第二章 第10节 导数的概念与计算-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关Word教案

第10节　导数的概念与计算 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.通过实例分析，经历由平均变化率过度到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想，体会极限思想． 2．通过函数图象直观理解导数的几何意义． 3．能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数． 4．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数 1.导数的概念，发展逻辑推理和数学运算素养． 2．导数的计算，提升逻辑推理和数学运算素养． 3．导数的几何意义及应用，提升逻辑推理和数学运算素养 　　导数的运算、导数的几何意义是高考命题的热点，导数的运算一般不单独命题，常融合在与导数有关的其他题目中；而导数的几何意义是一个高频考点，常与函数、解析几何放在一起综合考查，有时还作为解答题的一部分呈现． 本节内容主要以选择题、填空题或解答题中第一问的形式出现，属于中低档题 　　　　　　　　对应学生用书P46 [必备知识] 1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或， 即f′(x0)＝ ＝　　. (2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的　切线的斜率　.相应地，切线方程为　y－y0＝f′(x0)(x－x0)　. 2．函数y＝f(x)的导函数 如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数．记作f′(x)或y′. 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝　0　 f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝　αxα－1　 f(x)＝sin x f′(x)＝　cos x　 f(x)＝cos x f′(x)＝　－sin x　 f(x)＝ex f′(x)＝　ex　 f(x)＝ax(a＞0) f′(x)＝　axln a　 f(x)＝ln x f′(x)＝　　 f(x)＝logax (a＞0，a≠1) f′(x)＝　　 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝　f′(x)±g′(x)　； (2)[f(x)·g(x)]′＝　f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　； (3)′＝(g(x)≠0)． 5．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与　u对x　的导数的乘积． 1．f′(x0)与x0的值有关，不同的x0，其导数值一般也不同． 2．f′(x0)不一定为0，但[f(x0)]′一定为0. 3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 4．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． [自主诊断] [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1) y′＝f′(x)在点x＝x0处的函数值就是函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值．(　　 ) (2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．(　　 ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　 ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　 ) (5)若f(x)＝f′(a)x2＋ln x(a>0)，则f′(x)＝2xf′(a)＋.(　　 ) 答案：(1) √　(2)×　(3)√　(4)×　(5) √ [小题查验] 1．函数y＝xcos x－sin x的导数为(　　 ) A．xsin x　　　　　　 B．－xsin x C．xcos x D．－xcos x 解析：B　[y′＝(xcos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x．] 2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是(　　 ) 解析：D　[当x<0时，曲线的切线斜率大于0且越来越大，当x>0时，曲线的切线斜率小于0且越来越大，D符合题意．] 3．函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　　) A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1 C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1 解析：B　[先求函数的导函数f′(x)＝4x3－6x2，则由导数的几何意义知在点(1，f(1))处的切线的斜率为k＝f′(1)＝－2，又因为f(1)＝－1，由直线方程的点斜式得切线方程为y－(－1)＝－2(x－1)，化简得y＝－2x＋1.] 4．(2025·烟台二模)曲线y＝在点处的切线方程为(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝x＋ D．y＝x＋ 解析：C　[设曲线y＝在点处的切线方程为y－＝k(x－1)， 因为y＝， 所以y′＝＝， 所以k＝y′|x＝1＝， 所以切线方程为y－＝(x－1)， 所以曲线y＝在点处的切线方程为y＝x＋.] 5．(2025·全国一卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切线，则a＝________. 解析：由2x＋5＝ex＋x＋a得ex＝x＋5－a，故可知y＝x＋5－a与y＝ex相切，y＝ex的导数y′＝ex，所以切点横坐标为0，所以5－a＝1，故a＝4. 答案：4 　　　　　　对应学生用书P47 考点一　导数的概念(自主练透) [题组集训] 1．设f(x)是可导函数，且满足 ＝－1，则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为　________　. 解析：令2x＝Δx，由x→0，得Δx→0， 则有 ＝－1，即f′(1)＝－1， 由导数的几何意义知，y＝f(x)在(1，f(1))处切线斜率为－1. 答案：－1 2．用导数的定义求函数y＝在x＝1处的导数． 解：设f(x)＝， 则Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－1＝ ＝ ＝， ＝－， 根据导数的定义，求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的步骤 (1)求函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率＝； (3)计算导数 考点二　导数的计算(自主练透) [题组集训] 求下列函数的导数． (1)y＝x2sin x； (2)y＝ln x＋； (3)y＝； (4)y＝xsincos； (5)y＝ln(2x－5)． 解：(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′ ＝2xsin x＋x2cos x. (2)y′＝′＝(ln x)′＋′＝－. (3)y′＝′＝ ＝－. (4)∵y＝xsincos ＝xsin(4x＋π)＝－xsin 4x， ∴y′＝－sin 4x－x·4cos 4x ＝－sin 4x－2xcos 4x. (5)令u＝2x－5，y＝ln u，则y′＝(ln u)′u′＝·2＝，即y′＝. 函数求导的遵循原则 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错． (2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等式等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量． (3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导． 考点三　导数的几何意义及应用(多维探究) [命题角度1]　求切线方程　 数学运算——求切线方程的“在”“过”两重天 求曲线的切线问题时，要明确所运算的对象(切线)涉及的点是“在”还是“过”，然后利用求切线方程的方法进行求解． (1)“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标得到斜率． (2)“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是切点，故应先设切点，求切点坐标． 1．(2024·全国甲卷(理))设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A.　　 B．　　　 C.　　 D． 解析：A　[∵f(x)＝， ∴f′(x)＝ ＝， 则f′(0)＝3， ∴y＝f(x)在点(0,1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0， 令x＝0，得y＝1， 令y＝0，得x＝－， ∴y＝f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为S＝××1＝.] 2．(2025·广州质检)曲线f(x)＝xln(2x－1)＋在点(1，f(1))处的切线方程为________． 解析：因为f(x)＝xln(2x－1)＋，则f(1)＝1×ln 1＋＝， 所以切点为，且f′(x)＝ln(2x－1)＋－， 则k＝f′(1)＝ln 1＋－＝， 由直线的点斜式可得y－＝(x－1)，化简可得7x－4y－5＝0， 所以切线方程为7x－4y－5＝0. 答案：7x－4y－5＝0 已知切点A(x0，f(x0))，求切线方程的步骤：(1)求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)；(2)求切线方程，即点斜式对应的直线方程：y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为____________． 解析：设切点为(x0，y0)，y＝ln x＋x＋1求导得y′＝＋1，依题有＋1＝2，得x0＝1， 所以y0＝ln 1＋1＋1＝2，切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0. 答案：2x－y＝0 [命题角度2]　求切点坐标　 4．若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝______. 解析：y＝ln x＋2的切线为y＝·x＋ln x1＋1(设切点横坐标为x1)．y＝ln(x＋1)的切线为y＝x＋ln(x2＋1)－(设切点横坐标为x2)． ∴ 解得∴b＝ln x1＋1＝1－ln 2. 答案：1－ln 2 [命题角度3]　求参数的值　 5．(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0,1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝________. 解析：由题意知y′＝(ex＋x)′＝ex＋1，当x＝0时，切线斜率k＝2， 则切线方程为y＝2x＋1，y′＝[ln(x＋1)＋a]′ ＝＝2，得x＝－，y＝2×＋1＝0， y＝ln(x＋1)＋a的切点， 即0＝ln＋a，故a＝ln 2. 答案：ln 2 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A(x0，f(x0))，求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)； (2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k； (3)已知过某点M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0))，利用k＝求解. 学科网（北京）股份有限公司 $