第二章 第9节 函数模型及应用-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关Word教案

第9节　函数模型及应用 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律． 2．结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义 1.用函数图象刻画实际问题中两变量的变化过程，达成直观想象素养． 2．应用所给函数模型解决实际问题，发展数学建模和数学运算素养． 3．构建函数模型解决实际问题，提升数学建模和数学运算素养 　　函数模型的实际应用主要考查利用函数图象刻画实际问题，以选择题的形式出现；以解答题出现的是构建函数模型解决实际问题，综合考查导数、二次函数的图象与性质、基本不等式等，多是解决实际问题中的最值问题，考查建模能力及分析问题和解决问题的能力 　　　　　　　　对应学生用书P42 [必备知识] 1．常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 2.指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质 　　函数 性质　　 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞)上 的增减性 　单调递增　 　单调递增　 　单调递增　 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与　y轴　平行 随x的增大逐渐表现为与　x轴　平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 3.解决应用问题的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系，恰当选择模型； (2)建模：将文字语言、图形(或数表)等转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型，将实际问题化为数学问题； (3)求解：求解数学问题，得出数学结论； (4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的答案． 　形如f(x)＝x＋(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型： (1)该函数在(－∞，－)和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减． (2)当x＞0时，x＝时取最小值2，当x＜0时，x＝－时取最大值－2. [自主诊断] [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝2x的函数值在(0，＋∞)上一定比y＝x2的函数值大．(　　 ) (2)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．(　　 ) (3)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(　　 ) (4)幂函数增长比直线增长更快．(　　 ) (5)指数函数模型一般用于解决变化较快、短时间内变化量较大的实际问题．(　　 ) 答案：(1)×　(2) √　(3)×　(4)×　(5)√ [小题查验] 1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(　　 ) 解析：C　[距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快．] 2．下列函数中随x的增大，增长率最终最大的是(　　 ) A．y＝1 000x　　　　　　 B．y＝x2 C．y＝ln x D．y＝(1.01)x 解析：D　[当x充分大时，指数函数y＝ax(a＞1)增长最快，因此选D.] 3．某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到(　　 ) A．200只 B．300只 C．400只 D．500只 解析：A　[由已知得100＝alog3(2＋1)，得a＝100， 则当x＝8时，y＝100log3(8＋1)＝200(只)．] 4．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元． 解析：由已知得L(Q)＝K(Q)－10Q－2 000 ＝－10Q－2 000 ＝－ (Q－300)2＋2 500， 所以当Q＝300时，L(Q)max＝2 500(万元)． 答案：2 500 5．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为____________(m)． 解析：设矩形花园的宽为y m，则＝，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20 m时，面积最大． 答案：20 6．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且已知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝____________，经过5小时，1个病毒能繁殖为____________个． 解析：当t＝0.5时，y＝2，所以2＝，所以k＝2ln 2，则y＝e2tln 2，当t＝5时 ， y＝e10ln 2＝210＝1 024. 答案：2ln 2　1 024 　　　　　　对应学生用书P43 考点一　用函数图象刻画实际问题中两变量的变化过程(自主练透) [题组集训] 1．(多选题)某城市为了了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2022年1月至2024年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图 根据该折线图，下列结论正确的是(　　) A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 解析：BCD　[由折线图知，7月份后月接待游客量减少，A错误；B、C、D正确．] 2．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是(　　 ) A．消耗1 L汽油，乙车最多可行驶5 km B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80 km/h的速度行驶1 h，消耗10 L汽油 D．某城市机动车最高限速80 km/h，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 解析：D　[对于A选项：由题图可知，当乙车速度大于40 km/h时，乙车每消耗1 L汽油，行驶里程都超过5 km，则A错误；对于B选项：由题意可知，以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高，耗油越少，故三辆车中甲车耗油最少，则B错误；对于C选项：甲车以80 km/h的速度行驶时，燃油效率为10 km/L，则行驶1 h，消耗了汽油80×1÷10＝8(L)，则C错误；对于选项D：速度在80 km/h以下时，丙车比乙车燃油效率更高，所以更省油，故D对．] 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案． 考点二　应用所给函数模型解决实际问题(课堂共研) [典例]　某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线． (1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)； (2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间． [破题关键点]　由所给函数图象可知，当0≤t≤1时，含药量y(微克)与时间t(小时)之间是正比例函数的关系；当t>1时，含药量y(微克)与时间t(小时)之间是指数函数的关系． [解析]　(1)由题图，设y＝ 当t＝1时，由y＝4，得k＝4， 由1－a＝4，得a＝3.所以y＝ (2)由y≥0.25，得或 解得≤t≤5.因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－＝(小时)． 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题． 易错警示：解决实际问题时要注意自变量的取值范围． [跟踪训练] (2025·湖南省名校大联考)某电影中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪．”讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2023年，公安部交通管理局对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后 或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如图，且图中所示的函数模型f(x)＝.假设该人喝一瓶啤酒后至少经过n(n∈N*)小时才可以驾车，则n的值为(参考数据：ln 15≈2.71，ln 30≈3.40) 车辆驾驶人员血液酒精含量阈值 驾驶行为类别 阈值/(mg/100 mL) 饮酒后驾车 [20,80) 醉酒后驾车 [80，＋∞) A.5　　 B．6　　　 C．7　　 D．8 解析：B　[由题意可知，当酒精含量低于20 mg/100 mL时才可以驾车，即当x≥2时，f(x)＝90·e－0.5x＋14＜20，整理得e－0.5x＜，－0.5x＜ln，解得x＞≈5.42，所以至少经过6小时才可以驾车．] 考点三　构建函数模型解决实际问题(多维探究) 数学建模——函数建模在实际问题中的妙用 解函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式(注意定义域)，并进行相关求解，最后结合实际意义作答． ―→―→―→ [命题角度1]　构建二次函数模型　 1．某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)． (1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产． (ⅰ)若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？ (ⅱ)问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？ 解：(1)设A，B两种产品分别投资x万元，x万元，x≥0，所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元． 由题意可设f(x)＝k1x，g(x)＝k2. 根据图象可解得f(x)＝0.25x(x≥0)． g(x)＝2(x≥0)． (2)(ⅰ)由(1)得f(9)＝2.25，g(9)＝2＝6. 所以总利润y＝8.25 万元． (ⅱ)设B产品投入x万元，A产品投入(18－x)万元，该企业可获总利润为y万元． 则y＝(18－x)＋2，0≤x≤18. 令＝t，t∈[0,3]， 则y＝(－t2＋8t＋18)＝－(t－4)2＋. 所以当t＝4时，ymax＝＝8.5， 此时x＝16,18－x＝2. 所以当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元． 二次函数是常用的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值．解决实际中的优化问题时，一定要分析自变量的取值范围．利用配方法求最值时，一定要注意对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值都在区间的端点处取得． [命题角度2]　构建指数函数模型　 2．已知某物体的温度v(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律是v＝m·2t＋21－t(t≥0，并且m>0)． (1)如果m＝2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围． 解：(1)若m＝2，则v＝2·2t＋21－t＝2， 当v＝5时，2t＋＝， 令2t＝x(x≥1)，则x＋＝， 即2x2－5x＋2＝0， 解得x＝2或x＝(舍去)，此时t＝1. 所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度． (2)物体的温度总不低于2摄氏度，即v≥2恒成立， 亦m·2t＋≥2恒成立，亦即m≥2恒成立． 令＝y，则0<y≤1，∴m≥2(y－y2)恒成立， 由于y－y2≤，∴m≥. 因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m的取值范围是. 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解． [命题角度3]　构建分段函数模型　 3．已知华为公司生产某款华为手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设华为公司一年内共生产该款华为手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝ (1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式； (2)当年产量为多少万只时，华为公司在该款华为手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 数学建模——在分段函数中应用的核心素养 信息提取 信息解读 数学建模 年固定成本为40万美元 固定成本，与产量、销量无关 模型1：求利润最大模型 着眼点：利润＝销售收入－成本．成本包含固定成本、变动成本等所有题干涉及的成本 模型2：分段函数模型 着眼点：分段函数的最值是其每个区间段上的最值中的最大者或最小者，应分别求解后进行比较． 注意：实际问题中，x的取值不仅要使函数有意义，也要有实际意义 每生产1万只还需另投入16万美元 变动成本，与产量正相关，每生产x万只手机增加成本16x万美元 每万只的销售收入为R(x)万美元 年利润＝年销售总收入－固定成本－变动成本，则W＝xR(x)－(16x＋40) 注意： R(x)为每万只的销售收入，年销售总收入应该为xR(x)，x为年产量(万只) 年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式 所获得的利润最大时的年产量 R(x)是分段函数，那么W(x)也是分段函数，需要分别求出每段上的最值，比较后取其大者 解：(1)第一步　分别列出0＜x≤40和x＞40时对应的利润W.当0＜x≤40时，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－6x2＋384x－40，当x＞40时，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－－16x＋7 360. 第二步　列出利润W的分段函数 所以，W＝ (2)第三步　计算0＜x≤40时的利润W的最大值 ①当0＜x≤40时，W＝－6(x－32)2＋6 104. 所以Wmax＝W(32)＝6 104； 第四步 计算x＞40时的利润W的最大值 ②当x＞40时，W＝－－16x＋7 360， 由于＋16x≥2＝1 600， 当且仅当＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，取等号，所以W取最大值为5 760. 第五步　得出本题的利润W的最大值 综合①②，当x＝32时，W取得最大值，最大值为6 104万元． 1．本题的难点是函数模型是一个分段函数，由于自变量在不同范围内，对应的函数解析式不同，因此，此类问题最值的求解是必须先求出函数在每个区间内的最值，然后将这些区间内的最值进行比较确定最值． 2．解函数应用题的一般程序 第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； 第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：解模——求解数学模型，得到数学结论； 第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义； 第五步：反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性． [跟踪训练] 为加快落实新旧动能转换，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝ 且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿． (1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？ (2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 解：(1)当x∈[200,300]时，设该项目获利为S， 则S＝200x－ ＝－x2＋400x－80 000＝－(x－400)2， 所以当x∈[200,300]时，S<0，因此该单位不会获利． 当x＝300时，S取得最大值－5 000， 所以国家每月至少补贴5 000元才能使该项目不亏损． (2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为 ＝ ①当x∈[120,144)时，＝x2－80x＋5 040 ＝(x－120)2＋240， 所以当x＝120时，取得最小值240. ②当x∈[144,500]时， ＝x＋－200≥2－200＝200， 当且仅当x＝，即x＝400时，取得最小值200. 因为200<240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低． 学科网（北京）股份有限公司 $