专题03 坐标系、一次函数与三角形中的六大压轴题型（高效培优期中专项训练）数学沪科版2024八年级上册

专题03 六大压轴题型（高效培优期中专项训练） 考点01 规律探究题 考点02 多结论小压轴 考点03 双空小压轴 考点04 一次函数的实际应用 考点05 一次函数与几何综合 考点06 三角形综合题 考点01 规律探究题 1．（2024-2025学年八年级上安徽省安庆市潜山市北片学校联考11月期中）如图所示，．依据点的坐标变化规律，点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查点坐标规律探索，找出规律是解题关键．根据平面直角坐标系内各点的坐标可知当为奇数时，即；当为偶数时，即，即得出中，从而即可解答． 【详解】解：∵，，，……， ∴； ∵，，，……， ∴． ∵2024为偶数， ∴， ∴， ∴，即． 故选A． 2．（2024-2025学年八年级上安徽省亳州市利辛县 11月期中）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，依此下去，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了图形的变化类，三角形的外角性质和角平分线定义等知识点，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．根据角平分线定义得出，，根据三角形外角性质得出①，②，由②得，求出③，由①和③得出，求出，同理得出，，再根据求出的规律得出答案即可． 【详解】解：平分，平分， ，， ①，②， 由②得：， ③， 由①和③得：， ， ， 同理， ， ， 故选：C． 3．（2024-2025学年八年级上安徽省蚌埠市高新区期中）如图，直线与轴交于点，依次作正方形，正方形，，正方形，其中点，，，，在直线上，点，，，，在轴正半轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数的规律探究问题、写出直角坐标系中点的坐标、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】首先通过求解一次函数图象与坐标轴的交点，可得出的坐标，进而得出的长，由正方形的性质可得，于是可得的坐标；，以此类推，同理可得，，，，，据此即可得出答案． 【详解】解：令，则， 解得：， ， ， 四边形是正方形， ， ， 令，则， 解得：， ， ， 四边形是正方形， ， 的纵坐标为：， ， 同理可得，，，， 故选：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的规律探究问题，一次函数图象与坐标轴的交点问题，解一元一次方程，写出直角坐标系中点的坐标，已知两点坐标求两点距离，线段的和与差等知识点，通过确定，的横纵坐标数值，找出其变化的规律是解题的关键． 4．（2024-2025学年八年级上安徽省合肥市第四十二中学长江路校区期中）如图，点，点，点，点，按照这样的规律下去，点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据所给点的坐标结合图形发现点坐标的变化规律是解题的关键． 根据所给的点的坐标，发现的坐标规律，即可解决问题． 【详解】解：由题知， 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； ， 由此可见，点的坐标为，点的坐标为为正偶数）； 当时， ， ， 所以点的坐标为． 故选：A． 5．（2024-—2025学年八年级上安徽省合肥市第四十五中学期中）如图，在平面直角坐标系中有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，依次为，，，，，，…，根据这个规律，可得第55个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题的考查了对平面直角坐标系的熟练运用能力，用“从特殊到一般”的方法入手寻找规律是解答本题的关键．从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，…依此类推横坐标为n的有n个点，通过加法计算算出第55个点是第10列最上面一个数，，然后对应得出坐标规律求解即可． 【详解】解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点．…第n个有n个点，并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个， ∵， ∴第55个点是第10列最上面一个数， ∵第10列有10个数，y轴上方比下方多一个， ∴x轴上方有5个，x轴上有1个，x轴下方有4个， ∵x轴上的点的坐标为 ∴最上面的点的坐标为． 故选C． 6．（2024-2025学年八年级上安徽省马鞍山东方实验学校11月期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，，根据这个规律探索可得第个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了图形的坐标变化规律，由图可知横坐标为的点有个，横坐标为的点有个，横坐标为的点有个，纵坐标分别是，，，横坐标为奇数，纵坐标从大数开始数，横坐标为偶数，则从开始数，据此解答即可求解，由图形得到坐标的变化规律是解题的关键． 【详解】解：把第一个点作为第一列，和作为第二列， 依此类推，则第一列有个数，第二列有个数， 第列有    个数，则列共有个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上， ∵， ∴第个数一定在第列，由下到上是第个数， ∴第个点的坐标是， 故选： ． 7．（2024-2025学年八年级上安徽省合肥市蜀山区琥珀教育集团11月期中）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，正方形．使得点在直线上，点在轴正半轴上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数的规律探究问题 【分析】本题考查了一次函数与坐标规律，分别求出、、、、的坐标，找到对应的、、、、，得到规律，，再用这规律解决问题即可． 【详解】当时，有，解得， ， 四边形是正方形， ， 当时，解得， ∴， 同理可得出：，，， 对应的点，．，， ，， 点的坐标为． 故选：B． 8．（2024-2025学年八年级上安徽省滁州市全椒县期中）如下图，动点P在平面直角坐标系中按箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，按这样的运动规律，第2023次运动后，动点P的坐标是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点的坐标规律探求，属于常考题型，由已知点的坐标变化找出规律是解题的关键．观察点的坐标变化发现每个点的横坐标与运动的次数相等，纵坐标是1，0，2，0，每4个数一个循环，按照此规律解答即可． 【详解】解：观察点的坐标变化可知： 第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次接着运动到点， 第5次接着运动到点， … 按这样的运动规律，发现每个点的横坐标与运动的次数相等，纵坐标是1，0，2，0，每4个数一个循环， ∴， ∴经过第2023次运动后，动点P的坐标是， 故答案为：C． 9．（2024-2025学年八年级上安徽省宣城市皖东南六校期中）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题主要考查了点的坐标规律．根据题意可得第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，……，由此发现，当n是奇数时，第n次接着运动到点的横坐标为，纵坐标是三个数一循环，即可求解． 【详解】解：根据题意得：第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， ……， 由此发现，当n是奇数时，第n次接着运动到点的横坐标为，纵坐标是四个数一循环， ∵， ∴经过第2025次运动后，动点的坐标是． 故选：B． 10．（2024-2025学年八年级上安徽省合肥市包河区大联考11月期中）如图，平面直角坐标系中长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒个长度单位，点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒个长度单位，记在长方形边上第次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点坐标规律探索、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的规律，长方形的性质，根据点坐标可得长方形的周长，设运动时间为，由行程问题的数量关系可得，由此可得每次相遇的时间，从而找出规律计算即可求解，掌握行程中的数量关系，平面直角坐标系中点坐标运动规律是解题的关键． 【详解】解：∵长方形的四个顶点坐标分别为，，，， ∴，， ∴长方形的周长为， 设运动时间为， ∴， 解得，， ∴当时，点第一次相遇，则点走的路程为，即在的正半轴上， ∴点； 当时，点第二次相遇，则点走的路程为，即在的付半轴上， ∴点； 当时，点第三次相遇，则点走的路程为，即在的付半轴上， ∴点； 当时，点第四次相遇，则点走的路程为，即在的付半轴上， ∴点； 当时，点第五次相遇，则点走的路程为，即在的付半轴上， ∴点； 当时，点第六次相遇，则点走的路程为，即在的付半轴上， ∴点； ∴五次相遇一循环， ∴， ∴点， 故选：A ． 11．（2024-2025学年八年级上安徽省安庆市石化第一中学11月期中）在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点的终结点．已知点的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，这样依次得到、、、、…、、…，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查点坐标规律探究，也考查学生发现点的规律的能力，有理数运算以及平面直角坐标系等相关知识，找到坐标的变换规律是解题的关键．根据前几个点坐标的变化得到变化规律，进而求解即可． 【详解】解：由题意，，，，，，……， 由此发现，每四个点坐标一循环， ∵， ∴点的坐标和坐标相同，为， 故答案为：． 12．（2024-2025学年八年级上安徽省蚌埠市怀远县期中）如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，点C在y轴上，且轴，a，b满足．点P从原点出发，以每秒2个单位的速度沿着的路线运动（回到O为止）． (1)写出点A，B，C的坐标； (2)当点P运动4秒时，求出点P的坐标； (3)点P运动t秒后（），是否存在点P到x轴的距离为个单位的情况．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)符合条件的点P坐标为或 【知识点】坐标与图形综合、绝对值非负性 【分析】本题考查非负数的性质、坐标与图形的性质、一元一次方程的应用，分类讨论是解题关键． （1）直接利用非负数的性质即可解答； （2）先求出运动4秒时点P的运动路程，再求出，可得此时点P在上，求出此时的长即可． （3）分两种情况：点P在上运动和点P在上运动，根据点P到x轴的距离为，列出方程求解即可 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵轴，且点C在y轴上， ∴； （2）解：∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动， ∴当点P运动4秒时，点P的运动路程为， ∵， ∴， ∴当点P运动4秒时，点P在上，且， ∴； （3）解：存在： ①当P在上运动时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； ②当P在上运动时，， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为， 综上可知，点P的坐标为或． 考点02 多结论小压轴 13．（2024-2025学年八年级上安徽省马鞍山市第七中学期中）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离y（）与甲所用时间x（）之间的函数关系如图所示，有下列说法：①A、B之间的距离为；②乙行走的速度是甲的1.5倍；③；④．以上结论正确的有（    ） A．①④ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查根据函数图象获取信息，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，根据图象分别对应的状态，再逐项判断即可． 【详解】解：由图象过知，甲、乙两人出发时相距，即A，B之间的距离为，故①正确； ∵， ∴乙的速度为， ∵， ∴乙行走的速度是甲的（倍），故②正确； ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴，故④正确； ∴结论正确的有：①②④； 故选：D． 14．（2024-2025学年八年级上安徽省马鞍山东方实验学校11月期中）如图，一次函数与的图象，下列说法正确的是（   ） ①；②的图象，随自变量的增大而减少；③不论为何值，一次函数的图象总过定点；④方程组的解是． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、根据一次函数增减性求参数、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，两直线交点与二元一次方程组的解，理解图示信息，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 根据一次函数图象经过的象限可判定①；根据一次函数的图象经过第二、四象限，可判定②；由一次函数，，可得当时，，即与的值无关，可判定③；根据一次函数与的图象经过，可判定④；由此即可求解． 【详解】解：根据图示可得，一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴， 一次函数的图象经过第二、四象限， ∴，故①正确； ∵， ∴一次函数中，随自变量的增大而减少，故②正确； ∵一次函数，， ∴当时，，即不论为何值，一次函数的图象总过定点，故③正确； ∵一次函数与的图象经过， ∴方程组的解是，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④． 故选：D ． 15．（2024-2025学年八年级上安徽省黄山市歙县期中）如图，，，分别是的中线、高和角平分线，，交于点G，交于点H，．给出下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（   ） A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【知识点】三角形角平分线的定义、与角平分线有关的三角形内角和问题、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查三角线的三线，根据中线的定义，判断①，根据角平分线的定义以及同角的余角相等，判断③，根据等角的余角相等，对顶角相等，判断④，即可得出结论． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴；故①正确； ∵，分别是的高和角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴；故④正确； 条件不足，无法得到；故②错误； 故选A． 16．（2024-2025学年八年级上安徽省安庆市第四中学期中）如图，在中，分别平分，交于点O，为外角的平分线，的延长线交于点E．以下结论①，②，③，④，其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角性质，先根据角平分线的定义可得，，再根据即可判断①正确；先根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理即可判断③正确；先根据三角形的外角性质可得，再结合结论③即可判断②正确；假设④正确，从而可得，再根据结论②可得，由此即可判断④错误． 【详解】解：∵平分，为外角的平分线， ∴，， ∵， ∴，结论①正确； ∵平分， ∴， ∴ ，结论③正确； 又∵， ∴， ∴，结论②正确； 假设， ∴， 解得， ∴， 由已知条件不能得出这个结论，则假设不成立，结论④错误； 综上，结论正确的是①②③， 故选：C． 17．（2024-2025学年八年级上安徽省马鞍山市第七中学期中）甲、乙两车从城出发前往城，在整个行驶过程中，汽车离开城的距离（）与行驶时间（）的函数图象如图所示，下列说法： ①甲车的速度为； ②乙车用了到达城； ③甲车出发时，乙车追上甲车； ④乙车出发后经过或两车相距． 其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③④ 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息；根据路程、时间和速度之间的关系判断出①正确；根据函数图象上的数据得出乙车到达城用的时间，判断出②正确；根据甲的速度和走的时间得出甲车出发时走的总路程，再根据乙的总路程和所走的总时间求出乙的速度，再乘以小时，求出甲车出发时，乙走的总路程，从而判断出③正确；再根据速度时间总路程，即可判断出乙车出发后经过或，两车相距的距离，从而判断出④正确． 【详解】解：①甲车的速度为，故本选项正确，符合题意； ②乙车到达城用的时间为：，故本选项正确，符合题意； ③甲车出发，所走路程是：，甲车出发时，乙走的路程是：，则乙车追上甲车，故本选项正确，符合题意； ④当乙车出发时，两车相距：，当乙车出发时，两车相距：，故本选项正确，符合题意； 故答案为：①②③④． 考点03 双空小压轴 18．（2024-2025学年八年级上安徽省亳州市蒙城县11月期中）已知直线与直线相交于点A，两直线分别与x轴交于B，C两点，若点D落在内部（不含边界），则： （1）点A的坐标是 ； （2）a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题是考查一次函数图象的性质，一次函数图象交点，利用图象求解的问题，根据题意得出图形示意图对于解题有帮助，能将其转化为不等式组来解是本题的关键． 联立两函数解析式，求出方程组的解，即可得到两函数图象交点坐标；利用一次函数函数图象的性质可以得两个函数的图象示意图，从而得到的位置，若点落在内，则点在两条直线的下方同时在轴上方，可列出不等式组求解． 【详解】解：联立得， 解得：， ∴． 一次函数图象的性质，可以得到示意图，如图． 对于直线，令，则，解得， ∴ 对于直线，令，则，解得， ∴， 点落在内部（不含边界） 列不等式组 解得： 故答案为：；． 19．（2024-2025学年八年级上安徽省蚌埠市怀远县期中）定义：在平面直角坐标系中，已知点，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最佳间距”．例如：点的“最佳间距”是1． （1）点的“最佳间距”是 ； （2）当点的“最佳间距”为1时，点P的横坐标为 ． 【答案】 3 或2或4 【知识点】求点到坐标轴的距离、坐标系中的平移 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，垂线段最短． （1）分别计算出，，的长度，比较得出最小值即可； （2）分别计算出，的长度，由于斜边大于直角边，故，，所以“最佳间距”为或者的长度，由于“最佳间距”为1，分两种情况讨论，即可求解点的横坐标． 【详解】解：（1）点，，， ，，， 垂线段最短， ， 点，，的“最佳间距”是3． 故答案为：3； （2）点， ∴， ∴，， 垂线段最短， ，， 点，，的“最佳间距”是1， ∴或， ∵，， ∴或， 当时，，点，，的“最佳间距”是1，，符合题意； 当时，，点，，的“最佳间距”是1，符合题意； 当时，，点，，的“最佳间距”是1，符合题意； 当时，，点，，的“最佳间距”是1，符合题意； 点的“最佳间距”为1时，点P的横坐标为或2或4． 故答案为：或2或4． 20．（2024-2025学年八年级上安徽省合肥市瑶海区期中）一次函数（为常数且） （1）该一次函数恒经过点，则点的坐标为 ； （2）如图：已知长方形中，，，，若一次函数与长方形的边有公共点，则的取值范围为 ． 【答案】 或 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，运用数形结合思想解题是解题的关键． （1）由一次函数解析式为，可得出点的坐标为； （2）分别求出当一次函数经过点时及当一次函数经过点时，求出k的值，现求出的取值范围． 【详解】解：（1）一次函数恒经过点， 点的坐标为． 故答案为：； （2）长方形中，，，， ， 当一次函数经过点时， 解得：， 当一次函数经过点时， 解得：， 一次函数与长方形的边有公共点， 由图可知，或 故答案为：或 21．（2024-2025学年八年级上安徽省安庆市潜山市北片学校联考11月期中）已知关于的一次函数与． （1）当时，这两个函数图象的交点坐标是 ； （2）若这两个函数图象与轴围成的三角形的面积是，则 ． 【答案】 或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质，进行解答，即可． （1）根据题意，，则，求出两直线的交点坐标，即可； （2）根据题意分别求出一次函数与轴交点为：，与轴交点为：，再根据两个函数，求出交点坐标，最后根据两个函数图象与轴围成的三角形的面积是，则，解出，即可． 【详解】解：（1）当时，， ∴， 解得：， ∴， 这两个函数图象的交点坐标为：； （2）一次函数与轴交点为：，与轴交点为：， ∵一次函数与相交， ∴， ， ∴， ∴， ∴一次函数与的交点坐标为， ∵两个函数图象与轴围成的三角形的面积是， ∴， 解得：或， 故答案为：（1）；（2）或． 22．（2024-2025学年八年级上安徽省亳州市利辛县 11月期中）如图1，在长方形中，点E是上一点，点P从点A出发，沿着运动，到点E停止，运动速度为，三角形的面积为，点P的运动时间为，y与x之间的函数关系图象如图2（长方形：四个内角都是直角，对边相等且平行）． （1）长方形的宽的长为 cm； （2）当点P运动到点E时，，则m的值为 ． 【答案】 4 12 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】（1）依据题意，根据三角形的面积随点P的运动时间变化图象，判断出，，进而可以得解； （2）依据题意，根据三角形的面积随点P的运动时间变化图象，抓住当时，的面积进而进行计算可以得解． 【详解】解：（1）由题意，当P从A到B三角形的面积逐渐增大，三角形的面积逐渐变小． 故， ∴． 故答案为：4． （2）由题意，当时，的面积， 又， ∴． ∴． 故答案为：12．　　　　　． 23．（2024-2025 学年八年级上安徽省淮北市期中）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点为，．    （1）直线的函数表达式为 ． （2）某同学设计了一个动画：在函数中，输入的值，得到直线，其中点C在x轴上，点D在y轴上．当直线与线段有交点时，直线就会发红光，则此时输入的b的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查求一次函数解析式和两直线的交点坐标， （1）设直线方程并利用待定系数法求得解析式即可； （2）求出当直线过点A时和直线过点B时b的值，即可求得答案． 【详解】（1）设直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线AB的表达式为． 故答案为：； （2）当线段经过A点时，，解得； 当线段经过B点时，，解得， ∴当时，直线就会发红光． 故答案为：． 24．（2024-2025学年八年级上安徽省安庆市期中）如图，在平面直角坐标系中，设一点自处向上运动个单位长度至，然后向左运动个单位长度至处，再向下运动个单位长度至处，再向右运动个单位长度至处，再向上运动个单位长度至处，…，如此继续运动下去，设，… （1） ． （2） ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】此题主要考查了点的坐标特点，解决本题的关键是分析得到4个数相加的规律． （1）根据各点横坐标、纵坐标的数据得出规律，进而得出答案即可； （2）经过观察分析可得每4个数的和为2，把2024个数分为506组，再得出,即可得到相应结果． 【详解】解：（1）由题意可知 …… 于是得到的值为1，，，3， ∴； 故答案为：2． （2）∵的值分别为3，，，， ∴； ∵， ， … ， ∵， ∴． ∵，,，…… ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 25．（2024—2025学年八年级上安徽省亳州市期中）关于的一次函数的图象过点，，． （1）已知该一次函数的图象一定经过点，则点的坐标为 ； （2）若，则的取值范围是 ． 【答案】 或． 【知识点】求不等式组的解集、求一次函数自变量或函数值、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解不等式组，熟知一次函数的性质是解题的关键． （1）由，即可求得一次函数的图象过定点，（2）结合一次函数的图象过点，，，且，即可得出的值不大于0，当或满足题意，得到或，解得或． 【详解】解：（1）， 一次函数的图象过定点， 则点的坐标为， 故答案为：， （2）一次函数的图象过点，，，且， ， 则一次函数的图象过第一、二、四象限， ∵， ∴当，时，， ， 解得， ∴当时，则 ， 解得． 故答案为：或． 26．（2024-2025学年八年级上安徽省六安市多校期中）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，连接，，平分，平分． （1）若，则的度数为 ． （2）若的度数为，的度数为，则与的数量关系是 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形外角的性质定理，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和定理． （1）连接，由三角形内角和定理得到，由角平分线定义求出，再根据三角形内角和定理即可求出的度数； （2）由折叠可知，由三角形外角的性质得到，得到．即可得到答案． 【详解】解：（1）如图，连接，      ， ∵平分，平分， ， ， ， 故答案为： （2）由折叠可知：， ， ． 即． 故答案为： 27．（2024-2025学年八年级上安徽省芜湖市期中）已知的面积为a．如图①，延长的边到点D，延长到点E，使，，连接，若的面积为S，则 ．（用含a的式子表示） 如图②，像上面那样，将各边均顺次延长一倍，得到，此时，我们称向外扩展了一次； 如图③，再将②中的各边均顺次延长一倍，连接所得的端点，得到，称将向外扩展了二次．…，若将扩展n次后得到，的面积记作，则 （用含a的式子表示） 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的面积和等积变形等知识点的应用，如图①连接，根据等底等高的三角形的面积相等求出的面积即可；如图②根据等底等高的三角形的面积相等求出的面积，相加得出；如图③，由图②得到向外扩展了一次得到的的面积，向外扩展了二次得到的的面积,…，找出规律即可； 【详解】解：如图①，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 如图②，同图①的方法得到，，， ∴， ∴的面积为； 如图③，由图②得：的面积为； ∴向外扩展了一次得到的的面积为； ∴向外扩展了二次得到的，可以看作是向外扩展了一次得到， ∴的面积为的面积； ∴向外扩展了二次得到的的面积，…， 同理：向外扩展了n次得到的的面积为， 故答案为：． 28．（2024-2025学年八年级上安徽省合肥市第四十二中学长江路校区期中）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与直线交于第二象限内的点C，且点C的横坐标为．    （1） ； （2）若直线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交直线于点Q，当时，点P的坐标为 ． 【答案】 7 或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的应用等知识．认真审题，观察图象关系，利用数形结合思想确定解题思路，进而推理、计算． （1）先将代入求出点C的坐标，然后把代入即可求解； （2）设，则，可求，再根据可得出关于a的方程，然后求解即可． 【详解】解：（1）将代入，得， ∴． 将代入，得：， 解得； （2）由（1）知， ∴， 当时，， ∴， ∴． 由可设． ∵轴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或． 故答案为：7；或． 29．（2024-—2025学年八年级上安徽省合肥市第四十五中学期中）已知函数 （1）若，当时，的取值范围是 （2）当时，有最小值5，则的值是 【答案】 8或 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，一次函数的性质，解一元一次不等式等知识点， (1)把代入，再根据一次函数的性质即可求解； (2)根据一次函数的性质，分三种情况讨论，即可求解； 熟练掌握绝对值的性质，进行分类讨论是解决此题的关键． 【详解】(1)当时，， ∵， ∴y随着x的增大而减小， 当时，，当时，， ∴， 当时，， .∵， ∴y随着x的增大而增大， ∴当时，，当时，， ∴ ∴y的取值范围为：， 故答案为：； (2)  当时，， ∵，x越大，越小， ∴当时，y取得最小值， ∴y的最小值为， ∵y有最小值5， ∴， ∴， 当时，， ∵，x越大，越大， ∴当时，y取得最小值， ∴y的最小值为， ∵y有最小值5， ∴， ∴， 当时，， ∵，y在时取得最小值， ∵y有最小值5， ∴， ∴， ∵不满足这个条件， ∴舍去， 综上所述：a的值是8或， 故答案为：8或． 30．（2024-2025学年八年级上安徽省淮北市第一中学11月期中）如图所示，以长方形的边的中点为原点建立平面直角坐标系，且位于轴上，，，点在轴上，点是轴上的一个动点，直线经过点和点． （1）若经过点，则 ． （2）若与长方形的边有两个公共点，则的取值范围为 ． 【答案】 或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键． （1）根据待定系数法即可求得； （2）把，代入求得k的值，结合图象即可求得． 【详解】解：（1）由题意可知点，代入得，， ； 故答案为：； （2）由题意可知，， 把代入得， ，解得； 把代入得， ，解得； 由图象知与矩形的边有两个公共点， 或． 故答案为：或． 31．（2024-2025学年八年级上安徽省合肥市第三十八中学教育集团期中）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：如果那么称点为点的“关联点”，例如：点的“关联点”为点，的“关联点”为点． （1）点的“关联点”为，则 ． （2）如果点是一次函数图象上点的“关联点”，那么点的坐标为 ． 【答案】 0 或． 【知识点】求一次函数自变量或函数值、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】此题主要考查一次函数的性质，解题的关键是熟知关联点的定义． （1）由关联点的定义可知，由可得出，再代入代数式计算即可． （2）由关联点的定义可知点P的坐标为或，分情况分别把和代入一次函数解析式，求出a的值，即可得出点P的坐标． 【详解】解：（1）由“关联点”的定义可知：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：0． （2）∵点是一次函数图象上点的“关联点”， ∴点P的坐标为或， 当点P的坐标为时， ∵点P在一次函数图象上， ∴， 解得∶， ∴点P的坐标为； 当点P的坐标为时， ∵点P在一次函数图象上， ∴， 解得∶， ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或， 故答案为∶ 或． 32（2024-2025学年八年级上安徽省马鞍山东方实验学校11月期中）．对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，那么我们把点与点称为点的一对“和谐点”．例如，点的一对“和谐点”是点与点， （1）若点的一对“和谐点”重合，则的值为 （2）若点的一个“和谐点”坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 6 或 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题是新定义问题，考查了坐标与图形，关键是理解题中“和谐点”的含义． （1）根据“和谐点”的含义及两点重合即可完成； （2）设点C的坐标为，根据“和谐点”的含义分两种情况即可完成． 【详解】解：（1）由题意得：， 点的一对“和谐点”坐标是与， 又点的一对“和谐点”重合， ， ， 故答案为：6； （2）设点C的坐标为， 若点的一个“和谐点”坐标为， 则， ， ； 若点的另一个“和谐点”坐标为， 则， ， ； 综上所述，点C的坐标为或． 33．（2024-2025学年八年级上安徽省滁州市全椒县期中）如图所示，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示y与x之间的函数关系． （1）B点表示两车 ．（填“快车到达”或“慢车到达”或“相遇”） （2）点C的坐标为 ． 【答案】 相遇 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】题目主要考查根据函数图象获取相关信息，结合图象确定各分段代表的意义是解题关键． （1）由图象得，点表示经过4小时，两车之间的距离为0，即可求解； （2）段，两辆车之间的距离逐渐变大，表示快车到达目的地，只剩下慢车行驶，段为两车相向行驶，即可确定慢车行驶的时间为12小时，速度为：千米/小时，慢车行驶的时间为12小时，速度为：千米/小时，然后确定快车行驶的时间即可点C的横坐标，再求两车之间的距离即可． 【详解】解：（1）由图象得，点表示经过4小时，两车之间的距离为0，即两车相遇； 故答案为：相遇； （2）由图象得：段，两辆车之间的距离逐渐变大，表示快车到达目的地，只剩下慢车行驶， ∴慢车行驶的时间为12小时，速度为：千米/小时， ∵段为两车相向行驶， ∴快车的速度为：千米/小时， ∴快车行驶的时间为：小时， ∴点C的横坐标为6， 此时两车之间的距离为：， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 34．（2024-2025学年八年级上安徽省合肥寿春中学期中）如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为，，，． （1）四边形的面积为 ； （2）当过点的直线l将四边形的面积分成面积相等的两部分时，则直线的函数表达式为 ． 【答案】 【知识点】求直线围成的图形面积、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的相关知识． （1）根据即可解答； （2）根据当直线l与x轴平行时，直线l不能平分四边形的面积，可设直线的解析式为，即可求出直线的解析式为，则直线l与x轴的交点坐标为，求出直线的解析式为，则直线与直线的交点坐标为，再由过点的直线l将四边形的面积分成面积相等的两部分，得到，由此即可得到答案． 【详解】解：（1）∵，，，， ∴， ∴， 即， （2）∵当直线l与x轴平行时，直线l不能平分四边形的面积， 如图， l直线l与x轴的交点为点，直线l与直线的交点为点， ∴可设直线l的解析式为， ∴， ∴， ∴直线l的解析式为， ∴直线l与x轴的交点坐标为， ∴， ∵点坐标为，点D坐标为， ∴直线的解析式为， ∵当时，直线与直线平行，此时直线不可能平分四边形的面积 ∴联立， 解得， ∴直线l与直线的交点坐标为， ∵， ∴， ∵过点B的直线l将四边形ABCD的面积分成面积相等的两部分， ∴， 解并检验得或（舍去）， ∴直线l的解析式为 ， 故答案为：（1）24；（2）． 35．（2024-2025学年八年级上安徽省合肥市行知中学期中）已知一次函数，其中． （1）若点都在该一次函数的图象上，则 ． （2）当时，函数有最大值为2，则函数表达式为 ． 【答案】 或． 【知识点】加减消元法、求一次函数解析式、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查的是一次函数的性质，二元一次方程组的解法； （1）把点代入，再解方程组即可； （2）分两种情况讨论：当时，随的增大而增大；当时，函数有最大值为2，当时，随的增大而减小；当时，函数有最大值为2，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）∵点都在该一次函数的图象上， ∴， 解得：； 故答案为： （2）当时，随的增大而增大； ∴当时，函数有最大值为2， ∴， 解得：， ∴函数为：； 当时，随的增大而减小； ∴当时，函数有最大值为2， ∴， 解得：， ∴函数为：； 故答案为：或． 36．（2024-2025学年八年级上安徽省安庆市石化第一中学11月期中）已知关于的两个一次函数，其中，均为非零常数． （1）若两个一次函数的图象都经过轴上的同一个点，则 ； （2）若对于任意实数，都成立，则的取值范围是 ． 【答案】 5 且 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】根据两个一次函数的图象都经过轴上的同一个点，得到当时，函数值，，解方程即可得到结论； 根据对于任意实数，都成立，推出与平行，且在的上面，解不等式即可得到结论． 【详解】解：两个一次函数的图象都经过轴上的同一个点， 当时，函数值，， ， ； 故答案为：； 对于任意实数，都成立， 与平行，且在的上面， ， ， ， 解得， 的取值范围是且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，两直线相交与平行问题，正确地列出不等式是解题的关键． 考点04 一次函数的实际应用 37．（2024-2025学年八年级上安徽省安庆市潜山市北片学校联考11月期中）学完一次函数后、小明同学通过列表、描点、连线的方法画函数图象，并利用函数图象研究函数的性质．由于在七年级学习了绝对值的意义：．请你帮助小明完成下列问题． (1)【探索】探究函数的图象与性质： 当时，，当时，； ①列表： …… 0 1 2 3 4 5 …… …… 5 3 1 1 3 5 …… ②请根据①中表格里的数据在给出的平面直角坐标系中描点，并画出的图象； ③多选题：结合图象，下列说法正确的有（　　） A．函数最小值是        B．时，值随值的增大而增大 C．当或时，    D．当时， (2)【拓展应用】若关于的方程有两个均大于1的实数解，结合图象求的取值范围，并直接写出此时的取值范围． 【答案】(1)②见解析，③ABC (2)，且 【知识点】从函数的图象获取信息、利用图象法解一元一次方程、画一次函数图象 【分析】本题主要考查了画函数图象、一次函数与方程的关系等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）②根据列表直接画出函数图象即可；③根据函数图象逐项分析即可； （2）先画出直线的图象，然后结合函数图象求解即可． 【详解】（1）解：②如图所示（实线部分），即为所求； ③由函数图象可得：函数的最小值为；当时，值随值的增大而增大；当或时，；当时，；故A、B、C正确，D错误，不符合题； 故答案为∶ ABC． （2）解：图中虚线为直线． 直线经过点时，方程有一根等于1， 另一根大于1，此时； 向下平移直线，它与的图象两个交点的横坐标都开始大于1， 当直线经过点时，方程只有一个解，此时， ， 此时，且． 38．（2024-2025学年八年级上安徽省安庆市期中）某中学计划购买型和型课桌凳共200套，经招标，购买一套型课桌凳比购买一套型课桌凳少用40元，且购买4套型和5套型课桌凳共需1820元． (1)求购买一套型课桌凳和一套型课桌凳各需多少元？ (2)学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳的总费用不能超过40880元，并且购买型课桌凳的数量不能超过型课桌凳数量的，学校购买型课桌凳x套，总费用为元． ①求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． ②该校本次购买型和型课桌凳共有几种购买方案？怎样的方案使总费用最低？并求出最低消费． 【答案】(1)购买一套型课桌凳180元，一套B型课桌凳220元 (2)①（，且为整数）；②该校本次购买型和型课桌凳共有3种购买方案．当购买型课桌凳80套，型课桌凳120套时，总费用最低，最低消费为元． 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和不等式组的应用，一次函数的增减性质，根据已知得出不等式组，求出的值是解答关键． （1）设购买一套型课桌凳元，则一套型课桌凳元，根据题意列出方程求解； （2）①设型桌套，则型桌套，购买桌凳总费用为元，根据题意列出方程和不等式求解； ②利用要求购买这两种课桌凳的总费用不能超过40880元，并且购买型课桌凳的数量不能超过型课桌凳数量的，列出不等式组求解． 【详解】（1）解：设购买一套型课桌凳元，则一套型课桌凳元， 由题意得， 解得， 则． 答：购买一套型课桌凳180元，一套型课桌凳220元． （2）解：设型桌套，则型桌套，购买桌凳总费用为元， 根据题意得， 且 ， 解得， （，且为整数）． ，为整数， ∴，，， ∴共套方案． ∵，随的增大而减小， ∴时，总费用最低，有最小值（元）， 此时． 即当总费用最低的方案是：购买型课桌凳80套，型课桌凳120套时． 答：该校本次购买型和型课桌凳共有3种购买方案．当购买型课桌凳80套，型课桌凳120套时，总费用最低，最低消费为40800元． 39．（2024—2025学年八年级上安徽省亳州市期中）某县教育局在开学期间准备给当地的中小学添加，两种型号的打印机，已知台型打印机和台型打印机共需要元，台型打印机和台型打印机共需要元．求： (1)、型号的打印机每台各多少元； (2)若该教育局需购买这两种型号的打印机共台，且需要型打印机不少于台，型打印机不少于台，平均每台打印机的运输费用为元．设购买型打印机台，总费用为元． ①求与之间的函数关系式，并写出的取值范围： ②求出总费用最少的购买方案． 【答案】(1)型打印机每台元，型打印机每台元 (2)①；②当购买型打印机台，型打印机台时，总费用最少 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）设型打印机每台元，型打印机每台元，根据题意列出二元一次方程组即可求解； （2）①先根据“需要型打印机不少于台，型打印机不少于台”，列不等式组求出的取值范围，再根据总费用型号打印机的费用型号打印机的费用运输费用，即可求出与之间的函数关系式；②根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设型打印机每台元，型打印机每台元， 根据题意可得：， 解得：， 型打印机每台元，型打印机每台元； （2）①设购买型打印机台，则型打印机有台，总费用为元， 需要型打印机不少于台，型打印机不少于台， ， 解得：， 型打印机每台元，型打印机每台元，平均每台打印机的运输费用为元， ， ； ②在中，， 随的增大而减小， 当时，总费用最少，此时， 当购买型打印机台，型打印机台时，总费用最少． 40．（2024-2025学年八年级上安徽省六安市多校期中）综合与实践 【问题背景】 某市2025年初中学业体育水平考试的总分值拟提高到80分，考试项目增加5项，其中技能类考试项目除篮球和足球外增加了排球垫球．某校为更好地开展排球课程，计划购买一批排球，该市两家体育用品商店分别推出了自己的优惠方案： 甲商店：若购买超过20个，超过部分按每个排球标价的八折出售． 乙商店：若购买超过15个，超过部分按每个排球标价的九五折再优惠10元出售． 【问题研究】 若用字母x表示购买排球的数量，字母y表示购买排球的总价，其函数图象如图所示． 【问题解决】 (1)每个排球的标价是多少元？ (2)当时，甲商店应付的总价与数量x之间的函数关系式为____________； 当时，乙商店应付的总价与数量x之间的函数关系式为____________． (3)求点C的坐标，并根据图象直接写出选择哪家商店购买排球更合算． 【答案】(1)100元 (2)； (3)当或时，在甲、乙两家商店所付的钱数相同；当时，选择乙商店更合算；当时，选择甲商店更合算 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、根据两条直线的交点求不等式的解集、求一次函数解析式 【分析】本题考查一次函数的应用，列函数关系式，单价、数量、总价之间的关系． （1）根据函数图象可知：甲商店：购买个排球的总价为元；乙商店：购买个排球的总价为元，根据“单价总价数量”即可得解； （2）根据两家体育用品商店分别推出的优惠方案并根据“总价单价数量”即可得出函数关系式； （3）先根据函数解析式求出点C的坐标，然后结合图象解答即可． 解题的关键是根据题意或图像找出等量关系列出函数关系式或方程，利用图像确定自变量的取值范围以解决方案问题． 【详解】（1）解：商店：购买个排球的总价为元， ∴标价为：（元/个）； 商店：购买个排球的总价为元， ∴标价为：（元/个）； 则两个商店排球的标价是一样的， ∴每个排球的标价是元； （2）解：当时，， ∴与数量之间的函数关系式为， 当时，， ∴与数量之间的函数关系式为； （3）解：由图像可知，点C是两个函数图象的交点，此时这两个图象的横、纵坐标分别相等， 则， 解得：， 观察图象可知： 当或时，在甲、乙两家商店所付的钱数相同； 当时，选择乙商店更合算； 当时，选择甲商店更合算． 41．（2024-2025学年八年级上安徽省合肥市第四十二中学长江路校区期中）某体育用品商场采购员要到厂家批发购买篮球和排球共100个，篮球个数不少于排球个数，付款总额不得超过11200元，已知篮球和排球的厂家批发价分别是每个120元和每个100元，商场零售价分别是每个150元和每个120元．设该商场采购x个篮球． (1)求该商场的采购费用y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； (2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球批发价上调了元/个，同时排球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2300元，求m的值． 【答案】(1) (2)2600元 (3)3 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】（1）根据题意列函数解析式和不等式组求解即可； （2）设利润为W，根据题意得到总利润，利用一次函数的增减性质求解即可； （3）设利润为W，根据题意得到总利润，分和，利用一次函数的增减性质求解即可． 【详解】（1）解：设该商场采购x个篮球，则采购个排球， 根据题意，， 由得， 答：该商场的采购费用y与x的函数关系式为； （2）解：该商场采购x个篮球，设利润为W，根据题意，得， ∵， ∴W随x的增大而增大，又， ∴当时，W最大，最大值为2600， 答：商场能获得的最大利润为2600元； （3）解：该商场采购x个篮球，根据题意，得， 当即时，W随x的增大而增大， 又∵， ∴当时，W有最小值为， 解得，舍去； 当即时，W随x的增大而减小， 又∵， ∴当时，W有最小值为， 解得， 综上，满足条件的m值为3． 【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、解一元一次方程，理解题意，正确列出函数解析式是解答的关键． 42．（2024-—2025学年八年级上安徽省合肥市第四十五中学期中）某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元． (1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？ (2)若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共300个，且甲种型号头盔的购进数量最少为150个，甲种型号头盔的购进数量不超过乙种型号头盔的2倍，已知甲种型号头盔每个售价为65元，乙种型号头盔每个售价为70元，设甲种型号头盔购进了个，全部售出后的利润为元． ①求的最大值． ②受原材料和工艺调整等影响，商场实际采购时，甲种头盔进货单价上调了元，同时乙种头盔进货单价下调了元，该商场决定不调整两种头盔的售价，发现将300个头盔全部卖出获得的最低利润是4400元，求的值． 【答案】(1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是45元和60元 (2)a的值为 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查一次函数和二元一次方程组的应用等知识点， （1）设甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是x元和y元，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）①根据甲、乙头盔的购进数量关系以及利润公式得到利润函数，再结合甲头盔数量的限制条件求出利润最大值，②根据进价调整后的利润表达式，分情况讨论不同条件下利润最小值时对应的a值； 熟练掌握二元一次方程组的解法、根据各量之间的数量关系写函数关系式并判断其增减性是解题的关键． 【详解】（1）设甲种型号头盔的进货单价是x元，乙种型号头盔的进货单价是y元， 根据题意，得 ，解得， ∴甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是45元和60元； （2）①∵甲种型号头盔购进了x个，甲、乙两种型号头盔共300个， ∴乙种型号头盔购进了个， ∴ ， ∵甲种型号头盔的购进数量最少为150个，甲种型号头盔的购进数量不超过乙种型号头盔的2倍， ∴解不等式组得，， ∴， ∵，其中， ∴w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值， (元)； ②∵甲种头盔进货单价上调了元后变为元，乙种头盔进货单价下调了a元后变为元， ∴ ， ∵， ∴当，即/时，w随x的增大而增大。 ∴当时，w取得最小值4400， ∴， ∴， 当，即号时，w随x的增大而减小。 ∴当时，w取得最小值4400， ∴， ∴， 又∵时取不符合条件，舍去， ∴a的值为． 43．（2024-2025学年八年级上安徽省合肥市蜀山区琥珀教育集团11月期中）某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其中甲商品的进价为60元，售价为80元；乙商品的进价为90元，售价为120元．设购进甲种商品x件，商场售完这100件商品的总利润为y元． (1)写出y与x的函数关系式； (2)该商场计划最多投入8400元购买甲、乙两种商品，若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？ (3)商场实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元出售，且限定商场最多购进甲种商品60件．在（2）的条件下，若商场获得最大利润为3120元，求a的值． 【答案】(1) (2)2800元 (3) 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】（1）根据利润（售价进价）销售量进行求解即可； （2）先根据最多投入8400元列出不等式求出，再由一次函数的性质求解即可； （3）先仿照（1）求出，然后讨论的取值范围，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，， 解得， ∵， ∴y随x增大而减小， ∴当时，y最大，最大为， ∴商场可获得的最大利润是2800元； （3）解：由题意得，； 当，即时，y随x增大而减小， ∴当时能获得最大利润， ∴， 解得（舍去）； 当时，获得的利润为，不符合题意； 当时，则y随x增大而增大， ∴当时能获得最大利润， ∴， 解得； 综上所述，． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式是解题的关键． 44．（2024-2025学年八年级上安徽省滁州市全椒县期中）某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价160元，售价210元；乙种服装每件进价120元，售价150元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元? (3)在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件进价减少元，售价不变，且，若最大利润为4000元，求的值． 【答案】(1) (2)当时取最大值4500元 (3) 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的性质，根据题意建立函数关系式是求解本题的关键． （1）由总利润等于两种服装的利润之和可得函数关系式． （2）先求解自变量x的取值范围，再根据一次函数增减性求最值． （3）先建立总利润关于x的函数关系式，再结合一次函数的性质，建立关于a，b的方程组求值即可． 【详解】（1）解： （2）解：由题意得：， ∴， ∵中，， ∴随的增大而增大， ∴当时，(元)． （3）解：∵， ∴， 由题意得： ． ∵， ∴当时，， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，， ∴，符合题意． 当时，， 不合题意． 当时，， y随x的增大而减小． ∴当时，， ∴，不合题意，舍去． 综上，． 45．（2024-2025学年八年级上安徽省合肥市行知中学期中）某农产品生产基地收获红薯192吨，准备运给甲、乙两地的承包商进行包销．该基地用大、小两种货车共18辆恰好能一次性运完这批红薯，已知这两种货车的载重量分别为14吨/辆和8吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表： 车型 运费 运往甲地/（元/辆） 运往乙地/（元/辆） 大货车 720 800 小货车 500 650 （1）求这两种货车各用多少辆； （2）如果安排10辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，其中前往甲地的大货车为a辆，总运费为w元，求w关于a的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若甲地的承包商包销的红薯不少于96吨，请你设计出使总运费最低的货车调配方案，并求出最低总运费． 【答案】（1）大货车用8辆，小货车用10辆；（2）w=70a+11400（0≤a≤8且为整数）；（3）使总运费最少的调配方案是：3辆大货车、7辆小货车前往甲地；5辆大货车、3辆小货车前往乙地．最少运费为11610元． 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】（1）根据大、小两种货车共18辆，以及两种车所运的货物的和是192吨，据此即可列方程或方程组即可求解； （2）首先表示出每种车中，每条路线中的费用，总运费为w元就是各个费用的和，据此即可写出函数关系式； （3）根据运往甲地的物资不少于96吨，即可列出不等式求得a的范围，再根据a是整数，即可确定a的值，根据（2）中的函数关系，即可确定w的最小值，确定运输方案． 【详解】（1）设大货车用x辆，则小货车用（18﹣x）辆，根据题意得： 14x+8（18﹣x）=192，解得：x=8，18﹣x=18﹣8=10． 答：大货车用8辆，小货车用10辆． （2）设运往甲地的大货车是a，那么运往乙地的大货车就应该是（8﹣a），运往甲地的小货车是（10﹣a），运往乙地的小货车是10﹣（10﹣a），w=720a+800（8﹣a）+500（10﹣a）+650[10﹣（10﹣a）]=70a+11400（0≤a≤8且为整数）； （3）14a+8（10﹣a）≥96，解得：a≥． 又∵0≤a≤8， ∴3≤a≤8  且为整数． ∵w=70a+11400，k=70＞0，w随a的增大而增大， ∴当a=3时，W最小，最小值为：W=70×3+11400=11610（元）． 答：使总运费最少的调配方案是：3辆大货车、7辆小货车前往甲地；5辆大货车、3辆小货车前往乙地．最少运费为11610元． 【点睛】本题主要考查了一次函数和一元一次不等式的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． 46．（2024-2025学年八年级上安徽省合肥市包河区大联考11月期中）定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“星辰函数”． (1)已知函数为函数、的“星辰函数”，求，的值； (2)在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点．过点作轴的垂线，交函数、的“星辰函数”的图象于点． ①若，函数、的“星辰函数”图象经过点，求的值； ②若，点在点的上方，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一元一次不等式的解集、两直线的交点与二元一次方程组的解、构造二元一次方程组求解 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，二元一次方程组，一元一次不等式的求值，理解“星辰函数”的定义，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据“星辰函数”的定义可得，由此列二元一次方程组求解即可； （2）根据题意，函数与的图象相交于点，联立方程组可得，设函数、的“星辰函数”为，对于①则有，由此化简即可求解；对于②则有点的横坐标为，纵坐标为，根据点在点的上方，可得，由此化简即可求值． 【详解】（1）解：根据“星辰函数”的定义有，， ∴， ∴， 解得，； （2）解：∵函数与的图象相交于点， ∴， 解得，， ∴， 根据题意，设函数、的“星辰函数”为， ①∵点在“星辰函数”上， ∴，整理得，， ∵， ∴， ∴； ②过点作轴的垂线，交函数、的“星辰函数”的图象于点， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∵点在点的上方， ∴， ∴， ∵，则， ∴ ∴ 考点05 一次函数与几何综合 47．（2024-2025学年八年级上安徽省亳州市蒙城县11月期中）如图，已知直线过点，． (1)求直线l的表达式． (2)若直线与x轴交于点B，且与直线l交于点C． ①求的面积． ②在直线l上是否存在点P，使的面积是面积的3倍？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①6，②存在，点P的坐标为或 【知识点】求直线围成的图形面积、求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式和两直线交点的坐标等知识 （1）利用待定系数法求出直线l的表达式即可； （2）①联立两直线得到方程组，求出点C的坐标，即可求出答案； ②的面积是面积的3倍得到，设，则，即可求出答案． 【详解】（1）解：把A，D两点代入：       解得： （2）①     解得         ②的面积是面积的3倍 设     或      点P的坐标为或 48．（2024-2025学年八年级上安徽省蚌埠市高新区期中）如图，直线与轴，轴分别交于点，直线与轴，轴分别交于点，与直线交于点，点在直线上，过点作轴，交直线于点，点为的中点． (1)①求直线的解析式； ②求的面积； (2)①如果线段的长为，求点的坐标； ②我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，则符合条件的整点的个数为______个． 【答案】(1)①；② (2)①点坐标为或；② 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、求直线围成的图形面积、求一次函数解析式、一次函数与几何综合 【分析】（1）①根据可得点坐标，即可得出坐标，待定系数法即可求直线的解析式；②联立两条直线解析式，即可得到点，将分别代入两条直线解析式即可求出点，点，再根据，即可求解． （2）①设点，根据轴，可得点，分别讨论当点在点上方，当点在点上方两种情况即可得出点坐标；②由上可得，分别讨论和两种情况下，的不等式解集，再将可取的整数分别代入点中，即可得符合要求点个数． 【详解】（1）解：①对于直线，当时，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 将代入直线中，可得， 解得：， 故直线的解析式为． ②联立直线和直线，即， 解得， ∴点为， 将分别代入和中，即，， 解得：，， ∴点为，点为， ∴， ∴． （2）解：①设点坐标为， ∵轴， ∴点坐标为， 当点在点上方时， ∴， 解得：， ∴点的坐标为， 当点在点上方时， ∴， 解得：， ∴点的坐标为， 综上可得：点坐标为或． ②由上可得， 当时，即时，， ∵ ∴ 解得： 当时，即时，， ∵， ∴， 解得：， ∴在和的范围内，可取的整数有， ∵点坐标为， ∴当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， ∴整点的坐标有，，，， ∴符合条件的整点的个数为个． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形，一次函数与二元一次方程组，不等式组解集的整数解，熟练掌握待定系数法，不等式组解集的整数解是解题的关键． 49．（2024-2025 学年八年级上安徽省淮北市期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D（0，﹣6）在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，直线CD交AB于点E． (1)求点A、B、C的坐标； (2)求△ADE的面积； (3)y轴上是否存在一点P，使得＝，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），点C的坐标为（8，0） (2)9 (3)y轴上存在一点P（0，﹣3）或（0，﹣9），使得＝ 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、一次函数与几何综合 【分析】(1) 直线y＝x+4中，分别令x=0、y=0，确定B、A坐标，运用勾股定理计算AB，根据折叠性质，AC=AB，确定OC的长即可确定点C的坐标． （2）证明Rt△AOD≌Rt△AED，根据计算即可． （3）设点P的坐标为（0，m），则DP＝|m+6|．根据，计算m的值即可． 【详解】（1）当x＝0时，y＝x+4＝4， ∴点B的坐标为（0，4）； 当y＝0时，x+4＝0， 解得：x＝3， ∴点A的坐标为（3，0）． 在Rt△AOB中，OA＝3，OB＝4， ∴AB＝＝5． 由折叠的性质，可知：∠BDA＝∠CDA，∠D＝∠C，AC＝AB＝5， ∴OC＝OA+AC＝8， ∴点C的坐标为（8，0）． （2）∵∠B＝∠C，∠OAB＝∠EAC，∠B+∠AOB+∠OAB＝180°，∠C+∠AEC+∠EAC＝180°， ∴∠AEC＝∠AOB＝90°=∠AED＝∠AOD． 又∵∠BDA＝∠CDA， 在Rt△AOD和Rt△AED中， ∴Rt△AOD≌Rt△AED， ∴． （3）存在点P，且坐标为（0，-3）或（0，-9），理由如下： 设点P的坐标为（0，m），则DP＝|m+6|． ∵＝， ∴， ∴|m+6|＝3， 解得：m＝﹣3或m＝﹣9， ∴y轴上存在点P（0，﹣3）或（0，﹣9），使得＝． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，解析式的确定，折叠的性质，一次函数与几何图形的综合，熟练掌握待定系数法，折叠性质，一次函数与几何图形的综合是解题的关键． 50．（2024—2025学年八年级上安徽省宿州市灵璧县第六中学 期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，交直线于点P． (1)若点P为的中点，求k的值； (2)在（1）的条件下，C是线段上一点，过点C作x轴的垂线，与x轴交于点E，与直线 交于点D，若，求点C的坐标； (3)在（2）的条件下，M是y轴上一点，当时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或． 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合 【分析】（1）分别把，代入解析式求出点A，点B的坐标，再根据线段中点P的坐标，再用待定系数法即可得出k的值． （2）设C点坐标为，则点D坐标为，点E坐标为，可得，，从而可得，再求解即可； （4）由，，求得，再由可得，求得，即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∴B点坐标为， 令，则， ∴A点坐标为； ∵点P为的中点， ∴点P的横坐标为，纵坐标为：， ∴． ∵点P在直线上， ∴， ∴． （2）解：由（1）知，所在直线的解析式为：． ∵C是直线上一点， ∴设C点坐标为， 则点D坐标为，点E坐标为， ，， ， ， 解得， 点坐标为； （3）解：∵B点坐标为，A点坐标为， ，， ， ， ， ， ， ， ∴或． 【点睛】本题考查一次函数与几何综合，一次函数与坐标轴的交点问题、解一元一次方程、用待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握相关知识，运用数形结合思想解决问题是解题的关键． 51．（2024-2025学年八年级上安徽省合肥市第四十二中学长江路校区期中）在平面直角坐标系中，对于图形G给出如下定义：将图形G上的任意点变为点，称为点P的关联点，图形G上所有的点按上述方法变化后得到的点组成的图形记为图形N，称图形N为图形G的关联图形． (1)点的关联点的坐标为________； (2)直线的关联图形上任意一点的横坐标为________； (3)如图，点，，，若四边形的关联图形与过点的直线有公共点，直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、坐标与图形、一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查了新定义、一次函数的应用等知识点，正确理解关联点、关联图形的定义，能够准确表示出关联点、画出关联图形是解题的关键． （1）按关联点的定义操作即可解答； （2）设直线的图像上任意一点坐标为，然后按定义操作即可解答； （3）设四边形上点的坐标为可得，再根据直线恒过点，求出直线与四边形恰有交点时的k值即可． 【详解】（1）解：由关联点的定义可得：，， ∴点的关联点的坐标为． 故答案为：． （2）解：设直线的图像上任意一点坐标为， 由关联点的定义可得：， ∴直线的关联图形上任意一点的横坐标为． 故答案为：． （3）解：由关联点的定义可得：、、、的关联点分别为：、、、. ∴四边形的关联图形如图所示： 当直线过点和时， 有,解得：， 则当四边形与直线的交点在的下方时，有公共点，即； 当直线过点和时， 有,解得：； 则当四边形与直线的交点在的上方时，有公共点，即． 综上，k的取值范围是． 52．（2024-2025学年八年级上安徽省淮北市第一中学11月期中）如图，直线和直线相交于点，分别与轴交于，两点． (1)求点的坐标； (2)求的面积； (3)在轴上有一动点，过点作轴的垂线，分别交函数和直线的图象于点，，若，求出此时点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为； (2)的面积为； (3)点的坐标为或． 【知识点】求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，与一次函数相关的线段和面积问题，熟练掌握一次函数的图象和性质，学会联立函数解析式求解点的坐标是解题的关键． （1）联立直线的解析式即可得出点的坐标； （2）分别求出，两点的坐标，再利用三角形的面积公式即可求解； （3）由点的坐标可得出，，再利用列方程求解的值即可． 【详解】（1）解：联立， 解得：， 点的坐标为． （2）当时，， 点的坐标为， 当时，， 点的坐标为， ， 即的面积为． （3）由题意知，，， ， 解得：或， 点的坐标为或． 53．（2024-2025学年八年级上安徽省合肥市第三十八中学教育集团期中）如图1，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点．    (1)直接写出正比例函数与一次函数的表达式； (2)如图2，点是直线上的一动点（与，点不重合），过点作轴于点，交直线于点，设点的横坐标为，用含的式子表示的长，并求出当时，的值； (3)如图3，在（2）的条件下，若是线段上一动点（与，点不重合），连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)正比例函数的解析式为，一次函数的解析式为； (2)，； (3)点坐标为或． 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，正比例函数的图象与性质，三角形面积的计算． （1）利用待定系数法求解即可； （2）由题意得到，，分当或时，两种情况讨论，列式计算即可求解； （3）根据（2）的结果求得，再分当或时，两种情况讨论，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象经过点， ∴，解得， ∴正比例函数的解析式为， ∵一次函数的图象经过点和点， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：∵点是直线上的一动点，点的横坐标为， ∴， ∵轴， ∴， 当时，； 当时，； ∵， ∴， 当时， ∴或， 解得（舍去），或， 综上，，； （3）解：∵是线段上一动点， ∴，由（2）知，，， 作于点，    ∴，，， 当时，， 解得，此时， ∴； 当时，，解得， 此时， ∴； 综上，点坐标为或． 54．（2024-2025学年八年级上安徽省合肥寿春中学期中）在平面直角坐标系中，，，连接交y轴于C． (1)求出点C的坐标； (2)如图1，点P是y轴上一点，且三角形的面积为8，求点P的坐标； (3)如图2，直线交x轴于，将直线平移经过点A交y轴于E，点在直线上，且，直接写出点Q横坐标x的值． 【答案】(1)； (2)或． (3)或． 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】本题属于一次函数与几何综合题，考查了三角形的面积，一次函数的性质等知识，学会利用参数构建方程是解题关键， （1）根据待定系数法求出一次函数解析式，进而可得AB与y轴的交点C坐标； （2）设，则，根据，列方程求解即可； （3）如图，连接,由，可得，结合已知，可得再由直线平移得出点，由此解方程即可求解． 【详解】（1）解：设直线解析式为，把，代入得 ，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴点的坐标为． （2）设，则， ， ∵，， 即 或 点的坐标为或． （3）如图，连接, ∵直线交x轴于，设直线解析式为，把，代入得 ，解得， ∴直线解析式为， ∵将直线平移经过点交y轴于， 设直线解析式为，把代入得 ，解得， 即， ∵点在直线上， ∴点， ， ， ∵， ， ∴，即 解得：或， 当时，点的横坐标是或． 考点06 三角形综合题 55．（2024-2025学年八年级上安徽省亳州市蒙城县11月期中）在中，点B，C分别是上一点，和的平分线交于点P． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)如图③，和的平分线交于点Q，直接写出和之间的数量关系，不需要证明． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】多边形内角和问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，三角形的角平分线： （1）根据三角形内角和求出，再根据角平分线的定义得到，，继而利用三角形内角和代入计算即可； （2）根据角平分线的定义得到，，再利用三角形内角和得出，结合，代入求解即可； （3）根据角平分线的定义得到，，，，继而推出，再利用四边形内角和计算即可得出关系． 【详解】（1）解：      和的平分线交于点P ， ； （2）解：和的平分线交于点P ，       解得： ； （3）， 证明：∵和的角平分线交于点， ∴，， ∵和的角平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， 同理：， ∴． 56．（2024-2025学年八年级上安徽省合肥市瑶海区期中）如图1，，点A、B分别在上运动（不与点O重合）． (1)若是的平分线，的反方向延长线与的平分线交于点D． ①若，则__________． ②猜想：的度数是否随点A、B的移动发生变化，并说明理由． (2)如图2，若将“”改为“（）”， ，其余条件不变，__________（直接用含、n的代数式表示的度数）． 【答案】(1)①；②的度数不变，理由见解析 (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解决问题的关键． （1）①根据题意得到，再根据角平分线定义得，由即可解答；②设，则，求出，再根据角平分线的定义求出解答； （2）设，根据题意得到，，由，求出，即可解答． 【详解】（1）解：①，是的外角， ， 平分、平分， ， ， ②的度数不变，理由如下：                         设， 平分， ， ， ， 平分， ， ； （2）解：设， ， ， ， ， ， ， ． 57．（2024-2025学年八年级上安徽省安庆市潜山市北片学校联考11月期中）沪科版（数学）（八年级上册）求五角星形五个角的度数和（如图1）．我们求得．爱动脑筋的小聪借助几何画板将图1进行调整，得到图2、图3、图4三个图形，请你帮助小聪解决下列问题： (1)根据图2，直接写出，，，，满足的关系式___________； (2)如图3，点在上，求证：； (3)如图4，点在上方，请问（2）中的结论是否还成立，如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你的结论，并进行证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)成立，见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查三角形的内角和的知识，解题的关键是掌握三角形的内角和为，平角的性质，平行线的性质，进行解答，即可． （1）连接，设，交于点，根据三角形的内角和，则，得到，根据，等量代换，即可； （2）根据三角形的内角和，则，，可得，根据，等量代换，即可； （3）如图，过点作交于点，交于点，根据平行线的性质，则，，根据三角形的内角和，则，，得到，根据平角的性质，则，等量代换，即可． 【详解】（1）解：如图，连接，设，交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：证明：如图， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：成立，理由如下： 如图，过点作交于点，交于点， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 58．（2024-2025学年八年级上安徽省亳州市利辛县 11月期中）如图，在中，，是上一点，且．    (1)求证：； 证明：在中，∵（已知），∴（____________________）． 又∵（已知），∴（____________________）． 在中，（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质），∴（垂直的定义）． (2)如图②，若的平分线分别交，于点，，求证：； (3)如图③，若为上一点，交于点，，，，连接，求的面积． 【答案】(1)直角三角形两锐角互余；等量代换 (2)证明见解析 (3)9 【知识点】三角形内角和定理的应用、与三角形的高有关的计算问题、直角三角形的两个锐角互余 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余以及三角形内角和定理填空即可； （2）利用等角的余角相等求出，然后根据对顶角相等可得，等量代换即可证明； （3）利用等高的两个三角形面积的比等于底的比，求得，，可得，连接，设，利用上述的结论和方法，列出方程，即可求解． 【详解】（1）证明：在中， ∵（已知）， ∴（直角三角形两锐角互余）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）． 在中，（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质）， ∴（垂直的定义）． 故答案为：直角三角形两锐角互余；等量代换； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 连接，    设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，三角形内角和定理，等高的两个三角形面积的比等于底的比，灵活运用“等高的两个三角形面积的比等于底的比”是解题的关键． 59．（2024-2025学年八年级上安徽省安庆市期中）如图，在中，，点D、E是边AC、AB上的点，点P是平面内一动点．令，，． (1)若点P在线段BC上，如图1所示，，则______； (2)若点P在边BC上运动，如图2所示，猜想、、之间的关系并说明理由； (3)若点P运动到边CB的延长线上，如图3所示，猜想、、之间的关系并说明理由； (4)若直线l在点A上方，且，点P在l上运动，点D到直线l的距离大于点E到直线l的距离，如图4，则、、之间的关系为______．（写出所有可能的结果） 【答案】(1) (2)，见解析 (3)，见解析 (4) 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质： （1）根据，可得，再根据平角的定义可得，则； （2）同（1）求解即可； （3）由三角形的外角的性质知：，，据此可得结论； （4）分4种情况，结合三角形的内角和定理，三角形的外角，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵在四边形中，（四边形内角和可以看做连接对角线后两个三角形的内角和），，， ∴ ∵， ∴， ∴； （2）解：∵在四边形中，（四边形内角和可以看做连接对角线后两个三角形的内角和），， ∴ ∵， ∴， ∴； （3）解：猜想，理由如下： 设交于M， 由三角形的外角的性质知： ，， ， 即； （4）解：当点在点右侧，点上方时，设交于M， 由三角形的外角的性质知： ，， ， ， 即， 当点在点左侧，点上方时，设交于M， 由三角形的外角的性质知： ，， ， ， 即； 当点在点上方时，如图，连接， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点在点的右侧时，如图： 则：， ∴， 综上：． 60．（2024—2025学年八年级上安徽省亳州市期中）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为“对顶三角形”．根据三角形内角和定理可知“对顶三角形”有如下性质∶．    (1)性质理解：如图1，在“对顶三角形”与中，若，则 ； (2)性质应用∶ ①如图2，则 ； ②如图3，在中，分别平分和，若，比大，求的度数； (3)拓展提高：如图4，是的角平分线，和的平分线和相交于点P，设，求的度数（用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2)①② (3) 【知识点】三角形内角和定理的应用、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题综合考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，掌握整体思想是解题关键． （1）求出即可求解； （2）①连接，可得，据此即可求解；②求出即可求解； （3）根据、、即可求解； 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵， ∴ 故答案为： （2）解：①连接，如图所示：    则 ∴ 故答案为： ②∵， ∴ ∵分别平分和， ∴ ∵ ∴ ∵ 由①②可得： （3）解：∵， ∴ ∵是的角平分线， ∴ ∵和的平分线和相交于点P， ∴ ∵ ∴得： ∴ 61．（2024-2025学年八年级上安徽省六安市多校 期中）如图，在中，点D在上，过点D作，交于点E．平分，交的平分线于点P，与相交于点G，过点C作交的延长线于点Q． (1)若，，则______°，______°． (2)若，当的度数发生变化时，，的度数是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，求，的度数（用含m的代数式表示）． (3)若中一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出所有符合条件的的度数． 【答案】(1)114；24 (2)， (3)或或或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）先求出，根据角平分线的定义及平行线的性质得，，然后根据三角形的内角和定理可得出的度数；根据，进而可得出的度数； （2）根据角平分线的定义及平行线的性质得，根据三角形内角和定理得，则，进而可得出的度数；然后根据可得出的度数； （3）由（1）（2）可知，，，根据当若中存在一个内角等于另一个内角的4倍，有以下4中情况：①当时，②当时，③当时，④当时，根据每一种情况求出m的值即可得出的度数． 【详解】（1）解： 在中，，， ， 平分， ， ， ，， 平分， ， 在中，； ， ∵， ， 在中，， （2）解：、均不发生变化，，，理由如下： ， ，， 平分，平分， ，， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 由（1）可知：， 在中，； （3）解：由（1）（2）可知：在中，，，， 当若中存在一个内角等于另一个内角的4倍时，有以下4中情况： ①当时，则， 解得：； ②当时，则， 解得：； ③当时，则， 解得：； ④当时，则， 解得：， 综上所述：若中存在一个内角等于另一个内角的4倍时，的度数为或或或． 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，准确识图，理解角平分线定义，熟练掌握平行线的性质，灵活运用三角形的内角和定理进行计算是解决问题的关键． 62．（2024-2025学年八年级上安徽省合肥市第四十二中学长江路校区期中）如图，在中，平分交于点，延长至点平分，且的延长线交于点，若． 求证：； 求的度数； 若在图中继续作与的平分线交于点，作与的平分线交于点，作与的平分线交于点，以此类推，作与的平分线交于点，请用含有的式了表示的度数(直接写答案)． 【答案】（1）证明见解析；（2）∠E=10°；（3）∠En+l=∠E． 【知识点】三角形的角平分线、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得出∠DCE=∠A+∠D，∠DFE=∠DCE+∠E，将第一式代入第二式即可得证； （2）根据角平分线及三角形外角的性质得出∠ECG=∠DCG=（∠D+∠DBC），∠ECG=∠E+∠EBC=∠E+ ∠DBC，则∠D=2∠E，再利用上题结论∠DFE=∠A+∠D+∠E，将已知条件代入，即可求出∠E的度数； （3）先根据角平分线及三角形外角的性质得出∠E1=∠E，同理得出∠E2=∠E1，则∠E2=∠E=∠E，由此得出规律∠En+l=∠E． 【详解】（1）证明：∵∠DCE=∠A+∠D，∠DFE=∠DCE+∠E， ∴∠DFE=∠A+∠D+∠E； （2）解：∵∠DCG=∠D+∠DBC，CE平分∠DCG， ∴∠ECG=∠DCG=（∠D+∠DBC）， ∵BE平分∠DBC， ∴∠EBC=∠DBC， ∵∠ECG=∠E+∠EBC=∠E+∠DBC， ∴∠E+∠DBC=（∠D+∠DBC）， ∴∠E=∠D， ∴∠D=2∠E． ∵∠DFE=63°，∠A=33°，∠DFE=∠A+∠D+∠E， ∴∠D+∠E=∠DEF-∠A=63°-33°=30°， ∴2∠E+∠E=30°， ∴∠E=10°； （3）∵∠ECG=∠E+∠EBC，CE1平分∠ECG， ∴∠E1CG=∠ECG=（∠E+∠EBC）． ∵BE1平分∠EBC， ∴∠E1BC=∠EBC． ∵∠E1CG=∠E1+∠E1BC=∠E1+∠EBC， ∴∠E1+∠EBC=（∠E+∠EBC）， ∴∠E1=∠E． 同理：∠E2=∠E1， ∴∠E2=∠E=∠E， ∴∠En+l=∠E． 【点睛】此题考查三角形的角平分线，三角形的外角的性质，（3）中得出∠E1=∠E，是解题的关键． 63．（2024-2025学年八年级上安徽省淮北市第一中学11月期中）（1）如图1，在中，，是的角平分线，是边上的高线，、相交于点，若，求的度数． （2）如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与边的延长线交于点．若，求的度数（用表示）； （3）如图3，在中，，的平分线与交于点，与的外角的平分线交于点．过点作，交与点，请自行补全图形，并证明． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的性质和三角形外角的性质是解题的关键； （1）根据是边上的高，得，利用角平分线的性质求出 ，再利用三角形外角的性质即可得出答案； （2）利用角平分线的性质表示出，然后利用高线的性质得出，再利用三角形内角和即可得出答案； （3）根据题意画出的平分线，与交于D点。画出的外角的平分线，两条平分线交于点E，过点E作，交于点F，然后根据高线的性质及角平分线的性质和三角形外角的性质解答即可 【详解】解：（1）是边上的高线， ， 是的角平分线，， ， 又， ； （2）解为的角平分线， ， 是边上的高， ， ； （3）如图：作出的平分线，与交于D点．作出的外角的平分线，两条平分线交于点E，过点E作，交于点F， 证明：在中，， ， 又平分， ， ． 又平分， ， ， ， ， ， ． 64．（2024-2025学年八年级上安徽省马鞍山市第七中学期中）问题引入： (1)如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝           （用α表示）；如图②，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝             （用α表示） 拓展研究： (2)如图③，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝          （用α表示），并说明理由． 类比研究： (3)BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝           ． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）. 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）如图①，根据角平分线的定义可得∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，然后表示出∠OBC+∠OCB，再根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC=90°+α；如图②，根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC=120°+α； （2）如图③，根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC=120°﹣α； （3）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC=． 【详解】解：（1）如图①，∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）， 在△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB） =180°﹣（∠ABC+∠ACB） =180°﹣（180°﹣∠A） =90°+∠A =90°+α； 如图②，在△OBC中， ∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB） =180°﹣（∠ABC+∠ACB） =180°﹣（180°﹣∠A） =120°+∠A =120°+α； （2）如图③，在△OBC中， ∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB） =180°﹣（∠DBC+∠ECB） =180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+ABC） =180°﹣（∠A+180°） =120°﹣α； （3）在△OBC中， ∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB） =180°﹣（∠DBC+∠ECB） =180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC） =180°﹣（∠A+180°） =． 65．（2024-2025学年八年级上安徽省合肥市蜀山区琥珀教育集团11月期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”.    (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，D是边上一点（不与点A，B重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 【答案】(1)①，；②、都是“友爱三角形”，理由见解析 (2)或 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用是解题的关键． （1）①利用“友爱三角形”的定义及结合解答即可；②由，，，求出，，根据“友爱三角形”的定义即可得出结论； （2）利用“友爱三角形”的定义解答即可；利用分类讨论的方法，根据“友爱三角形”的定义解答即可． 【详解】（1）解：①是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ， ， ，即，解得， ； ②、都是“友爱三角形”， 理由：是中边上的高， ， ，， ， 在中，，， ， 为“友爱三角形”； 在中，，， 为“友爱三角形” ； （2）解：的度数为或， 是“友爱三角形”，D是边上一点（不与点A，B重合）， 或， 当时，； 当时， ，即， ， 综上所述，的度数为或． 66．（2024-2025学年八年级上安徽省滁州市全椒县期中）已知中， (1)如图1，平分，平分，，求的度数； (2)如图2，是的外角，、的平分线交于点D，求与的数量关系； (3)如图3，、是的外角，的平分线所在的直线与、的平分线分别交于点F､D．在中，如果，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形角平分线的定义、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）由三角形的内角和定理可得，再根据三角形角平分线的定义可得，然后再次利用三角形的内角和定理即可得出的度数； （2）设与交于点，由三角形角平分线的定义可得，，由三角形外角的性质可得，由三角形的内角和定理、对顶角相等可推出，于是可得结论； （3）由三角形角平分线的定义可得，，进而可推出，由（2）可知，根据三角形的内角和定理可得，于是可得关于的一元一次方程，解方程即可得出的度数，进而得出的度数． 【详解】（1）解：，， ， 平分，平分， ，， ， ， ； （2）解：如图，设与交于点， 、分别是、的平分线， ，， ， ， ； （3）解：平分，平分， ，， ， 平分，平分， ∴由（2）可知：， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，等式的性质，三角形角平分线的定义，三角形外角的性质，对顶角相等，等式的性质，解一元一次方程等知识点，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 67．（2024-2025学年八年级上安徽省合肥市第五十中学东校期中）如图1，，点A、B分别在、上运动（不与点O重合）． (1)若是的平分线，的反方向延长线与的平分线交于点D． ①若，则______； ②猜想：的度数是否随A，B的移动发生变化？并说明理由． (2)如图2，若，，求的度数． 【答案】(1)①45；②不变化，理由见解析； (2)． 【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算 【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解决问题的关键． （1）①先求出，则，再根据角平分线定义得，，则，进而得，然后再根据三角形的内角和定理可得出的度数； ②设，则，，再根据角平分线定义得，，则，进而得，然后再根据三角形的内角和定理可得出的度数； （2）根据，，设，，则，，进而得，，，再根据三角形的内角和定理得，然后再根据得，由此可得出的度数． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴， ∵是的平分线，的反方向延长线与的平分线交于点D， ∴，， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：45； ②的度数不随A，B的移动发生变化，始终是，理由如下： 设，则， ∴， ∵是的平分线，的反方向延长线与的平分线交于点D， ∴，， ∴， ∴， 在中，； （2）解：∵，， ∴设，，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 68．（2024-2025学年八年级上安徽省合肥市行知中学期中）如图1，，点分别在上运动（不与点重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点．    【特殊探究】 (1)若，则______； 【推理论证】 (2)随着点的运动，的大小是否会变化？如果不变，求的度数；如果变化，请说明理由． 【拓展探究】 (3)如图2，直线与直线相交于点，夹角为，点在点右侧，点在上方，点在点左侧，点在射线上运动（不与重合），平分平分交直线于点，当时，求的度数． 【答案】(1) (2)的大小不会变， (3)的度数为或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，三角形外角的性质等知识．熟练掌握三角形内角和定理，角平分线，三角形外角的性质并分情况求解是解题的关键． （1）由题意可得，，由平分，平分，可得，根据，计算求解即可； （2）同理（1）求解即可； （3）由平分平分，可得，，设，，则，，由题意知，分点在上方，点在下方两种情况，利用三角形外角的性质，三角形内角和定理求解作答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴的大小不会变，度数为； （3）解：∵平分平分， ∴，， 设，，则，， 由题意知，分点在上方，点在下方两种情况求解； 当点在上方时，如图2，    ∴，即， 解得，， ∴； 当点在下方时，如图3，              图3 由题意知，， ∵， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，的度数或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 六大压轴题型（高效培优期中专项训练） 考点01 规律探究题 考点02 多结论小压轴 考点03 双空小压轴 考点04 一次函数的实际应用 考点05 一次函数与几何综合 考点06 三角形综合题 考点01 规律探究题 1．（2024-2025学年八年级上安徽省安庆市潜山市北片学校联考11月期中）如图所示，．依据点的坐标变化规律，点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 2．（2024-2025学年八年级上安徽省亳州市利辛县 11月期中）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，依此下去，若，则为（   ） A． B． C． D． 3．（2024-2025学年八年级上安徽省蚌埠市高新区期中）如图，直线与轴交于点，依次作正方形，正方形，，正方形，其中点，，，，在直线上，点，，，，在轴正半轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（2024-2025学年八年级上安徽省合肥市第四十二中学长江路校区期中）如图，点，点，点，点，按照这样的规律下去，点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 5．（2024-—2025学年八年级上安徽省合肥市第四十五中学期中）如图，在平面直角坐标系中有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，依次为，，，，，，…，根据这个规律，可得第55个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（2024-2025学年八年级上安徽省马鞍山东方实验学校11月期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，，根据这个规律探索可得第个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 7．（2024-2025学年八年级上安徽省合肥市蜀山区琥珀教育集团11月期中）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，正方形．使得点在直线上，点在轴正半轴上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（2024-2025学年八年级上安徽省滁州市全椒县期中）如下图，动点P在平面直角坐标系中按箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，按这样的运动规律，第2023次运动后，动点P的坐标是（   ）． A． B． C． D． 9．（2024-2025学年八年级上安徽省宣城市皖东南六校期中）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点的坐标是（   ） A． B． C． D． 10．（2024-2025学年八年级上安徽省合肥市包河区大联考11月期中）如图，平面直角坐标系中长方形的四个顶点坐标分别为，，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒个长度单位，点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒个长度单位，记在长方形边上第次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，……，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 11．（2024-2025学年八年级上安徽省安庆市石化第一中学11月期中）在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫做点的终结点．已知点的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，这样依次得到、、、、…、、…，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 12．（2024-2025学年八年级上安徽省蚌埠市怀远县期中）如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，点C在y轴上，且轴，a，b满足．点P从原点出发，以每秒2个单位的速度沿着的路线运动（回到O为止）． (1)写出点A，B，C的坐标； (2)当点P运动4秒时，求出点P的坐标； (3)点P运动t秒后（），是否存在点P到x轴的距离为个单位的情况．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 考点02 多结论小压轴 13．（2024-2025学年八年级上安徽省马鞍山市第七中学期中）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离y（）与甲所用时间x（）之间的函数关系如图所示，有下列说法：①A、B之间的距离为；②乙行走的速度是甲的1.5倍；③；④．以上结论正确的有（    ） A．①④ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 14．（2024-2025学年八年级上安徽省马鞍山东方实验学校11月期中）如图，一次函数与的图象，下列说法正确的是（   ） ①；②的图象，随自变量的增大而减少；③不论为何值，一次函数的图象总过定点；④方程组的解是． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 15．（2024-2025学年八年级上安徽省黄山市歙县期中）如图，，，分别是的中线、高和角平分线，，交于点G，交于点H，．给出下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（   ） A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④ 16．（2024-2025学年八年级上安徽省安庆市第四中学期中）如图，在中，分别平分，交于点O，为外角的平分线，的延长线交于点E．以下结论①，②，③，④，其中正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（2024-2025学年八年级上安徽省马鞍山市第七中学期中）甲、乙两车从城出发前往城，在整个行驶过程中，汽车离开城的距离（）与行驶时间（）的函数图象如图所示，下列说法： ①甲车的速度为； ②乙车用了到达城； ③甲车出发时，乙车追上甲车； ④乙车出发后经过或两车相距． 其中正确的是 （填序号）． 考点03 双空小压轴 18．（2024-2025学年八年级上安徽省亳州市蒙城县11月期中）已知直线与直线相交于点A，两直线分别与x轴交于B，C两点，若点D落在内部（不含边界），则： （1）点A的坐标是 ； （2）a的取值范围是 ． 19．（2024-2025学年八年级上安徽省蚌埠市怀远县期中）定义：在平面直角坐标系中，已知点，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最佳间距”．例如：点的“最佳间距”是1． （1）点的“最佳间距”是 ； （2）当点的“最佳间距”为1时，点P的横坐标为 ． 20．（2024-2025学年八年级上安徽省合肥市瑶海区期中）一次函数（为常数且） （1）该一次函数恒经过点，则点的坐标为 ； （2）如图：已知长方形中，，，，若一次函数与长方形的边有公共点，则的取值范围为 ． 21．（2024-2025学年八年级上安徽省安庆市潜山市北片学校联考11月期中）已知关于的一次函数与． （1）当时，这两个函数图象的交点坐标是 ； （2）若这两个函数图象与轴围成的三角形的面积是，则 ． 22．（2024-2025学年八年级上安徽省亳州市利辛县 11月期中）如图1，在长方形中，点E是上一点，点P从点A出发，沿着运动，到点E停止，运动速度为，三角形的面积为，点P的运动时间为，y与x之间的函数关系图象如图2（长方形：四个内角都是直角，对边相等且平行）． （1）长方形的宽的长为 cm； （2）当点P运动到点E时，，则m的值为 ． 23．（2024-2025 学年八年级上安徽省淮北市期中）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点为，．    （1）直线的函数表达式为 ． （2）某同学设计了一个动画：在函数中，输入的值，得到直线，其中点C在x轴上，点D在y轴上．当直线与线段有交点时，直线就会发红光，则此时输入的b的取值范围是 ． 24．（2024-2025学年八年级上安徽省安庆市期中）如图，在平面直角坐标系中，设一点自处向上运动个单位长度至，然后向左运动个单位长度至处，再向下运动个单位长度至处，再向右运动个单位长度至处，再向上运动个单位长度至处，…，如此继续运动下去，设，… （1） ． （2） ． 25．（2024—2025学年八年级上安徽省亳州市期中）关于的一次函数的图象过点，，． （1）已知该一次函数的图象一定经过点，则点的坐标为 ； （2）若，则的取值范围是 ． 26．（2024-2025学年八年级上安徽省六安市多校期中）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，连接，，平分，平分． （1）若，则的度数为 ． （2）若的度数为，的度数为，则与的数量关系是 ． 27．（2024-2025学年八年级上安徽省芜湖市期中）已知的面积为a．如图①，延长的边到点D，延长到点E，使，，连接，若的面积为S，则 ．（用含a的式子表示） 如图②，像上面那样，将各边均顺次延长一倍，得到，此时，我们称向外扩展了一次； 如图③，再将②中的各边均顺次延长一倍，连接所得的端点，得到，称将向外扩展了二次．…，若将扩展n次后得到，的面积记作，则 （用含a的式子表示） 28．（2024-2025学年八年级上安徽省合肥市第四十二中学长江路校区期中）如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与直线交于第二象限内的点C，且点C的横坐标为．    （1） ； （2）若直线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交直线于点Q，当时，点P的坐标为 ． 29．（2024-—2025学年八年级上安徽省合肥市第四十五中学期中）已知函数 （1）若，当时，的取值范围是 （2）当时，有最小值5，则的值是 30．（2024-2025学年八年级上安徽省淮北市第一中学11月期中）如图所示，以长方形的边的中点为原点建立平面直角坐标系，且位于轴上，，，点在轴上，点是轴上的一个动点，直线经过点和点． （1）若经过点，则 ． （2）若与长方形的边有两个公共点，则的取值范围为 ． 31．（2024-2025学年八年级上安徽省合肥市第三十八中学教育集团期中）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：如果那么称点为点的“关联点”，例如：点的“关联点”为点，的“关联点”为点． （1）点的“关联点”为，则 ． （2）如果点是一次函数图象上点的“关联点”，那么点的坐标为 ． 32（2024-2025学年八年级上安徽省马鞍山东方实验学校11月期中）．对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，那么我们把点与点称为点的一对“和谐点”．例如，点的一对“和谐点”是点与点， （1）若点的一对“和谐点”重合，则的值为 （2）若点的一个“和谐点”坐标为，则点的坐标为 ． 33．（2024-2025学年八年级上安徽省滁州市全椒县期中）如图所示，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示y与x之间的函数关系． （1）B点表示两车 ．（填“快车到达”或“慢车到达”或“相遇”） （2）点C的坐标为 ． 34．（2024-2025学年八年级上安徽省合肥寿春中学期中）如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为，，，． （1）四边形的面积为 ； （2）当过点的直线l将四边形的面积分成面积相等的两部分时，则直线的函数表达式为 ． 35．（2024-2025学年八年级上安徽省合肥市行知中学期中）已知一次函数，其中． （1）若点都在该一次函数的图象上，则 ． （2）当时，函数有最大值为2，则函数表达式为 ． 36．（2024-2025学年八年级上安徽省安庆市石化第一中学11月期中）已知关于的两个一次函数，其中，均为非零常数． （1）若两个一次函数的图象都经过轴上的同一个点，则 ； （2）若对于任意实数，都成立，则的取值范围是 ． 考点04 一次函数的实际应用 37．（2024-2025学年八年级上安徽省安庆市潜山市北片学校联考11月期中）学完一次函数后、小明同学通过列表、描点、连线的方法画函数图象，并利用函数图象研究函数的性质．由于在七年级学习了绝对值的意义：．请你帮助小明完成下列问题． (1)【探索】探究函数的图象与性质： 当时，，当时，； ①列表： …… 0 1 2 3 4 5 …… …… 5 3 1 1 3 5 …… ②请根据①中表格里的数据在给出的平面直角坐标系中描点，并画出的图象； ③多选题：结合图象，下列说法正确的有（　　） A．函数最小值是        B．时，值随值的增大而增大 C．当或时，    D．当时， (2)【拓展应用】若关于的方程有两个均大于1的实数解，结合图象求的取值范围，并直接写出此时的取值范围． 38．（2024-2025学年八年级上安徽省安庆市期中）某中学计划购买型和型课桌凳共200套，经招标，购买一套型课桌凳比购买一套型课桌凳少用40元，且购买4套型和5套型课桌凳共需1820元． (1)求购买一套型课桌凳和一套型课桌凳各需多少元？ (2)学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳的总费用不能超过40880元，并且购买型课桌凳的数量不能超过型课桌凳数量的，学校购买型课桌凳x套，总费用为元． ①求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． ②该校本次购买型和型课桌凳共有几种购买方案？怎样的方案使总费用最低？并求出最低消费． 39．（2024—2025学年八年级上安徽省亳州市期中）某县教育局在开学期间准备给当地的中小学添加，两种型号的打印机，已知台型打印机和台型打印机共需要元，台型打印机和台型打印机共需要元．求： (1)、型号的打印机每台各多少元； (2)若该教育局需购买这两种型号的打印机共台，且需要型打印机不少于台，型打印机不少于台，平均每台打印机的运输费用为元．设购买型打印机台，总费用为元． ①求与之间的函数关系式，并写出的取值范围： ②求出总费用最少的购买方案． 40．（2024-2025学年八年级上安徽省六安市多校期中）综合与实践 【问题背景】 某市2025年初中学业体育水平考试的总分值拟提高到80分，考试项目增加5项，其中技能类考试项目除篮球和足球外增加了排球垫球．某校为更好地开展排球课程，计划购买一批排球，该市两家体育用品商店分别推出了自己的优惠方案： 甲商店：若购买超过20个，超过部分按每个排球标价的八折出售． 乙商店：若购买超过15个，超过部分按每个排球标价的九五折再优惠10元出售． 【问题研究】 若用字母x表示购买排球的数量，字母y表示购买排球的总价，其函数图象如图所示． 【问题解决】 (1)每个排球的标价是多少元？ (2)当时，甲商店应付的总价与数量x之间的函数关系式为____________； 当时，乙商店应付的总价与数量x之间的函数关系式为____________． (3)求点C的坐标，并根据图象直接写出选择哪家商店购买排球更合算． 41．（2024-2025学年八年级上安徽省合肥市第四十二中学长江路校区期中）某体育用品商场采购员要到厂家批发购买篮球和排球共100个，篮球个数不少于排球个数，付款总额不得超过11200元，已知篮球和排球的厂家批发价分别是每个120元和每个100元，商场零售价分别是每个150元和每个120元．设该商场采购x个篮球． (1)求该商场的采购费用y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； (2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润； (3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球批发价上调了元/个，同时排球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2300元，求m的值． 42．（2024-—2025学年八年级上安徽省合肥市第四十五中学期中）某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元． (1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？ (2)若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共300个，且甲种型号头盔的购进数量最少为150个，甲种型号头盔的购进数量不超过乙种型号头盔的2倍，已知甲种型号头盔每个售价为65元，乙种型号头盔每个售价为70元，设甲种型号头盔购进了个，全部售出后的利润为元． ①求的最大值． ②受原材料和工艺调整等影响，商场实际采购时，甲种头盔进货单价上调了元，同时乙种头盔进货单价下调了元，该商场决定不调整两种头盔的售价，发现将300个头盔全部卖出获得的最低利润是4400元，求的值． 43．（2024-2025学年八年级上安徽省合肥市蜀山区琥珀教育集团11月期中）某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其中甲商品的进价为60元，售价为80元；乙商品的进价为90元，售价为120元．设购进甲种商品x件，商场售完这100件商品的总利润为y元． (1)写出y与x的函数关系式； (2)该商场计划最多投入8400元购买甲、乙两种商品，若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？ (3)商场实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元出售，且限定商场最多购进甲种商品60件．在（2）的条件下，若商场获得最大利润为3120元，求a的值． 44．（2024-2025学年八年级上安徽省滁州市全椒县期中）某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价160元，售价210元；乙种服装每件进价120元，售价150元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元? (3)在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件进价减少元，售价不变，且，若最大利润为4000元，求的值． 45．（2024-2025学年八年级上安徽省合肥市行知中学期中）某农产品生产基地收获红薯192吨，准备运给甲、乙两地的承包商进行包销．该基地用大、小两种货车共18辆恰好能一次性运完这批红薯，已知这两种货车的载重量分别为14吨/辆和8吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表： 车型 运费 运往甲地/（元/辆） 运往乙地/（元/辆） 大货车 720 800 小货车 500 650 （1）求这两种货车各用多少辆； （2）如果安排10辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，其中前往甲地的大货车为a辆，总运费为w元，求w关于a的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若甲地的承包商包销的红薯不少于96吨，请你设计出使总运费最低的货车调配方案，并求出最低总运费． 46．（2024-2025学年八年级上安徽省合肥市包河区大联考11月期中）定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“星辰函数”． (1)已知函数为函数、的“星辰函数”，求，的值； (2)在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点．过点作轴的垂线，交函数、的“星辰函数”的图象于点． ①若，函数、的“星辰函数”图象经过点，求的值； ②若，点在点的上方，求的取值范围． 考点05 一次函数与几何综合 47．（2024-2025学年八年级上安徽省亳州市蒙城县11月期中）如图，已知直线过点，． (1)求直线l的表达式． (2)若直线与x轴交于点B，且与直线l交于点C． ①求的面积． ②在直线l上是否存在点P，使的面积是面积的3倍？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 48．（2024-2025学年八年级上安徽省蚌埠市高新区期中）如图，直线与轴，轴分别交于点，直线与轴，轴分别交于点，与直线交于点，点在直线上，过点作轴，交直线于点，点为的中点． (1)①求直线的解析式； ②求的面积； (2)①如果线段的长为，求点的坐标； ②我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，则符合条件的整点的个数为______个． 49．（2024-2025 学年八年级上安徽省淮北市期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D（0，﹣6）在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，直线CD交AB于点E． (1)求点A、B、C的坐标； (2)求△ADE的面积； (3)y轴上是否存在一点P，使得＝，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 50．（2024—2025学年八年级上安徽省宿州市灵璧县第六中学 期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，交直线于点P． (1)若点P为的中点，求k的值； (2)在（1）的条件下，C是线段上一点，过点C作x轴的垂线，与x轴交于点E，与直线 交于点D，若，求点C的坐标； (3)在（2）的条件下，M是y轴上一点，当时，求点M的坐标． 51．（2024-2025学年八年级上安徽省合肥市第四十二中学长江路校区期中）在平面直角坐标系中，对于图形G给出如下定义：将图形G上的任意点变为点，称为点P的关联点，图形G上所有的点按上述方法变化后得到的点组成的图形记为图形N，称图形N为图形G的关联图形． (1)点的关联点的坐标为________； (2)直线的关联图形上任意一点的横坐标为________； (3)如图，点，，，若四边形的关联图形与过点的直线有公共点，直接写出k的取值范围． 52．（2024-2025学年八年级上安徽省淮北市第一中学11月期中）如图，直线和直线相交于点，分别与轴交于，两点． (1)求点的坐标； (2)求的面积； (3)在轴上有一动点，过点作轴的垂线，分别交函数和直线的图象于点，，若，求出此时点的坐标． 53．（2024-2025学年八年级上安徽省合肥市第三十八中学教育集团期中）如图1，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点．    (1)直接写出正比例函数与一次函数的表达式； (2)如图2，点是直线上的一动点（与，点不重合），过点作轴于点，交直线于点，设点的横坐标为，用含的式子表示的长，并求出当时，的值； (3)如图3，在（2）的条件下，若是线段上一动点（与，点不重合），连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点坐标；若不能，请说明理由． 54．（2024-2025学年八年级上安徽省合肥寿春中学期中）在平面直角坐标系中，，，连接交y轴于C． (1)求出点C的坐标； (2)如图1，点P是y轴上一点，且三角形的面积为8，求点P的坐标； (3)如图2，直线交x轴于，将直线平移经过点A交y轴于E，点在直线上，且，直接写出点Q横坐标x的值． 考点06 三角形综合题 55．（2024-2025学年八年级上安徽省亳州市蒙城县11月期中）在中，点B，C分别是上一点，和的平分线交于点P． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)如图③，和的平分线交于点Q，直接写出和之间的数量关系，不需要证明． 56．（2024-2025学年八年级上安徽省合肥市瑶海区期中）如图1，，点A、B分别在上运动（不与点O重合）． (1)若是的平分线，的反方向延长线与的平分线交于点D． ①若，则__________． ②猜想：的度数是否随点A、B的移动发生变化，并说明理由． (2)如图2，若将“”改为“（）”， ，其余条件不变，__________（直接用含、n的代数式表示的度数）． 57．（2024-2025学年八年级上安徽省安庆市潜山市北片学校联考11月期中）沪科版（数学）（八年级上册）求五角星形五个角的度数和（如图1）．我们求得．爱动脑筋的小聪借助几何画板将图1进行调整，得到图2、图3、图4三个图形，请你帮助小聪解决下列问题： (1)根据图2，直接写出，，，，满足的关系式___________； (2)如图3，点在上，求证：； (3)如图4，点在上方，请问（2）中的结论是否还成立，如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你的结论，并进行证明． 58．（2024-2025学年八年级上安徽省亳州市利辛县 11月期中）如图，在中，，是上一点，且．    (1)求证：； 证明：在中，∵（已知），∴（____________________）． 又∵（已知），∴（____________________）． 在中，（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质），∴（垂直的定义）． (2)如图②，若的平分线分别交，于点，，求证：； (3)如图③，若为上一点，交于点，，，，连接，求的面积． 59．（2024-2025学年八年级上安徽省安庆市期中）如图，在中，，点D、E是边AC、AB上的点，点P是平面内一动点．令，，． (1)若点P在线段BC上，如图1所示，，则______； (2)若点P在边BC上运动，如图2所示，猜想、、之间的关系并说明理由； (3)若点P运动到边CB的延长线上，如图3所示，猜想、、之间的关系并说明理由； (4)若直线l在点A上方，且，点P在l上运动，点D到直线l的距离大于点E到直线l的距离，如图4，则、、之间的关系为______．（写出所有可能的结果） 60．（2024—2025学年八年级上安徽省亳州市期中）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为“对顶三角形”．根据三角形内角和定理可知“对顶三角形”有如下性质∶．    (1)性质理解：如图1，在“对顶三角形”与中，若，则 ； (2)性质应用∶ ①如图2，则 ； ②如图3，在中，分别平分和，若，比大，求的度数； (3)拓展提高：如图4，是的角平分线，和的平分线和相交于点P，设，求的度数（用含α的式子表示）． 61．（2024-2025学年八年级上安徽省六安市多校 期中）如图，在中，点D在上，过点D作，交于点E．平分，交的平分线于点P，与相交于点G，过点C作交的延长线于点Q． (1)若，，则______°，______°． (2)若，当的度数发生变化时，，的度数是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，求，的度数（用含m的代数式表示）． (3)若中一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出所有符合条件的的度数． 62．（2024-2025学年八年级上安徽省合肥市第四十二中学长江路校区期中）如图，在中，平分交于点，延长至点平分，且的延长线交于点，若． 求证：； 求的度数； 若在图中继续作与的平分线交于点，作与的平分线交于点，作与的平分线交于点，以此类推，作与的平分线交于点，请用含有的式了表示的度数(直接写答案)． 63．（2024-2025学年八年级上安徽省淮北市第一中学11月期中）（1）如图1，在中，，是的角平分线，是边上的高线，、相交于点，若，求的度数． （2）如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与边的延长线交于点．若，求的度数（用表示）； （3）如图3，在中，，的平分线与交于点，与的外角的平分线交于点．过点作，交与点，请自行补全图形，并证明． 64．（2024-2025学年八年级上安徽省马鞍山市第七中学期中）问题引入： (1)如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝           （用α表示）；如图②，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝             （用α表示） 拓展研究： (2)如图③，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝          （用α表示），并说明理由． 类比研究： (3)BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝           ． 65．（2024-2025学年八年级上安徽省合肥市蜀山区琥珀教育集团11月期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”.    (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，D是边上一点（不与点A，B重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 66．（2024-2025学年八年级上安徽省滁州市全椒县期中）已知中， (1)如图1，平分，平分，，求的度数； (2)如图2，是的外角，、的平分线交于点D，求与的数量关系； (3)如图3，、是的外角，的平分线所在的直线与、的平分线分别交于点F､D．在中，如果，求的度数． 67．（2024-2025学年八年级上安徽省合肥市第五十中学东校期中）如图1，，点A、B分别在、上运动（不与点O重合）． (1)若是的平分线，的反方向延长线与的平分线交于点D． ①若，则______； ②猜想：的度数是否随A，B的移动发生变化？并说明理由． (2)如图2，若，，求的度数． 68．（2024-2025学年八年级上安徽省合肥市行知中学期中）如图1，，点分别在上运动（不与点重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点．    【特殊探究】 (1)若，则______； 【推理论证】 (2)随着点的运动，的大小是否会变化？如果不变，求的度数；如果变化，请说明理由． 【拓展探究】 (3)如图2，直线与直线相交于点，夹角为，点在点右侧，点在上方，点在点左侧，点在射线上运动（不与重合），平分平分交直线于点，当时，求的度数． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $