第二章 第12节 利用导数研究函数的极值、最值-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关Word课时作业

多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第12节利用导数研究函数的极值、最值 1.设函数x)=xex+1,则() A.x=1为x)的极大值点 B.x=1为fx)的极小值点 C.x=一1为x)的极大值点 D.x=一1为x)的极小值点 解析：D[由于x)=xer+l,可得 f'(x)=(x+1)e, 令fx)=(c+1)e=0,可得x=-1, 令x)=(x十1)>0，可得x>一1，即函数在(-1，+∞)上单调递增，令f(x)=( +1)<0,可得x<一1，即函数在(-∞，一1)上单调递减，所以x=-1为)的极小值点.] 2.函数fx)=12x2-nx的最小值为() A.12 B.1 C.0 D.不存在 解析：A[f(x)=x-1x=x2-1x,且x>0, 令x)>0,得x1,令(x)<0,得0x<1. x)在x=1处取得极小值也是最小值， 且1)=12-ln1=12.] 3.(多选题)2025·江西质检)己知函数x)的定义域为R,y)=yx)十x2y),则() A.0)=0 B.1)=0 C.x)是偶函数 D.x=0为x的极小值点 解析：ABC[对于A,令x=y=0,则0)=0×0)+0×0)，则0)=0，故A正确： 对于B,令x=y=1,则术1)=1×1)+1×1)， 则1)=0，故B正确： 对于C,令x=y=-1,则1)=(-1)2×(-1)+(-1)2×(-1)，则(-1)=0， 再令y=一1，则一x)=(-1)2f)十x2-1), 即一x)=),故C正确： 对于D,当x=0时，O)=y0),无极值.故D错误.] 4.(2025·湖南长沙模拟预测)一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球 的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为() A.23 B.2)3 独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 C.2)2 D.10)10 解析：B[如图，根据题意，圆锥PO1高为h,底面圆半径r,外接球球心为O,半径 R=1, 0 则球心O到圆锥底面圆心O1距离d=OO1=h一1,0<h<2, 由dP+r2=R2,得r2=2h-h2,圆锥的体积V=13元r2h=元3(2n2-h3), 求导得'=π3(4h-3h2=πhavs4 al\colf(43)-h), 当0<h<43时，>0，函数V=π3(2h2-h3在avs4 alcol(0,f(43)上递增， 当43<h<2时，V'<0,函数V=元3(2h2-h在avs4 allcol0f43),2)上递减， 则当h=43时，圆锥的体积最大，此时底面圆半径=2)3.] 5.(多选题)2024新课标1卷)设函数x)=(x-1)26c一4)，则( ) A.x=3是x)的极小值点 B.当0x<1时，x)x2) C.当1x<2时，-42x-1)0 D.当-1x<0时，f2-x)>x) 解析：ACD[首先有fx)=(x-1)(x一4)， 则fx)=3x-1)x-3), 对于A有，x=3左右的两侧符号变化为由负到正，故其为极小值点，故A正确： 对于B有，当0<x<1时，函数单调递增且x2<x,故2)≤f),故B错误： 对于C有，当1<x<2时，得1<2x-1<3且1)=0,3)=-4，故-4<2x-1) <0,故C正确： 对于D有，当一1<x<0时，)单调递增，2-x)>f)成立，故D正确.] 6.(双空填空题)若x=-2是函数x)=(c2+ax-1)e的极值点，则f(-2)= ,x)的极小值为 解析：由函数x)=(c2+am-l)e,可得f()=(2x十a)ex+(x2+a-1)e,因为x=-2 是函数x)的极值，点，所以f(-2)=(-4+a)e-2+(4-2a-1)e-2=0,即-4+a+3-2a= 0,解得a=一1.所以()=(x2+x-2)e.令f'x)=0可得x=-2或x=1.当x<-2或x>1 时，f(x)>0,此时函数fx)单调递增，当一2<1时f(x)<0,此时函数fx)单调递减，所 以当x=1时，函数x)取得极小值，极小值为1)=(12-1-1)×e1=一e 答案：0一e ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 7.某厂生产某产品x(万件)的总成本Cx)=1200+275x3(万元)，己知产品单价的平方 与产品件数x成反比，生产100万件这样的产品单价为50万元，产量定为 万 件时总利润最大。 解析：设单价为a,由题意知a2=kx且502=k100, .k=502×100=25×104, ∴.a2=25×104x,即a=500r(8), 总利润y=ax-Cx)=500r()x-avs4acol(1200+f275)x3) =500x-275x3-1200, y'=250x-12-225x2,令y'=0,得x=25, ∴产量定为25万件时总利润最大. 答案：25 8.设函数fx)=lnx一l2ax2-bx,若x=1是x)的极大值点，则a的取值范围为 解析：fx)的定义域为(0，十∞)， f(x)=1x-ac-b,由(1)=0，得b=1-a ..f (x)=1x-ax+a-1=-ax2+1+ax-xx=-0ax+100x-10x ①若a≥0，当0x<1时，(x)0,fx)单调递增；当心1时，(x)<0,x)单调递减， 所以x=1是x)的极大值点. ②若a<0,由fx)=0,得x=1或x=-la. 因为x=1是fx)的极大值点，所以一la>l,解得-1<a<0.综合①②得a的取值范围是a >-1. 答案：a>-1 9.(2024全国甲卷（理）)已知函数x)=(1一ax)n(1+x)一x. (1)若a=-2,求x)的极值； (2)当x≥0时，fx)≥0，求a的取值范围. 解：(1)当a=-2时，x)=(1+2x)n(1+x)-xc>-1),fx)=2ln(1+x)+xl+x,当 x>0时，x)>0,当-1<x<0时，x)<0,所以x)在(-1,0)上单调递减，在(0，十∞)上 单调递增，故)的极小值为0)=0，无极大值： (2)x)=(1-ax)n(1+x)-x,f(x)=-aln(1+x)-口a+1口x1+x.令gx)=f'x),则8 'x)=-al+x-a+1口1+x口2.因为当x≥0时，x)≥0，且0)=0，f(0)=0,所以g '(0)=-1-2a≥0，a≤-12.当a≤-12时，8'(x)≥12口1+x0-1201+x02=x201 +x口2≥0，gx)在[0，+∞)上单调递增，gx)=f(x)≥g(0)=0,故x)在[0，+∞)上单调 递增，fx)≥0)=0恒成立，即a的取值范围为1avs4 alcol(-o,一f12) 10.(2025·天津卷)已知函数x)=ax-(nx)2 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (I)a=1时，求曲线y=fx)在点(1,1)处的切线方程 (IⅡ)x)有3个零点1,2，，且<x2<x3 (i)求a的取值范围： (ii)证明：(n2-lnx)n<4ee-1. 解：(1)当a=1时，x)=x-(nx)2,x>0,1)=1, (x)=1-2lxx,f(1)=1,所求切线方程为y=(c-1)+1,即x-y=0 (2)(i)因为x>0,所以原问题可转化为：方程a=口lnx口2x有3个不相等的实根x1, x2,x,且<x2<x3 令g)=口lnX口2X,则问题转化为：直线y=a与函数g)的图象有3个不同的交点. g'(x)=2ln xxx2=02-In x In xx2, 令g'(x)=0,得(2-lnx)nx=0 则lnx=0或lnx=2,解得x=1或x=e2 当0<x<1时，nx<0,2-nx>0,所以g'(x)<0,g)在(0,1)上单调递减： 当1<x<e2时，nx>0,2-lnx>0,所以g'(d)>0,g)在(1，e2)上单调递增： 当x>e2时，lnx>0.2-lnx<0,所以g'(x)<0,g()在(e2,十∞)上单调递减. 由gx)的单调性可知，gx)的极小值为g(1)=0,gx)的极大值为g(e2)=4e2 当x一0+时，nx-∞，nx)2→+∞， 1x→+∞，所以g()一+∞ 当x→十∞时，gx)→0. 因为直线y=a与函数g(x)的图象有3个不同的交点，结合gx)的图象（图象略）可知，0 <1<1<x<e2<x3且0<a<4e2. 故a的取值范围为avs4al小col(0,f(4e2). (i)要证(nx2-n)n3<4ee-l, i\alvs4al\col(f(112)In x1-\alvs4al\col(f(12)In x3)<ee-1, 即证(lnx2-nxl)nx3<ee-l, 即证lnx2-lnxl)nx3<e-1+le-1=1+le-1, 由(i)中可知0<<1<x2<e2<x3,且0<a<4e2,则xl<1,l<x2<e,x3>e, In x12x1=In x2 2x2=In x3 2x3,-In x1\r(x1)=In x2\r(x2)=In x3 \r(x3)=a, 即===a)2<le, -In x1.In x3=\alvs4\alicol(f(r(a)2))2.x1.x3<\alvs4\alcol(f(r(a)2))2.x3= x3)02r(x3), 由(i)可知，x3>e,gx3)=x3)D2r(x3)≤4e2,则-lnx1lnx3<4e2 由(e-2)2>0,得e2>4e-4=4(e-1),即4e2<1e-1, 独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.c0m☐ 您身边的互联网+教辅专家 则-In x1-In x3<4e2<1e-1 令=t,则=t>1,==, 整理得lnx2=lnt-l,nx3=ttt-l, 故lnx2lnx3=t0lnt口20t-102(t>1). 证明nx2-nxl)nx3<1+1e-1. -In xl-In x3<le-1以及lnx2lnx3=t☐lnt口2口t-1口2(t>1).可以得到 (In x2-In x1)In x3=In x2.In x3-In x1.In x3<t In t t-2+le-1. 要证(nx2-nx)nx3<4ee-l,证t口nt口2口t-1口2<1即可， 即证lnt<t-Ir(tt>lI), 令h(①=lnt-t-1r①，则h'()=t)-1口22tr(), 又t>1,则h'()<0,h(0在(1，+∞)上单调递减， 则h()<0,即lnt<t-lr(),命题得证. ·独家授权侵权必究·