第一章 第2节 充分条件与必要条件、量词-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关Word教案

第2节　充分条件与必要条件、量词 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件、充分条件与充要条件的意义． 2．通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义． 3．能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定，能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定 1.充分、必要条件的判断与应用，提升数学抽象和逻辑推理的素养． 2．全称量词命题、存在量词命题的真假判断，达成直观想象和逻辑推理的素养． 3．含有一个量词的命题的否定，形成和发展数学抽象的素养 　　充要条件的判断、全称量词命题、存在量词命题的真假判断以及对含有一个量词的命题进行否定是高考的热点，多以选择题或填空题的形式出现，一般难度不会太大，属中低档题型，常和函数、不等式及立体几何中直线、平面的位置关系等有关知识相结合，考查考生的逻辑推理等能力 　　　　　　　　对应学生用书P4 [必备知识] 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 p是q的 充分条件 ，q是p的 必要条件 p⇒q p是q的 充分不必要 条件 p⇒q且qp p是q的 必要不充分 条件 pq且q⇒p p是q的 充要 条件 p⇔q p是q的 既不充分也不必要 条件 pq且q p 2.全称量词和存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“ ∀ ”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“ ∃ ”表示． 3．全称量词命题、存在量词命题及含一个量词的命题的否定 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称量 词命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 ∀x∈M， p(x) ∃x∈M，綈p(x) 存在量 词命题 存在M中的一个元素x，使p(x)成立 ∃x∈M， p(x) ∀x∈M，綈p(x) 　若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)． [自主诊断] [思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若p是q成立的充分条件，则q是p成立的必要条件．(　　) (2)若p是q成立的充要条件，则可记为p⇔q.(　　) (3)存在一个集合，它里面没有任何元素．(　　) (4)“对顶角相等”是全称量词命题．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ [小题查验] 1．(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|＞1，命题q：∃x＞0，x3＝x，则(　　) A．p和q都是真命题 B．綈p和q都是真命题 C．p和綈q都是真命题 D．綈p和綈q都是真命题 解析：B　[因为∀x∈R，|x＋1|≥0，所以命题p为假命题，所以綈p为真命题． 因为x3＝x，所以x3－x＝0，所以x(x2－1)＝0， 即x(x＋1)(x－1)＝0，解得x＝－1或x＝0或x＝1，所以∃x＞0，使得x3＝x， 所以命题q为真命题， 所以綈q为假命题，所以綈p和q都是真命题．] 2．(2025·北京卷)已知函数 f(x) 的定义域为D，则“函数 f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)| > M”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：A　[若函数f(x)的值域为R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得|f(x1)|＝|M|＋1， 取x0＝x1，则|f(x0)|＝|M|＋1＞M，充分性成立； 取f(x)＝2x，D＝R，则对任意M∈R，一定存在x1∈D，使得f(x1)＝|M|＋1， 取x0＝x1，则|f(x0)|＝|M|＋1＞M，但此时函数f(x)的值域为(0，＋∞)，必要性不成立； 所以“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x0∈D，使得|f(x0)|＞M”的充分不必要条件．故选：A.] 3．(2025·黄冈二模)已知命题p：∃x∈[－1,1]，x2＞a，则綈p为________________． 解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，在对命题进行否定时不能改变其大前提即变量的取值范围x∈[－1,1]，只需要将存在改为任意，后面命 题改为其反面即可，因此綈p为∀x∈[－1,1]，x2≤a. 答案：∀x∈[－1,1]，x2≤a 4．“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案：充分不必要 5．命题p的否定是“对所有正数x，>x＋1”，则命题p可写为____________． 解析：因为p是綈p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可．即命题p可写为∃x∈(0，＋∞)，≤x＋1. 答案：∃x∈(0，＋∞)，≤x＋1 　　　　　　对应学生用书P5 考点一　充分、必要条件的判断与应用(多维探究) [命题角度1]　充分、必要条件的判定　 1．(2025·天津卷)设x∈R，则“x＝0”是“sin 2x＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[由x＝0⇒sin 2x＝sin 0＝0，由sin 2x＝0⇒2x＝kπ，x＝，k∈Z不一定为x＝0 ∴sin 2x＝0x＝0 ∴x＝0是sin 2x＝0的充分不必要条件．] 2．(2025·浙江质检)设x∈R，则“sin x＝1”是“cos x＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[若sin x＝1，则x＝＋2kπ，k∈Z， cos x＝0；若cos x＝0，则x＝＋kπ，k∈Z，sin x＝1或sin x＝－1.故sin x＝1可推出cos x＝0，充分性成立；反之不成立，必要性不成立，故为充分不必要条件．] 3．(2025·天津质检)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[由a2＝b2，则a＝±b，当a＝－b≠0时，a2＋b2＝2ab不成立，充分性不成立； 由a2＋b2＝2ab，则(a－b)2＝0，即a＝b， 显然a2＝b2成立，必要性成立； 所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．] 命题的充分、必要条件的判断方法 (1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假． (2)等价法：利用A⇒B与綈B⇒綈A，B⇒A与綈A⇒綈B，A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法． (3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件． [命题角度2]　利用充要条件求参数的取值(范围)　 [典例]　已知p：－2≤x≤10，q：(x－a)(x－a－1)>0，若p是q成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______________________． 逻辑推理——充分、必要条件关系中的核心素养 充分、必要条件问题中常涉及参数取值(范围)问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，充分体现“逻辑推理”的核心素养．具体见下表： 信息提取 信息解读 逻辑推理 p：－2≤x≤10，q：(x－a)(x－a－1)>0 p对应集合{x|－2≤x≤10}，q对应集合{x|x>a＋1，或x<a} 着眼点一：若p是q成立的充分不必要条件，则{x|－2≤x≤10}{x|x>a＋1，或x<a}． 着眼点二：借助于数轴将集合间的基本关系转化为关于实数a的不等式组 p是q成立的充分不必要条件 {x|－2≤x≤10}{x|x>a＋1，或x<a} [解析]　由(x－a)(x－a－1)>0，得x>a＋1或x<a，由题意，得{x|－2≤x≤10}{x|x>a＋1，或x<a}， 所以a＋1<－2或a>10，即a<－3或a>10. 所以实数a的取值范围是(－∞，－3)∪(10，＋∞)． [答案]　(－∞，－3)∪(10，＋∞) [互动探究] 本例中，若p：－2<x<10，q：(x－a)(x－a－1)≥0，其他条件不变，则a的取值范围是__________． 解析：由(x－a)(x－a－1)≥0，得x≥a＋1或x≤a，由题意得{x|－2<x<10}{x|x≥a＋1，或x≤a}．所以a＋1≤－2，或a≥10，即a≤－3，或a≥10.所以a的取值范围是(－∞，－3]∪[10，＋∞)． 答案：(－∞，－3]∪[10，＋∞) (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解． (2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p是綈q的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件． [跟踪训练] 已知p：＜2x＜16，q：(x＋2)(x＋a)＜0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为(　　) A．[－4，＋∞)　　　　　 B．(－∞，－4) C．(－∞，－4] D．(4，＋∞) 解析：B　[由＜2x＜16，得－2＜x＜4， 即p：－2＜x＜4. 方程(x＋2)(x＋a)＝0的两个根分别为－a，－2. ①若－a＞－2，即a＜2，则条件q：(x＋2)(x＋a)＜0等价于－2＜x＜－a，由p是q的充分不必要条件可得－a＞4，则a＜－4； ②若－a＝－2，即a＝2，则q：(x＋2)(x＋a)＜0无解，不符合题意； ③若－a＜－2，即a＞2，则q：(x＋2)(x＋a)＜0等价于－a＜x＜－2，不符合题意． 综上，可得a的取值范围为(－∞，－4)．] 考点二　全称量词命题、存在量词命题 [命题角度1]　全称量词命题、存在量词命题的真假判断(自主练透)　 1．下列命题中，是假命题的是(　　) A．∀x∈R，x2≥0 B．∀x∈R,2x－1>0 C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，sin x＋cos x＝2 解析：D　[A显然正确；由指数函数的性质知2x－1>0恒成立，所以B正确；当0<x<10时，lg x<1，所以C正确；因为sin x＋cos x＝sin， 所以－≤sin x＋cos x≤，所以D错误．] 2．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若m满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项中的命题为假命题的是(　　) A．∃x∈R，f(x)≤f(m) B．∃x∈R，f(x)≥f(m) C．∀x∈R，f(x)≤f(m) D．∀x∈R，f(x)≥f(m) 解析：C　[因为a>0，所以函数f(x)＝ax2＋bx＋c在x＝－处取得最小值．所以f(m)是函数f(x)的最小值．] 3．下列命题中，是真命题的是(　　) A．∃x∈，sin x＋cos x≥2 B．∀x∈(3，＋∞)，x2>2x＋1 C．∃x∈R，x2＋x＝－1 D．∀x∈，tan x>sin x 解析：B　[对于选项A，sin x＋cos x＝sin≤，所以此命题不成立；对于选项B，x2－2x－1＝(x－1)2－2，当x>3时，(x－1)2－2>0，所以此命题成立；对于选项C，x2＋x＋1＝2＋>0，所以x2＋x＝－1对任意实数x都不成立，所以此命题不成立；对于选项D，当x∈时，tan x<0，sin x>0，命题显然不成立. ] 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称量 词命题 真 所有对象使命题真 否定为假 假 存在一个对象使命题假 否定为真 存在量 词命题 真 存在一个对象使命题真 否定为假 假 所有对象使命题假 否定为真 提醒：不管是全称量词命题，还是存在量词命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假． [命题角度2]　含有一个量词的命题的否定(自主练透)　 4．已知命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0，则綈p为(　　) A．∃x∈R，x2＋2x＋2＞0 B．∃x∈R，x2＋2x＋2＜0 C．∀x∈R，x2＋2x＋2≤0 D．∀x∈R，x2＋2x＋2＞0 解析：D　[根据存在量词命题的否定，存在量词改为全称量词，同时把小于等于号改为大于号．] 5．已知命题p：所有指数函数都是单调函数，则綈p为(　　 ) A．所有的指数函数都不是单调函数 B．所有的单调函数都不是指数函数 C．存在一个指数函数，它不是单调函数 D．存在一个单调函数，它不是指数函数 解析：C　[命题p：所有指数函数都是单调函数，则綈p：存在一个指数函数，它不是单调函数．] 6．(2025·安庆二模)已知命题p：“存在x∈[1，＋∞)，使得(log23)x>1”，则下列说法正确的是(　　 ) A．綈p：“任意x∈[1，＋∞)，使得(log23)x<1” B．綈p：“不存在x∈[1，＋∞)，使得(log23)x<1” C．綈p：“任意x∈[1，＋∞)，使得(log23)x≤1” D．綈p：“任意x∈(－∞，1)，使得(log23)x≤1” 解析：C　[因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以綈p：“任意x∈[1，＋∞)，使得(log23)x≤1”．] 7．(2025·菏泽质检)已知命题p：∃x∈R，sin x＜1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是(　　) A．p∧q　　　　　　 B．綈p∧q C．p∧綈q D．綈(p∨q) 解析：A　[由已知可得命题p为真命题，命题q为真命题，所以p∧q为真命题．] 全称量词命题与存在量词命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称量词命题和存在量词命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可． 提醒：对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定． [命题角度3]　参数的取值范围问题(师生共研)　 8．已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若∃x∈(－1,1)，使得f(x)＝0，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－3)∪(1，＋∞) B．(－∞，－3) C．(－3,1) D．(1，＋∞) 解析：A　[依题意可得f(－1)·f(1)＜0，即(－2a－a＋3)·(2a－a＋3)＜0，解得a＜－3或a＞1.] 9．若命题“对∀x∈R，kx2－kx－1＜0”是真命题，则实数k的取值范围是________________． 解析：“对∀x∈R，kx2－kx－1＜0”是真命题，当k＝0时，则有－1＜0；当k≠0时，则有k＜0且Δ＝(－k)2－4×k×(－1)＝k2＋4k＜0，解得－4＜k＜0，综上所述，实数k的取值范围是(－4,0]． 答案：(－4,0] 10．已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是______________． 解析：当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0， 当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝－m， 由f(x)min≥g(x)min， 得0≥－m，所以m≥. 故实数m的取值范围是. 答案： [引申探究] 若将10题中“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是__________________． 解析：当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝－m， 由f(x)min≥g(x)max，得0≥－m，∴m≥. 故实数m的取值范围是. 答案： 对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决． [跟踪训练] 已知命题“∃x∈R，使2x2＋(a－1)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)　　　　　 B．(－1,3) C．(－3，＋∞) D．(－3,1) 解析：B　[原命题的否定为∀x∈R,2x2＋(a－1)x＋＞0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a－1)2－4×2×＜0，则－2＜a－1＜2，即－1＜a＜3.] 学科网（北京）股份有限公司 $