第二章 第9节 函数模型及应用-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关Word课时作业

第9节　函数模型及应用 1．如图，下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有(　　) A．1个　 B．2个　　 C．3个　 D．4个 解析：A　[将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来，图①应该是匀速的，故下面的图象不正确，②中的变化率是越来越慢的，正确；③中的变化规律是逐渐变慢再变快，正确；④中的变化规律是逐渐变快再变慢，也正确，故只有①是错误的．] 2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是(　　) A．y＝2x B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 解析：D　[根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知D满足题意．] 3．某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为(　　) A．13立方米 B．14立方米 C．15立方米 D．16立方米 解析：C　[设该职工这个月实际用水为x立方米， ∵每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费， ∴用水不超过10立方米的缴水费不超过30元． ∵该职工这个月缴水费55元， ∴该职工这个月实际用水超过10立方米，超过部分的水费＝(x－10)×5，∴由题意可列出一元一次方程式：30＋(x－10)×5＝55，解得x＝15.] 4．(2025·北京二中模拟)2021年诺贝尔物理学奖揭晓，获奖科学家真锅淑郎(Syukuro Manabe)、克劳斯·哈塞尔曼(Klat Hasselmann)的杰出贡献之一是建立了地球气候物理模型，该模型能够可靠地预测全球变暖情况．研究表明大气中二氧化碳的含量对地表温度有明显的影响：当大气中二氧化碳的含量每增加25%，地球平均温度就要上升0.5 ℃.若到2050年，预测大气中二氧化碳的含量是目前的4倍，则地球平均温度将上升约(参考数据：lg 2≈0.301 0)(　　) A．1 ℃ B．2 ℃ C．3 ℃ D．4 ℃ 解析：C　[设目前大气中二氧化碳的含量为a.由题意，知当二氧化碳的含量为1.25a时，地球平均温度上升0.5 ℃，当二氧化碳的含量为a×1.252时，地球平均温度上升(0.5×2) ℃……当大气中二氧化碳的含量为a×1.25a时，地球平均温度上升(0.5×n) ℃.令a×1.25a＝4a，即1.25a＝4，方程两边同时取常用对数，则n＝＝＝＝6，所以到2050年，地球平均温度将上升约0.5×6＝3(℃)．] 5．(2025·黄冈中学诊断性考试)某公司为实现利润目标制定奖励制度，其中规定利润超过10万元且少于1 000万元时，员工资金总额y(单位：万元)随利润x(单位：万元)的增加而增加，且资金总额不超过5万元，则y关于x的函数可以为(　　) (参考数据：1.0021 000≈7.37，lg 7＝0.845) A．y＝1.002x B．y＝log7x＋1 C．y＝x－5 D．y＝5＋sin x 解析：B　[由题意，函数在x∈(10,1 000)时为增函数，故D不合题意，排除D； 因为当x∈(10,125)时，y＝x－5＜0，故C不符合题意，排除C； 当x＝1 000时，1.0021 000≈7.37＞5， 故y＝1.002x不符合题意，排除A； 因为y＝log7x＋1为增函数，且x＞10时，y＞0，当x＝1 000时，y＝＋1≈4.55＜5，满足题意，故B正确．] 6．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了____________km. 解析：设出租车行驶x km时，付费y元， 则y＝ 由y＝22.6，解得x＝9. 答案：9 7．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过___________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一． 解析：依题意有a·e－b×8＝a，∴b＝－， ∴y＝a· 若容器中只有开始时的八分之一， 则有a＝a，解得t＝24， 所以再经过的时间为24－8＝16 min. 答案：16 8．(双空填空题)某种物质在时刻t (min)的浓度M (mg/L)与t的函数关系为M(t)＝art＋24(a，r为常数)．在t＝0 min和t＝1 min测得该物质的浓度分别为124 mg/L和64 mg/L，那么在t＝4 min时，该物质的浓度为____________mg/L；若该物质的浓度小于24.001 mg/L，则最小的整数t的值为____________．(参考数据：lg 2≈0.301 0) 解析：根据条件：ar0＋24＝124，ar＋24＝64， ∴a＝100，r＝.∴M(t)＝100t＋24， ∴M(4)＝1004＋24＝26.56. 由100t＋24<24.001，得t<(0.1)5， ∴lg t<lg(0.1)5，∴tlg<－5， ∴t[lg 2－(1－lg 2)]＜－5. ∴t(2lg 2－1)＜－5，代入lg 2≈0.301 0， 得－0.398t＜－5，解得t＞12.5.∴最小的整数t的值是13. 答案：26.56　13 9．A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度． (1)求x的取值范围； (2)把月供电总费用y表示成x的函数； (3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？ 解：(1)由已知，x的取值范围为10≤x≤90. (2)y＝5x2＋(100－x)2(10≤x≤90)． (3)因为y＝5x2＋(100－x)2 ＝x2－500x＋25 000 ＝2＋， 所以当x＝时，ymin＝. 故核电站建在距A城 km处，能使供电总费用y最少． 10．如图，GH是一条东西方向的公路，现准备在点B的正北方向的点A处建一仓库，设AB＝y千米，并在公路旁边建造边长为x千米的正方形无顶中转站CDEF(其中边EF在公路GH上)．若从点A向公路和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB＝AC＋1，且∠ABC＝60°. (1)求y关于x的函数解析式； (2)如果中转站四周围墙的造价为10万元/千米，道路的造价为30万元/千米，问x取何值时，修建中转站和道路的总造价M最低？ 解：(1)由题意易知x>1，BC＝2x， 又AB＝y，AC＝y－1， 在△ABC中，由余弦定理得， (y－1)2＝y2＋4x2－2y·2x·cos 60°， 所以y＝(x>1)． (2)M＝30(2y－1)＋40x ＝－30＋40x，其中x>1， 设t＝x－1，则t>0， 所以M＝－30＋40(t＋1) ＝160t＋＋250≥2＋250＝490， 当且仅当t＝时等号成立，此时x＝. 所以当x＝时，修建中转站和道路的总造价M最低． 学科网（北京）股份有限公司 $