15.3角平分线 讲义2025-2026学年沪科版数学八年级上册

15.3 角平分线 学习目标 1. 理解角平分线的定义，能准确描述角平分线的概念。 2. 掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。 3. 掌握角平分线的判定定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 4. 能够运用角平分线的性质定理和判定定理解决简单的几何问题和计算问题。 5. 培养逻辑推理能力和运用数学知识解决实际问题的能力。 知识点讲解 一、角平分线的定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 例如：若射线OC是∠AOB的平分线，则∠AOC = ∠BOC = ∠AOB。 二、角平分线的性质定理 定理内容：角平分线上的点到角的两边的距离相等。 定理说明： 1. “点到角的两边的距离”指的是这个点分别向角的两边作垂线，垂线段的长度。 2. 该定理的条件是：点在角的平分线上。 3. 该定理的结论是：这个点到角两边的距离相等。 三、角平分线的判定定理 定理内容：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 定理说明： 1. 该定理的条件是：点到角两边的距离相等。 2. 该定理的结论是：这个点在角的平分线上。 3. 此定理常用于判断一个点是否在某个角的平分线上，或用于证明某条射线是角平分线。 例题解析 例题1： 已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，垂足为D，PE⊥OB，垂足为E。若PD = 3cm，求PE的长度。 解： ∵ OC是∠AOB的平分线 点P在OC上 PD⊥OA，PE⊥OB ∴ PD = PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等） ∵ PD = 3cm ∴ PE = 3cm 答：PE的长度为3cm。 例题2： 在△ABC中，∠C = 90°，AD是∠BAC的平分线，且CD = 5，求点D到AB的距离。 解： 过点D作DE⊥AB于点E。 ∵ ∠C = 90° ∴ DC⊥AC ∵ AD是∠BAC的平分线 DC⊥AC，DE⊥AB ∴ DE = DC（角平分线上的点到角的两边的距离相等） ∵ CD = 5 ∴ DE = 5 即点D到AB的距离为5。 答：点D到AB的距离为5。 例题3： 已知点P是∠AOB内部一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD = PE。求证：点P在∠AOB的平分线上。 证明： 连接OP。 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB ∴ ∠ODP = ∠OEP = 90° 在Rt△ODP和Rt△OEP中 OP = OP（公共边） PD = PE（已知） ∴ Rt△ODP ≌ Rt△OEP（HL） ∴ ∠DOP = ∠EOP（全等三角形的对应角相等） ∴ OP是∠AOB的平分线 即点P在∠AOB的平分线上。 例题4： 已知∠AOB = 60°，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，且点P到OA的距离为4，求点P到OB的距离。 解： 设点P到OB的距离为h。 ∵ OC是∠AOB的平分线 点P在OC上 ∴ 点P到OA的距离 = 点P到OB的距离（角平分线上的点到角的两边的距离相等） ∵ 点P到OA的距离为4 ∴ h = 4 答：点P到OB的距离为4。 例题5： 在△ABC中，∠B = 90°，BD是∠ABC的平分线，AD = 5，DC = 3，求点D到BC的距离。 解： ∵ ∠B = 90° ∴ AB⊥BC ∵ BD是∠ABC的平分线 ∴ 点D到AB的距离 = 点D到BC的距离（角平分线上的点到角的两边的距离相等） 设点D到BC的距离为x，则点D到AB的距离也为x。 ∴ 点D到BC的距离为3。 答：点D到BC的距离为3。 巩固练习 一、选择题 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线 B. 角平分线上的点到角的两边的距离相等 C. 到角的两边距离相等的点一定在角的外部 D. 角的平分线是一条线段 2. 点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，若PD = 2，则PE的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A的平分线交BC于点D，若CD = 4，则点D到AB的距离是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 到一个角的两边距离相等的点的集合是（ ） A. 这个角的平分线 B. 这个角的一条边 C. 这个角的两条边 D. 这个角的顶点 二、填空题 1. 角平分线的定义：从一个角的______出发，把这个角分成______的两个角的射线，叫做这个角的平分线。 2. 角平分线性质定理：角平分线上的点到______的距离相等。 3. 已知点P在∠MON的平分线上，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，若PA = 5cm，则PB = ______cm。 4. 在△ABC中，AD平分∠BAC，若点D到AB的距离为3，则点D到AC的距离为______。 5. 若点Q在∠AOB的平分线上，且Q到OA的距离为2.5，则Q到OB的距离为______。 三、解答题 1. 在△ABC中，∠C = 90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D。如果AC = 3cm，那么AE + ED等于多少？ 2. 已知：点P是∠AOB内一点，且点P到OA、OB的距离相等。求证：点P在∠AOB的平分线上。 巩固练习答案与解析 一、选择题 1. 答案：B 解析： A选项，应为“从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线”，故A错误。 B选项，角平分线上的点到角的两边的距离相等，是角平分线的性质定理，故B正确。 C选项，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，角平分线在角的内部，故该点在角的内部或外部（若考虑角的外部平分线），但通常指内部，故C错误。 D选项，角的平分线是一条射线，故D错误。 2. 答案：B 解析： ∵ 点P在∠AOB的平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB ∴ PD = PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等） ∵ PD = 2 ∴ PE = 2 故选B。 3. 答案：C 解析： 设点D到AB的距离为h。 ∵ ∠C = 90° ∴ DC⊥AC ∵ AD是∠BAC的平分线 DC⊥AC，点D到AB的距离为h（即h⊥AB） ∴ h = CD（角平分线上的点到角的两边的距离相等） ∵ CD = 4 ∴ h = 4 即点D到AB的距离是4。 故选C。 4. 答案：A 解析： 根据角平分线的判定定理，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，反之，角平分线上的点到角的两边距离相等。所以到一个角的两边距离相等的点的集合是这个角的平分线。 故选A。 二、填空题 1. 答案：顶点；两个相等 解析：角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 2. 答案：角的两边 解析：角平分线性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。 3. 答案：5 解析： ∵ 点P在∠MON的平分线上，PA⊥OM，PB⊥ON ∴ PA = PB（角平分线上的点到角的两边的距离相等） ∵ PA = 5cm ∴ PB = 5cm 4. 答案：3 解析： ∵ AD平分∠BAC ∴ 点D到AB的距离 = 点D到AC的距离（角平分线上的点到角的两边的距离相等） ∵ 点D到AB的距离为3 ∴ 点D到AC的距离为3 5. 答案：2.5 解析： ∵ 点Q在∠AOB的平分线上 ∴ Q到OA的距离 = Q到OB的距离（角平分线上的点到角的两边的距离相等） ∵ Q到OA的距离为2.5 ∴ Q到OB的距离为2.5 三、解答题 1. 解： ∵ ∠C = 90° ∴ EC⊥BC ∵ BE平分∠ABC，ED⊥AB，EC⊥BC ∴ ED = EC（角平分线上的点到角的两边的距离相等） ∵ AE + ED = AE + EC 又∵ AE + EC = AC AC = 3cm ∴ AE + ED = 3cm 答：AE + ED等于3cm。 2. 证明： 过点P作PD⊥OA于D，PE⊥OB于E。 ∴ ∠ODP = ∠OEP = 90° ∵ 点P到OA、OB的距离相等 ∴ PD = PE 在Rt△ODP和Rt△OEP中 OP = OP（公共边） PD = PE（已知） ∴ Rt△ODP ≌ Rt△OEP（HL） ∴ ∠DOP = ∠EOP（全等三角形的对应角相等） ∴ OP是∠AOB的平分线 即点P在∠AOB的平分线上。 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.3 角平分线 学习目标 1. 理解角平分线的定义，能准确描述角平分线的概念。 2. 掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。 3. 掌握角平分线的判定定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 4. 能够运用角平分线的性质定理和判定定理解决简单的几何问题和计算问题。 5. 培养逻辑推理能力和运用数学知识解决实际问题的能力。 知识点讲解 一、角平分线的定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 例如：若射线OC是∠AOB的平分线，则∠AOC = ∠BOC = ∠AOB。 二、角平分线的性质定理 定理内容：角平分线上的点到角的两边的距离相等。 定理说明： 1. “点到角的两边的距离”指的是这个点分别向角的两边作垂线，垂线段的长度。 2. 该定理的条件是：点在角的平分线上。 3. 该定理的结论是：这个点到角两边的距离相等。 三、角平分线的判定定理 定理内容：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 定理说明： 1. 该定理的条件是：点到角两边的距离相等。 2. 该定理的结论是：这个点在角的平分线上。 3. 此定理常用于判断一个点是否在某个角的平分线上，或用于证明某条射线是角平分线。 例题解析 例题1： 已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，垂足为D，PE⊥OB，垂足为E。若PD = 3cm，求PE的长度。 例题2： 在△ABC中，∠C = 90°，AD是∠BAC的平分线，且CD = 5，求点D到AB的距离。 例题3： 已知点P是∠AOB内部一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD = PE。求证：点P在∠AOB的平分线上。 例题4： 已知∠AOB = 60°，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，且点P到OA的距离为4，求点P到OB的距离。 例题5： 在△ABC中，∠B = 90°，BD是∠ABC的平分线，AD = 5，DC = 3，求点D到BC的距离。 巩固练习 一、选择题 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线 B. 角平分线上的点到角的两边的距离相等 C. 到角的两边距离相等的点一定在角的外部 D. 角的平分线是一条线段 2. 点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，若PD = 2，则PE的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A的平分线交BC于点D，若CD = 4，则点D到AB的距离是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 到一个角的两边距离相等的点的集合是（ ） A. 这个角的平分线 B. 这个角的一条边 C. 这个角的两条边 D. 这个角的顶点 二、填空题 1. 角平分线的定义：从一个角的______出发，把这个角分成______的两个角的射线，叫做这个角的平分线。 2. 角平分线性质定理：角平分线上的点到______的距离相等。 3. 已知点P在∠MON的平分线上，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，若PA = 5cm，则PB = ______cm。 4. 在△ABC中，AD平分∠BAC，若点D到AB的距离为3，则点D到AC的距离为______。 5. 若点Q在∠AOB的平分线上，且Q到OA的距离为2.5，则Q到OB的距离为______。 三、解答题 1. 在△ABC中，∠C = 90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D。如果AC = 3cm，那么AE + ED等于多少？ 2. 已知：点P是∠AOB内一点，且点P到OA、OB的距离相等。求证：点P在∠AOB的平分线上。 学科网（北京）股份有限公司 $