第二章 第2节 函数的单调性与最值-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关Word教案

该高中数学高考复习教案聚焦函数单调性与最值核心考点，涵盖定义理解、判断证明、单调区间确定、最值求解及应用等高考要求。知识点按“定义-性质-应用”逻辑架构，结合考情分选择填空与解答题层次，通过必备知识梳理、考点分层突破、真题模拟训练等环节，帮助学生构建系统知识网络，突破高考难点。 教案突出素养导向与分层教学特色，如用定义法证明单调性培养逻辑推理能力，复合函数单调区间分析结合图象提升直观想象。设置自主诊断自查、典例精讲方法、跟踪训练分层巩固等教学活动，确保有限时间内高效复习，助力学生提升数学运算与应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第2节　函数的单调性与最值 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． 2．会运用基本初等函数的图象分析函数的性质 1.函数的单调性的判断或证明，发展数学抽象和逻辑推理素养． 2．确定函数的单调区间，提升直观想象和逻辑推理素养． 3．确定函数的最值(值域)，发展直观想象和数学运算素养． 4．函数单调性的应用，发展逻辑推理和数学运算素养 　　确定函数的单调性、单调区间及应用函数的单调性比较函数值大小、求最值、求参数的取值(范围)是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，难度不大，属于低中档题型，常与函数的图象及奇偶性交汇命题；若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现，难度较大，属于中高档题型．在解答题中常与恒成立、方程有解等问题综合考查 　　　　　　　　对应学生用书P19 [必备知识] 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有　f(x1)<f(x2)　，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有　f(x1)>f(x2)　，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是　上升的　 自左向右看图象是　下降的　 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是　增函数　或　减函数　，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，　区间D　叫做函数y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意x∈I，都有　f(x)≤M　； (2)存在x0∈I，使得　f(x0)＝M　 (3)对于任意x∈I，都有　f(x)≥M 　； (4)存在x0∈I，使得　f(x0)＝M　 结论 M是f(x)的最大值 M是f(x)的最小值 1．设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则有以下结论：①x1－x2>0(或<0)，f(x1)－f(x2)>0(或<0)⇔f(x)在D上单调递增；x1－x2>0(或<0)，f(x1)－f(x2)<0(或>0)⇔f(x)在D上单调递减； ②>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增； ③<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减． 2．对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)；减区间为[－，0)和(0，]，且对勾函数为奇函数． 3．单调函数的运算性质 (1)在函数f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： ①若f(x)，g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是增(减)函数； ②若f(x)是增(减)函数，g(x)是减(增)函数，则f(x)－g(x)是增(减)函数； (2)若函数f(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： ①当a>0时，函数af(x)与f(x)有相同的单调性，当a<0时，函数af(x)与f(x)有相反的单调性； ②当函数f(x)恒为正(或恒为负)时，f(x)与有相反的单调性； ③若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性． 4．如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处有最大值f(b)；如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y＝f(x)，x∈[a，c]在x＝b处有最小值f(b)． [自主诊断] [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0]∪(0，＋∞)．(　　 ) (2)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)<f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(　　 ) (3)函数y＝|x|是R上的增函数．(　　 ) (4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞) .(　　 ) (5)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D，且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在D上是增函数．(　　 ) (6)在闭区间上单调的函数，其最值一定在区间端点取到．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√ [小题查验] 1．(2025·济宁模拟)下列函数中是增函数的为(　　) A．f(x)＝－x　　　 B．f(x)＝x C．f(x)＝x2 D．f(x)＝ 解析：D　[AB递减，排除，C有增有减，排除，因此只有D正确．] 2．设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则关于函数y＝的单调区间表述正确的是(　　 ) A．在[－1,1]上单调递减 B．在(0,1]上单调递减，在[1,3)上单调递增 C．在[5,7]上单调递减 D．在[3,5]上单调递增 解析：B　[由图象可知当x＝0，x＝3，x＝6时，f(x)＝0，此时函数y＝无意义，故排除A，C，D.] 3．(2025·东营模拟)以下函数既是奇函数，又是减函数的是(　　) A．y＝－3x B．y＝x3 C．y＝log3x D．y＝3x 解析：A　[选项B、C、D均为增函数，只有A正确．] 4．已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)>0的解集是(　　) A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(0,1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) 解析：D　[因为f(x)＝2x－x－1，所以f(x)>0等价于2x>x＋1， 在同一直角坐标系中作出y＝2x和y＝x＋1的图象如图： 两函数图象的交点坐标为(0,1)，(1,2)， 不等式2x>x＋1的解为x<0或x>1. 所以不等式f(x)>0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)．] 5．函数f(x)＝在[1,2]上的最大值和最小值分别是____________． 解析：f(x)＝＝＝2－在[1,2]上是增函数，∴f(x)max＝f(2)＝，f(x)min＝f(1)＝1. 答案：，1 　　　　　　对应学生用书P21 考点一　函数单调性的判断或证明(自主练透) 逻辑推理——函数单调性问题中的核心素养 依据增函数、减函数的定义证明函数单调性，通常按照设元、作差、变形、判号、定论这五个步骤进行，充分体现了“逻辑推理”的核心素养． [题组集训] 1．下列函数中，在区间(1，＋∞)上是增函数的是(　　) A．y＝－x＋1　　　　　　 B．y＝ C．y＝－(x－1)2 D．y＝31－x 解析：B　[函数y＝－x＋1在(1，＋∞)上为减函数，A不符合题意；y＝在(1，＋∞)上为增函数，B符合题意；y＝－(x－1)2在(1，＋∞)上为减函数，C不符合题意；y＝31－x在(1，＋∞)上为减函数，D不符合题意．] 2．判断并证明函数f(x)＝(其中a＞0)在x∈(－1,1)上的单调性． 证明：法一(定义法)：设－1<x1<x2<1， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝ ＝.∵－1<x1<x2<1， ∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x－1)(x－1)>0. 因此当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0， 即f(x1)＞f(x2)，此时函数f(x)在(－1,1)上为减函数. 法二(导数法)：f′(x)＝＝. 又a＞0，所以f′(x)<0，所以函数f(x)在(－1,1)上为减函数． 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤 易错警示：可导函数也可以利用导数判断．但是，对于抽象函数单调性的证明，只能采用定义法进行判断． 考点二　确定函数的单调区间(课堂共研) [典例]　(1)函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则函数g(x)＝f(logax)(0<a<1)的单调递减区间是(　　) A. B．[，1] C．(－∞，0)∪ D. (2)函数y＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为____________，单调递减区间为____________． [解析]　(1)由图象知f(x)在(－∞，0]和上单调递减，而在上单调递增．又0<a<1时，y＝logax为(0，＋∞)上的减函数，所以要使g(x)＝f(logax)单调递减，需要logax∈，即0≤logax≤，解得x∈[，1]． (2)由于y＝ 即y＝ 画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)． [答案]　(1)B　(2)(－∞，－1]和[0,1]　[－1,0]和[1，＋∞) [互动探究] 1．若将典例(2)中的函数变为“y＝|－x2＋2x＋1|”，则结论如何？ 解：函数y＝|－x2＋2x＋1|的图象如图所示． 由图象可知，函数y＝|－x2＋2x＋1|的单调递增区间为(1－，1)和(1＋，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－)和(1,1＋)． 2．若将典例(1)中的“0<a<1”改为“a>1”，则函数g(x)的单调递减区间如何？ 解析：由例(1)解析知，需logax≤0或logax≥，解得x≤1或x≥，又x>0，所以单调递减区间为(0,1]，[，＋∞)． 　　 1．求函数的单调区间与确定单调性的方法一致 (1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义． (3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间． (4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间． 2．求复合函数y＝f(g(x))的单调区间的步骤 (1)确定函数的定义域． (2)将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)， u＝g(x)． (3)分别确定这两个函数的单调区间． (4)若这两个函数同增同减，则y＝f(g(x))为增函数；若一增一减，则y＝f(g(x))为减函数，即“同增异减”． 提醒：单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． [跟踪训练] 1．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是(　　) A．(－∞，0]　　　　　 B．[0,1) C．[1，＋∞) D．[－1,0] 解析：B　[g(x)＝ 如图所示，其递减区间是[0,1)．] 2．函数f(x)＝ln (x2－2x－8) 的单调递增区间是(　　 ) A．(－∞，－2)　　　　　 B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞) 解析：D　[由x2－2x－8>0，得函数的定义域为(－∞，－2)∪(4，＋∞)．令t＝x2－2x－8， 则y＝ln t. ∵t＝x2－2x－8＝(x－1)2－9， ∴t＝x2－2x－8的单调增区间为(4，＋∞)． 又y＝ln t是增函数，∴函数f(x)＝ln (x2－2x－8) 的单调增区间为(4，＋∞)．] 考点三　确定函数的最值(值域)(师生共研) [典例]　(1)若函数f(x)＝－在上的值域是，则实数a的值为____________． (2)函数f(x)＝(x>1)的最小值为____________． [解析]　(1)因为函数f(x)在区间上是增函数，值域为，所以f＝，f(2)＝2，即解得a＝. (2)法一：基本不等式法：f(x)＝＝ ＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝8，当且仅当x－1＝，即x＝4时，f(x)min＝8. 法二：导数法：f′(x)＝， 令f′(x)＝0，得x＝4或x＝－2(舍去)． 当1<x<4时，f′(x)<0，f(x)在(1,4)上单调递减； 当x>4时，f′(x)>0，f(x)在(4，＋∞)上单调递增， 所以f(x)在x＝4处达到最小值， 即f(x)min＝f(4)＝8. [答案]　(1)　(2)8 求函数最值(值域)的常用方法及适用类型 (1)单调性法：应先确定函数的单调性，然后再由单调性求解． (2)图象法：作出函数的图象，利用最值的几何意义，观察其图象最高点、最低点，求出最值． (3)基本不等式法：分子、分母中的一个为一次函数，一个为二次函数结构以及两个变量(如x，y)的函数，一般通过变形使之具备“一正、二定、三相等”的条件，用基本不等式法求最值(值域)． (4)导数法：用导数法，先求出给定区间上的极值，再结合端点值求得． (5)换元法：对解析式较复杂的函数，可通过换元转化为以上四种类型中的某种，再求解． 易错警示：用换元法时，一定要注意新“元”的范围. [跟踪训练] 1．函数y＝－x(x≥0)的最大值为______________． 解析：令t＝，则t≥0，所以y＝t－t2＝－2＋，结合二次函数的图象知，当t＝，即x＝时，ymax＝. 答案： 2．函数f(x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为_________． 解析：由于y＝x在R上递减，y＝log2(x＋2)在[－1,1]上递增，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3. 答案： 3 考点四　函数单调性的应用(多维探究) [命题角度1]　比较两个函数值或两个自变量的大小　 1．已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则(　　) A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0 C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0 解析：B　[∵函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0， ∴当x1∈(1,2)时，f(x1)<f(2)＝0， 当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)>f(2)＝0， 即f(x1)<0，f(x2)>0.] [命题角度2]　解函数不等式　 2．f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是(　　) A．(8，＋∞) B．(8,9] C．[8,9] D．(0,8) 解析：B　[2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数， 所以有解得8＜x≤9，故x的取值范围是(8,9]．] [命题角度3]　利用单调性求参数的取值范围或值　 3．如果函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么实数a的取值范围是____________． [破题关键点]　函数f(x) 满足对任意x1≠x2，都有>0成立，推出f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数． 解析：因为对任意x1≠x2，都有>0， 所以y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数． 所以解得≤a<2. 故实数a的取值范围是. 答案： 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)解含“f”的不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数 ①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； ②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． 学科网（北京）股份有限公司 $