专题3.1 平方根和立方根（高效培优讲义）数学浙教版2024七年级上册

专题3.1 平方根和立方根 教学目标 1.理解平方根、算术平方根、立方根的定义 2.掌握符号表示与计算 3.区分核心概念：能清晰说出平方根与算术平方根的区别 教学重难点 教学重点 1.理解平方根、算术平方根、立方根的定义 2.求具体数的平方根、算术平方根、立方根 3.平方根与算术平方根的区别、平方根与立方根的异同 教学难点 1.平方根的双重非负性 2.立方根的符号规律 3.实际问题转 知识点01 平方根和算术平方根定义 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 【即学即练】 1．计算的结果是（   ） A．6 B． C． D．36 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根，熟记算术平方根的定义是解题的关键．根据算术平方根的定义计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 2．的平方根为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数的平方根，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据运算法则运算求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 知识点02 算术平方根的性质 【即学即练】 1．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查非负性，根据算术平方根和绝对值的非负性，求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：0． 知识点03 算术平方根小数点移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【即学即练】 1．已知，则 ． 【答案】0.1109 【分析】本题考查了算术平方根的性质，根据算术平方根的性质求解即可．掌握算术平方根的性质是解题的关键． 【详解】解：是缩小100倍。 则是缩小10倍， 则， 故答案为：0.1109． 知识点04 立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 【即学即练】 1．的立方根是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查立方根的概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，即，那么x叫做a的立方根.根据立方根的定义求值，对照选项即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故选：D． 知识点05立方根的性质 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 【即学即练】 1．如果一个数的立方根是，那么这个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的性质是解题关键．根据和立方根的性质求解即可得． 【详解】解：∵， ∴如果一个数的立方根是，那么这个数是， 故答案为：． 题型01 求一个数的算术平方根 【典例1】的算术平方根为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：的算术平方根为， 故选：B． 【变式1】25的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是算术平方根的知识，掌握算术平方根的定义是解题的关键．根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：25的算术平方根是， 故答案为：． 【变式2】计算： ． 【答案】5 【分析】本题主要考查算术平方根的计算，熟练掌握算术平方根的计算方法是解题的关键．根据算术平方根的计算方法得出结论即可． 【详解】解；． 故答案为： 题型02 利用算术平方根的非负性解题 【典例2】若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质及有理数的乘方运算，解题的关键是根据二次根式和绝对值的非负性，求出字母a和b的值，再代入代数式计算． 根据二次根式的值是非负数、绝对值的值是非负数，且两者之和为0，可得每个非负数分别为；由此列出方程求出a和b的值；将a和b的值代入计算结果． 【详解】解：∵是非负数，是非负数，且， ∴． 由得，解得； 由得，解得． 将代入得：． 故答案为：． 【变式1】若x，y满足，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，非负数的性质，几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质，可求出的值，然后代入代数式计算即可． 【详解】，且， ， ， ， 故答案为：9． 【变式2】已知，都为实数，若，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了非负数的性质、算术平方根、有理数乘方等知识点，掌握几个非负数的和为，则这几个非负数都为是解题的关键． 根据非负数的性质得到关于、的等式，求得、的值，然后代入代数式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，即，， ． 故答案为：． 题型03 与算术平方根有关的规律探索题 【典例3】先填写表，通过观察后再回答问题． (1)表格中______，______． (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则______； ②已知，，用含m的代数式表示n，则______． 【答案】(1)，； (2)①；②； 【分析】本题主要考查算术平方根的理解和规律的应用． （1）填写表格，通过计算，即可得到答案； （2）观察规律，从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍，①从到被开方数扩大到原来倍，结果扩大到原来倍，即可得到答案；②根据题意可得：，可得到，进而得到答案． 【详解】（1）解：根据表格可得：∵，， ∴； ∵，， ， 故答案为：；． （2）解：①从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍， ∴从到被开方数扩大到原来倍， ∵， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式1】如果，，那么的等于（    ） A．3000 B．30 C．24．5 D．77．5 【答案】D 【分析】根据算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了算术平方根，找到算术平方根的移位规律是解题的关键． 【变式2】已知，，则 ．（保留小数点后两位） 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，直接利用算术平方根的性质化简得出答案．正确理解算术平方根的定义（如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根）是解题关键． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴． 故答案为：． 题型04 求一个数的平方根 【典例4】4的平方根是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了平方根的定义，根据平方根的定义解答即可． 【详解】解：4的平方根是， 故选：A． 【变式1】的平方根是（    ） A．9 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键； 根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：，81的平方根是， 的平方根是． 故选：D． 【变式2】的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根和平方根的概念，首先应求出的值为2，然后再求2的平方根即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根为． 故答案为： 题型05 已知一个数的平方根求这个数 【典例5】一个正数x的两个不同的平方根分别是和． (1)求a和x的值． (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查平方根及算术平方根，熟练掌握平方根及算术平方根的意义是解题的关键； （1）根据平方根的意义可得，则可求出a的值，进而得出x的值即可； （2）把（1）中a、x的值代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ， ， ； 即a的值为，x的值为49； （2）解：由（1）可知：，， ， 的算术平方根为5． 【变式1】已知的平方根是，的算术平方根是2． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题主要考查平方根和算术平方根，解题的关键是熟知平方根，算术平方根的定义． （1）根据平方根，算术平方根的定义，求解即可； （2）根据平方根定义，求解即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的算术平方根是2． ∴，， 解得，； （2）解：当，时，， 而4的平方根为， ∴的平方根为． 【变式2】已知的平方根为，的算术平方根为． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，根据题意正确列式是解题的关键． （1）由题得，求出，继而得到，求出； （2）由得到，再根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】（1）解： 的平方根为， ， ； 的算术平方根为， ， ； （2）解： ， ， 的平方根为 【变式3】一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查平方根及算术平方根，熟练掌握平方根及算术平方根的意义是解题的关键； （1）根据平方根的意义可得，则可求出a的值，进而得出x的值即可； （2）把（1）中a、x的值代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∴， ∴25的算术平方根为5． 题型06 平方根的应用 【典例6】一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道后，将空地分割成两个花坛，花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为．花坛1的边长与花坛2的长相等，花坛的总面积为1200平方米．请问宽度为2.5米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？（参考数据：） 【答案】(1)160米 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了长方形和正方形的面积、周长计算，以及利用比例关系建立方程求解的能力，解题的关键是根据长宽比例设未知数，结合面积公式列方程求出边长，再通过边长关系计算走道宽度，判断车辆能否通行． （1）设长方形空地的长为，则宽为，根据面积为1500平方米列式，利用平方根的性质求出x，得到长方形空地的长和宽，然后即可计算周长； （2）设花坛2的宽为y，则长为，正方形花坛1的边长为，根据总面积为1200平方米列式，利用平方根的性质求出y，计算出“T字型”走道的宽，进行比较即可． 【详解】（1）解：设长方形空地的长为，则宽为， 由题意得：，即， ∴（负值已舍去）， ∴， ∴这块长方形空地的周长为米； （2）设花坛2的宽为，则长为，正方形花坛1的边长为， 由题意得：，， 解得：（负值已舍去）， ∴花坛2的宽为米，正方形花坛1的边长为， ∵， ∴宽度为米的农药喷洒车不能在走道上正常通行． 【变式1】在美丽乡村建设中，梁子湖区某村湾准备开发一块长为35m，宽为22m的长方形空地．现要在空地上修建一个长是宽的1.8倍，面积为的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在到之间，宽在到之间．这个篮球场能用作比赛场地吗？并说明理由． 【答案】符合，见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键． 设修建的这个篮球场的宽为，则长为，根据长方形的面积公式求出长与宽，再作出判断即可得到答案． 【详解】解：∵要在空地上修建一个长是宽的1.8倍，面积为的篮球场， ∴设修建的这个篮球场的宽为，则长为， 由题意，得， 解得（取正值）， ∴， ∵比赛用的篮球场要求长在到之间，宽在到之间． ∴这个篮球场符合比赛要求． 【变式2】在综合实践课上，某同学想把一个用铁丝围成的面积为的正方形区域修改为面积为的长方形区域，且长、宽之比为． (1)求原来正方形区域的边长； (2)求修改后长方形的周长； (3)铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】(1) (2) (3)够用 【分析】本题考查算术平方根，利用开平方解方程，实数的估算，熟练根据题意列出等式并利用开平方求解长方形边长是解题的关键． （1）根据正方形的面积公式即可得出答案； （2）设长方形的长为，宽为，由其面积为，所以，利用开平方求解即可； （3）比较正方形的周长与长方形周长的大小关系即可． 【详解】（1）解：由题意得原来正方形区域的边长为， （2）解：由（1）得这根铁丝长为， 由修改后的长方形的长、宽之比为， 设长方形的长为，宽为， 由其面积为， 所以， 即， 解得（负值舍）， 长方形的周长为， （3）解：， ∴， ∴铁丝够用． 题型07 求一个数的立方根 【典例7】8的立方根是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了立方根定义，熟练掌握立方根定义，是解题的关键．根据立方根定义，进行求解即可． 【详解】解：8的立方根是2． 故答案为：2． 【变式1】1的立方根是 ；的立方根是 ． 【答案】 1 【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据立方根的计算方法计算即可得解，熟练掌握立方根的相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：1的立方根是，的立方根是， 故答案为：1，． 【变式2】的立方根是 ． 【答案】-4 【分析】先计算出的值，再根据立方根的定义求出其立方根．本题主要考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 题型08 已知一个数的立方根求这个数 【典例8】已知一个数的立方根是，那么这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是立方根的定义，如果一个数x的立方等于a，那么x就是a的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：一个数的立方根是， 这个数是， 故选：． 【变式1】若一个数的立方根是5，则这个数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是立方根的定义，如果一个数x的立方等于a，那么x就是a的立方根，掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：∵，一个数的立方根是5， ∴这个数是， 故答案为： 【变式2】已知的立方根是3，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义列得方程，解得a的值即可． 【详解】解：∵的立方根是3， ∴， 解得：， 故答案为：5． 题型09 与立方根有关的规律探索 【典例9】（1） 填表： 0.000001 0.001 1 1000 1000000 （2） 由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律． （3） 根据你发现的规律填空： 已知，，则_______，_______，________，_________． 【答案】（1）填表见解析；（2）被开方数的小数点向左或向右移动三位，它的立方根的小数点就向左或向右移动一位．或者：被开方数扩大或缩小千倍，它的立方根就扩大或缩小十倍；（3）14.42，0.03107，31.07，0.1442 【分析】本题考查立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键． （1）根据立方根的定义进行计算即可求解； （2）由于被开方数的小数点每移动三位，相应的立方根的小数点移动一位，由此即可解决问题； （3）被开方数的小数点每移动3位，立方根的小数点就按同方向移动1位．利用此规律即可求解． 【详解】解：（1） 填表如下：                          0.000001 0.001 1 1000 1000000 0.01 0.1 1 10 100 （2） 由上可以发现：被开方数的小数点向左或向右移动三位，它的立方根的小数点就向左或向右移动一位．或者：被开方数扩大或缩小千倍，它的立方根就扩大或缩小十倍．        （3） 根据你发现的规律填空： 已知，， 则， ， ， ， 故答案为：14.42，0.03107，31.07，0.1442． 【变式1】观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了立方根，解题的关键是根据图表找到规律，即如果一个数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍，如果一个数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍． 根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：根据图表中的规律得， ， 故答案为：． 【变式2】已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根，正确掌握相关的定义与性质是解题的关键． 利用立方根的性质结合已知数据得出答案即可． 【详解】解： ， ． 故答案为：． 【变式3】计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中 式子 …… …… 结果 …… …… 根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案： (1) (2)若，则 参考值：，  ，   【答案】(1) (2)6180 【分析】本题主要考查了立方根的性质： （1）根据表格可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位，即可求解； （2）根据（1）中的规律解答即可． 【详解】（1）解：完成表格，如下： 式子 …… …… 结果 …… 6 60 …… 由此发现，被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位； ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴． 故答案为：6180． 题型10 算术平方根和立方根的综合应用 【典例10】已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查算术平方根、立方根、平方根，熟练掌握算术平方根、立方根、平方根的定义是解决本题的关键． （1）根据算术平方根、立方根的定义解决此题； （2）根据平方根的定义解决此题． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4 ∴，． ∴，； （2）解：由（1）得，，， ∴ ， ∴的平方根为：． 【变式1】已知的平方根是的立方根是2． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题考查了平方根和算术平方根，代数式的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据平方根和算术平方根的定义求解即可； （2）先求出的值，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：的平方根是， 解得：， 的立方根是2， ． 解得：； （2）解：把代入中得：， 的算术平方根为3． 【变式2】已知实数的算术平方根是2，的立方根是2． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2)的平方根是． 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根，立方根的计算，掌握其运算方法是关键． （1）根据算术平方根，立方根的计算列式求解即可； （2）把的值代入，根据平方根的计算求解即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是2， ， 解得； 的立方根是2， ，即， 解得． （2）解：由（1）知，，， ； 而10的平方根是， 的平方根是． 【变式3】已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根． （1）根据立方根及算术平方根的定义即可求得，的值； （2）将，的值代入中计算后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：∵的立方根是2， ∴， 解得， ∵的算术平方根是3， ∴． 解得． ∴，； （2）解：∵，， ∴． ∴的平方根为． 一、单选题 1．9的平方根是（　　） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求一个数的平方根．一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么x就叫作a的平方根．据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴9的平方根是． 故选：B 2．计算的结果为（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 3．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义计算即可判断，掌握平方根和算术平方根的意义是解题的关键． 【详解】解：、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 故选：． 4．如果一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数的平方根为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根的含义，知道正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．分析题目根据正数的两个平方根互为相反数可得；接下来解方程可得的值，从而可求出这个正数，进一步可得答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， ∴， ∴， 解得. 则， 这个正数是，它的平方根为. 故选：D 5．正方形的面积是，则正方形的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的应用，根据正方形的面积公式结合算术平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，正方形的边长是； 故选B． 6．估计的大小应在（    ） A．7.0至7.5之间 B．7.5至8.0之间 C．8.0至8.5之间 D．8.5至9.0之间 【答案】A 【分析】此题主要考查了无理数的大小估算，现实生活中经常需要估算，估算能力应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 先找到所求的无理数在哪两个和它接近的有理数之间，然后判断出所求的无理数的范围． 【详解】解：∵， ∴， 即的大小应在7.0至7.5之间． 故选：A． 7．若，则的值是（　　） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，熟练掌握非负数的性质是解题的关键．根据算术平方根和完全平方的非负性得到，，求出的值，再根据算术平方根的定义即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴ 故选：B． 8．已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查立方根的规律探索，利用三次根号的运算性质，将被开方数分解为已知值的倍数与10的幂次相乘，从而简化计算 【详解】解：∵，而， ∴== 因此，的值约为， 故选B 9．下面是一个按某种规律排列的数阵： 第一行            1     第二行            2          第三行          3                第四行            4                ……           …… 根据数阵规律，第八行第十五个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数阵的排列规律，需确定第八行第十五个数对应的被开方数．通过观察数阵，每行末尾数的被开方数为行数与的乘积，且每行有个数．利用此规律推导第八行的起始和末尾数，进而定位第十五个数的位置． 【详解】解：根据题中规律确定每行末尾数：， 则第行的末尾数为． 故第八行末尾数为． 根据题中规律每行数的个数是：， 则第行有个数， 故第八行共有个数． 定位第八行第十五个数：第十五个数为倒数第二个数（因总数为16）．末尾数的被开方数为，倒数第二个数的被开方数为，故该数为． 综上，第八行第十五个数为， 故选：B． 二、填空题 10．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 11．若，则a的值为 ． 【答案】64 【分析】本题考查立方根的定义．利用立方根的定义即可求出a的值． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：64 12．已知与是正数的平方根，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平方根，由平方根的性质可得与相等或互为相反数，分别求出的值进而即可求解，掌握平方根的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是正数的平方根， ∴与相等或互为相反数， ∴或， 解得或， 当时，， ∴； 当时，， ∴， 故答案为：或． 13．利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若 ，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根和被开方数间关系．先根据表格得到规律，再根据规律确定结果． 【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ∴， 故答案为：． 三、解答题 14．已知的平方根为它本身，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，列式得，，再算出，的值，即可作答． （2）由（1）得，即，故得出的平方根，即可作答． 【详解】（1）解：∵的平方根为它本身，的算术平方根是3． ∴， ∴； （2）解：由（1）得， 故， ∴的平方根为． 15．已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求，的值； (2)是小于的最大整数，求的平方根． 【答案】(1)，． (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根和无理数的估算，解题关键是明确平方根和立方根的求法，准确进行计算； （1）根据题意得出和解方程即可； （2）确定c的值，再代入求出的值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：的立方根是3，的算术平方根是4， 所以，，， 解得，，． （2）解：∵，即，是小于的最大整数， ∴， ， 的平方根是． 17．【课本再现】 小明用一些小正方形纸片做拼、剪构造大正方形游戏： 他把两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形，按如图1拼在一起，就得到了一个边长为的大正方形． 【深度思考】 于是，他发现若把5个边长为1的正方形如图2摆放，再将这个图形按图3的方式剪裁，拼成图4，得到一个大正方形． (1)求拼成的正方形的面积和边长． (2)若要把个小正方形按上述方法拼成边长为的大正方形，则______________． 【答案】(1)正方形的面积为5，边长为 (2)10 【分析】本题主要考查求一个数的算出平方根以及图形拼接中面积守恒的规律，解题的关键在于理解图形拼接前后总面积不变； （1）通过已知小正方形的数量计算总面积，再根据面积公式求边长； （2）需要根据第一问的规律推导出值即可； 【详解】（1）解：由题和图可知∶一个小正方形的面积是1，所以5个小正方形的面积和为5， 即大正方的面积为5， ∵边长边长面积， ∴边长， 故拼成的正方形的面积为5和边长为； （2）解：根据大正方形的面积为，每个小正方形的面积为1， ∴共需要10个小正方形； 故答案：10． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 平方根和立方根 教学目标 1.理解平方根、算术平方根、立方根的定义 2.掌握符号表示与计算 3.区分核心概念：能清晰说出平方根与算术平方根的区别 教学重难点 教学重点 1.理解平方根、算术平方根、立方根的定义 2.求具体数的平方根、算术平方根、立方根 3.平方根与算术平方根的区别、平方根与立方根的异同 教学难点 1.平方根的双重非负性 2.立方根的符号规律 3.实际问题转 知识点01 平方根和算术平方根定义 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 【即学即练】 1．计算的结果是（   ） A．6 B． C． D．36 2．的平方根为（   ） A． B． C． D． 知识点02 算术平方根的性质 【即学即练】 1．若，则 ． 知识点03 算术平方根小数点移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【即学即练】 1．已知，则 ． 知识点04 立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 【即学即练】 1．的立方根是（    ） A．2 B． C．4 D． 知识点05立方根的性质 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 【即学即练】 1．如果一个数的立方根是，那么这个数是 ． 题型01 求一个数的算术平方根 【典例1】的算术平方根为（   ） A． B． C． D． 【变式1】25的算术平方根是 ． 【变式2】计算： ． 题型02 利用算术平方根的非负性解题 【典例2】若，则 ． 【变式1】若x，y满足，则 ． 【变式2】已知，都为实数，若，则 ． 题型03 与算术平方根有关的规律探索题 【典例3】先填写表，通过观察后再回答问题． (1)表格中______，______． (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则______； ②已知，，用含m的代数式表示n，则______． 【变式1】如果，，那么的等于（    ） A．3000 B．30 C．24．5 D．77．5 【变式2】已知，，则 ．（保留小数点后两位） 题型04 求一个数的平方根 【典例4】4的平方根是（    ） A． B．2 C． D． 【变式1】的平方根是（    ） A．9 B． C． D． 【变式2】的平方根为 ． 题型05 已知一个数的平方根求这个数 【典例5】一个正数x的两个不同的平方根分别是和． (1)求a和x的值． (2)求的算术平方根． 【变式1】已知的平方根是，的算术平方根是2． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【变式2】已知的平方根为，的算术平方根为． (1)求的值； (2)求的平方根． 【变式3】一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值； (2)求的算术平方根． 题型06 平方根的应用 【典例6】一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道后，将空地分割成两个花坛，花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为．花坛1的边长与花坛2的长相等，花坛的总面积为1200平方米．请问宽度为2.5米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？（参考数据：） 【变式1】在美丽乡村建设中，梁子湖区某村湾准备开发一块长为35m，宽为22m的长方形空地．现要在空地上修建一个长是宽的1.8倍，面积为的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在到之间，宽在到之间．这个篮球场能用作比赛场地吗？并说明理由． 【变式2】在综合实践课上，某同学想把一个用铁丝围成的面积为的正方形区域修改为面积为的长方形区域，且长、宽之比为． (1)求原来正方形区域的边长； (2)求修改后长方形的周长； (3)铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 题型07 求一个数的立方根 【典例7】8的立方根是 ． 【变式1】1的立方根是 ；的立方根是 ． 【变式2】的立方根是 ． 题型08 已知一个数的立方根求这个数 【典例8】已知一个数的立方根是，那么这个数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若一个数的立方根是5，则这个数是 ． 【变式2】已知的立方根是3，则 ． 题型09 与立方根有关的规律探索 【典例9】（1） 填表： 0.000001 0.001 1 1000 1000000 （2） 由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律． （3） 根据你发现的规律填空： 已知，，则_______，_______，________，_________． 【变式1】观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则 ． 【变式2】已知，，则 ． 【变式3】计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中 式子 …… …… 结果 …… …… 根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案： (1) (2)若，则 参考值：，  ，   题型10 算术平方根和立方根的综合应用 【典例10】已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 【变式1】已知的平方根是的立方根是2． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【变式2】已知实数的算术平方根是2，的立方根是2． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【变式3】已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 一、单选题 1．9的平方根是（　　） A．3 B． C． D． 2．计算的结果为（    ） A． B． C．3 D．9 3．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如果一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数的平方根为（   ） A．4 B． C． D． 5．正方形的面积是，则正方形的边长是（   ） A． B． C． D． 6．估计的大小应在（    ） A．7.0至7.5之间 B．7.5至8.0之间 C．8.0至8.5之间 D．8.5至9.0之间 7．若，则的值是（　　） A．0 B．1 C． D．2 8．已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 9．下面是一个按某种规律排列的数阵： 第一行            1     第二行            2          第三行          3                第四行            4                ……           …… 根据数阵规律，第八行第十五个数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．已知，则 ． 11．若，则a的值为 ． 12．已知与是正数的平方根，则的值是 ． 13．利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若 ，，则 ． 三、解答题 14．已知的平方根为它本身，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 15．已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求，的值； (2)是小于的最大整数，求的平方根． 16．【课本再现】 小明用一些小正方形纸片做拼、剪构造大正方形游戏： 他把两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形，按如图1拼在一起，就得到了一个边长为的大正方形． 【深度思考】 于是，他发现若把5个边长为1的正方形如图2摆放，再将这个图形按图3的方式剪裁，拼成图4，得到一个大正方形． (1)求拼成的正方形的面积和边长． (2)若要把个小正方形按上述方法拼成边长为的大正方形，则______________． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $