3.2 勾股定理的逆定理（课件） 2025-2026学年苏科版（2012）八年级数学上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的逆定理及勾股数，课堂导入先回顾勾股定理内容，再提出“两边平方和等于第三边平方能否证直角三角形”的问题，搭建从已知定理到逆定理探究的学习支架，梳理前后知识脉络。 其亮点是通过构造直角三角形证明逆定理培养推理能力，结合5,12,13等实例探究勾股数规律提升运算能力，课堂评价融入木工桌面检验等实际问题体现应用意识。这种设计帮助学生用数学思维解决现实问题，教师可借助丰富例题和评价题提升教学效果。

苏科版八年级数学上册 第3章 勾股定理 3.2 勾股定理的逆定理 导入新课 勾股定理的内容是什么？ 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 若已知三角形两边的平方和等于第三边的平方，能否证明它是直角三角形？ 3 高效课堂 环节一：探究勾股定理的逆定理 如图，△ABC的三边a，b，c满足a²＋b²＝c²，能否证明△ABC为直角三角形？ 4 为了证明△ABC是直角三角形，先作一个Rt△A'B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝a，A'C′＝b(下图)，再设法证明△A'B'C′与△ABC全等. 根据勾股定理，得A'B' ²＝a²＋b². 因为AB²＝a²＋b²，所以A'B'＝AB. 根据“SSS”，可知△ABC≌△A'B'C'. 于是∠C＝∠C′＝90°，即△ABC是直角三角形. 高效课堂 5 这里我们用到了间接证明的方法.为了证明一个三角形是直角三角形，先构造了一个直角三角形，再证明它与已知三角形全等，进而得出已知三角形是直角三角形. 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长分别为a，b，c，且a²＋b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形. 高效课堂 6 环节二：探究勾股数 下列各组线段长度中，哪些可以组成直角三角形？ ①5，13，12；②4，5，7；③3a，4a，5a(a为正整数)；④9，12，15；⑤0.3，0.4，0.5；⑥　，　， ． ①③④⑤的线段长度可以构成直角三角形. 高效课堂 7 如果三个正整数a，b，c满足关系a²＋b²＝c²，则称a，b，c为勾股数. 写出几组勾股数，说说勾股数有哪些规律. 高效课堂 8 环节三：例题分析 例1 已知：a，b，c为正整数，且a²＋b²＝c². 求证：对于任意的正整数k，正整数ka，kb，kc构成勾股数. 证明 ∵a²＋b²＝c²， ∴(ka)²＋(kb)²＝k²a²＋k²b²＝k²(a²＋b²)＝k²c²＝(kc)². ∵a，b，c，k为正整数， ∴ka，kb，kc为正整数. ∴ka，kb，kc构成勾股数. 高效课堂 9 例2 如图，AD是△ABC的中线，AD＝24，AB＝26，BC＝20.求AC的长. 高效课堂 10 解 ∵AD是△ABC的中线，BC＝20， ∴BD＝DC＝ BC＝10. ∵AD＝24，AB＝26， ∴AD²＋BD²＝24²＋10²＝676，AB²＝26²＝676. ∴AD²＋BD²＝AB². ∴∠ADB＝90°(勾股定理的逆定理). ∴AD垂直平分BC. ∴AC＝AB＝26. 高效课堂 11 课堂评价 1.下列各组数是勾股数吗？为什么？ (1)12，15，18；(2)11，60，61； (3)15，36，39；(4)36，35，12. 答案 (1)12²＋15²≠18²，不是勾股数； (2)11²＋60²＝61²，是勾股数； (3)15²＋36²＝39²，是勾股数； (4)12²＋35²≠36²，不是勾股数. 12 课堂评价 13 课堂评价 14 课堂评价 15 4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a2－b2＝c2，则下列说法正确的是( ) A．∠A是直角 B．∠B是直角 C．∠C是直角 D．∠A是锐角 A 5．判断由线段a，b，c组成的三角形是否是直角三角形？如果是直角三角形，请指出哪一个角是直角． (1)a＝15，b＝8，c＝17；　(2)a＝13，b＝14，c＝15． 解：(1)a2＋b2＝152＋82＝172＝c2， 所以该三角形是直角三角形，其中边c所对的角是直角． (2)a2＋b2＝132＋142＝365≠c2， 所以该三角形不是直角三角形． 6．如图，已知正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则AB2＝　 　，AC2＝　 　，BC2＝　 　，判断△ABC的形状为　 　三角形．  　直角　 　40　 　32　 　8 　 7．(1)下列四组数中，不是勾股数的一组数是( ) A．1，1，2 B．3，4，5 C．5，12，13 D．7，24，25   (2)(2024珠海期中)有一组勾股数，其中的两个分别是8和17，则第三个数是　 　． 　15　 A 8． (北师八上P10、人教八下P33)如果三条线段a，b，c满足a2＝c2－b2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？ 解：∵a2＝c2－b2，∴a2＋b2＝c2， 由勾股定理的逆定理得：三条线段长a，b，c组成的三角形是直角三角形． 9．(2024肇庆二模)下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是( ) A．2，4，8　 B．4，8，10 C．6，8，10　 D．8，10，12 9．(跨学科融合)木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80 cm，宽为60 cm，对角线长为100 cm，则这个桌面 　 　(填“合格”或“不合格”)． 　合格　 C 10．一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如图2所示，这个零件符合要求吗？ 解：在△ABD中，AB2＋AD2＝9＋16＝25＝BD2， ∴△ABD是直角三角形，∠A是直角． 在△BCD中，BD2＋BC2＝25＋144＝169＝CD2， ∴△BCD是直角三角形，∠DBC是直角． 因此，这个零件符合要求． 解：(1)∵在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6， ∴AC2＝AD2＋CD2＝82＋62＝100，∴AC＝10(取正值)． 在△ABC中，∵AC2＋BC2＝102＋242＝676，AB2＝262＝676， ∴AC2＋BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形． 11．如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24． (1)试说明△ABC是直角三角形； (2)图中阴影部分的面积为　 　． 　96　 ★12． 0.50 (2024广州模拟)如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AB于点E，且BE2－EA2＝AC2． (1)求证：∠A＝90°； (1)证明：∵D是BC的中点，DE⊥BC， ∴DE是线段BC的垂直平分线，∴CE＝BE， ∵BE2－EA2＝AC2， ∴CE2－EA2＝AC2，即CE2＝AC2＋EA2， ∴△ACE是直角三角形， ∴∠A＝90°． (2)解：由题意知，BC＝2BD＝20， 在Rt△ABC中，AB2＋AC2＝BC2，即AB2＝BC2－AC2＝256，∴AB＝16．∴BE＋AE＝16． ∵CE＋AE＋AC＝BE＋AE＋AC＝16＋12＝28， ∴△AEC的周长为28． (2)若AC＝12，BD＝10，求△AEC的周长． 课堂总结 通过这节课的学习，你有什么收获？你还有什么困惑？ 26 作业设计 基础性作业：教材习题第1题. 提高性作业：教材习题第2题. 拓展性作业：a，b，c为直角三角形的三边长，且c为斜边长.下列说法中正确的有哪些？为什么？ ①以长分别为a²，b²，c²的三条线段能组成一个直角三角形； ②以长分别为　　　　 的三条线段能组成一个直角三角形； ③以长分别为2a，2b，2c的三条线段能组成一个直角三角形； ④以长分别为 的三条线段能组成一个直角三角形. 27 感 谢 观 看 $