第二章 第5节 对数与对数函数-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关Word教案

第5节　对数与对数函数 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 2．通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点． 3．知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1) 1.对数的基本运算，发展数学运算素养． 2．对数函数的图象及应用，提升直观想象和数学运算素养． 3．对数函数的性质及应用，提升逻辑推理和数学运算素养 　　对数及对数的运算性质，以对数函数为载体的对数型函数的图象和性质，考查函数值的大小比较及单调性的应用，尤其是有关对数函数的复合函数是高考热点．主要以选择题、填空题形式出现，属于中低档题 　　　　　　　　对应学生用书P30 [必备知识] 1．对数的概念 (1)对数的定义：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作 x＝logaN ，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． (2)两种常见对数 对数形式 特点 记法 常用对数 底数为 10 lg N 自然对数 底数为 e ln N 2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①loga1＝ 0 ；②logaa＝ 1 ；③＝ N ；④logaab＝ b (a>0，且a≠1)． (2)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝ logaM＋logaN ； ②loga＝ logaM－logaN ； ③logaMn＝ nlogaM (n∈R)； ④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：　logbN＝　(a，b均大于零且不等于1)； ②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝ logad . 3．对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． (2)对数函数的图象与性质 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：　(0，＋∞)　 值域：　R　 当x＝1时，y＝0，即过定点　(1,0)　 当x>1时，　y>0　； 当0<x<1时，　y<0　 当x>1时，　y<0　； 当0<x<1时，　y>0　 在(0，＋∞)上是　增函数　 在(0，＋∞)上是　减函数　 4.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数　y＝logax　(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线　y＝x　对称． 　对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数． 故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． [自主诊断] [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(　　 ) (2)log2x2＝2log2x.(　　 ) (3)当x>1时，logax>0.(　　 ) (4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图象只在第一、四象限．(　　 ) (5)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ [小题查验] 1．(log29)·(log34)＝(　　) A.　　 B．　　　 C．2　　 D．4 解析：D　[法一：原式＝·＝＝4. 法二：原式＝2log23·＝2×2＝4.] 2．(2025·柳州模拟)设a＝50.3，b＝log0.30.5，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a 解析：D　[由a＝50.3＞1＞b＝log0.30.5＞0＞c＝log30.4，∴c＜b＜a.] 3．(2024·全国甲卷(理))已知a＞1且－＝－，则a＝____________. 解析：因为－＝－log2a＝－，所以(log2a＋1)(log2a－6)＝0，而a＞1，故log2a＝6，解得a＝64. 答案：64 4．(多选题)(2025·山东实验中学押题卷)已知函数f(x)＝ln(e2x＋1)－x，则(　　) A．f(ln 2)＝ln B．f(x)是奇函数 C．f(x)在(0，＋∞)上单调递增 D．f(x)的最小值为ln 2 解析：ACD　[f(ln 2)＝ln(e2ln 2＋1)－ln 2＝ln，A正确；f(x)＝ln(e2x＋1)－x＝ln(e2x＋1)－ln ex＝ln＝ln(ex＋e－x)，所以f(－x)＝ln(ex＋e－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，B错误；当x＞0时，y＝ex＋e－x在(0，＋∞)上单调递增，因此y＝ln(ex＋e－x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x)为偶函数，所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)的最小值为f(0)＝ln 2，D正确．] 5．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f＝0，则不等式f>0的解集为____________． 解析：∵f(x)是R上的偶函数， ∴它的图象关于y轴对称． ∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数， ∴f(x)在(－∞，0]上为减函数， 由f＝0，得f＝0. ⇒x>2或0<x<，∴x∈∪(2，＋∞)． 答案：∪(2，＋∞) 　　　　　　对应学生用书P31 考点一　对数的基本运算(自主练透) [题组集训] 1．已知函数f(x)＝log2(x2＋a)，若f(3)＝1，则a＝____________. 解析：根据题意有f(3)＝log2(9＋a)＝1，可得9＋a＝2，所以a＝－7. 答案：－7 2. ＝____________. 解析：原式＝ ＝＝－. 答案：－ 3．若log147＝a,14b＝5，则用a，b表示log3528＝____________. 解析：∵14b＝5，∴log145＝b，又log147＝a， ∴log3528＝＝＝. 答案： 对数运算的一般思路 (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并． (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后运用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 考点二　对数函数的图象及应用(子母变式) 直观想象——数形结合法在对数函数问题中的应用 对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合求解．一些对数型函数、方程、不等式问题的求解，常转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解． [母题]　当0<x≤时，4x<logax，则a的取值范围是(　　) A.　　　　　　　　 B． C．(1，) D．(，2) [破题关键点]　方法一：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，利用这两个函数图象的上下位置关系，求出a的取值范围；方法二：采用排除法． [解析]　B　[法一：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a>1时不满足条件，当0<a<1时，画出两个函数在上的图象，可知，f<g，即2<loga，则a>， 所以a的取值范围为. 法二：∵0<x≤，∴1<4x≤2，∴logax>4x>1， ∴0<a<1，排除选项C，D；取a＝，x＝， 则有，显然4x<logax不成立，排除选项A.] [子题1]　将母题变为：若不等式x2－logax<0对x∈恒成立，则实数a的取值范围是____________． 解析：由x2－logax<0，得x2<logax， 设f1(x)＝x2，f2(x)＝logax， 要使x∈时，不等式x2<logax恒成立， 只需f1(x)＝x2在上的图象在f2(x)＝logax图象的下方即可．当a>1时，显然不成立； 当0<a<1时，如图所示，要使x2<logax在x∈上恒成立，需f1≤f2， 所以有2≤loga，解得a≥，∴≤a<1. 即实数a的取值范围是. 答案： [子题2]　将母题变为：当0<x≤时，<logax，则实数a的取值范围是____________． 解析：若<logax在x∈成立，则0<a<1，且y＝的图象在y＝logax图象的下方，如图所示， 由图象知<loga， 即实数a的取值范围是. 答案： [子题3]　将母题变为：已知函数f(x)＝，且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是___________． 解析：如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距，由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点． 答案：a>1 应用对数型函数的图象可求解的问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 考点三　对数函数的性质及应用(师生共研) [命题角度1]　比较对数值的大小　 1．若a>b>0,0<c<1，则(　　 ) A．logac<logbc　　　　　 B．logca<logcb C．ac<bc D．ca>cb 解析：B　[∵0<c<1，∴当a>b>1时，logac>logbc，A项错误；∵0<c<1，∴y＝logcx在(0，＋∞)上单调递减，又a>b>0，∴logca<logcb，B项正确； ∵0<c<1，∴函数y＝xc在(0，＋∞)上单调递增， 又∵a>b>0，∴ac>bc，C项错误； ∵0<c<1，∴y＝cx在(0，＋∞)上单调递减， 又∵a>b>0，∴ca<cb，D项错误．] [命题角度2]　解简单的对数不等式　 2．已知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，如果对于任意的x∈都有|f(x)|≤1成立，则a的取值范围为____________． 解析：∵f(x)＝logax， 则y＝|f(x)|的图象如图所示． 由图知，要使x∈时恒有|f(x)|≤1，只需≤1， 即－1≤loga≤1，即logaa－1≤loga≤logaa. 当a>1时，得a－1≤≤a，即a≥3； 当0<a<1时，得a－1≥≥a，得0<a≤. 综上所述，a的取值范围是∪[3，＋∞)． 答案：∪[3，＋∞) [命题角度3]　与对数有关的复合函数问题　 3．已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围是(　　) A．[－1，＋∞) B． C. D．(－∞，－1] 解析：B　[在上是增函数，说明内层函数μ(x)＝x2－ax－a在上是减函数且μ(x)＞0成立，只需对称轴x＝≥－且μ(x)min＝μ＞0，解得a∈.] [命题角度4]　利用对数函数的性质求参数　 4．若函数f(x)＝(a>0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是__________． 解析：当x≤2时，f(x)＝－x＋6，f(x)在(－∞，2]上为减函数，∴f(x)∈[4，＋∞)；当x>2时，若a∈(0,1)，则f(x)＝3＋logax在(2，＋∞)上为减函数，f(x)∈(－∞，3＋loga2)，显然不满足题意，∴a>1，此时f(x)在(2，＋∞)上为增函数，f(x)∈(3＋loga2，＋∞)，由题意可知(3＋loga2，＋∞)⊆[4，＋∞)，则3＋loga2≥4，即loga2≥1， ∴1<a≤2.即实数a的取值范围是(1,2]． 答案：(1,2] 对数函数性质及应用中应注意的问题 (1)比较对数值大小时，若底数相同，构造相应的对数函数，利用单调性求解；若底数不同，可以找中间量，也可以用换底公式化成同底的对数再比较． (2)解简单的对数不等式时，先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解． (3)利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的. 学科网（北京）股份有限公司 $