第一章 第4节 一元二次不等式及其解法-【创新教程】2026年高考数学艺考生文化课百日冲关Word课时作业

第4节　一元二次不等式及其解法 1．不等式≤x－2的解集是(　　) A．(－∞，0]∪(2,4] B．[0,2)∪[4，＋∞) C．[2,4) D．(－∞，2]∪(4，＋∞) 解析：B　[原不等式可化为≤0. 即 由标根法知，0≤x<2或x≥4.] 2．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集为{x|x<－3，或x>1}，则函数y＝f(－x)的图象可以为(　　) 解析：B　[由f(x)<0的解集为{x|x<－3，或x>1}，知a<0，y＝f(x)的图象与x轴交点为(－3,0)，(1,0)，∴f(－x)图象开口向下，与x轴交点为(3,0)，(－1,0)．] 3．(2025·山东东营二模)“0<a<1”是“ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[当a＝0时，1>0，显然成立；当a≠0时，解得0＜a＜1，故ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R等价于0≤a<1.因此，“0<a<1”是“ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R”的充分而不必要条件．] 4．关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是(　　) A．(4,5) B．(－3，－2)∪(4,5) C．(4,5] D．[－3，－2)∪(4,5] 解析：D　[∵关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0， ∴不等式化为(x－1)(x－a)＜0，当a＞1时，得1＜x＜a，此时解集中的整数为2,3,4，则4＜a≤5， 当a＜1时，得a＜x＜1，此时解集中的整数为－2，－1,0，则－3≤a＜－2，故a的取值范围是[－3，－2)∪(4,5]．] 5．(多选题)已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值是(　　) A．5　　　B．6　　　　C．7　　　 D．8 解析：BCD　[设f(x)＝x2－6x＋a，其图象为开口向上，对称轴为x＝3的抛物线，若关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则即解得5＜a≤8，又a∈Z，故a＝6,7,8.] 6．已知不等式ax2－5x＋b＞0的解集为{x|－3＜x＜2}，则不等式bx2－5x＋a＞0的解集为______________________. 解析：∵ax2－5x＋b＞0的解集为{x|－3＜x＜2}， ∴ax2－5x＋b＝0的根为－3,2， 即－3＋2＝，－3×2＝.解得a＝－5，b＝30. 则不等式bx2－5x＋a＞0可化为30x2－5x－5＞0，解得x<－或x>. 答案： 7．(双空填空题)若关于x的不等式>0(a，b∈R)的解集为(－∞，1)∪(4，＋∞)，则a＋b＝_____________________________，ab＝____________. 解析：若关于x的不等式>0(a，b∈R)的解集为(－∞，1)∪(4，＋∞)，则a＝1，b＝4或a＝4，b＝1， 则a＋b＝5，ab＝4. 答案：5　4 8．(2025·天津卷)若a，b∈R，∀x∈[－2,2]，均有(2a＋b)x2＋bx－a－1≤0恒成立，则2a＋b的最小值为________． 解析：取x＝－，得(2a＋b)－(2a＋b)－1≤0，即2a＋b≥－4. 另一方面，取2a＋b＝－4，－＝－，此时b＝－4，a＝0， (2a＋b)x2＋bx－a－1≤0即－4x2－4x－1≤0，亦即(2x＋1)2≥0，显然恒成立，符合题意．故2a＋b的最小值为－4. 答案：－4 9．解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)． 解：原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0⇒ (ax－2)(x＋1)≥0. ①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0⇒x≤－1. ②当a>0时，原不等式化为(x＋1)≥0⇒x≥或x≤－1. ③当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0. 当>－1，即a<－2时，原不等式等价于－1≤x≤； 当＝－1，即a＝－2时，原不等式等价于x＝－1； 当<－1，即a>－2时，原不等式等价于≤x≤－1. 综上所述，当a<－2时，原不等式的解集为； 当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2<a<0时，原不等式的解集为； 当a＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]； 当a>0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪. 10．已知函数f(x)＝的定义域为R. (1)求a的取值范围； (2)若函数f(x)的最小值为，解关于x的不等式x2－x－a2－a＜0. 解：(1)∵函数f(x)＝的定义域为R， ∴ax2＋2ax＋1≥0恒成立，当a＝0时，1≥0恒成立． 当a≠0时，则有 解得0＜a≤1， 综上可知，a的取值范围是[0,1]． (2)∵f(x)＝ ＝， ∵a＞0，∴当x＝－1时，f(x)min＝， 由题意得，＝，∴a＝， ∴不等式x2－x－a2－a＜0可化为 x2－x－＜0.解得－＜x＜， 所以不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $