第二章 第3节 函数的奇偶性与周期性-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关Word课时作业

第3节　函数的奇偶性与周期性 1．下列函数中，既是偶函数又在(－∞，0)上单调递减的函数是(　　) A．y＝－x3　　　　　　　 B．y＝2|x| C．y＝x－2 D．y＝log3(－x) 解析：B　[选项A，函数是奇函数，不满足条件；选项B，函数是偶函数，当x＜0时，y＝2|x|＝2－x＝x是减函数，满足条件；选项C，函数是偶函数，当x＜0时，y＝x－2＝是增函数，不满足条件；选项D，函数的定义域为(－∞，0)，不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足条件．] 2．(2025·聊城模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝－x5－3x＋a－1，则f(－a)的值为(　　) A．1　　　B．2　　　　C．3　　　 D．4 解析：D　[由题意得f(0)＝a－1＝0，解得a＝1，所以当x≥0时，f(x)＝－x5－3x，所以f(－a)＝－f(a)＝－f(1)＝－(－1－3)＝4.] 3．(多选题)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1) C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1) D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，－1) 解析：CD　[将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减，在(－∞，－1)上单调递增．] 4．(2025·山东实验中学三模)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)为偶函数，f(x＋2)－1为奇函数．若f(1)＝0，则＝(　　) A．23 B．24 C．25 D．26 解析：C　[依题意有f(－x＋1)＝f(x＋1)，f(x＋2)－1＝－(f(－x＋2)－1)，即f(x)关于x＝1对称，关于点(2,1)中心对称，所以f(x)的周期为4，所以f(2)＝1，f(3)＝2，f(4)＝1，再由周期性可知＝24，故＝25.] 5．(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，且当x<3时，f(x)＝x，则下列结论中一定正确的是(　　) A．f(10)>100 B．f(20)>1 000 C．f(10)<1 000 D．f(20)<10 000 解析：B　[由题意可知，当x＜3时，f(x)＝x，所以可知f(1)＝1，f(2)＝2， 又因为∀x∈R，f(x)＞f(x－1)＋f(x－2)，所以f(3)＞f(1)＋f(2)＝3，f(4)＞f(2)＋f(3)＞5，同理可得，f(5)＞8，f(6)＞13，f(7)＞21，f(8)＞34，f(9)＞55，f(10)＞89，f(15)＞987，f(16)＞1 597，…，显然f(16)＞1 000，所以f(20)＞1 000.] 6．(2024·上海卷)已知f(x)＝x3＋a，且f(x)是奇函数，则a＝____________. 解析：由题意可知，f(0)＝0，则a＝0. 答案：0 7．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2.若对任意x∈[m－3，m]，不等式f(2x＋m)－16f(x)≤0恒成立，则实数m的取值范围是____________． 解析：由题意得，函数f(x)在R上单调递增，所以f(2x＋m)≤16f(x)＝f(4x)，所以2x＋m≤4x，x≥恒成立，所以≤m－3，解得m≥6，即实数m的取值范围是[6，＋∞)． 答案：[6，＋∞) 8．(双空填空题)若f(x)＝k·2x＋2－x为偶函数，则k＝________________，若f(x)为奇函数，则k＝____________. 解析：f(x)为偶函数时，f(－1)＝f(1)，即＋2＝2k＋，解得k＝1.f(x)为奇函数时，f(0)＝0，即k＋1＝0，所以k＝－1(或f(－1)＝－f(1)，即＋2＝－2k－，解得k＝－1)． 答案：1　－1 9．已知函数f(x)＝是奇函数． (1)求实数m的值； (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围． 解：(1)设x<0，则－x>0， 所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)为奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)， 于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx， 所以m＝2. (2)由(1)知f(x)在[－1,1]上是增函数， 要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增． 结合f(x)的图象知 所以1<a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]． 10．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称． (1)求证：f(x)是周期为4的周期函数； (2)若f(x)＝ (0<x≤1)，求x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式． 解：(1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，有f(x＋1)＝f(1－x)， 即有f(－x)＝f(x＋2)． 又函数f(x)是定义在R上的奇函数， 故有f(－x)＝－f(x)．故f(x＋2)＝－f(x)． 从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 即f(x)是周期为4的周期函数． (2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)＝0. x∈[－1,0)时，－x∈(0,1]，f(x)＝－f(－x) ＝－. 故x∈[－1,0]时，f(x)＝－. x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1,0]， f(x)＝f(x＋4)＝－. 从而，x∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $