第二章 第3节 函数的奇偶性与周期性-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关Word教案

第3节　函数的奇偶性与周期性 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义． 2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性． 3．结合三角函数，了解函数周期性的概念和几何意义． 4．会运用函数的图象理解和研究函数的周期性 1.判断函数的奇偶性，发展数学抽象和逻辑推理素养． 2．函数奇偶性的应用，发展逻辑推理和数学运算素养． 3．函数周期性的应用，发展数学抽象和逻辑推理素养． 4．函数基本性质的综合应用，提升逻辑推理和数学运算素养 　　函数的奇偶性、周期性的应用是高考的热点，常与函数的求值、图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题，函数的周期性也经常会涉及三角函数或抽象函数，并且考查力度逐年加大．本讲内容在高考中多以选择题或填空题的形式出现，难度不会太大，属于低中档题型，主要考查考生对函数性质的理解及应用能力 　　　　　　　　对应学生用书P23 [必备知识] 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数f(x)是偶函数 关于 y轴 对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数f(x)是奇函数 关于 原点 对称 2.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一个最小 的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的 最小 正周期． 　　1.函数奇偶性的四个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (3)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性． (4)奇、偶函数的性质：在公共定义域内，奇函数·奇函数＝偶函数，奇函数＋奇函数＝奇函数，偶函数·偶函数＝偶函数，偶函数＋偶函数＝偶函数，奇函数·偶函数＝奇函数． 2．函数周期性的三个常用结论 对函数f(x)定义域内任意一个自变量x都有：(如下a>0)： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a； (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a； (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a. 3．函数对称性的三个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称． [自主诊断] [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(　　 ) (2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　　 ) (3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(　　 ) (4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(　　 ) (5)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称． (6)函数f(x)为R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x)，则f(2 024)＝0.(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√　(6)√ [小题查验] 1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　 ) A．－　　 B．　　　 C.　　 D．－ 解析：B　[依题意知b＝0，且2a＝－(a－1)， ∴a＝，则a＋b＝.] 2．下列函数为奇函数的是(　　 ) A．y＝2x－ B．y＝x3sin x C．y＝2cos x＋1 D．y＝x2＋2x 解析：A　[由函数奇偶性的定义知，B、C中的函数为偶函数，D中的函数为非奇非偶函数，只有A中的函数为奇函数．] 3．(2025·黄冈中学质检)已知函数f(x)为R上的偶函数，且当x＞0时，f(x)＝log4x－1，则＝(　　) A．－ B．－ C. D． 解析：A　[因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，则－1＝＝－1＝－.] 4．(2025·黄冈二模)已知f(x)＝是偶函数，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：D　[因为f(x)＝为偶函数，则f(x)－f(－x)＝－＝＝0， 又因为x不恒为0，可得ex－e(a－1)x＝0， 即ex＝e(a－1)x， 则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.] 5．(2025·湖南长沙质检)若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin为偶函数，则a＝________. 解析：∵f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin ＝(x－1)2＋ax＋cos x＝x2＋(a－2)x＋1＋cos x， 且函数为偶函数， f(－x)＝x2－(a－2)x＋1＋cos x ＝x2＋(2－a)x＋1＋cos x， 由于f(x)＝f(－x)， ∴a－2＝2－a，解得a＝2. 答案：2 　　　　　　对应学生用书P24 考点一　判断函数的奇偶性(自主练透) [题组集训] 1．(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是(　　) A．f(x)＝　　 B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 解析：B　[对A，f(x)＝，函数定义域为R，但f(－1)＝，f(1)＝，则f(－1)≠f(1)，所以f(x)不是偶函数，故A错误；对B，f(x)＝，函数定义域为R，且f(－x)＝＝＝f(x)，则f(x)为偶函数，故B正确；对C，函数定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称， 则f(x)不是偶函数，故C错误；对D，因为f(－x)＝＝－＝－f(x)，则f(x)为奇函数，不是偶函数，故D错误．] 2．函数f(x)＝的图象(　　) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝x对称 解析：B 3．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝ 解：(1)由得x2＝3，解得x＝±， 即函数f(x)的定义域为{－，}， 从而f(x)＝＋＝0. 因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)， ∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数． (2)由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x， ∴f(x)＝. 又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)， ∴函数f(x)为奇函数． (3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 关于原点对称．∵当x<0时，－x>0， 则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)； 当x>0时，－x<0， 则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)； 综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数． 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 (2)图象法 (3)性质法 ①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶； ②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶； ③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇． 提醒：①“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的． ②判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性． 考点二　函数奇偶性的应用(多维探究) [命题角度1]　利用奇偶性求函数值　 1．(2025·潍坊市一模)若函数f(x)＝为奇函数，则f(g(－3))＝(　　 ) A．－3　　 B．－2　　　 C．－1　　 D．0 解析：B　[法一：∵函数f(x)＝为奇函数， ∴g(－3)＝－f(3)＝－(log33－2)＝1， ∴f(g(－3))＝f(1)＝log31－2＝0－2＝－2. 法二：当x<0时，－x>0，f(－x)＝log3(－x)－2， ∴f(x)＝－f(－x)＝－log3(－x)＋2， 即g(x)＝－log3(－x)＋2， ∴g(－3)＝－log33＋2＝1， ∴f(g(－3))＝f(1)＝log31－2＝0－2＝－2.] [命题角度2]　利用奇偶性求参数值　 2．(2025·安徽质检)若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数，则a＝(　　) A．－1　　 B．0　　　 C.　　 D．1 解析：B　[由题意知g(x)＝ln是奇函数，而f(x)＝(x＋a)g(x)为偶函数，有f(－x)＝(－x＋a)g(－x)＝－(－x＋a)g(x)＝(x＋a)g(x)＝f(x)，故x－a＝x＋a，则a＝0.] [命题角度3]　利用奇偶性求解析式　 3．已知f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x)＝－eax，若f(ln 2)＝8，则a＝________________. 解析：f(ln 2)＝－f(－ln 2)＝e(－aln 2)＝eln 2－a＝2－a＝8，∴a＝－3. 答案：－3 [命题角度4]　利用奇偶性的图象特征解不等式　 [典例]　已知y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域是[－3,3]，且它们在x∈[0,3]上的图象如图所示，求不等式＜0的解集． 逻辑推理——函数图象与性质在函数中 具体应用的核心素养．具体见下表： 信息提取 信息解读 逻辑推理 y＝f(x)是偶函数 偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称 解分式不等式＜0⇔f(x)· g(x) ＜0⇔x∈[0,3]时，由图象直接判断； x∈[－3,0]时，根据奇偶性补全图象后判断取并集，得到分式不等式的解集 y＝g(x)是奇函数 定义域是[－3,3]，且它们在x∈[0,3]上的图象如图所示 题干已给出x∈[0,3]上的图象，可根据奇偶性的图象特征补上x∈[－3,0]上的图象 不等式＜0 此分式不等式可等价转化为分子、分母相乘的不等式，最终还是判断f(x)与g(x)在定义域内的正负值情况 [解]　第一步　根据奇偶性补全函数f(x)和g(x)在整个定义域上的图象y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，根据函数图象的奇偶性画出y＝f(x)，y＝g(x)在[－3,0]上的图象如图所示， 第二步　将分式不等式等价转化 ＜0等价于或 第三步　根据图象，分别解两个不等式组 由图可知f(x)＞0，g(x) ＜0时，－2＜x＜－1或0＜x＜1， f(x)＜0，g(x)＞0时，2＜x＜3. 第四步　根据求解结果取并集 可求得其解集是{x|－2＜x＜－1，或0＜x＜1，或2＜x＜3}． 画函数图象：根据奇偶函数的图象特征可画出另一对称区间上的图象，进而利用整个定义域上的图象解不等式或判断单调性． [跟踪训练] (2025·湖南娄底押密考试)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则(　　) A．f＝0 B．f(－1)＝0 C．f(2)＝0 D．f(4)＝0 解析：B　[f(x＋2)是偶函数，即f(x＋2)＝f(2－x)，可得f(x)的对称轴为x＝2，f(2x＋1)为奇函数，即f(1＋2x)＝－f(1－2x)，可得f(x)的对称中心为(1,0)．此时，x＝0和x＝2关于(1,0)对称，∴f(x)是偶函数，此时有f(－1)＝f(1)＝0.其他选项不一定成立．] 应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法 (1)求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式 将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式． (3)求函数解析式中参数的值 利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值． (4)画函数图象和判断单调性 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性． 考点三　函数周期性的应用(师生共研) [典例]　(1) x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上为(　　 ) A．奇函数　　　　　　 B．偶函数 C．增函数 D．周期函数 (2)(2025·济宁市一模)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1.则f(2 023)＋f(2 024)的值为(　　 ) A．－2　　 B．－1　　　 C．0　　 D．1 [解析]　(1)作出函数f(x)的图象，由图象可知选D. (2)∵函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称， ∴f(－x)＝－f(x)，由图象关于x＝1对称， 得f(1＋x)＝f(1－x)，即f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)， ∴f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，∴周期T＝4. ∵当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1， ∴f(2 023)＋f(2 024)＝f(－1)＋f(0)＝－f(1)＋f(0)＝－2＋1＋1－1＝－1. [答案]　(1)D　(2)B (1)判断函数周期性的两个方法 ①定义法．　②图象法． (2)函数周期性的重要应用 利用函数的周期性，可将其他区间上的求值，求零点个数，求解析式等问题，转化为已知区间上的相应问题，进而求解． 易错警示：应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内． [跟踪训练] 1．(2025·全国一卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f＝(　　) A．－ B．－ C. D． 解析：A　[f＝f＝f＝5－2＝－，故选A.] 2．(2025·陕西宝鸡模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则＝(　　) A．－3　　 B．－2　　　 C．0　　 D．1 解析：A　[令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1) ＝f(x)·f(1)＝f(x)⇒f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)， 故f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)， f(x＋3)＝f(x＋2)－f(x＋1)， 消去f(x＋2)和f(x＋1)，得到f(x＋3)＝－f(x)， 故f(x)周期为6； 令x＝1，y＝0，得f(1)＋f(1)＝f(1)·f(0)⇒f(0)＝2， f(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1， f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2， f(4)＝f(3)－f(2)＝－2－(－1)＝－1， f(5)＝f(4)－f(3)＝－1－(－2)＝1， f(6)＝f(5)－f(4)＝1－(－1)＝2， 根据周期性质，f(k)(k＝1,2，…，22)中，任意连续6个数的和为0， 故＝3[f(1)＋f(2)＋…＋f(6)]＋f(19)＋f(20)＋f(21)＋f(22)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1＋(－1)＋(－2)＋(－1)＝－3， 即＝－3.] 学科网（北京）股份有限公司 $