第一章 第4节 一元二次不等式及其解法-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关Word教案

该高中数学教案聚焦一元二次不等式解法、恒成立问题及实际应用等高考核心考点，按“必备知识-自主诊断-分层考点”逻辑架构知识点，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生突破含参不等式分类讨论、二次函数图象应用等难点，体现复习教学的系统性和针对性。 教案采用多维探究与分层训练结合的创新教学方法，在恒成立问题教学中，通过二次函数图象分析参数范围培养直观想象，分“R上恒成立、区间恒成立、参数范围恒成立”角度突破，配合题组集训和真题演练提升数学思维。设置基础诊断、能力提升、综合应用分层练习，确保高效复习，助力学生构建解题模型，帮助教师精准把控复习节奏。

第4节　一元二次不等式及其解法 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义． 2．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系 1.一元二次不等式的解法，达成直观想象和数学运算素养． 2．与一元二次不等式有关的恒成立问题，提升直观想象和数学运算素养． 3．一元二次不等式的实际应用，增强数学建模和数学运算素养 　　一元二次不等式、分式不等式的解法，及一元二次不等式的恒成立问题是高考的热点，常常与集合运算、函数定义域求解、用导数求单调区间等问题结合考查．题型多样，选择题或填空题考查解法及恒成立问题，难度不大，属于低中档题型，解答题与导数结合，考查函数的单调性，难度中等及以上，属于中高档题 　　　　　　　　对应学生用书P10 [必备知识] 1．一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数 大于 零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)． (2)计算相应的 判别式 ． (3)当 Δ≥0 时，求出相应的一元二次方程的根． (4)利用二次函数的图象与x轴的 交点 确定一元二次不等式的解集． 2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个相异实根x1， x2(x1＜x2) 有两个相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＜x1，或x＞x2} 　　 　R　 ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 　简单的分式不等式与一元二次不等式的等价关系 1.＞0等价于(x－a)(x－b)＞0. 2.＜0等价于(x－a)(x－b)＜0. 3.≥0等价于 4.≤0等价于 [自主诊断] [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　 ) (2)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　　 ) (3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(　　 ) (4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　 ) (5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集．(　　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ [小题查验] 1．函数f(x)＝的定义域是(　　 ) A．(－∞，1)∪(3，＋∞)　　　 B．(1,3) C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3) 解析：D　[由题意知即 故函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3)．] 2．不等式≤0的解集是(　　 ) A．(－∞，－1)∪(－1,2] B．[－1,2] C．(－∞，－1)∪[2，＋∞) D．(－1,2] 解析：D　[≤0⇔(x＋1)(x－2)≤0，且x≠－1，即x∈(－1,2]．] 3．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(3)＝0，则不等式(2x－5)f(x－1)＜0的解集为(　　 ) A．(－∞，－2)∪ B．(4，＋∞) C.∪(4，＋∞) D．(－∞，－2) 解析：C　[因为f(x)是定义在R上的偶函数，在[0，＋∞)上单调递减，且f(3)＝0，所以f(x)在(－∞，0]上单调递增，且f(－3)＝0. 则当x＞3或x＜－3时，f(x)＜0； 当－3＜x＜3时，f(x)＞0. 不等式(2x－5)f(x－1)＜0化为或. 所以或或 解得x＞4或x∈∅或－2＜x＜， 即－2＜x＜或x＞4，即原不等式的解集为∪(4，＋∞)．] 4．(2025·上海卷)不等式<0的解集为______． 解析：∵＜0 ∴(x－3)(x－1)＜0 ∴1＜x＜3 ∴原不等式的解集为{x|1＜x＜3}，即(1,3)． 答案：(1,3) 5．(2024·上海卷)不等式x2－2x－3＜0的解集为____________． 解析：将不等式分解因式得(x－3)(x＋1)＜0，解得－1＜x＜3. 答案：(－1,3) 　　　　　　对应学生用书P11 考点一　一元二次不等式的解法(自主练透) [题组集训] 解关于x的不等式： (1)x2＋3x＋4＜0； (2)－3x2－2x＋8≤0； (3)ax2－(a＋1)x＋1<0. 解：(1)由Δ＝9－16＝－7＜0，故不等式的解集为∅. (2)原不等式等价于3x2＋2x－8≥0⇔(x＋2)(3x－4)≥0⇔x≤－2或x≥， 故不等式的解集为. (3)原不等式可化为(x－1)(ax－1)<0， ∴①当a＝0时，可解得x>1， ②当a>0时，不等式可化为(x－1)<0， ∴当a＝1时，不等式可化为(x－1)2<0，解集为∅； 当0<a<1时，>1，不等式的解集为； 当a>1时，<1，不等式的解集为； 当a<0时，不等式可化为(x－1)>0， ∴不等式的解集为， 综上可知，当a<0时， 不等式的解集为； 当a＝0时，解集为{x|x>1}； 当0<a<1时，不等式的解集为； 当a＝1时，不等式的解集为∅； 当a>1时，不等式的解集为. 1．解一元二次不等式的一般步骤 (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式． (3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 2．解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据 (1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式． (2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系． (3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两个根的大小关系，从而确定解集形式． 　提醒： 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况． 考点二　与一元二次不等式有关的恒成立问题(多维探究) 直观想象——一元二次不等式恒成立问题中的核心素养 直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程．解决一元二次不等式的恒成立问题，常常将一元二次不等式与一元二次方程、二次函数联系在一起，做到相互转化，借助于二次函数的图象——抛物线进行求解． [命题角度1]　在实数R上的恒成立　 1．若一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　 ) A．(－3,0]　　　　　 B．[－3,0) C．[－3,0] D．(－3,0) 解析：D　[2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立， 因2kx2＋kx－＜0是一元二次不等式，所以k≠0. 则必有 解得－3＜k＜0.] [命题角度2]　在给定区间上的恒成立问题　 2．设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，则m的取值范围是____________________. [破题关键点]　函数f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立，即m2＋m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立．方法一：构造函数g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]，分m＞0与m＜0两种情况判断g(x)在[1,3]上的单调性，由g(x)max＜0求出m的取值范围； 方法二：由于x2－x＋1＝2＋＞0，所以将参数m分离出来，即m＜， 转化为求函数y＝在[1,3]上的最小值． 解析：要使f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立， 则mx2－mx＋m－6＜0， 即m2＋m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法： 法一：令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]． 当m＞0时，g(x)在[1,3]上是增函数， 所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0. 所以m＜，则0＜m＜. 当m＜0时，g(x)在[1,3]上是减函数， 所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0. 所以m＜6，所以m＜0. 综上所述，m的取值范围是. 法二：因为x2－x＋1＝2＋＞0， 又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜. 因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m＜即可． 因为m≠0，所以m的取值范围是 . 答案： [命题角度3]　给定参数范围的恒成立问题　 3．已知a∈[－1,1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为(　　 ) A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞) C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(1,3) 解析：C　[把不等式的左端看成关于a的一次函数， 记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4， 则由f(a)＞0对于任意的a∈[－1,1]恒成立， 所以f(－1)＝x2－5x＋6＞0， 且f(1)＝x2－3x＋2＞0即可，解不等式组得x＜1或x＞3.] 恒成立问题求解思路 (1)由一元二次不等式在R上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解． (2)由一元二次不等式在x∈[a，b]上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值≥0，从而求参数的范围． (3)由一元二次不等式对于参数m∈[a，b]恒成立确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数． 考点三　一元二次不等式的实际应用(师生共研) [典例]　某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ [思维导引]　(1)由年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量，建立年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)由本年度的年利润比上年度有所增加，建立关于投入成本增加的比例x的不等式组，求x的取值范围． [解析]　(1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x) (0<x<1)， 整理得y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0<x<1)． (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有 即解得0<x<， 所以投入成本增加的比例应在范围内． 求解不等式应用题的四个步骤 [跟踪训练] 某农贸公司按每担200元收购某农产品，并且每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点． (1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式； (2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围． 解：(1)降低税率后的税率为(10－x)%， 农产品的收购量为a(1＋2x%)万担， 收购总金额为200a(1＋2x%)万元． 依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)% ＝a(100＋2x)(10－x)(0<x<10)． (2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)． 依题意得a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%， 化简得x2＋40x－84≤0，解得－42≤x≤2. 又∵0<x<10，∴0<x≤2. ∴x的取值范围为(0,2]. 学科网（北京）股份有限公司 $