第14讲 椭圆离心率6种常考题型-【同步题型讲义】2022-2023学年高二数学同步教学题型讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第14讲 椭圆离心率6种常考题型 考点分析 椭圆的离心率， 题型目录 题型一：利用，利用椭圆定义去转换，利用焦距表示 题型二：利用与建立一次二次方程不等式 题型三：利用相似、垂直、平行等几何关系求离心率 题型四：利用焦半径的取值范围为，求离心率范围 题型五：利用最大顶角求离心率范围问题 题型六：利用不等式、二次函数等方法解决离心率范围综合问题 典型例题 题型一：利用，利用椭圆定义去转换，利用焦距表示 在处理问题的时候一定要注意定义优先原则，用上椭圆定义，再结合平面几何、三角函数、不等式、以及函数的内容，往往可以解决诸多离心率问题． 【例1】（四川高二期末（文））椭圆的左右焦点分别是，，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点，若直线恰好与圆相切于点，则椭圆的离心率为（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，，所以， 所以，所以离心率为．故选：C． 【例2】（2022·全国·高二课时练习）过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线，交椭圆于A，B两点，为椭圆的左焦点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为为正三角形，所以结合椭圆的定义可得，所以椭圆的离心率，代入即可得出答案. 【详解】图所示，易知，． 由椭圆的定义可得，则该椭圆的离心率． 故选：A. 【例3】已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与相交于两点（在第一象限）.若四点共圆，且直线的倾斜角为，则椭圆的离心率为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 依据四点共圆，且直线的倾斜角为，利用椭圆定义可得，进而求得椭圆的离心率 【详解】 根据题意四边形为平行四边形， 又由四点共圆，可得平行四边形为矩形，即 又直线的倾斜角为，则有 则，， 则，即 则椭圆的离心率 故选：B 【例4】已知椭圆：的左、右焦点分别是，，是椭圆上的动点，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则椭圆的离心率为(       ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 连接PO，则三点共线，延长交轴于点，则由平行于轴得，从而可得，根据三角形内心的性质可得，从而可得离心率． 【详解】 ∵是的中点，G是的重心，∴三点共线， 延长交轴于点，则由平行于轴知，， 则,设内切圆半径为r， 则， ∴椭圆的离心率为． 故选：A﹒ 【题型专练】 1.（2022·新疆克拉玛依·三模（理））已知椭圆的上焦点为，过原点的直线交于点，且，若，则的离心率为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的对称性、椭圆的定义，结合直角三角形的判定方法、平行四边形的性质、椭圆的离心率公式进行求解即可. 【详解】设椭圆的上焦点为，显然， 因为过原点的直线交于点， 所以有，因此四边形是平行四边形， 又因为，所以有， 因此三角形是以为斜边的直角三角形， 因为，所以， 因为是平行四边形， 所以，由椭圆的定义可知：， 故选：A 2.已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 利用椭圆定义和勾股定理可构造齐次方程求得离心率. 【详解】 设，则，由椭圆定义知：； ，，即，， ，椭圆的离心率. 故选：C. 3.过椭圆的左、右焦点，作倾斜角分别为和的两条直线，．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 利用正弦定理确定的边角关系，结合椭圆的定义及离心率的定义求离心率的值. 【详解】 在中，由正弦定理可得 所以， 所以该椭圆的离心率， 故选：C． 4.（2019全国II文20）已知是椭圆的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点． （1）若为等边三角形，求C的离心率； 【解析】（1）连结，由为等边三角形可知在中，，，，于是，故的离心率是． 题型二：利用与建立一次二次方程不等式 在处理此类问题的时候，一般要用到余弦定理，或者带入椭圆，总之就是找到之间的关系 【例1】（黄冈天有高级中学高二月考）已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不妨设椭圆方程为，焦点，离心率为e， 将代入可得，所以, 又是等腰直角三角形，所以， 所以即，所以，解得（负值舍去）. 故选：C. 【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义以及焦点三角形中的余弦定理即可建