第三章 第4节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关Word课时作业

第4节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及 三角函数模型的简单应用 1．(2025·江苏南京模拟)将函数f(x)＝cos x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g(x)的图象，则g(x)＝(　　) A．sin 2x　　　　　 B．sin C．－sin D．cos 2x 解析：B　[将函数f(x)＝cos x的图象向右平移个单位长度得到函数y＝cos的图象，再将其上所有的点，横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到g(x)＝cos的图象，由诱导公式整理得g(x)＝sin.] 2．(2025·莱芜模拟)为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin图象上所有的点(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 解析：D　[函数图象平移满足左加右减，y＝2sin＝2sin，因此需要将函数图象向右平移个单位长度，可以得到y＝2sin 3x的图象．] 3. (多选题)(2025·长沙一模)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，其部分图象如图所示，则关于函数f(x)的判断正确的是(　　) A．函数f(x)的最小正周期是π B．函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z) C.是函数f(x)图象的一个对称点 D．将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于原点对称 解析：ABC　[由题图可知A＝1，＝－＝，∴最小正周期T＝π，∴ω＝＝＝2.∵f＝sin＝－1，∴2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)．又|φ|<，∴φ＝－，∴f(x)＝sin.令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， ∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．又f＝0，∴是函数f(x)图象的一个对称点．将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象对应的解析式为g(x)＝sin＝sin，而g(x)的图象不关于原点对称．] 4．(2025·山东济宁模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，其最小正周期为，将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)的图象，g(x)的图象关于点对称，则当x∈时，f(x)的最大值为(　　) A．1 B．2 C. D． 解析：B　[由题意可得，T＝＝，所以ω＝3， 所以f(x)＝2sin(3x＋φ)， 将f(x)的图象向左平移个单位长度得g(x)的图象， 则g(x)＝2sin＝ 2sin. 因为g(x)的图象关于点对称， 所以3×＋＋φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝kπ－，k∈Z. 又|φ|＜，当k＝1时，φ＝π－＝， 所以f(x)＝2sin. 当x∈时，3x＋∈， 根据正弦函数性质，y＝sin t在上单调递增， 在上单调递减， 所以当3x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2.] 5．(多选题)(2025·湖南三市联考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　) A．f(x)的解析式可以为f(x)＝2sin B．将f(x)图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位，得到g(x)的图象，则g(x)＝f C．f(x)的对称中心为，k∈Z D．若x1，x2∈，f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)，则f(x1＋x2)＝ 解析：AD　[对于A，由图知A＝2，T＝＝π，所以ω＝2，f(x)过点，所以f＝2sin＝0，可取φ＝，则f(x)＝2sin，故A正确；对于B，由A知f(x)＝2sin，将f(x)图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，可得2sin，再向左平移个单位，得到g(x)的图象，则g(x)＝2sin＝2sin＝－2sin，f＝2sin＝2sin(x＋π)＝－2sin x，二者不相等，故B错误；对于C，由A知f(x)＝2sin，所以2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z，所以f(x)的对称中心为，k∈Z，故C错误；对于D，x1，x2∈，令t1＝2x1＋，t2＝2x2＋，则t1，t2∈(0，π)，因为f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)，则sin t1＝sin t2，t1，t2∈(0，π)，所以t1＋t2＝π，即2(x1＋x2)＝，即x1＋x2＝，所以f(x1＋x2)＝f＝2sin＝，故D正确．] 6．(2025·济宁三模)记函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)＝，x＝为f(x)的零点，则ω的最小值为____________． 解析：f(T)＝f(0)＝cos φ＝，且0＜φ＜π， 故φ＝，f＝cos＝0⇒ω＋ ＝＋kπ(k∈Z)⇒ω＝3＋9k(k∈Z)，又ω＞0，故ω的最小值为3. 答案：3 7．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0，|φ|<)的部分图象如图所示，则f(0)＝____________. 解析：由函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象知，A＝，T＝4×＝π，∴ω＝＝2. 又x＝时，f＝sin＝－， ∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z； ∴φ＝－＋2kπ，k∈Z； ∴f(x)＝sin ＝sin； ∴f(0)＝sin＝－. 答案：－ 8．(2025·临沂模拟)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则满足条件 >0的最小正整数x为________． 解析：由＝－＝，得T＝π，ω＝2，将代入y＝2cos(2x＋φ)， 得cos＝0，＋φ＝，φ＝－， 所以f(x)＝2cos. >0等价于(f(x)－1)f(x)>0，等价于f(x)<0或f(x)>1，由f(x)＜0，得x∈，k∈Z， 此时x的最小正整数为2， 由f(x)＞1，得x∈，k∈Z，此时x的最小正整数为3，故答案为2. 答案：2 9．已知函数f(x)＝sin2x＋sin x·cos x＋2cos2x，x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间； (2)函数f(x)的图象可以由函数y＝sin 2x的图象经过怎样的变换得到？ 解：(1)f(x)＝sin2x＋sin x·cos x＋2cos2x ＝sin 2x＋cos2x＋1＝sin 2x＋＋1 ＝sin ＋， 函数的最小正周期为T＝＝π. 令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)， 解得＋kπ≤x≤kπ＋(k∈Z)， 函数的单调递减区间为(k∈Z)． (2)函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到函数y＝sin的图象，再将函数图象向上平移个单位长度得到f(x)＝sin＋的图象． 10．已知函数f(x)＝sin . (1)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期上的图象； (2)求f(x)在区间上的最大值和最小值； (3)写出f(x)的单调递增区间． 解：(1)令X＝2x＋，则y＝sin＝sin X. 列表： x － X 0 π 2π y＝sin 0 1 0 －1 0 描点，画出函数f(x)在上的图象： (2)因为≤x≤，所以≤2x＋≤， 当2x＋＝，即x＝时，sin最大值等于1，即f(x)的最大值等于1； 当2x＋＝，即x＝时，sin最小值等于－，即f(x)的最小值等于－. 所以f(x)在区间上的最大值为1，最小值为－. (3)根据函数的图象知，f(x)的单调递增区间为(k∈Z)． 学科网（北京）股份有限公司 $