专题02 一次函数六大常考题型（高效培优期中专项训练）数学沪科版2024八年级上册

专题02 一次函数六大常考题型（高效培优期中专项训练） 考点01 一次函数的图象 考点02 求一次函数解析式 考点03 一次函数性质应用 考点04 根据两条直线的交点求不等式的解集 考点05 一次函数的实际应用 考点06 一次函数与几何综合 考点01 一次函数的图象 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数的图象如图所示，则点所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）若实数满足，且，则函数的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   4．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，已知函数（），则下列图象可能是该函数的是（   ） A． B． C． D． 考点02 求一次函数解析式 5．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知与成正比例关系，且满足当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)点是否在该函数的图象上？ 6．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）已知是关于的一次函数，点，在函数图象上． (1)求该函数的解析式； (2)当时，求的值． 7．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知一次函数的图象过和两点． (1)求此一次函数的表达式； (2)若点在这个函数图象上，求m的值． 8．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知与x成正比例关系，当时，． (1)写出y与x之间的函数解析式； (2)若x的取值范围为，求y的取值范围． 考点03 一次函数性质应用 9．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数的图象经过三个点，则的大小关系（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·安徽六安·期中）下列说法正确的是（  ） A．直线必经过点 B．若点、均在直线上，且，那么 C．若直线经过点，，当时，该直线不经过第二象限 D．若一次函数的图象与y轴交点纵坐标是3，则 11．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为1，则称点A为“和一点”．例如：点到x轴、y轴距离和为1，则点B是“和一点”，点也是“和一点”．一次函数的图象l经过点，且图象l上存在“和一点”，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知 、、是正比例函数图象上的三个点，当时，t的取值范围是 ． 13．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知点，都在一次函数图像上，则，的大小关系是 ． 14．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知一次函数（a是常数且）． （1）若该一次函数的图象经过点，则 ； （2）当时，该一次函数有最大值8，则a的值为 ． 15．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知关于x的一次函数， （1）此函数恒过定点 ； （2）当时，一次函数的值有正有负，则实数a的取值范围是 ． 16．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数，将该函数向下平移1个单位后，若函数值y随x的增大而增大，且图象不经过第二象限，求k的取值范围． 17．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数． (1)为何值时，函数图象经过点？ (2)若一次函数的函数值随的增大而减小，求的取值范围； (3)直接写出一次函数的图象经过定点坐标． 考点04 根据两条直线的交点求不等式的解集 18．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数的图象交于点A，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 19．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则下列结论错误的是（   ） A．方程组的解是 B．方程的解是 C．不等式和不等式的解集相同 D．不等式组的解集是 20．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，平面直角坐标系中，经过点的直线与直线相交于点，则不等式的解集为 ． 21．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知直线（）经过点，． (1)若直线与直线相交于点A，求点A的坐标； (2)根据图象，直接写出的解集． 考点05 一次函数的实际应用 22．（24-25八年级上·安徽六安·期中）货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行，轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，设两车出发时间为（单位：），货车、轿车与甲地的距离为（单位：），（单位：），图中的线段、折线分别表示，与之间的函数关系．那么两车出发（   ）小时后相距． A．2小时 B．2.5或4.5小时 C．2.25或4.75小时 D．2.25或4.25小时 23．（24-25八年级上·安徽六安·期中）甲、乙两人沿同一条直路行走，如果两人分别从这条直路上的，两处同时出发，都以不变的速度相向而行，图1是甲离开处后行走的路程（单位：）与行走时间（单位：）的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离（单位：）与甲行走时间（单位：）的函数图象，则：         （1）甲的速度为 ； （2） ． 24．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图①所示，正方形的边长为，动点P从点A出发，在正方形的边上沿运动，设运动的时间为，的面积为，S与t的函数图象如图②所示，请回答下列问题： （1）点P在上运动的时间为 s； （2）当t为 时，三角形的面积为．. 25．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系，则： （1）慢车的速度为 ； （2）图中点的坐标为 ． 26．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）如图1，这是某款新能源汽车用充电器给汽车充电时，其屏幕的起始画面.经测试，在用快速充电器和普通充电器对该汽车充电时，其电量E（）与充电时间t（h）的函数图象分别为图 2中的线段．根据以上信息，回答下列问题： (1)在目前电量为的情况下，用充电器给该汽车充满电时，快速充电器比普通充电器少用　　　　h． (2)求线段的函数表达式． (3)已知该汽车在高速公路上正常行驶时，一般情况下耗电量为每小时．若该汽车目前电量为，在用快速充电器将其充满电后，正常行驶，接着用普通充电器将其充满电，其“充电一耗电一充电”的时间恰好是，求a的值． 27．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）东方红商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其中甲商品的进价为80元，乙商品的进价为90元；买3件甲商品和2件乙商品需540元，买2件甲商品和3件乙商品需560元．设购进甲种商品t件，商场售完这100件商品的总利润为元． (1)求出与的函数关系式； (2)东方红商场计划最多投入8600元购买甲、乙两种商品，若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？ (3)在（2）的条件下，商场决定每售出1件甲种商品向社会福利事业捐款元，若商场获得最大利润为2200元，求的值． 28．（24-25八年级上·安徽六安·期中）某县教育局在开学期间准备给当地的中小学添加A，B两种型号的打印机，已知3台A型打印机和2台B型打印机共需要3400元，1台A型打印机和3台B型打印机共需要：3000元求： (1)A、B型号的打印机每台各多少元； (2)若该教育局需购买这两种型号的打印机共200台，且需要A型打印机不少于120台，B型打印机不少于60台，平均每台打印机的运输费用为10元．设购买A型打印机x台，总费用为y元． ①求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； ②当购进A型、B型各多少台，总费用最少．最少费用是多少？ 29．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知一次函数． (1)若该函数值随自变量的增大而减小，求的取值范围； (2)若该函数图象不经过第二象限，求的取值范围． 30．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价元，售价元；乙种服装每件进价元，售价元．现计划购进两种服装共件，其中甲种服装不少于件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若购进件服装的总费用不超过元，求最大利润为多少元 (3)在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件进价减少元，售价不变，且，若最大利润为元，求的值． 31．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）某体育用品专卖店批发A、B两款跳绳，进货价和销售价如下表：（注：利润＝销售价－进货价） 类别价格 A款跳绳 B款跳绳 进货价（元/根） 15 20 销售价（元/根） 25 32 (1)该商店第一次用625元购进A、B两种跳绳共35根，求A、B两种跳绳分别购进的根数； (2)第一次购进的A、B两款跳绳售完后，该体育用品专卖店计划再次批发这两款跳绳共100根（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于1865元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 32．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）某网店在30天内销售一种产品．图1是该产品日销售量y（件）与时间t（天）之间的函数关系图象，图2是一件产品的销售利润z（元）与时间t（天）之间的函数关系图象．（注：日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润．） (1)第18天的日销售量为______件． (2)求第15天销售一件产品的利润是多少元？ (3)求第15天的日销售利润比第25天的日销售利润多多少元？ 33．（24-25八年级上·安徽宣城·期中）根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅” 素材1 芝士杨梅配料 满杯杨梅配 芝士杯 茉莉清茶杯 茉莉清茶杯 杨梅肉 杨梅肉 多肉 多肉 素材2 11月7日当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”的和每杯“满杯杨梅”的利润比为5：3，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯 素材3 11月8日是该店一周年店庆，为感谢广大顾客对品牌店的信任，拟对“芝士杨梅”进行让利促销，决定每杯降价12元促销，“满杯杨梅”价格保持不变。并要求当天芝士消耗量不少于3500ml，配制的17500ml茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”． 问题解决：拟定最优方案确定奶茶的利润 任务1 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的利润是多少？ 任务2 为了使11月8日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共多少杯？此时最大利润是多少元？ 34．（24-25八年级上·安徽宣城·期中）2024年宣州区第一届龙舟邀请赛在水阳江开桨。甲乙两支龙舟队在赛前进行了备战训练，甲乙两队均从起点驶向终点，在整个行程中，龙舟离开起点的距离（米）与时间（分钟）的对应关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)分别求出甲、乙两支龙舟队的与函数关系式； (2)甲龙舟队出发多长时间时两支龙舟队相距180米？（直接写出答案） 35．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）某商场销售甲乙两种产品，甲产品的售价为每个210元，乙产品的售价为每个150元，每个甲产品的进价比乙产品的进价多40元，商场用6400元购进甲产品的数量与用4800元购进乙产品的数量相等． (1)求甲乙两种产品的进价： (2)现计划购进甲乙两种产品共150个，设购进甲产品x个，两种产品全部售完，商场获利y元．要求购进甲产品的数量不高于乙产品的2倍，总利润不低于5700元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润； (3)在（2）的条件下，商场对甲产品每个售价降低m元，乙产品每个售价增加n元，两个产品进价不变，且，若销售完这批产品的总利润不受进货方案的影响，求m的值． 36．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）国庆假期，某出租车司机将3名游客从高铁站送往景点甲地，到达后立刻返回．出租车与高铁站的距离和所用时间之间的关系如图所示． (1)求出与之间的函数关系式； (2)求出租车出发4小时后距离景点甲地多远？ (3)在高铁站与景点甲地之间有一服务区乙地，出租车从去时途经乙地，到返回时再经过乙地，共用1小时50分钟，求高铁站与服务区乙地相距多远？ 37．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）某文具店推出两种优惠方法：①购买1个书包，赠送1支水性管；②购买书包和水性笔一律按9折优惠．书包每个定价20元，水性笔每支定价5元，小华和同学们一起需购买5个书包，水性笔若干支（不少于5支），设买水性笔支，优惠方法①购买所需要的费用为元，优惠方法②购买所需要的费用为元． (1)分别写出，与之间的函数关系式；（不要求写的取值范围） (2)如果他们一共需要购买20支水性笔，那么应选择哪种优惠方法购买比较合算？ (3)当在什么范围时，选择优惠方法②购买更合算？ 38．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）【新情境】合肥烘糕是合肥地区的传统糕点，口感香甜细腻，具有润肺消喘的功效，被誉为合肥糕点族中的“四大名旦”之一．已知，两店都以30元/千克的价格销售同一种烘糕，且同时做优惠活动： 店：购买一定数量的烘糕后，超过的部分打折销售； 店：办理会员卡，每张120元，可享受六折优惠． 在活动期间，李阿姨购买千克烘糕，，店所需的费用分别为，，与的函数图象如图所示，回答下列问题： (1)分别求出、与的函数关系式； (2)请你帮李阿姨设计购买方案使所需总费用最少． 39．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）某企业举行十周年庆典活动，准备给每位员工定制一套某品牌西装和领带，市场上，该品牌西装每套定价600元，领带每条定价80元，在比价过程中，甲乙两家企业分别提供了如下优惠方案．甲：买一套西装送一条领带，乙：西装和领带均打九折付款．现该企业需要定制西装20套，领带x条． (1)请分别写出甲，乙两家企业的方案各自所需费用y（元）关于x的函数关系式． (2)请通过计算说明，若只能选择一家企业方案，按照哪种方案购买更合算？ 考点06 一次函数与几何综合 40．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，点A、B的坐标分别为，点P是函数在第一象限图象上一个动点，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形的面积（   ） A．逐渐减小 B．逐渐增大 C．先减小后增大 D．不变 41．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，直线与轴、轴分别交于点E、F，点的坐标为，点的坐标为． （1）求k的值 ； （2）若点是直线在第二象限内的一动点，当点运动到 （填坐标）位置时，的面积为． 42．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数经过，两点，与一次函数交于点C，一次函数与x轴交于点D． (1)求直线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)求的面积． 43．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，正比例函数与一次函数（k，b是常数且）交于点C，一次函数与x，y轴分别交于点A与点B，已知． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)已知过点C的直线将的面积分为，求该直线的表达式． 44．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，直线：分别交x轴，y轴于A，B两点，直线：分别交y轴，x轴于C，D两点，直线相交于点P． (1)点P的坐标为______； (2)求四边形的面积； (3)过点P的直线把的面积二等分，求该条直线的表达式． 45．（24-25八年级上·安徽宣城·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与轴相交于点，直线与轴、轴分别相交于点、两点． (1)求直线的解析式； (2)点是直线上一动点，如果面积与面积相等，求点的坐标． 46．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与称为点P的一对“友好点”．例如：点的一对“友好点”是与． (1)点的一对“友好点”的坐标是_________与_________； (2)若点的一对“友好点”都在直线上，求k的值． 47．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）在平面直角坐标系中，对点和点，给出了定义：若，则称Q为点P的关联点．例如：点的关联点的坐标是． (1)点的关联点的坐标是________，点的关联点的坐标是________； (2)若点，均是一次函数图象上某一个点的关联点，求k和c的值； (3)若点P在函数的图象上，其关联点Q的纵坐标的取值范围是，则m的取值范围是________． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一次函数六大常考题型（高效培优期中专项训练） 考点01 一次函数的图象 考点02 求一次函数解析式 考点03 一次函数性质应用 考点04 根据两条直线的交点求不等式的解集 考点05 一次函数的实际应用 考点06 一次函数与几何综合 考点01 一次函数的图象 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题目中的函数图象，当时，函数的图象在轴的上方，再写出对应的取值范围即可． 【详解】解：由一次函数的图象可知， 当时，， 故选：C． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数的图象如图所示，则点所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【知识点】判断点所在的象限、已知函数经过的象限求参数范围、求不等式组的解集 【分析】由图象经过第一、三、四象限可知一次函数的，即可求出，再根据不等式的性质得到，即可判断所处象限．本题考查了一次函数图象与系数的关系，解一元一次不等式组，点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由图得出一次函数经过第一、三、四象限 由题意得，， ∴， ∴， ∴点所在的象限为第一象限 故选：A． 3．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）若实数满足，且，则函数的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了判断一次函数经过的象限，根据题意得出，，即可求解． 【详解】解：∵实数满足，且， ∴，， ∴函数的图象经过一、二、三象限， 故选：A． 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，已知函数（），则下列图象可能是该函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】本题考查了一次函数的图象和图象上点的坐标特征，根据可判断函数的增减性以及与y轴的交点，从而可得正确选项． 【详解】解：∵， ∴函数y随x的增大而增大，， ∴函数y与y轴交于负半轴， 当时，， 观察各选项，只有选项B符合题意， 故选：B． 考点02 求一次函数解析式 5．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知与成正比例关系，且满足当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)点是否在该函数的图象上？ 【答案】(1)； (2)点不在这个函数的图象上． 【知识点】求一次函数解析式、正比例函数的定义 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式； （1）设，把将，代入上式可得函数解析式； （2）把代入（1）中的函数解析式即可判断． 【详解】（1）解：设， 将，代入上式可得：，解得：， ∴， ∴； （2）解：当时，， ∴点不在这个函数的图象上 6．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）已知是关于的一次函数，点，在函数图象上． (1)求该函数的解析式； (2)当时，求的值． 【答案】(1)； (2)11． 【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式和求函数值． （1）先设出函数解析式，然后根据点，在函数图象上，即可求得该函数的解析式； （2）将代入（1）中的函数解析式求出相应的y的值即可． 【详解】（1）设一次函数的解析式为， ∵点，在函数图象上， ∴， 解得， 即该函数的解析式为； （2）当时，． 7．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知一次函数的图象过和两点． (1)求此一次函数的表达式； (2)若点在这个函数图象上，求m的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式和一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数解析式． （1）用待定系数法，进而可得出答案； （2）把点代入一次函数，解方程即可． 【详解】（1）解：设此一次函数的表达式为， 把和代入，得 ，解得． ∴此一次函数的表达式为； （2）解：把点代入一次函数，得 ， 解得． 8．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知与x成正比例关系，当时，． (1)写出y与x之间的函数解析式； (2)若x的取值范围为，求y的取值范围． 【答案】(1)； (2)当时，． 【知识点】求一次函数自变量或函数值、正比例函数的定义 【分析】本题主要考查了正比例函数的概念，求一次函数值的取值范围： （1）设 ，然后利用待定系数法求解即可； （2）根据一次函数的性质得到y随x增大而减小，再分别求出当和时的函数值即可得到答案． 【详解】（1）解：设 ， ∵当时，， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：∵在中，， ∴y随x增大而增大， 当时，， 当时，， ∴当时，． 考点03 一次函数性质应用 9．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数的图象经过三个点，则的大小关系（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较一次函数值的大小 【分析】本题主要考查了一次函数图像的性质，即：当时，y的值随着x的值增大而减小；当时，y的值随着x的值增大而增大，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 根据，可得y的值随着x的值增大而减小，据此进行比较即可． 【详解】解：∵， ∴y的值随着x的值增大而减小， ∵， ∴． 故选：B． 10．（24-25八年级上·安徽六安·期中）下列说法正确的是（  ） A．直线必经过点 B．若点、均在直线上，且，那么 C．若直线经过点，，当时，该直线不经过第二象限 D．若一次函数的图象与y轴交点纵坐标是3，则 【答案】A 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、求一次函数解析式、比较一次函数值的大小 【分析】考查因此函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质，这个选项进行判断，最后得出答案． 【详解】解：A、点的坐标满足直线的关系式，因此A选项符合题意； B、直线，y随x的增大而减小，当时，，因此B选项不符合题意； C、当时，用待定系数法求出关系式为，进而得出直线经过第二象限，因此选项C不符合题意； D、因为，m不能为1，因此选项D不符合题意． 故选：A． 11．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为1，则称点A为“和一点”．例如：点到x轴、y轴距离和为1，则点B是“和一点”，点也是“和一点”．一次函数的图象l经过点，且图象l上存在“和一点”，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一次函数解析式、从函数的图象获取信息、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、求一次函数解析式、函数图象的运用等知识点，正确画出函数图象是解题的关键． 根据“和一点”的定义可以得出，进而可以得出由所有“和一点”所构成的函数及其图象，又通过过点的图象l上存在“和一点得到一次函数与“和一点”构成的函数存在交点，然后运用待定系数法求得k的最小值和最大值，即可确定k的取值范围． 【详解】解：由题意可得：点A到x轴，y轴的距离和为1，即，去绝对值后可得： ， 将“和一点”的函数表示在直角坐标系中如图： ∵一次函数的图象l经过点，且图象l上存在“和一点”， ∴一次函数至少与“和一点”构成的图象有1个交点， 当k最小时，一次函数与图象最右侧点相连，如图； 此时一次函数经过两点， 则有，解得：，即k的最小值为． 当k最大时，一次函数与图象最下面的点相连，如图∶ 此时一次函数经过两点， 则有，解得：，即k的最大值为． ∴k的取值范围为． 故选A． 12．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知 、、是正比例函数图象上的三个点，当时，t的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查的是正比例函数图象上点的坐标特点，根据正比例函数图象上点的坐标特征求得，再根据正比例函数的性质即可得出t的取值范围． 【详解】解：设正比例函数解析式为， ∵、、是正比例函数图象上的三个点， ∴， 两个方程相减得，解得， ∴正比例函数解析式为， ∴正比例函数的值随增大而减小， 当时，， ∵是正比例函数图象上的点， ∴当时，t的取值范围是． 故答案为：． 13．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知点，都在一次函数图像上，则，的大小关系是 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数、比较一次函数值的大小 【分析】本题考查了一次函数的定义，以及一次函数的增减性，先求出，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵一次函数， ∴且， 解得， ∴， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 14．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知一次函数（a是常数且）． （1）若该一次函数的图象经过点，则 ； （2）当时，该一次函数有最大值8，则a的值为 ． 【答案】 7 0或 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）把点代入一次函数的表达式中，即可求解； （2）分两种情况讨论：当时，当时，结合一次函数的增减性，即可求解． 【详解】解：（1）把点代入一次函数，得， 解得． 故答案为：7； （2）当时，y随x的增大而增大， 当时，， 解得． 当时，y随x的增大而减小， 当时，， 解得． 综上，当或时，该一次函数有最大值8． 故答案为：0或． 15．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知关于x的一次函数， （1）此函数恒过定点 ； （2）当时，一次函数的值有正有负，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系． （1）函数解析式化成，当时，，据此可求得答案； （2）分和两种情况讨论，把和分别代入解析式，列出关于a的不等式组，据此求解即可． 【详解】解：（1）关于x的一次函数， 当时，即时，， ∴此函数恒过定点， 故答案为：； （2）∵一次函数的值有正有负， ∴， 当时，随的增大而增大， ∵当时，一次函数的值有正有负， ∴当时，， 解得， ∴当时，， 解得， ∴没有解集，不符合题意，舍去； 当时，随的增大而减少， ∵当时，一次函数的值有正有负， ∴当时，， 解得， ∴当时，， 解得， ∴， 综上，实数a的取值范围是． 故答案为：． 16．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数，将该函数向下平移1个单位后，若函数值y随x的增大而增大，且图象不经过第二象限，求k的取值范围． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、一次函数图象平移问题、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象直线的平移和等知识点，熟练掌握一次函数的图象与性质解题的关键．先求出平移后的解析式，再根据函数值y随x的增大而增大，且图象不经过第二象限列不等式组求解即可． 【详解】解：∵函数，将该函数向下平移1个单位后， 解析式为， 由于，函数值y随x的增大而增大，且图象不经过第二象限， ∴， 解得：， ∴k的取值范围为． 17．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数． (1)为何值时，函数图象经过点？ (2)若一次函数的函数值随的增大而减小，求的取值范围； (3)直接写出一次函数的图象经过定点坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、根据一次函数的增减性求参数、解一元一次方程和解一元一次不等式等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． （1）将点代入一次函数，可得关于的一元一次方程，求解即可获得答案； （2）根据该函数的增减性，可得，求解即可获得答案; （3）将解析式整理得，求得当时，，据此即可得解． 【详解】（1）解：将点代入一次函数， 可得， 解得， ∴当时，函数图象经过点； （2）解：若一次函数的函数值随的增大而减小， 则有， 解得， ∴的取值范围为； （3）解：， 当时，， ∴一次函数的图象经过定点． 考点04 根据两条直线的交点求不等式的解集 18．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数的图象交于点A，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．关于的不等式表示的是一次函数的图象位于正比例函数的图象的上方，结合函数图象求解即可得． 【详解】解：∵关于的不等式表示的是一次函数的图象位于正比例函数的图象的上方， ∴结合函数图象可知，关于的不等式的解集为， 故选：B． 19．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则下列结论错误的是（   ） A．方程组的解是 B．方程的解是 C．不等式和不等式的解集相同 D．不等式组的解集是 【答案】A 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，一次函数与二元一次方程组之间的关系，一次函数与不等式之间的关系．根据一次函数与一元一次方程之间的关系，一次函数与二元一次方程组之间的关系，一次函数与不等式之间的关系解答即可． 【详解】解：A、根据方程组的解才是，原结论错误，符合题意； B、根据两条直线交点P的坐标是，得到方程的解是，原结论正确，不符合题意； C、根据不等式的解集与不等式的解集都是，得到不等式和不等式的解集相同，原结论正确，不符合题意； D、把代入，得到，当时，，得到不等式的解集是，根据不等式的解集是，得到不等式组的解集是，原结论正确，不符合题意． 故选：A． 20．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，平面直角坐标系中，经过点的直线与直线相交于点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式．不等式的解集就是图象上两个一次函数的图象都在轴的下方，且的图象在的图象的下边的部分对应的自变量的取值范围． 【详解】解：经过点的直线与直线相交于点， 不等式的解集为． 故答案为：． 21．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知直线（）经过点，． (1)若直线与直线相交于点A，求点A的坐标； (2)根据图象，直接写出的解集． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、求一次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法，解方程组，求不等式的解集，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）先求得的解析式为，构造方程组求交点坐标即可； （2）利用交点的横坐标，结合不等式解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，直线，经过点，， 根据题意，得， 解得， ∴的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故． （2）解：根据题意，得，由，得 ， 由图象知①的解集为， 解不等式②得，， 故不等式组的解集，得． 考点05 一次函数的实际应用 22．（24-25八年级上·安徽六安·期中）货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行，轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，设两车出发时间为（单位：），货车、轿车与甲地的距离为（单位：），（单位：），图中的线段、折线分别表示，与之间的函数关系．那么两车出发（   ）小时后相距． A．2小时 B．2.5或4.5小时 C．2.25或4.75小时 D．2.25或4.25小时 【答案】C 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查一次函数的实际应用．根据题意先分别求出段函数解析式，再利用相距作减法列出一元一次方程即可得到本题答案． 【详解】解：设：段直线解析式为， 把代入中得：， 解得：， ∴， 当时，， ∴点的坐标为：， 设段直线解析式为， 把代入中得： ，解得：， ∴， ∵轿车再休息前行驶，休息后按原速度行驶， ∴轿车行驶后需， ∴点的坐标为， 设段直线解析式为， 把代入中得： ，解得：， ∴， ∵两车相距分两种情况： ①当轿车休息前与货车相距时，有：，解得， ②当轿车休息后与货车相距时，有：，解得：， 综上所述：两车出发h或h时，两车相距． 故选：C． 23．（24-25八年级上·安徽六安·期中）甲、乙两人沿同一条直路行走，如果两人分别从这条直路上的，两处同时出发，都以不变的速度相向而行，图1是甲离开处后行走的路程（单位：）与行走时间（单位：）的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离（单位：）与甲行走时间（单位：）的函数图象，则：         （1）甲的速度为 ； （2） ． 【答案】 60 / 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，把一次函数和行程问题结合在一起，关键是能正确利用待定系数法求一次函数的解析式，明确三个量的关系：路程=时间×速度． （1）从图1，可见甲的速度为； （2）从图2可以看出，当时，二人相遇，即：，解得：乙的速度，乙的速度快，从图2看出已用了b分钟走完全程，甲用了a分钟走完全程，即可求解． 【详解】解：（1）由图1知甲的速度为； 故答案为：60； （2）从图2可以看出，当时，二人相遇，即：， 得乙的速度， 乙的速度快，从图2看出乙用了分钟走完全程，甲用了分钟走完全程，． 故答案为：． 24．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图①所示，正方形的边长为，动点P从点A出发，在正方形的边上沿运动，设运动的时间为，的面积为，S与t的函数图象如图②所示，请回答下列问题： （1）点P在上运动的时间为 s； （2）当t为 时，三角形的面积为．. 【答案】 6 或 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．（1）直接根据函数图象上坐标，利用速度路程时间即可求解；（2）通过图象可知，的面积为．即，分别在和，上代入即可求得答案． 【详解】解：（1）由图象可知，点P在上运动的时间为， 故答案为：6； （2）当P在上运动，即时，速度为，则， ， 的面积为，即时， ∴， ∴， 当P在上运动，的面积为，不符合题意， 当P在上运动，即时， 在上运动的速度为， ∴， ∴， ∵的面积为，即时， ∴， ∴， 所以当t为、时，的面积为． 故答案为：或． 25．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系，则： （1）慢车的速度为 ； （2）图中点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了利用函数图象解决实际问题，利用图象得出正确信息是解题的关键． （1）由图象可知，甲乙两地之间的距离为，慢车用了走完全程，即可求解； （2）根据题意求出两车的速度和，再求出快车的速度，由点的含义表示快车到达乙地时两车间的距离，求出快车到达乙地的时间和慢车在相同时间内走的路程即可得出答案． 【详解】解：（1）由图象可知，甲乙两地之间的距离为，慢车用了走完全程， ∴慢车的速度为：， 故答案为：； （2）由题意可知，当两车行驶时，两车相遇，两车距离为， ∴两车的速度和为， ∴快车的速度为， ∵点的含义表示快车到达乙地时两车间的距离， ∴， ∴慢车行驶走的路程为， ∴点， 故答案为：． 26．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）如图1，这是某款新能源汽车用充电器给汽车充电时，其屏幕的起始画面.经测试，在用快速充电器和普通充电器对该汽车充电时，其电量E（）与充电时间t（h）的函数图象分别为图 2中的线段．根据以上信息，回答下列问题： (1)在目前电量为的情况下，用充电器给该汽车充满电时，快速充电器比普通充电器少用　　　　h． (2)求线段的函数表达式． (3)已知该汽车在高速公路上正常行驶时，一般情况下耗电量为每小时．若该汽车目前电量为，在用快速充电器将其充满电后，正常行驶，接着用普通充电器将其充满电，其“充电一耗电一充电”的时间恰好是，求a的值． 【答案】(1)8 (2)， (3)4 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键： （1）根据点的横坐标计算即可； （2）利用待定系数法求解； （3）根据图象，得到用快速充电器将其充满电所用的时间；根据图象，求出普通充电器的充电速度，由内消耗的电量计算用普通充电器将其充满电所用的时间，根据“充电一耗电一充电”三段时间之和为14h列方程并求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：8； （2）解：设线段的函数表达式为，将，代入， ， ， 线段的函数表达式为：； 设线段的函数表达式为，将，代入， ， ， 线段的函数表达式为：； （3）解：根据图象可得，用快速充电器将其充满电用时1小时，正常行驶小时后耗电，普通充电器的充电速度为：， ∴用普通充电器再次充满用时：， 由题意得：， 解得：． 27．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）东方红商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其中甲商品的进价为80元，乙商品的进价为90元；买3件甲商品和2件乙商品需540元，买2件甲商品和3件乙商品需560元．设购进甲种商品t件，商场售完这100件商品的总利润为元． (1)求出与的函数关系式； (2)东方红商场计划最多投入8600元购买甲、乙两种商品，若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？ (3)在（2）的条件下，商场决定每售出1件甲种商品向社会福利事业捐款元，若商场获得最大利润为2200元，求的值． 【答案】(1)； (2)商场可获得的最大利润是2600元； (3)10． 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式是解题的关键． （1）设甲商品每件售价为x元，乙商品每件售价为y元，列方程组求出甲、乙两种商品的售价，再根据利润等于（售价减去进价）乘以销售量进行求解即可； （2）根据最多投入8600元，列不等式求出t的取值范围，再根据一次函数的性质即可求解； （3）根据利润等于（售价减去进价）乘以销售量列出函数关系式，再根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意设甲商品每件售价为x元，乙商品每件售价为y元，则： ， 解得： ∴ 即与 的函数关系式为； （2）解：根据题意得：， 解得：， ∵， ∴w随t的增大而减小， ∴当时，w取得最大值， ，即w最大值为2600， 即商场可获得的最大利润是2600元； （3）解：根据题意得： ， ∵ ∴ ∴w随t的增大而减小， ∴当时，商场可获得的最大利润， ∴， 解得：． 28．（24-25八年级上·安徽六安·期中）某县教育局在开学期间准备给当地的中小学添加A，B两种型号的打印机，已知3台A型打印机和2台B型打印机共需要3400元，1台A型打印机和3台B型打印机共需要：3000元求： (1)A、B型号的打印机每台各多少元； (2)若该教育局需购买这两种型号的打印机共200台，且需要A型打印机不少于120台，B型打印机不少于60台，平均每台打印机的运输费用为10元．设购买A型打印机x台，总费用为y元． ①求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； ②当购进A型、B型各多少台，总费用最少．最少费用是多少？ 【答案】(1)型打印机每台元，型打印机每台元 (2)①；②购买型打印机台，型打印机台时，总费用最少，最少费用是134000元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）设型打印机每台元，型打印机每台元，根据题意列出二元一次方程组即可求解； （2）①先根据“需要型打印机不少于台，型打印机不少于台”，列不等式组求出的取值范围，再根据总费用型号打印机的费用型号打印机的费用运输费用，即可求出与之间的函数关系式；②根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设型打印机每台元，型打印机每台元， 根据题意可得：， 解得：， 型打印机每台元，型打印机每台元； （2）①设购买型打印机台，则型打印机有台，总费用为元， 需要型打印机不少于台，型打印机不少于台， ， 解得：， 型打印机每台元，型打印机每台元，平均每台打印机的运输费用为元， ， ； ②在中，， 随的增大而减小， 当时，总费用最少，最少费用是， 此时台， 当购买型打印机台，型打印机台时，总费用最少，最少费用是134000元． 29．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知一次函数． (1)若该函数值随自变量的增大而减小，求的取值范围； (2)若该函数图象不经过第二象限，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，解决本题的关键是根据函数图象的性质得到一次项系数和常数项的取值范围，根据一次项系数和常数项的取值范围得到参数的取值范围． 根据一次函数的函数值随自变量的增大而减小，可知一次项系数一定是负数，从而可得关于的不等式，解不等式求出的取值范围； 根据一次函数的图象不经过第二象限，可得一次项系数和常数项的取值范围，从而可得关于的不等式组，解不等式组求出的取值范围． 【详解】（1）解：一次函数的函数值随自变量的增大而减小， ， 解得：； （2）解：若一次函数的图象不经过第二象限， ， 解得：． 30．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价元，售价元；乙种服装每件进价元，售价元．现计划购进两种服装共件，其中甲种服装不少于件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若购进件服装的总费用不超过元，求最大利润为多少元 (3)在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件进价减少元，售价不变，且，若最大利润为元，求的值． 【答案】(1)； (2)4500； (3)10． 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的性质，根据题意建立函数关系式是求解本题的关键． （1）由总利润等于两种服装的利润之和可得函数关系式． （2）先求解自变量x的取值范围，再根据一次函数增减性求最值． （3）先建立总利润关于x的函数关系式，再结合一次函数的性质，建立关于a，b的方程组求值即可． 【详解】（1）解： 其中：； （2）解：由题意得：， ∴， ∵中，， ∴随的增大而增大， ∴当时，(元)． （3）解：∵， ∴， 由题意得： ． ∵， ∴当时，， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，， ∴，符合题意． 当时，， 不合题意． 当时，， y随x的增大而减小． ∴当时，， ∴，不合题意，舍去． 综上，． 31．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）某体育用品专卖店批发A、B两款跳绳，进货价和销售价如下表：（注：利润＝销售价－进货价） 类别价格 A款跳绳 B款跳绳 进货价（元/根） 15 20 销售价（元/根） 25 32 (1)该商店第一次用625元购进A、B两种跳绳共35根，求A、B两种跳绳分别购进的根数； (2)第一次购进的A、B两款跳绳售完后，该体育用品专卖店计划再次批发这两款跳绳共100根（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于1865元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 【答案】(1)购进A款跳绳15根，B款跳绳20根 (2)再次购进A款跳绳27根，购进B款跳绳73根，能获得最大销售利润，最大销售利润为1146元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用． （1）设购进A款跳绳x根，B款跳绳y根，根据题意找出等量关系，列出方程组求解即可； （2）设再次购进A款跳绳m根，则购进B款跳绳根，销售利润为w元，先根据题意，列出不等式，求出m的取值范围，再根据总利润=A的利润+B的利润，得出w关于m的表达式，结合一次函数的增减性，即可解答． 【详解】（1）解：设购进A款跳绳x根，B款跳绳y根． 根据题意，得， 解得． 答：购进A款跳绳15根，B款跳绳20根． （2）解：设再次购进A款跳绳m根，则购进B款跳绳根，销售利润为w元． 根据题意，得， 解得． 根据题意，得． ∵， ∴w随m的增大而减小． ∴当时，w取最大值，且． 此时． ∴再次购进A款跳绳27根，购进B款跳绳73根，能获得最大销售利润，最大销售利润为1146元． 32．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）某网店在30天内销售一种产品．图1是该产品日销售量y（件）与时间t（天）之间的函数关系图象，图2是一件产品的销售利润z（元）与时间t（天）之间的函数关系图象．（注：日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润．） (1)第18天的日销售量为______件． (2)求第15天销售一件产品的利润是多少元？ (3)求第15天的日销售利润比第25天的日销售利润多多少元？ 【答案】(1)190 (2)元 (3)875元 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查的是一次函数的应用，利用待定系数法求解一次函数的解析式，从函数图象中获取信息． （1）先当时，设与之间的函数关系式为，再分别把代入进行计算，即可作答； （2）求解一件产品的销售利润（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系式，计算当时，，可得解； （3）先求解当时，得，再求出第15天的日销售利润，然后求出当时，得产品日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的函数关系式：再求出第25天的日销售利润，则即可得解． 【详解】（1）解：依题意，当时，设与之间的函数关系式为， 把代入，得 ， 解得， ∴当时，设与之间的函数关系式为， 把代入，得． 故答案为：190． （2）解：根据图，当时，设与之间的函数关系式为． 将坐标，分别代入， 得 解得 ∴与之间的函数关系式为． 当时，， ∴第天销售一件产品的利润是元； （3）解：依题意，把代入，得． 由（2）得第天销售一件产品的利润是元； 第15天的日销售利润（元）； 根据图，当时，设与之间的函数关系式为． 将坐标，分别代入， 得 解得， ∴与之间的函数关系式为． 当时，． 由图2得， 当时，（元）， ∴（元）， ∴第15天的日销售利润比第25天的日销售利润多875元． 33．（24-25八年级上·安徽宣城·期中）根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅” 素材1 芝士杨梅配料 满杯杨梅配 芝士杯 茉莉清茶杯 茉莉清茶杯 杨梅肉 杨梅肉 多肉 多肉 素材2 11月7日当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”的和每杯“满杯杨梅”的利润比为5：3，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯 素材3 11月8日是该店一周年店庆，为感谢广大顾客对品牌店的信任，拟对“芝士杨梅”进行让利促销，决定每杯降价12元促销，“满杯杨梅”价格保持不变。并要求当天芝士消耗量不少于3500ml，配制的17500ml茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”． 问题解决：拟定最优方案确定奶茶的利润 任务1 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的利润是多少？ 任务2 为了使11月8日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共多少杯？此时最大利润是多少元？ 【答案】任务1：每杯“满杯杨梅”的利润是12元，每杯“芝士杨梅”的利润是20元 任务2：最大利润为388元，此时应制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共42杯 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】任务1：设每杯“满杯杨梅”的利润是元，则每杯“芝士杨梅”的利润是元，列分式方程求解即可得到答案； 任务2：设制做“芝士杨梅”杯，“满杯杨梅”杯，两种奶茶获利为元，根据等量关系得到，利用不等关系解得，再由，结合一次函数图象与性质求解即可得到答案． 【详解】解：任务1：设每杯“满杯杨梅”的利润是元，则每杯“芝士杨梅”的利润是元， 由题意得，解得， 经检验：是原方程的解， （元）， 答：每杯“满杯杨梅”的利润是12元，每杯“芝士杨梅”的利润是20元； 任务2：设制做“芝士杨梅”杯，“满杯杨梅”杯，两种奶茶获利为元， 制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”， ， ， 芝士消耗量不少于， ，解得， 根据题意得， ， 随的增大而减小， 当时，取最大值，最大值为（元）， 此时， （元）， 最大利润为388元，此时应制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共42杯． 【点睛】本题考查分式方程、二元一次方程、不等式及一次函数解应用题，涉及解分式方程、解二元一次方程、解不等式及一次函数图象与性质，读懂题意，准确列出方程、不等式及函数是解决问题的关键． 34．（24-25八年级上·安徽宣城·期中）2024年宣州区第一届龙舟邀请赛在水阳江开桨。甲乙两支龙舟队在赛前进行了备战训练，甲乙两队均从起点驶向终点，在整个行程中，龙舟离开起点的距离（米）与时间（分钟）的对应关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)分别求出甲、乙两支龙舟队的与函数关系式； (2)甲龙舟队出发多长时间时两支龙舟队相距180米？（直接写出答案） 【答案】(1)甲龙舟队的与函数关系式为；乙龙舟队的与函数关系式为 (2)甲龙舟队出发或或或，两支龙舟队相距180米 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、从函数的图象获取信息、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键． （1）根据速度路程时间分别求出甲、乙两支龙舟队的速度，再根据路程速度时间分别求出甲、乙两支龙舟队的y与x函数关系式即可； （2）根据的取值范围，当两支龙舟队相距180米时分别列关于的方程并求解即可． 【详解】（1）解：设甲龙舟队的与函数关系式为， 把（25，3000）代入，可得，解得， ∴甲龙舟队的与函数关系式为， 设乙龙舟队的与函数关系式为， 把代入，可得：， 解得：， 乙龙舟队的与x函数关系式为； （2）解：由（1）中得到函数关系式可知， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得或； 当时，得， 解得． 综上所述，或或或． 答：甲龙舟队出发分或分或分或分时两支龙舟队相距180米． 35．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）某商场销售甲乙两种产品，甲产品的售价为每个210元，乙产品的售价为每个150元，每个甲产品的进价比乙产品的进价多40元，商场用6400元购进甲产品的数量与用4800元购进乙产品的数量相等． (1)求甲乙两种产品的进价： (2)现计划购进甲乙两种产品共150个，设购进甲产品x个，两种产品全部售完，商场获利y元．要求购进甲产品的数量不高于乙产品的2倍，总利润不低于5700元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润； (3)在（2）的条件下，商场对甲产品每个售价降低m元，乙产品每个售价增加n元，两个产品进价不变，且，若销售完这批产品的总利润不受进货方案的影响，求m的值． 【答案】(1)甲乙两种产品的进价分别为160元，120元 (2)共有41种方案，其中购进甲100个，乙50个，获得最大利润6500元； (3)13 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及与字母无关的问题，理解题意是解答本题的关键． （1）如果设每个乙种产品进价为x元，由“每个甲种产品的进价比每个乙种产品的进价多40元”，可知每个甲种产品进价为元．题中有等量关系：用6400元购进甲产品的数量与用4800元购进乙产品的数量相等，据此列出方程； （2）根据题意得、，求得，故得41种方案，当时可得最大利润； （3）根据题意列式，根据与无关，则，求出 【详解】（1）解：设每个乙种产品进价为x元，则每个甲种产品进价为元，根据题意得， ， 解得，， 经检验，是原方程的根， ∴ 答：甲乙两种产品的进价分别为160元，120元； （2）解：根据题意得，， 解得，； ， ∴， ∴， ∴（种） 当时，有最大值，为， 所以，共有41种方案，其中购进甲100个，乙50个，获得最大利润6500元； （3）解：∵， ∴， 根据题意得： ∵销售完这批产品的总利润不受进货方案的影响， ∴ ∴ 36．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）国庆假期，某出租车司机将3名游客从高铁站送往景点甲地，到达后立刻返回．出租车与高铁站的距离和所用时间之间的关系如图所示． (1)求出与之间的函数关系式； (2)求出租车出发4小时后距离景点甲地多远？ (3)在高铁站与景点甲地之间有一服务区乙地，出租车从去时途经乙地，到返回时再经过乙地，共用1小时50分钟，求高铁站与服务区乙地相距多远？ 【答案】(1) (2)出租车出发4小时后距离景点甲地60千米 (3)高铁站与服务区乙地相距100千米． 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据题意分和两种情况，然后分别利用待定系数法求解即可； （2）首先求出出租车出发4小时后距离高铁站的距离，然后列式求解即可； （3）首先求出去时的速度为，返回时的速度为，设去时从乙地到景点的时间为x小时，则返回时从景点到乙地的时间为小时，然后根据去时和返回时乙地到景点的距离相等列出方程求出，然后列式求解即可． 【详解】（1）解：当时，设出租车与高铁站的距离和所用时间之间的关系式为 将代入得， 解得 ∴； 当时，设出租车与高铁站的距离和所用时间之间的关系式为 将，代入得， 解得 ∴ 综上所述，； （2）解：将代入 ∴（千米） ∴出租车出发4小时后距离景点甲地60千米； （3）解：1小时50分钟（分钟）（小时） ∵去时的速度为，返回时的速度为， ∴设去时从乙地到景点的时间为x小时，则返回时从景点到乙地的时间为小时 根据题意得， 解得 ∴（千米） ∴高铁站与服务区乙地相距100千米． 【点睛】此题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． 37．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）某文具店推出两种优惠方法：①购买1个书包，赠送1支水性管；②购买书包和水性笔一律按9折优惠．书包每个定价20元，水性笔每支定价5元，小华和同学们一起需购买5个书包，水性笔若干支（不少于5支），设买水性笔支，优惠方法①购买所需要的费用为元，优惠方法②购买所需要的费用为元． (1)分别写出，与之间的函数关系式；（不要求写的取值范围） (2)如果他们一共需要购买20支水性笔，那么应选择哪种优惠方法购买比较合算？ (3)当在什么范围时，选择优惠方法②购买更合算？ 【答案】(1)； (2)① (3) 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用以及一元一次不等式的实际应用，解题的关键是根据两种优惠方法的规则列出函数关系式，再通过计算和比较得出结论． （1）根据两种优惠方法的规则，分别列出与的函数关系式． （2）将分别代入两个函数关系式，比较与的大小，确定哪种优惠方法合算． （3）通过比较与的大小关系，列出不等式求解的范围． 【详解】（1）解：由题意解得： ， ； （2）解：当时： （元）． （元）． 因为，所以选择优惠方法①购买比较合算． （3）解：要使优惠方法②购买更合算，即， 则． 解得：． 所以当时，选择优惠方法②购买更合算． 38．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）【新情境】合肥烘糕是合肥地区的传统糕点，口感香甜细腻，具有润肺消喘的功效，被誉为合肥糕点族中的“四大名旦”之一．已知，两店都以30元/千克的价格销售同一种烘糕，且同时做优惠活动： 店：购买一定数量的烘糕后，超过的部分打折销售； 店：办理会员卡，每张120元，可享受六折优惠． 在活动期间，李阿姨购买千克烘糕，，店所需的费用分别为，，与的函数图象如图所示，回答下列问题： (1)分别求出、与的函数关系式； (2)请你帮李阿姨设计购买方案使所需总费用最少． 【答案】(1)； (2)当时，李阿姨到店购买优惠；当时，李阿姨到、两店购买一样优惠；当时，李阿姨到店购买优惠 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查一次函数的应用和不等式的应用，解题的关键是熟悉分类讨论思想的应用． （1）根据题意列出的函数关系式，利用待定系数法求得的解析式； （2）结合分类讨论和解不等式，分三种情况为李阿姨涉及购买方案即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 当时，， 当时，设， 由题意得， 解得． ， 与的函数关系式为； （2）解：当时，即时，解得， 当时，李阿姨到点购买优惠； 当时，即时，解得， 当时，李阿姨到、两店购买一样优惠； 当时，即，解得， ，李阿姨到点购买优惠； 综上：当时，李阿姨到店购买优惠；当时，李阿姨到、两店购买一样优惠；当时，李阿姨到店购买优惠． 39．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）某企业举行十周年庆典活动，准备给每位员工定制一套某品牌西装和领带，市场上，该品牌西装每套定价600元，领带每条定价80元，在比价过程中，甲乙两家企业分别提供了如下优惠方案．甲：买一套西装送一条领带，乙：西装和领带均打九折付款．现该企业需要定制西装20套，领带x条． (1)请分别写出甲，乙两家企业的方案各自所需费用y（元）关于x的函数关系式． (2)请通过计算说明，若只能选择一家企业方案，按照哪种方案购买更合算？ 【答案】(1)甲企业方案所需费用y关于x的函数关系式为：； 乙企业方案所需费用y关于x的函数关系式为：； (2)综上所述，当时，两种所需费用一样；当时，乙企业方案所需费用购买更合算；当时，甲企业方案所需费用购买更合算． 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、函数解析式、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要查了列函数关系式，一元一次不等式的应用，根据题意，列出函数关系式是解题的关键． （1）根据两种方案分别列出函数关系式，即可求解； （2）分三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：甲企业方案所需费用y关于x的函数关系式为： ； 乙企业方案所需费用y关于x的函数关系式为： ； （2）解：当，即时，两家企业方案所需费用一样； 当，即时，乙企业方案所需费用购买更合算； 当，即时，甲企业方案所需费用购买更合算； 综上所述，当时，两种所需费用一样；当时，乙企业方案所需费用购买更合算；当时，甲企业方案所需费用购买更合算． 考点06 一次函数与几何综合 40．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，点A、B的坐标分别为，点P是函数在第一象限图象上一个动点，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形的面积（   ） A．逐渐减小 B．逐渐增大 C．先减小后增大 D．不变 【答案】A 【知识点】一次函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】过点P作于点T，设的解析式为，把分别代入解析式，解方程组计算即可得解析式，与的图象比较，不难发现二直线不平行，故两直线间的距离不相等，根据题意，四边形的面积为，是定值，，是定值，故四边形的面积的变化决定于高的变化，由于两直线相交，故当P的横坐标增大时，逐渐变小，解答即可． 【详解】解：过点P作于点T， ∵直线经过点， ∴， 解得， 故直线的解析式为． ∵， ∴直线与二直线不平行，故两直线间的距离不相等， 根据题意，四边形的面积为，是定值，，是定值，故四边形的面积的变化决定于高的变化， 由于两直线相交，故当P的横坐标增大时，逐渐变小， 故选：A． 41．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，直线与轴、轴分别交于点E、F，点的坐标为，点的坐标为． （1）求k的值 ； （2）若点是直线在第二象限内的一动点，当点运动到 （填坐标）位置时，的面积为． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数与几何综合，熟练的建立方程求解是解本题的关键． （1）把代入得：，从而可得答案； （2）设，由列方程，再解方程即可． 【详解】解：（1）把代入得：， 解得：． 故答案为：； （2）∵， ∴． 如图，设， ∵， ∴． ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 42．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数经过，两点，与一次函数交于点C，一次函数与x轴交于点D． (1)求直线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)30． 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、求直线围成的图形面积、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式、两条直线的交点坐标，用待定系数法求出直线的解析式是解题的关键． （1）用待定系数法求直线的解析式即可； （2）先求出点C和点D的坐标，然后根据图象写出的取值范围即可； （3）先求出与x轴的交点E的坐标，然后根据三角形面积公式求的面积即可． 【详解】（1）解：∵一次函数经过，两点， ∴， 解得， ∴； （2）解：当时，， 解得， ∴． 解得 ∴， ∴当时，的取值范围是； （3）解：如图， 当时，， 解得， ∴， ∴ ∴的面积 ． 43．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，正比例函数与一次函数（k，b是常数且）交于点C，一次函数与x，y轴分别交于点A与点B，已知． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)已知过点C的直线将的面积分为，求该直线的表达式． 【答案】(1)； (2)6 (3)或． 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，由，从而，，利用待定系数法即可得解； （2）依据题意，联立方程组，求得C的坐标为，利用三角形面积公式计算可得解； （3）依据题意，得或，则或，进而可得D的坐标为或，利用待定系数法即可得解． 【详解】（1）解：由题意，， ∴，． ∴． ∴，． ∴一次函数的解析式为； （2）解：由题意，联立方程组， 解得， ∴C的坐标为． ∴； （3）解：由题意，如图， ∵过点C的直线将的面积分为， ∴或， ∴或， ∴D的坐标为或， 又∵C的坐标为， 同理，由待定系数法求得直线的解析式为或． 44．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，直线：分别交x轴，y轴于A，B两点，直线：分别交y轴，x轴于C，D两点，直线相交于点P． (1)点P的坐标为______； (2)求四边形的面积； (3)过点P的直线把的面积二等分，求该条直线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积、求一次函数解析式 【分析】（1）根据一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组解的关系即可求得； （2）分别求出，，，利用即可求得； （3）根据三角形中线的性质，找到两点的中点，待定系数法求出表达式即可． 【详解】（1）解：∵直线：和直线：相交于点P． ∴点坐标为的解， 解得：． ∴； 故答案为：； （2）解：当时，代入， 得， 解得． ∴． 当时，代入，， 得，， ∴，． ∴． ∴ ； （3）解：由（2）知，，则的中点坐标为． 设该直线的表达式为，代入，，得 ，解得． ∴该直线的表达式为． 【点睛】本题考查了一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组解的关系、图象与坐标轴围成面积、三角形的中线、待定系数法求函数表达式等知识点，一次函数知识点的熟练运用是解题关键． 45．（24-25八年级上·安徽宣城·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与轴相交于点，直线与轴、轴分别相交于点、两点． (1)求直线的解析式； (2)点是直线上一动点，如果面积与面积相等，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或． 【知识点】一次函数与几何综合、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，熟练掌握待定系数法和利用数形结合思想进行求解是解题的关键． （1）利用待定系数法将点、的坐标代入所设的表达式中，解出，的值，再代回所设的表达式即可； （2）根据待定系数法求出直线的表达式，继而求出，，设，利用，列式计算即可． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 代入点得，解得， 直线的表达式为：． （2）设的表达式为，把，代入， 得，解得， 直线的表达式为：， 令，则， 点的坐标为，即， ， 点是直线上一动点， 设， ， ， 面积等于， ，解得， 或． 46．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与称为点P的一对“友好点”．例如：点的一对“友好点”是与． (1)点的一对“友好点”的坐标是_________与_________； (2)若点的一对“友好点”都在直线上，求k的值． 【答案】(1)与 (2)20 【知识点】一次函数与几何综合、求一次函数解析式、新定义下的实数运算 【分析】（1）根据点得， 点的一对“友好点”的坐标是与． （2）根据点得，，故点的一对“友好点”和，结合和都在直线上，建立方程组求k的值即可． 本题考查了一次函数的新定义，解方程组，求代数式的值，熟练掌握新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：根据点得：，， 故点的一对“友好点”的坐标是与． 故答案为：与． （2）解：根据点得：，， 故点的一对“友好点”和， ∵和都在直线上， ∴， 解得， 故k的值为20． 47．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）在平面直角坐标系中，对点和点，给出了定义：若，则称Q为点P的关联点．例如：点的关联点的坐标是． (1)点的关联点的坐标是________，点的关联点的坐标是________； (2)若点，均是一次函数图象上某一个点的关联点，求k和c的值； (3)若点P在函数的图象上，其关联点Q的纵坐标的取值范围是，则m的取值范围是________． 【答案】(1)； (2)； (3) 【知识点】一次函数与几何综合、点坐标规律探索 【分析】本题以新定义为背景，考查了一次函数的性质、点的坐标变换，根据a的范围分类讨论求是解题的关键． （1）根据“关联点”的定义求解即可； （2）根据“关联点”的定义求解即可； （3）根据“关联点”的定义求解即可； 【详解】（1）解：对于点，， 根据关联点的定义，这里，所以， 则点的关联点的坐标是； 对于点，， 根据关联点的定义，这里，所以， 则点的关联点的坐标是； （2）解：已知点)是一次函数图象上某一个点的关联点， 因为，根据关联点的定义，所以关联点的纵坐标， 所以，关联点坐标为，代入可得：， 解得； 已知点是一次函数图象上某一个点的关联点， 因为，根据关联点的定义，所以原点的纵坐标， 设关联点坐标为，代入可得， 解得； （3）解：当点Q在， 如图，取点，点或，点或 当时，，当时， 时，， 而当时，， ， 故答案为：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $