第一章 第5节 基本不等式-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关Word教案

第5节　基本不等式 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.掌握基本不等式≤(a，b≥0)． 2．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题 1.利用基本不等式求最值，达成逻辑推理和数学运算素养． 2．基本不等式的实际应用，发展数学建模和数学运算素养． 3．基本不等式的综合应用，提升逻辑推理和数学运算素养 　　利用基本不等式求函数的最值，不等式的变形，构造基本不等式的形式，不等式的证明及利用不等式解决实际问题等是高考的热点，各种题型均有可能出现，难度中等，属于低中档题 　　　　　　　　对应学生用书P13 [必备知识] 1．基本不等式：≤. (1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号． (3)　　称为正数a，b的算术平均数，　　称为正数a，b的几何平均数． 2．利用基本不等式求最值 已知x＞0，y＞0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y有最小值是　2　(简记：积定和最小)． (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当 x＝y 时，xy有最大值是　　(简记：和定积最大)． 　几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (2)ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (3)≥2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号． [自主诊断] [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　 ) (2)ab≤2成立的条件是ab＞0.(　　 ) (3)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件．(　　 ) (4)若a＞0，则a3＋的最小值是2.(　　 ) (5)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ [小题查验] 1．设a>b>0，下列不等式不正确的是(　　 ) A．ab<　　　　 B．ab<2 C.> D． > 解析：C　[由a2＋b2≥2ab，a＋b≥2及a>b>0，知>ab，ab<2，选项A、B正确；<＝，选项D正确．] 2．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　) A.　　 B．2　　　C．2　　 D．4 解析：C　[依题意知a＞0，b＞0，则＋≥2＝，当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立．因为＋＝，所以≥，即ab≥2，所以ab的最小值为2.] 3．(2025·北京卷)已知a>0，b>0，则(　　) A．a2＋b2>2ab B．＋≥ C．a＋b> D．＋≤ 解析：C　[由基本不等式结合特例即可判断． 对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，故A错误；对于B、D，取a＝，b＝，此时＋＝2＋4＝6＜＝8＝，＋＝2＋4＝6＞＝4＝，故B、D错误；对于C，由基本不等式可得a＋b≥2＞，故C正确．故选：C.] 4．(2025·济南市诊断性考试)若实数x，y满足lg x＋lg y＝lg(x＋y)，则xy的最小值为________． 解析：依题意可知x＞0，y＞0，由lg x＋lg y＝lg(x＋y)，得lg(xy)＝lg(x＋y)，得xy＝x＋y.由基本不等式得xy＝x＋y≥2，即xy－2＝(－2)≥0. 所以≥2，xy≥4，当且仅当x＝y＝2时取等号，所以xy的最小值为4. 答案：4 5．已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为____________． 解析：∵a>0，b>0，∴a＋b>0，ab＝1，∴＋＋＝＋＝＋≥2＝4，当且仅当a＋b＝4时取等号，结合ab＝1，解得a＝2－，b＝2＋，或a＝2＋，b＝2－时，等号成立． 答案：4 　　　　　　对应学生用书P14 考点一　利用基本不等式求最值(多维探究) [命题点1]　通过配凑法利用基本不等式 [典例]　(1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为____________． [解析]　x(4－3x)＝·(3x)(4－3x) ≤·2＝， 当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号． [答案]　 (2)函数y＝(x>1)的最小值为____________． [解析]　y＝＝ ＝ ＝(x－1)＋＋2≥2＋2. 当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立． [答案]　2＋2 [命题点2]　通过常数代换法利用基本不等式 [典例]　若a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为(　　) A．8　　　B．6　　　　C．4　　　 D．2 数学运算——基本不等式应用中的核心素养 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．应用基本不等式求最值就极大地提升了数学运算的核心素养． 信息提取 信息解读 数学运算 已知条件a>0，b>0， lg a＋lg b＝lg(a＋b) 由lg a＋lg b＝lg(a＋b)， 得lg(ab)＝lg(a＋b)，即ab＝a＋b，则有＋＝1 着眼点一(对数的运算性质)：由lg a＋lg b＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b) ，即ab＝a＋b. 着眼点二(等式的恒等变形)：由ab＝a＋b，得＋＝1. 着眼点三(“1”代换)：a＋b＝(a＋b)＝2＋＋. 着眼点四(基本不等式的应用)：2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立 求a＋b的最小值 利用常数“1”代换的方法，将a＋b变形为a＋b＝(a＋b)＝2＋＋，再利用基本不等式求其最小值 [解析]　C　[由lg a＋lg b＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)，即ab＝a＋b，则有＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以a＋b的最小值为4.] 利用基本不等式求最值的三种常考类型及求解策略 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”． (2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值． [跟踪训练] 1．若正实数x，y满足4x＋y＝xy，则x＋4y取最小值时，y的值为(　　 ) A．1　　　B．2　　　　C．3　　　 D．5 解析：D　[∵x＞0，y＞0且4x＋y＝xy， ∴＋＝1， ∴x＋4y＝(x＋4y)＝17＋＋≥25，当且仅当x＝y＝5时取等号．] 2．(2025·上海卷)设a，b>0，a＋＝1，则b＋的最小值为______． 解析：∵a＞0，b＞0，a＋＝1，∴0＜a＜1，b＞1， ∴a＝1－＝＞0， ∴b＋＝b＋＝b－1＋＋2≥ 2＋2＝4. 当且仅当＝b－1，即b＝2，a＝时，等号成立． 答案：4 考点二　基本不等式的实际应用(师生共研) [典例]　某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(　　 ) A．60件　 B．80件　　C．100件　 D．120件 [解析]　B　[若每批生产x件产品，则每件产品的生产费用是元，仓储费用是元，总的费用是＋≥2 ＝20，当且仅当＝，即x＝80时取等号．] 在利用基本不等式解决实际问题时，一定要注意所涉及变量的取值范围，即定义域．若使基本不等式等号成立的变量值不在定义域内时，则要研究函数的单调性，利用单调性求最值． [跟踪训练] 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则该公司年平均利润的最大值是____________万元． 解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元． 答案：8 考点三　基本不等式的综合应用(师生共研) [典例]　(1)若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式： ①a2＋b2≥2；②＋≥2；③ab≤1；④＋≤.恒成立的是(　　 ) A．①②④　　　　　　　 B．①②③ C．②③④ D．①③④ (2)已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是____________． [解析]　(1)因为a>0，b>0，a＋b＝2， 所以由 ≥＝1≥ ≥， 得a2＋b2≥2; ＋≥2；ab≤1；即①②③均正确；不妨令a＝b＝1，则＋＝2>，故④错误；综上所述，恒成立的是①②③. (2)对任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，即≥3恒成立，即知a≥－＋3. 设g(x)＝x＋，x∈N*，则g(2)＝6，g(3)＝. ∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝.∴－＋3≤－，∴a≥－，故a的取值范围是. [答案]　(1)B　(2) 综合应用基本不等式的重点题型与求解策略 题型 求解策略 判断或证明不等式或比较大小 对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解 求参数的值或范围 观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围 与函数、数列、解析几何等其他知识结合的问题 利用已知条件进行转化，再利用基本不等式求解 [跟踪训练] 1．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝(　　 ) A．1＋　　B．1＋　　　C．3　　 D．4 解析：C　[当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，a＝3.] 2．(多选题)(2025·江西南昌三模)已知a>0，b>0，a＋b＝ab，则(　　) A．a＞1且b＞1 B．ab≥4 C．a＋4b≤9 D．＋＞1 解析：ABD　[对于A，a＞0，b＞0，a＋b＝ab，则a＝＞0，故b＞1，同理可得a＞1，A正确；对于B，a＞0，b＞0，ab＝a＋b≥2，∴ab≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，B正确；对于C，a＞0，b＞0，a＋b＝ab，则＋＝1，则a＋4b＝(a＋4b)·＝1＋＋＋4≥5＋2＝9，当且仅当，即a＝3，b＝时取等号，C错误；对于D，由于b＞0，故＋＝＋＝b－1＋≥2－1＝1，当且仅当b＝1时取等号，而b＞1，故＋＞1，D正确．] 学科网（北京）股份有限公司 $