单调递增； 当x＞1时，g′(x)＜0，g(x)单调递减， 所以g(x)的极大值为g(1)＝1， 又当x＞1时，g(x)＞0， 当x→＋∞时，g(x)→0， 当x→0时，g(x)→－∞， 所以0＜2a＜1，即0＜a＜. 答案： 4．(2025·苏州模拟)已知x＝x1和x＝x2分别是函数f(x)＝2ax－ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点．若x1<x2，则a的取值范围是____________． 解析：f′(x)＝2(axln a－ex)至少要有两个零点x＝x1和x＝x2， f″(x)＝2ax(ln a)2－2e. (1)若a＞1，则f″(x)在R上单调递增，此时若f″(x0)＝0，则f′(x)在(－∞，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，此时若有x＝x1和x＝x2分别是函数f(x)＝2ax－ex2(a＞0且a≠1)的极小值点和极大值点， 则x1＞x2，不符合题意． (2)若0＜a＜1，则f″(x)在R上单调递减，此时若 f″(x0)＝0，则f′(x)在(－∞，x0)上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减，且x0＝loga.此时若有x＝x1和x＝x2分别是函数f(x)＝2ax－ex2(a＞0且a≠1)的极小值点和极大值点，且x1＜x2，则需满足f′(x0)＞0，即＞eloga⇒＜⇒＜ln ⇒ln a＜1－ln(ln a)2，可解得＜a＜e，由于0＜a＜1，取交集即得＜a＜1. 答案： 已知函数极值点或极值求参数的两个要领 1．列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． 2．验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性． 考点二　利用导数研究函数的最值(师生共研) 数学运算——利用导数法求最值中的数学素养 利用导数法求解函数最值应该注意两个方面的问题：一是函数的定义域，函数与其导函数的定义域可能不一致；二是确定函数在某个区间上的最值时，注意极值与最值的区别． [典例]　已知函数f(x)＝－ln x. (1)求f(x)的单调区间； (2)求函数f(x)在上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数)． [解]　(1)f(x)＝－ln x＝1－－ln x， f(x)的定义域为(0，＋∞)． 所以f′(x)＝－＝， 由f′(x)>0，得0<x<1，由f′(x)<0，得x>1， 所以f(x)＝1－－ln x的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (2)由(1)得f (x)在上单调递增，在[1，e]上单调递减， 所以f(x)在上的最大值为f(1)＝1－1－ln 1＝0. 又f＝1－e－ln＝2－e，f(e)＝1－－ln e＝－，且f <f(e)． 所以f (x)在上的最小值为f＝2－e. 综上所述，f(x)在上的最大值为0，最小值为2－e. 求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，首先可判断函数在[a，b]上的单调性，若函数在[a，b]上单调递增或单调递减，则f(a)，f(b)一个为最大值，一个为最小值．若函数在[a，b]上不单调，一般先求[a，b]上f(x)的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的即为最大值，最小的即为最小值． 易错警示：求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小． [跟踪训练] 已知函数f(x)＝1＋k(k≠0)． (1)若f(x)存在最大值M，证明：M＋k＞1； (2)在(1)的条件下，设函数g(x)＝xex＋－x，求g(x)的最小值(用含M，k的代数式表示)． 解：(1)f′(x)＝k ＝， 设φ(x)＝x＋ln x，易知φ(x)单调递增， 又因为φ＝－1＜0，φ(1)＝1＞0， 所以存在x0∈，使得φ(x0)＝0. ①当k＞0时，列表可知，f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增， 所以f(x)无最大值，即k＞0不符合题意； ②当k＜0时，列表可知，f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减， 所以f(x)max＝f(x0)＝1＋k， 因为x0＋ln x0＝0，所以ln x0＝－x0， 所以f(x0)＝1－k＞1－k， 所以f(x)max＋k＞1，即M＋k＞1. (2)由(1)可知k＜0，且M＋k＞1，所以＜－1， g′(x)＝(x＋1) ，g″(x)＝(x＋2) ，令g″(x)＝0，解得x＝－2， 所以g′(x)在(－∞，－2)上单调递减， 在(－2，＋∞)上单调递增． 当x≤－1时，g′(x)＜0，又g′(0)＝－1＜0， g′＝＞1， 所以存在x1∈，使得g′(x1)＝0， 可知g(x)min＝g(x1)＝－x1， 因为g′(x1)＝0，所以x1＋1＝，所以ln(x1＋1)＋x1＝， 由(1)可知，ln x0＝－x0，即＝， 则＝＋x0＝＋x0－1， 所以ln(x1＋1)＋x1＝＋x0－1. 设λ(x)＝ln(x＋1)＋x，易知λ(x)单调递增， 且λ(x1)＝λ(－1)， 所以x1＝－1， 所以g(x)min＝－x1＝＋1－＝2－x0－＝1＋， 即g(x)的最小值为1＋. 考点三　利用导数研究生活中的优化问题(课堂共研) [典例]　某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)． (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大． [解]　(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意得200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．由h＞0，且r＞0可得0＜r＜5，故函数V(r)的定义域为(0,5)． (2)因为V(r)＝(300r－4r3)，所以V′(r)＝(300－12r2)．令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去)． 当r∈(0,5)时，V′(r)＞0，故V(r)在(0,5)上单调递增； 当r∈(5,5)时，V′(r)＜0，故V(r)在(5,5)上单调递减． 由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大． 利用导数解决实际生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式y＝f(x)． (2)求导数f′(x)，解方程f′(x)＝0. (3)判断使f′(x)＝0的点是极大值点还是极小值点． (4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中作答．一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点． [跟踪训练] (2025·绵阳市模拟)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a的值； (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大． 解：(1)因为x＝5时，y＝11， 所以＋10＝11，即a＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y＝＋10(x－6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)＝(x－3) ＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6. 从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)(x－6)．令f′(x)＝0，得x＝4或x＝6. 于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (3,4) 4 (4,6) f′(x) ＋ 0 － f(x) 单调递增 极大值42 单调递减 由上表可得，x＝4时，函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.所以，当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大. 学科网（北京）股份有限公司 $