第二章 第8节 函数与方程-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关Word课时作业

第8节　函数与方程 1．下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是(　　) 解析：C　[A中函数没有零点，因此不能用二分法求零点；B中函数的图象不连续；D中函数在x轴下方没有图象．] 2．函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．3　　　 B．2 　　　　 C．1　　　 D．0 解析：B　[当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0，得x1＝1(舍去)，x2＝－3；当x>0时，由f(x)＝－2＋ln x＝0，得x＝e2，所以函数f(x)的零点个数为2.] 3．函数f(x)＝ex＋2x－3的零点所在的一个区间是(　　) A. B． C. D． 解析：C　[因为，f(1)＝e－1＞0，所以零点在区间上．] 4．(多选题)下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是(　　) 解析：BD　[y＝的定义域为(0，＋∞)且为减函数，y＝2x－1在(－1,1)上有零点且为增函数，y＝x2－在(－1,1)上不单调，y＝x3在(－1,1)上有零点且为增函数．] 5．(多选题)(2025·河南新乡二模)关于函数f(x)＝(e为自然对数的底数)的零点，下列说法中正确的是(　　) A．若k＝0，则f(x)没有零点 B．函数f(x)可能有三个零点 C．函数f(x)仅有一个零点的充要条件是k<－1 D．函数f(x)有两个零点的充要条件是k>e或－1≤k<0 解析：AD　[已知函数f(x)＝ 若k＝0，则f(x)＝当x≤0时，f(x)∈(0,1]；当x>0时，f(x)<0，则f(x)没有零点，所以A正确； 若k<0，则当x≤0时，令f(x)＝ex＋k＝0，得k＝－ex，所以－1≤k<0，则f(x)在(－∞，0]上存在一个零点．当k<－1时，f(x)在(－∞，0]上没有零点．当x>0时，f′(x)＝－1<0，f(x)单调递减，当x→0＋时，f(x)>0，当x→＋∞时，f(x)<0，所以当k<0时，f(x)在(0，＋∞)上有一个零点．所以，当k<－1时，f(x)只有一个零点，当－1≤k<0时，f(x)有两个零点． 若k>0，则当x≤0时，f(x)＝ex＋k>0，无零点．当x>0时，f′(x)＝－1＝，当0<x<k时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>k时，f′(x)<0，f(x)单调递减，则f(x)max＝f(k)＝kln k－k＝k(ln k－1)． 又当x→0＋时，f(x)<0，当x→＋∞时，f(x)<0，当k＝e时，f(x)max＝k(ln k－1)＝0，f(x)仅有一个零点；当0＜k＜e时，f(x)max＝k(ln k－1)＜0，f(x)没有零点；当k＞e时，f(x)max＝k(ln k－1)＞0，f(x)存在两个零点，所以当k＞e时，f(x)有两个零点，当k＝e时，f(x)有一个零点，当0＜k＜e时，f(x)没有零点，所以B，C不正确，D正确．] 6．函数f(x)＝则函数y＝f[f(x)]＋1的所有零点所构成的集合为______． 解析：由题意知f[f(x)]＝－1， 由f[f(x)]＝ 得函数y＝f[f(x)]＋1的零点就是使f(x)＝－2或f(x)＝的x值， 解f(x)＝－2，得x＝－3或x＝； 解f(x)＝，得x＝－或x＝， 从而函数y＝f[f(x)]＋1的零点构成的集合为. 答案：. 7．(2025·郑州质检)请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式f(x)＝________. ①f(1－x)＝f(1＋x)；②f(x)至少有两个零点； ③f(x)有最小值． 解析：性质①说明函数图象关于x＝1轴对称，我们首先想到的应该就是二次函数y＝x2－2x＋c，然后对照②③进行修正，②说明Δ＞0，③要求二次函数开口向上，因此y＝x2－2x＋c是正确的，只需要对c进行赋值使其满足题目要求即可，c可以是小于1的任何一个数，c＝0最简单，相比其他结果，这个答案相对来说是用时最短的． 答案：x2－2x(答案不唯一) 8．(双空填空题)设函数f(x)＝ ，则f(f(e))＝__________，函数y＝f(x)－1的零点为________． 解析：因为f(x)＝， 所以f(e)＝ln e＝1， f(f(e))＝f(1)＝tan 0＝0， 若0<x≤1，f(x)＝1⇒tan＝1，方程无解； 若x>1，f(x)＝1⇒ln x＝1⇒x＝e. 答案：0　e 9．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)． (1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点； (2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3， 令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1. ∴函数f(x)的零点为3或－1. (2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根，∴b2－4a(b－1)>0恒成立， 即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立， 所以有(－4a)2－4×(4a)<0⇒a2－a<0，解得0<a<1，因此实数a的取值范围是(0,1)． 10．设函数f(x)＝(x>0)． (1)作出函数f(x)的图象； (2)当0<a<b且f(a)＝f(b)时，求＋的值； (3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围． 解：(1)如图所示． (2)∵f(x)＝＝ 故f(x)在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数． 由0<a<b且f(a)＝f(b)，得0<a<1<b且－1＝1－，∴＋＝2. (3)由函数f(x)的图象可知，当0<m<1时，方程f(x)＝m有两个不相等的正根，故m的取值范围是(0,1)． 学科网（北京）股份有限公司 $