第17讲 等差数列及其前n项和（复习讲义）（上海专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第17讲 等差数列及其前n项和 目录 01 考情解码・命题预警 1 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 2 知能解码 2 知识点1 等差数列的有关概念 2 知识点2 等差数列的有关公式 3 知识点3 等差数列的常用性质 3 知识点4 等差数列前n项和的常用性质 4 题型破译 4 题型1 等差数列基本量的运算 4 题型2 等差数列的判定与证明 7 题型3 等差数列性质的应用 9 题型4 等差数列前n 项和的最值问题 11 题型5 等差中项的应用 13 题型6 等差数列的简单应用 19 04真题溯源·考向感知 22 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）求等差数列的前n项和 （2）等差中项的应用 单选题 填空题 解答题 求等差数列的前n项和 等差中项的应用 等差中项的应用 考情分析：选择题、填空题多单独考查等差数列基本量的计算，如求首项、公差、通项公式或前 n 项和等。解答题则多与等比数列结合考查，或者结合实际问题或其他知识进行综合考查。 复习目标： 1.理解等差数列的概念。 2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式。 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。 4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系。 知识点1 等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*). (2)等差中项 由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b. 自主检测（24-25高三上·上海嘉定·期中）若数列是等差数列，其前项和为，，则 . 【答案】 【详解】因为数列为等差数列，所以，解得，则. 故答案为： 知识点2等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝. 自主检测在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若a1＋a8＋a6＝6，则S9＝　　　　　　.  答案　18 解析　设等差数列{an}的公差为d， 则a1＋a8＋a6＝a1＋(a1＋7d)＋(a1＋5d)＝3(a1＋4d)＝3a5， 所以a5＝2， 所以S9＝＝9a5＝18. 知识点3 等差数列的常用性质 (1)若{an}为等差数列，且p＋q＝s＋t，则ap＋aq＝as＋at(p，q，s，t∈N*). (2)等差数列{an}的单调性 当d>0时，{an}是递增数列； 当d<0时，{an}是递减数列； 当d＝0时，{an}是常数列. 自主检测（24-25高三上·上海·开学考试）已知等差数列的首项表示的前项和，若数列是严格增数列，则的公差取值范围是 . 【答案】 【详解】若数列是严格增数列， 则恒成立， 即恒成立， 又， 所以， 所以的公差取值范围是， 故答案为：. 知识点4 等差数列前n项和的常用性质 (1)当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n是关于n的二次函数. (2)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值. 题型1 等差数列基本量的运算 例1-1设是等差数列，其前项和为．若，，则 ． 【答案】 【详解】根据等差数列的前项和公式 已知，，代入可得： 由等差数列的通项公式 将代入： 则. 故答案为：10. 例1-2（2025·上海浦东新·三模）已知各项均为正整数的数列中，，，且对任意正整数，两个3项数列、、与、、中恰有一个为等差数列．若对一切正整数成立，则的最小值为 【答案】 【详解】由已知，， ①若，则， 因为对任意正整数，两个3项数列、、与、、中恰有一个为等差数列， 所以或， 若，则与矛盾；若，则，均不符合题意，故； ②若，则，与①同理，可得或， 由①分析知，故考虑，同理或， 由于2024不能被5整除且不能被7整除，故均不符合题意，即； ③若，则，与①同理，可得或， 由②知，，故考虑，同理，或， 若，则或，因2024不能被7和13整除，故不成立； 若，同理，或， 由2024能被11整除不能被17整除，故且符合题意. 故，此时数列为2024，1288，552，184，184，. 故答案为：4. 【变式训练1-1】（2025·上海奉贤·二模）等差数列首项为1，公差是3，则第5项等于 ． 【答案】 【详解】设首项为1，公差是3的等差数列为， 则， 故. 故答案为： 【变式训练1-2】（2025·上海普陀·二模）设，，是等差数列的前项和，若，则的值为 . 【答案】 【详解】设等差数列的首项为，公差为， . 所以，， 所以：. 故答案为： 【变式训练1-3】（2025·上海浦东新·模拟预测）已知数列是等差数列，若，则数列的项数的最大值是 ． 【答案】42 【详解】设等差数列的公差为，构造函数， 则的图像与直线至少有5个公共点， 假设，故5个公共点横坐标分别为， 根据绝对值函数求和的性质知： 当为奇数时，函数的图象关于对称， 当时，单调递减，当时，单调递增， 当时，函数有最小值，此时与最多有2个交点，不满足题意； 当为偶数时，若，则函数图象在上是一条水平的线段， 若，则函数图象在上是一条水平的线段， 故与可以有5个交点， 若，此时有， 若，此时有， 且，故， 即， 所以 故，，故． 当时，，故舍去， 综上，数列的项数的最大值为44. 又因为时，只有在内，不足5个，不合题意； 为时，恰好有五个数在内，符合题意； 所以的最大值是42， 故答案为：42. 题型2 等差数列的判定与证明 例2-1（2025·上海青浦·三模）已知数列的前项和为，若，则不可能是（    ） A．公差大于0的等差数列 B．公差小于0的等差数列 C．公比大于0的等比数列 D．公比小于0的等比数列 【答案】C 【分析】首先由题意可得，再利用等差数列及等比数列的前项和公式进行验证即可. 【详解】，，， 若数列是等差数列，设其公差为， ，，即， ，可正可负，可正可负； 若数列是等比数列，设其公比为， 若，则是公比为的等比数列，满足， 当时，若，则，，不成立， 若且，则，，不成立. 不可能是公比大于的等比数列. 故选：C. 例2-2已知数列的前项和为，数列满足，.证明是等差数列； 【详解】因为数列的前项和为， 所以当时，， 当时，， 所以，满足， 所以数列的通项公式为，， 所以，， 所以是等差数列； 【变式训练2-1】设，记，令有穷数列为零点的个数，则有以下两个结论：①存在，使得为常数列；②存在，使得为公差不为零的等差数列.那么（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 【答案】C 【详解】当时， ，此时， ，此时， ，此时， 故存在，使为常数列；①正确； 设，则有个零点， 则在的每个区间内各至少一个零点，故至少有个零点， 因为是一个次函数，故最多有个零点，因此有且仅有个零点， 同理，有且仅有个零点，，有且仅有个零点， 故，所以是公差为的等差数列，故②正确. 故选：C. 【变式训练2-2】（24-25高三上·上海杨浦·期中）在二项式的展开式中，前三项的系数依次成 数列．（填写“等差”或“等比”） 【答案】等差 【详解】由二项展开式知，前三项的系数分别为， 所以前三项的系数依次成等差数列. 故答案为：等差. 题型3 等差数列性质的应用 例3-1（25-26高三上·上海·开学考试）已知是等差数列的前项和，，则 ． 【答案】 【详解】在等差数列中，，， 所以，. 故答案为：. 例3-2（2025·上海崇明·二模）数列是等差数列，周期数列满足，若集合，n是正整数中恰有三个元素，则数列的周期T的取值不可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】, 取，则公差， 当，是，此时角度序列为： ， 取，则对应的余弦值为，此时，三个元素合题意； 当，是，此时角度序列为： ， 取，则对应的余弦值为， 又，此时也是三个元素，合题意； 当，是，此时角度序列为： ， 取，则对应的余弦值为，此时也是三个元素，合题意； 当，是，此时角度序列为： ， 由于是质数，角度间隔无法分解为更小的对称单元，余弦值的对称性不足以将个不同角度映射为个不同值， 故选：D. 例3-3（24-25高三上·上海·期中）已知无穷等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是 . 【答案】8 【详解】若等差数列的各项均为正整数， 则数列是严格递增数列， 于是公差， 因此为正整数， 因为关于单调递减，而， 则当时，取得最小值为. 故答案为： 【变式训练3-1】（2025·上海长宁·二模）已知数列是等差数列，且，则其前7项和 ． 【答案】 【详解】设等差数列的公差为，则， 故， 故， 故答案为： 【变式训练3-2】（2025·上海黄浦·二模）设为等差数列，其前项和为，若，则满足的正整数 ． 【答案】15 【详解】由，可得或， 当，可得，所以， 所以为单调递增数列，且前项为负，从第项开始为正， 又，， 所以，所以； 当，可得，所以， 所以为单调递增数列，且前项为正，从第项开始为负， 又，， 所以，所以； 综上所述：. 故答案为：. 【变式训练3-3】已知等差数列（公差不为零）和等差数列的前n项和分别为、，如果关于x的实系数方程有实数解，那么以下2023个方程（）中，有实数解的方程至少有 个 【答案】1012 【详解】由题意得：， 其中，， 代入上式得：， 要想方程有实数解，则， 显然第1012个方程有解， 设方程与方程的判别式分别为和， 则 ， 等号成立的条件是. 所以和至多一个成立， 同理可证：和至多一个成立，……，和至多一个成立， 且， 综上，在所给的2023个方程中，无实数根的方程最多1011个，有实数根的方程至少1012个. 故答案为：1012 题型4 等差数列前n 项和的最值问题 例4-1（24-25高三上·上海·开学考试）已知等差数列中，，且公差，则其前n项和取得最大值时n的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【详解】，且公差，故 所以则 故等差数列中，前10项为正数，后面都为负数， 故前n项和取得最大值时n的值为10. 故选：C 例4-2（2025·上海·三模）记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数满足，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为点在直线上，所以，所以， 所以数列为等差数列，首项为8，公差为，所以， 当或5时，取得最大值为20，因为有且只有两个正整数满足， 所以满足条件的和，因为， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 【变式训练4-1】是等差数列的前项和，若且，则当取得最大值时的 . 【答案】9或10 【详解】数列为等差数列，∵， ∴，∴， ∴， 因为且，所以 ，为二次函数，开口方向向下， 所以当时，取得最大值，又因为, ∴ 或10时，取得最大值. 故答案为：9或10 【变式训练4-2】已知公差不为的等差数列的前项和为，若，则的最小值为 【答案】 【详解】取得最小值，则公差，或， （1）当 ， ， 所以的最小值为. （2）当，不合题意. 综上所述：的最小值为. 故答案为： 【变式训练4-3】已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求的最小值及取最小值时的值. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则由题意可得，解得， 则， 故数列的通项公式为. （2）当时，；当时，， 则当时，取最小值，最小值为. 题型5 等差中项的应用 例5-1（2025·上海金山·二模）已知是等差数列，若分别是函数的两个零点，则 . 【答案】2 【分析】转化为是的两个根，由韦达定理和等差数列性质得到. 【详解】由题意得是的两个根， 由韦达定理得， 因为是等差数列，所以. 故答案为：2 例5-2（2025·上海浦东新·二模）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． (1)设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； (2)若为“整数等差函数”，求实数的最小值； (3)已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 【详解】（1）假设成等差数列，得， 设公差为，则， 对于：直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，恒成立， 取，，则成等差数列且均为整数，故是“整数等差函数”． 对于，直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意， 若，则， 令，，则恒成立，所以在上单调递减， 所以，即在上恒成立， 即恒成立，所以无解， 故不是“整数等差函数”． （2）因为为“整数等差函数”，所以成等差数列且均为整数， 设公差为，则，且， 直线的斜率， 因为，所以曲线在点处的切线斜率为， 由题意，， 又的定义域为，有， 当时,,此时,无最小值； 当时,因为，， 所以 ， 则，可取使等号成立，故的最小值为; 综上，实数无最小值； （3）充分性，因为为常值函数，所以， 任意取等差数列 ，则直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 因为，所以为“等差函数”． 必要性，因为为“等差函数”，所以成等差数列， 设公差为，则， 直线的斜率， 曲线在点处的切线斜率为， 由题意，, ， 令， 则 ， 令， 则， 因为在上为增函数，所以，在上为增函数， 因为，所以，在上为增函数， 因为，所以在上恒成立， 又，由的单调性知， 故，， ，为常数， ， ， ， 接下来，一方面，因为，且在上为增函数， 所以在上为增函数，故，， 由，可得， 另一方面，因为， 所以，可得， 以此类推，在上恒成立，即为常值函数． 命题得证！ 【变式训练5-1】（24-25高三上·上海·期中）记等差数列的前项和为，已知，则 . 【答案】 【分析】根据等差数列求和公式及等差中项的性质求解. 【详解】由已知为等差数列， 所以， 故答案为：. 【变式训练5-2】（24-25高三上·上海·期中）锐角三角形的三个内角的度数成等差数列，则其最大边长与最小边长比值的取值范围是 【答案】 【详解】若锐角的三个内角、、的度数成等比数列， 则，解得，不妨设角为最小角， 设等差数列、、的公差为，则，， 所以，， ， 由题意可知，因为、为锐角，且， 即，解得，则， 所以， . 故答案为：. 【变式训练5-3】（2025·上海浦东新·三模）已知实数，且a、b、c依次构成等差数列，对于曲线，，若满足、、依次构成等差数列，则曲线，为曲线. (1)若，，是曲线，求实数的值； (2)已知曲线，都是曲线，证明：是曲线； (3)若，为曲线，求的取值范围. 【详解】（1），，， 因为，所以， ①不成立； ②，不存在； ③； ④不成立. 解得. （2），① ，② 两式相乘得，解得， 代入①得， 则成立，是曲线. （3）在上有解， 令，， ①当时，，，解得，有零点； ②当时，，， 由零点定理知，上存在使，有零点； ③当时，若，则， 因为在上为严格减函数，在上为严格增函数， 所以，，无零点； 若，又，有， 得，， ，在上为严格增函数， 注意到， 由零点定理知，若有零点，则， 解得，又，故， ④当时，，，为严格增函数，，无零点； 综上，. 题型6 等差数列的简单应用 例6-1（25-26高三上·上海·开学考试）渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄.对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁.如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如表所示： 出生时间 1965年1月-4月 1965年5月-8月 1965年9月-12月 1966年1月-4月 … 新方案法定退休年龄 60岁1个月 60岁2个月 60岁3个月 60岁4个月 … 那么1970年5月出生的男职工退休年龄为 . 【答案】61岁5个月 【详解】解法一：根据题意，出生年月在1965年1月-4月的人的法定退休年龄记为， 出生年月在1965年5月-8月的人的法定退休年龄记为， 出生年月在1965年9月-12月的人的法定退休年龄记为，， 则构成等差数列，首项岁1个月，公差为1个月，可得岁个月. 依此规律，1970年5月出生的男职工，因为， 所以他的退休年龄应该是的第17项， 即他的退休年龄为岁17个月=61岁5个月. 解法二：利用枚举法：出生年龄每延后一年，退休年龄延后三个月. 出生年龄 退休年龄 1965.5 60岁2个月 1966.5 60岁5个月 1967.5 60岁8个月 1968.5 60岁11个月 1969.5 61岁2个月 1970.5 61岁5个月 故答案为：61岁5个月. 例6-2（24-25高三下·上海·阶段练习）为进一步缓解中小学放学时道路拥堵问题，小明提出一个改造方案：假设校门口有条长155米，宽10米的公路（如图矩形ABCD），公路的一侧划有31个长5米宽2.5米的停车位（如矩形AEFG），由于停车位不足，放学时段造成道路拥堵，在不改变停车位的大小和汽车通道宽度的条件下，通过压缩道路边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），此时，停车位相对道路倾斜的角度，其中，该路段改造后的停车位比改造前增加 个.    【答案】18 【详解】由图可知，， 即，，已知， ，则， 则，化简得，解得或， 因，则，故，， 设改造后停车位数量最大值为n，如图， 过停车位顶点做射线垂线，垂足为， 则顶点到线段ME距离为， 又由图及题意可得：，， 则， 注意到， 则， 则， 则， 则，， 又，则， 令， 即改造后最大停车位数量为49，则改造后的停车位比改造前增加18.    故答案为：18. 【变式训练6-1】（24-25高三上·上海松江·期末）渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄．对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁．如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示： 出生时间 1965年 1月-4月 1965年 5月-8月 1965年 9月-12月 1966年 1月-4月 …… 改革后法定退休年龄 60岁＋1个月 60岁＋2个月 60岁＋3个月 60岁＋4个月 …… 那么1974年5月出生的男职工退休年龄为（   ） A．62岁3个月 B．62岁4个月 C．62岁5个月 D．63岁 【答案】C 【详解】设1965年5月出生的男职工退休年龄为岁，则1966年5月出生的男职工退休年龄为岁， 所以公差为，设5月出生的男职工退休年龄为是首项为,公差为的等差数列， 1974年5月出生的男职工退休年龄为. 故1974年5月出生的男职工退休年龄为62岁5个月. 故选：C. 【变式训练6-2】（24-25高三上·上海·开学考试）某公司今年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元.同时，公司每年需要付出设备的维修和工人工资等费用，第一年各种费用2万元，第二年各种费用4万元，以后每年各种费用都增加2万元. (1)引进这种设备后，求该公司使用这种设备后第年后所获利润； (2)这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大? 【详解】（1）由题意知：每年的各种费用是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以， （2）年平均收入为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大. 一、填空题 1．（2021·上海·高考真题）等差数列中，，则 . 【答案】 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 2．（2025·上海·高考真题）已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为 ． 【答案】 【详解】根据等差数列的求和公式，. 故答案为： 3．（2022·上海·高考真题）已知等差数列的公差不为零，为其前n项和，若，则中不同的数值有 个. 【答案】98 【详解】解：等差数列的公差不为零，为其前项和，， ，解得， ， ，，1，，中，，， 其余各项均不相等， ，1，，中不同的数值有：． 故答案为：98． 二、解答题 4．（2023·上海·高考真题）令，取点过其曲线作切线交y轴于，取点过其作切线交y轴于，若则停止，以此类推，得到数列． (1)若正整数，证明； (2)若正整数，试比较与大小； (3)若正整数，是否存在k使得依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由． 【详解】（1），则在处的切线为， 当时，，即， 所以当正整数时，； （2）作差得， 令，， 当时，，当时，， 故在单调递增，在上单调递减， ，故， 所以当正整数时，； （3），令， 与单调性相同，由（2）得， 当时，，当时，， 故至多有两解， 若成等差数列，则， 故最多项成等差数列，此时，． 而，， 令，，显然时，， 故在上单调递增， 而，，，故有唯一解， 存在使得，此时，故存在最多项成等差数列， 5．（2024·上海·高考真题）若． (1)过，求的解集； (2)存在使得成等差数列，求的取值范围． 【详解】（1）因为的图象过，故，故即（负的舍去）， 而在上为增函数，故， 故即， 故的解集为. （2）因为存在使得成等差数列， 故有解，故， 因为，故，故在上有解， 由在上有解， 令，而在上的值域为， 故即. 6．（2021·上海·高考真题）已知数列满足，对任意，和中存在一项使其为另一项与的等差中项 （1）已知，，，求的所有可能取值； （2）已知，、、为正数，求证：、、成等比数列，并求出公比； （3）已知数列中恰有3项为0，即，，且，，求的最大值. 【详解】（1）由题意，或， ∴，此时，满足 ，此时，， 所以 （2）∵，∴，或，经检验，； ∴，或（舍），∴； ∴，或（舍），∴； ∴，或（舍），∴； 综上，、、成等比数列，公比为； （3）由或，可知或， 由第（2）问可知，， ∴，， ∴， 同理，，，∴， 同理，，∴的最大值为 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 等差数列及其前n项和 目录 01 考情解码・命题预警 1 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 2 知能解码 2 知识点1 等差数列的有关概念 2 知识点2 等差数列的有关公式 3 知识点3 等差数列的常用性质 3 知识点4 等差数列前n项和的常用性质 3 题型破译 3 题型1 等差数列基本量的运算 3 题型2 等差数列的判定与证明 4 题型3 等差数列性质的应用 4 题型4 等差数列前n 项和的最值问题 5 题型5 等差中项的应用 6 题型6 等差数列的简单应用 7 04真题溯源·考向感知 8 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）求等差数列的前n项和 （2）等差中项的应用 单选题 填空题 解答题 求等差数列的前n项和 等差中项的应用 等差中项的应用 考情分析：选择题、填空题多单独考查等差数列基本量的计算，如求首项、公差、通项公式或前 n 项和等。解答题则多与等比数列结合考查，或者结合实际问题或其他知识进行综合考查。 复习目标： 1.理解等差数列的概念。 2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式。 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。 4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系。 知识点1 等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*). (2)等差中项 由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝a＋b. 自主检测（24-25高三上·上海嘉定·期中）若数列是等差数列，其前项和为，，则 . 知识点2等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝. 自主检测在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若a1＋a8＋a6＝6，则S9＝　　　　　　.  知识点3 等差数列的常用性质 (1)若{an}为等差数列，且p＋q＝s＋t，则ap＋aq＝as＋at(p，q，s，t∈N*). (2)等差数列{an}的单调性 当d>0时，{an}是递增数列； 当d<0时，{an}是递减数列； 当d＝0时，{an}是常数列. 自主检测（24-25高三上·上海·开学考试）已知等差数列的首项表示的前项和，若数列是严格增数列，则的公差取值范围是 . 知识点4 等差数列前n项和的常用性质 (1)当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n是关于n的二次函数. (2)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值. 题型1 等差数列基本量的运算 例1-1设是等差数列，其前项和为．若，，则 ． 例1-2（2025·上海浦东新·三模）已知各项均为正整数的数列中，，，且对任意正整数，两个3项数列、、与、、中恰有一个为等差数列．若对一切正整数成立，则的最小值为 【变式训练1-1】（2025·上海奉贤·二模）等差数列首项为1，公差是3，则第5项等于 ． 【变式训练1-2】（2025·上海普陀·二模）设，，是等差数列的前项和，若，则的值为 . 【变式训练1-3】（2025·上海浦东新·模拟预测）已知数列是等差数列，若，则数列的项数的最大值是 ． 题型2 等差数列的判定与证明 例2-1（2025·上海青浦·三模）已知数列的前项和为，若，则不可能是（    ） A．公差大于0的等差数列 B．公差小于0的等差数列 C．公比大于0的等比数列 D．公比小于0的等比数列 例2-2已知数列的前项和为，数列满足，.证明是等差数列； 【变式训练2-1】设，记，令有穷数列为零点的个数，则有以下两个结论：①存在，使得为常数列；②存在，使得为公差不为零的等差数列.那么（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 【变式训练2-2】（24-25高三上·上海杨浦·期中）在二项式的展开式中，前三项的系数依次成 数列．（填写“等差”或“等比”） 题型3 等差数列性质的应用 例3-1（25-26高三上·上海·开学考试）已知是等差数列的前项和，，则 ． 例3-2（2025·上海崇明·二模）数列是等差数列，周期数列满足，若集合，n是正整数中恰有三个元素，则数列的周期T的取值不可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 例3-3（24-25高三上·上海·期中）已知无穷等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是 . 【变式训练3-1】（2025·上海长宁·二模）已知数列是等差数列，且，则其前7项和 ． 【变式训练3-2】（2025·上海黄浦·二模）设为等差数列，其前项和为，若，则满足的正整数 ． 【变式训练3-3】已知等差数列（公差不为零）和等差数列的前n项和分别为、，如果关于x的实系数方程有实数解，那么以下2023个方程（）中，有实数解的方程至少有 个 题型4 等差数列前n 项和的最值问题 例4-1（24-25高三上·上海·开学考试）已知等差数列中，，且公差，则其前n项和取得最大值时n的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 例4-2（2025·上海·三模）记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数满足，则实数的取值范围是 . 【变式训练4-1】是等差数列的前项和，若且，则当取得最大值时的 . 【变式训练4-2】已知公差不为的等差数列的前项和为，若，则的最小值为 【变式训练4-3】已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求的最小值及取最小值时的值. 题型5 等差中项的应用 例5-1（2025·上海金山·二模）已知是等差数列，若分别是函数的两个零点，则 . 例5-2（2025·上海浦东新·二模）定义域为的可导函数满足，在曲线上存在三个不同的点，使得直线与曲线在点处的切线平行（或重合）．若成等差数列，则称为“等差函数”；若成等差数列且均为整数，则称为“整数等差函数”． (1)设，，分别判断和是否为“整数等差函数”，直接写出结论； (2)若为“整数等差函数”，求实数的最小值； (3)已知的导函数在上为增函数，且存在一个正常数， 使得对任意，成立，证明：为“等差函数”的充要条件是为常值函数． 【变式训练5-1】（24-25高三上·上海·期中）记等差数列的前项和为，已知，则 . 【变式训练5-2】（24-25高三上·上海·期中）锐角三角形的三个内角的度数成等差数列，则其最大边长与最小边长比值的取值范围是 【变式训练5-3】（2025·上海浦东新·三模）已知实数，且a、b、c依次构成等差数列，对于曲线，，若满足、、依次构成等差数列，则曲线，为曲线. (1)若，，是曲线，求实数的值； (2)已知曲线，都是曲线，证明：是曲线； (3)若，为曲线，求的取值范围. 题型6 等差数列的简单应用 例6-1（25-26高三上·上海·开学考试）渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄.对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁.如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如表所示： 出生时间 1965年1月-4月 1965年5月-8月 1965年9月-12月 1966年1月-4月 … 新方案法定退休年龄 60岁1个月 60岁2个月 60岁3个月 60岁4个月 … 那么1970年5月出生的男职工退休年龄为 . 例6-2（24-25高三下·上海·阶段练习）为进一步缓解中小学放学时道路拥堵问题，小明提出一个改造方案：假设校门口有条长155米，宽10米的公路（如图矩形ABCD），公路的一侧划有31个长5米宽2.5米的停车位（如矩形AEFG），由于停车位不足，放学时段造成道路拥堵，在不改变停车位的大小和汽车通道宽度的条件下，通过压缩道路边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），此时，停车位相对道路倾斜的角度，其中，该路段改造后的停车位比改造前增加 个.    【变式训练6-1】（24-25高三上·上海松江·期末）渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄．对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁．如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示： 出生时间 1965年 1月-4月 1965年 5月-8月 1965年 9月-12月 1966年 1月-4月 …… 改革后法定退休年龄 60岁＋1个月 60岁＋2个月 60岁＋3个月 60岁＋4个月 …… 那么1974年5月出生的男职工退休年龄为（   ） A．62岁3个月 B．62岁4个月 C．62岁5个月 D．63岁 【变式训练6-2】（24-25高三上·上海·开学考试）某公司今年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元.同时，公司每年需要付出设备的维修和工人工资等费用，第一年各种费用2万元，第二年各种费用4万元，以后每年各种费用都增加2万元. (1)引进这种设备后，求该公司使用这种设备后第年后所获利润； (2)这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大? 一、填空题 1．（2021·上海·高考真题）等差数列中，，则 . 2．（2025·上海·高考真题）已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为 ． 3．（2022·上海·高考真题）已知等差数列的公差不为零，为其前n项和，若，则中不同的数值有 个. 二、解答题 4．（2023·上海·高考真题）令，取点过其曲线作切线交y轴于，取点过其作切线交y轴于，若则停止，以此类推，得到数列． (1)若正整数，证明； (2)若正整数，试比较与大小； (3)若正整数，是否存在k使得依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由． 5．（2024·上海·高考真题）若． (1)过，求的解集； (2)存在使得成等差数列，求的取值范围． 6．（2021·上海·高考真题）已知数列满足，对任意，和中存在一项使其为另一项与的等差中项 （1）已知，，，求的所有可能取值； （2）已知，、、为正数，求证：、、成等比数列，并求出公比； （3）已知数列中恰有3项为0，即，，且，，求的最大值. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $