第二章 第5节 对数与对数函数-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关Word课时作业

第5节　对数与对数函数 1．log2＋log26＝(　　) A．1　　 B．2　　　 C．5　　 D．6 解析：B　[原式＝log2＝log222＝2.] 2．(2025·全国一卷)已知2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能是(　　) A．x＞y＞z B．x＞z＞y C．y＞x＞z D．y＞z＞x 解析：B　[设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝t，则x＝2t－2，y＝3t－3，z＝5t－5，取t＝0，易知x>y>z，排除A；取t＝5，易知y>x>z，排除C；取t＝8，易知y>z>x，排除D.故选B.] 3．(2025·北京卷)在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T＝klog2N(单位：小时)，其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加(单位：小时)(　　) A．2 B．4 C．20 D．40 解析：B　[设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时所需时间分别为T1，T2，T3， 由题意，T1＝klog2106＝6klog210， T2＝klog2(1.024×109)＝klog2(210×106)＝k(10＋6log210)， T3＝klog2(4.096×109)＝klog2(212×106)＝k(12＋6log210)， 因为T2－T1＝k(10＋6log210)－6klog210＝10k＝20，所以k＝2， 所以T3－T2＝k(12＋6log210)－k(10＋6log210)＝2k＝4， 所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加4小时．故选：B.] 4．(2025·烟台5月质检)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(　　) A．25 B．5 C. D． 解析：C　[将log83＝b转化为指数，得到8b＝3.再结合指数的运算性质，8b＝(23)b＝23b＝3，因此2a－3b＝＝，所以4a－3b＝.] 5．(2025·黑龙江大庆三模)纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向，研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间t和放电电流I之间关系的经验公式：C＝Iλt，其中λ为与蓄电池结构有关的常数(称为Peukert常数)，在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A时，放电时间为60 h；当放电电流为25A时，放电时间为15 h，则该蓄电池的Peukert常数λ约为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　) A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15 解析：D　[由题意知C＝7.5λ×60＝25λ×15，所以λ＝λ＝＝4，两边取以10为底的对数，得λlg ＝2lg 2，所以λ＝≈2×≈1.15，故选D.] 6．已知函数f(x)＝ln(－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝____________. 解析：f(－x)＝ln (＋x)＋1(x∈R)， f(x)＋f(－x)＝ln(－x)＋1＋ ln(＋x)＋1＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2， ∴f(a)＋f(－a)＝2，∴f(－a)＝－2. 答案：－2 7．已知函数y＝f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝log2x，则f的值等于_________． 解析：∵y＝f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)． ∵当x＞0时，f(x)＝log2x， ∴f＝log2＝－2， 则f＝f(－2)＝－f(2)＝－1. 答案：－1 8．(双空填空题)已知a>b>1，若loga b＋logb a＝，ab＝b a，则a＝____________，b＝____________. 解析：由于a>b>1，则loga b∈(0,1)，因为logab＋logb a＝，即logab＋＝，所以logab＝或logab＝2(舍去)，所以，即a＝b2，所以ab＝(b2)b＝b2b＝b a，所以a＝2b，b2＝2b，所以b＝2(b＝0舍去)，a＝4. 答案：4　2 9．计算： (2)2(lg)2＋lg ·lg 5＋. (2)原式＝lg (2lg ＋lg 5)＋ ＝lg (lg 2＋lg 5)＋|lg －1| ＝lg ＋1－lg＝1. 10．(2024·上海卷)已知函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)． (1)若函数f(x)的图象过点(4,2)，求不等式f(2x－2)＜f(x)的解集； (2)若存在x使得f(x＋1)，f(ax)，f(x＋2)依次成等差数列，求实数a的取值范围． 解：(1)由y＝f(x)过(4,2)，可得loga4＝2，则4＝a2⇒a＝±2，又a＞0，故a＝2，因为f(x)＝log2x在(0，＋∞)上是严格增函数，f(2x－2)＜f(x)⇒0＜2x－2＜x⇒1＜x＜2，所以解集为(1,2)． (2)因为f(x＋1)，f(ax)，f(x＋2)成等差数列，所以f(x＋1)＋f(x＋2)＝2f(ax)， 即loga(x＋1)＋loga(x＋2)＝2loga(ax)有解，化简可得loga(x＋1)(x＋2)＝loga(ax)2， 得(x＋1)(x＋2)＝(ax)2且⇒x＞0， 则a2＝在(0，＋∞)上有解， 又＝＋＋1＝22－， 故在(0，＋∞)上，＞22－＝1，即a2＞1⇒a＜－1或a＞1，又a＞0，所以a＞1. 故实数a的取值范围为(1，＋∞)． 学科网（北京）股份有限公司 $