专题3.1 平方根（知识梳理+10个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题）-2025-2026学年浙教版数学七年级上册同步培优讲练

专题3.1 平方根 （知识梳理+10个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：平方根 1 知识点梳理02：算术平方根 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：求一个数的算术平方根 3 考点2：利用算术平方根的非负性解题 4 考点3：估计算术平方根的取值范围 5 考点4：求算术平方根的整数部分和小数部分 6 考点5：算术平方根的实际应用 7 考点6：平方根概念理解 9 考点7：与算术平方根有关的规律探索题 10 考点8：求一个数的平方根 11 考点9：平方根的应用 12 考点10：已知一个数的平方根，求这个数 13 中考真题 实战演练 14 难度分层 拔尖冲刺 17 基础夯实 17 培优拔高 22 知识点梳理01：平方根 1.平方根 平方根 内容 示例 概念 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a 的平方根，也叫作a 的二次方根。 因为(±2)²=4 ，所以±2 是4的平 方根。 表示方法 一个正数a的正平方根用“ ”表示（读作“根号a”）；a 的负平方根用“−”表示（读作“负根号a ”），因此，一个正数a 的平方根就用“± ”表示（读作“正、负根号a”），其中a 叫作被开方数。 是5的正平方 根，− 是5的负平方根，5的平方根是± 。 事实 （1）一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数； （2）零的平方根是零； （3）负数没有平方根。 2.开平方：求一个数的平方根的运算叫作开平方。 注意：开平方时，被开方数必须是非负数。 知识点梳理02：算术平方根 1.算术平方根 算术平方根 内容 示例 概念 正数的正平方根称为算术平方根，0的算术平方根是0。 因为3²=9 ，所以9的算术平方根是3。 表示方法 一个数a(a≥0) 的算术平方根记作“ ”。 的算术平方根是 ，即= 。 性质 （1）被开方数a 是非负数，即a≥0 ； （2）算术平方根 本身是非负数，即≥0 。 2.平方根和算术平方根的区别与联系 算术平方根 平方根 区别 个数 一个正数的算术平方根只有一个。 一个正数的平方根有两个。 表示方法 正数a 的算术平方根表示为 。 正数a的平方根表示为±。 取值范围 正数的算术平方根一定是正数。 正数的平方根为一正一负，它们互为相反数。 联系 （1）平方根包含算术平方根，一个正数的正平方根就是它的算术平方根； （2）只有非负数才有平方根和算术平方根； （3）0的平方根与算术平方根均为0。 辨析： 与 的区别 含义 a 的算术平方根的平方。 a²的算术平方根。 a 的取值范围 a≥0 。 a 为任意数。 运算顺序 先开方，再平方。 先平方，再开方。 运算结果 =a(a≥0) 。 考点1：求一个数的算术平方根 【典例精讲】（24-25七年级上·山东东营·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了算术平方根及平方根的运算，掌握算术平方根和平方根的区别和联系成为解题的关键． 根据算术平方根及平方根的性质逐项化简即可解答． 【规范解答】解：A．，故该选项不正确，不符合题意； B．，故该选项不正确，不符合题意； C．，故该选项正确，符合题意； D．，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【变式训练01】（2025·青海·中考真题）4的算术平方根是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义解答即可． 【规范解答】解：4的算术平方根是． 故答案为：． 【变式训练02】（24-25七年级下·北京·期中）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】一个正数的平方等于，那么叫作的算术平方根，根据算术平方根的定义计算即可；本题主要考查了算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根是正数是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴的算术平方根是； 故选：B． 考点2：利用算术平方根的非负性解题 【典例精讲】（24-25七年级上·全国·单元测试）已知：与互为相反数，求的算术平方根 【答案】1 【思路点拨】本题主要考查了二次根式的非负性，算术平方根，解题的关键是掌握二次根式的非负性． 利用二次根式的非负性得出，然后求其算术平方根即可． 【规范解答】解：根据题意得，， ∴ 解得， ∴， ∴的算术平方根为1． 【变式训练01】（25-26七年级上·黑龙江·阶段练习）若，则 ， ． 【答案】 2 【思路点拨】本题主要考查了算术平方根的非负性，掌握几个非负数的和为0，则每个非负数都为0是解题的关键． 由非负数的性质可得，然后求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴，解得：． 故答案为：，2． 【变式训练02】（24-25七年级下·全国·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查非负性，根据算术平方根和绝对值的非负性，求出的值，再进行计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：0． 考点3：估计算术平方根的取值范围 【典例精讲】（23-24七年级下·浙江台州·期末）下列整数中，与最接近的数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【思路点拨】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【规范解答】解： ， ， 比较接近整数5， 故选：C． 【变式训练01】（24-25七年级下·云南大理·期中）《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张圆形绣布，面积为51（注：取3），下列关于这张绣布半径的说法正确的是（   ） A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了算数平方根的估算， 根据圆的面积公式求出，即可得出答案 【规范解答】解：设圆的半径是r， 根据题意得， 解得. ∵， ∴r在之间. 故选：C 【变式训练02】（2025·广东深圳·模拟预测）一个正方形的面积是29，通过估算，它的边长在整数与之间，则 ． 【答案】5 【思路点拨】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．根据算术平方根的定义估算无理数即可． 【规范解答】解：一个正方形的面积是29，则其边长为， ， ， ∵它的边长在整数与之间， . 故答案为： ． 考点4：求算术平方根的整数部分和小数部分 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课前预习）任何一个小数，都可以改写成它的整数部分与它的小数部分的和的形式．例如：．若设的纯小数部分为a，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是无理数的估算．估算出的取值范围即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴的整数部分为7，则小数部分为， 故答案为：. 【变式训练01】（24-25七年级下·西藏昌都·期末）已知的整数部分为 ，小数部分是 ． 【答案】 4 【思路点拨】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键． 直接利用的取值范围得出整数部分和小数部分． 【规范解答】解：∵， ∴ ∴的整数部分为4，小数部分为． 故答案为4，. 【变式训练02】（24-25七年级下·四川·阶段练习）的小数部分是m，则 ； 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了算术平方根的估算，估算出的整数部分是解题的关键．根据算术平方根的大小估算可得，得出的整数部分，进而得到的小数部分，即可得出答案． 【规范解答】解：∵， ∴的整数部分是3， ∴的小数部分是， ∴． 故答案为：． 考点5：算术平方根的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级下·北京海淀·期中）如图将边长分别为1和2的两个正方形剪拼成一个较大的正方形，则大正方形的边长是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了算术平方根的实际应用，解题时要熟练掌握并能根据题意求出大正方形的面积是关键． 依据题意，先求出该正方形的面积为5，从而可以计算得解． 【规范解答】解：由题意，小正方形边长分别为1和2， 拼成的大正方形的面积为， 拼成的大正方形的边长为 故答案为： 【变式训练01】（25-26七年级上·浙江·阶段练习）把四个小正方形摆放在如图的一个大长方形内部，每个小正方形的一个顶点和长方形的一个顶点重合，它们之间即不重叠也无空隙，较小的三个小正方形的面积分别为、、，则图中的阴影部分的周长＝ ． 【答案】14 【思路点拨】此题考查了算术平方根的应用和长方形的周长公式，关键是认真观察图形，表示出阴影部分水平的边长之和．根据题意阴影部分所有竖直的边长之和和所有水平的边长之和，然后进行整理即可得出答案． 【规范解答】解：如图，标注字母如下： 则， ∴， ∴， ∴． 则阴影部分所有竖直的边长之和， 所有水平的边长之和， 则阴影部分的周长， 故答案为：14． 【变式训练02】（24-25七年级下·河南·期末）在《实数》学习中，我们可以按如图1操作：把面积为1的两个小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图所示的一个大正方形，它的边长为．可以参考这个方法，如图2操作：将长为3、宽为1的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形围成如图所示的正方形，则内部白色正方形的边长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查图形的拼剪，算术平方根的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据大正方形面积空白部分面积个直角三角形的面积，通过计算得出，再开方，即可得出答案． 【规范解答】解：大正方形面积为，空白部分面积为， 根据题意得：，即， ∴（负值舍去）， 故答案为：． 考点6：平方根概念理解 【典例精讲】（24-25七年级上·北京·期中）若一个正数的两个平方根是和，则a的值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查平方根的性质，解题的关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数． 根据一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程求解． 【规范解答】解：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以与的和为0， 即：， 解得：， 故答案为：． 【变式训练01】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）一个数的平方是，这个数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平方根概念理解，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据平方根概念理解求解． 【规范解答】解：∵一个数的平方是， ∴这个数是， 故答案为：． 【变式训练02】（2024七年级下·广东佛山·竞赛）下列各数中，没有平方根的是（   ） A．18 B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了平方根，把各数进行化简，再根据平方根的性质即可进行求解，解题的关键是熟练掌握平方根的性质． 【规范解答】解：A、是正数，有平方根，故选项不符合题意 ； B、是负数，没有平方根，故选项符合题意 ； C、是正数，有平方根，故选项不符合题意 ； D、是正数，有平方根，故选项不符合题意 ； 故选：B． 考点7：与算术平方根有关的规律探索题 【典例精讲】（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）利用计算器，得，，，，按此规律．可得的值约为 ． 【答案】 【思路点拨】本题是算术平方根的计算．根据算术平方根的性质求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式训练01】（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）已知，，则（   ） A．14.36 B．143.6 C．45.4 D．454 【答案】B 【思路点拨】本题考查了算术平方根的运算，由即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴． 故选：B． 【变式训练02】（24-25七年级下·山东临沂·阶段练习）观察下列等式：，，依此类推，第n个等式为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，根式里面的整数为序号，分数的分子为1，分母为序号加2，开方的结果外面的整数为序号加1，根式里面的分数的分子为1，分母为序号加2，据此规律求解即可． 【规范解答】解：， ， ……， 依此类推可知，第n个等式为：， 故答案为：． 考点8：求一个数的平方根 【典例精讲】（2025七年级上·浙江·专题练习）的平方根是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平方根，求分数的平方根，需分别求分子和分母的平方根，再考虑正负值即可． 【规范解答】解：∵ 且 ， ∴ 的平方根是． 故答案为：． 【变式训练01】（24-25七年级下·甘肃酒泉·阶段练习）若是的一个平方根，则的另一个平方根为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平方根，一个正数的平方根互为相反数，在一个平方根的前面加上负号就是另一个平方根．根据一个正数的平方根互为相反数，由一个平方根可得另一个平方根． 【规范解答】解：是的一个平方根，则的另一个平方根为， 故答案为． 【变式训练02】（24-25八年级上·福建·期中）4的平方根是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了平方根，熟知平方根的定义是解题的关键； 根据平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根即可解答. 【规范解答】解：因为， 所以4的平方根是； 故选：A. 考点9：平方根的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，若，则x的值等于 ． 【答案】86或 【思路点拨】本题考查平方根，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 将7396转化为，再利用平方根的定义解答． 【规范解答】解：∵， ∴， ， 即x的值等于86或； 故答案为：86或； 【变式训练01】（24-25七年级上·广东广州·期中）工人师傅准备从一块面积为16平方分米的正方形工料上裁剪出一块面积为12平方分米的长方形工件，若要求裁下来的长方形的长和宽的比为，问这块正方形工料能否裁出．（参考数据：，） 【答案】否，见解析 【思路点拨】本题主要考查了平方根和算术平方根的应用，分别求出正方形的边长和长方形的长是解题的关键．根据正方形的面积公式求出正方形的边长，设长方形的长宽分别为分米、分米，根据长方形的面积公式，列出方程，求出，再比较即可得出答案． 【规范解答】解：∵正方形的面积是16平方分米， ∴正方形的边长为：（分米）， 设长方形的长，宽分别为分米、分米，根据题意得： ， ∴， ∴，（舍去）， ∵， ∴这块正方形工料不能裁出符合要求的长方形． 【变式训练02】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）若与是同一个数的平方根， 则m的值 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查了平方根的性质，解题的关键在于掌握一个非负数的平方根有两个，它们互为相反数． 根据与是同一个数的平方根，分情况讨论求解，即可解题． 【规范解答】解： 与是同一个数的平方根． 或， 解得或， 综上所述， 𝑚 的值可以是 或 ． 故答案为： 或 ． 考点10：已知一个数的平方根，求这个数 【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）某数的平方根为和，则a是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平方根的性质． 根据平方根的性质，一个数的两个平方根互为相反数计算即可． 【规范解答】解：∵某数的平方根为和， ∴ 解得： 故答案为：． 【变式训练01】（24-25七年级下·甘肃武威·阶段练习）一个正数的平方根是和，则这个数是 ． 【答案】 【思路点拨】此题主要考查了平方根的性质和应用，要明确：一个正数的两个平方根的和是0解答此题的关键． 根据一个正数的两个平方根互为相反数可得：，据此求出a的值，进而求出这个正数是多少即可． 【规范解答】解：∵一个正数的平方根是和， ∴， ， ， 解得， ∴， ∴这个数是， 故答案为：． 【变式训练02】（25-26八年级上·海南海口·阶段练习）已知一个正数的平方根是和，则这个数是（    ） A．−1 B． C．16 D．64 【答案】D 【思路点拨】本题考查了平方根，解题的关键是熟练掌握平方根的定义． 根据正数的平方根有两个并且互为相反数，列出方程，求出方程的解得到x的值，即可得到这个数． 【规范解答】解：根据题意得：， 解得：， ∴，， ∴这个数为． 故选：D． 1．（2024·新疆和田·中考真题）已知实数，满足． (1)求，的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)，； (2)． 【思路点拨】本题考查了绝对值非负性，算术平方根非负性，平方根定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据绝对值非负性，算术平方根非负性即可求解； （）把，代入求值，然后通过平方根的定义即可求解． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， （2）解：由（）得，，， ∴ ∴的平方根是． 2．（2024·全国·中考真题）学完平方根后，老师布置了4道填空题，下面是嘉嘉的完成情况：①0的平方根是0；②16的平方根是；③9的算术平方根是3；④的平方根是．嘉嘉做对了几道题（   ） A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了算术平方根、平方根等知识点，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据算术平方根及平方根的定义逐个判断，然后再统计即可． 【规范解答】解：①根据平方根的定义，0的平方根只有0，故①正确； ②平方根包括正负两个值，16的平方根是，故②正确； ③算术平方根为非负数，9的算术平方根为，故③正确； ④由，5的平方根应为，而非，故④错误； 综上，嘉嘉做对了①、②、③，共3道题． 故选：C． 3．（2024·重庆巫山·中考真题）一个正数a的平方根分别是m和，则这个m为 ． 【答案】2 【思路点拨】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解题的关键． 根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得出，即可求出m的值． 【规范解答】解：根据题意得，， 解得， 故答案为：2． 4．（2024·湖北恩施·中考真题）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的周长为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了算术平方根的应用、正方形的面积等知识点，掌握数形集合思想成为解题的关键． 根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是、2，再根据阴影部分的周长公式计算即可． 【规范解答】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 2和4， ∴两个正方形的边长分别是、2， ∴阴影部分的周长为． 故选C． 5．（2024·江苏南通·中考真题）某校开展了迎五一手抄报展览活动，为制作出精美的劳动节主题展览作品，要求：用一张面积为 的正方形卡纸，沿着边的方向裁出一张面积为的长方形，用于制作展览作品的背景. (1)正方形卡纸的边长是 ； (2)小雯同学设计了一种方案：使长方形的长与宽之比为，她能用这张卡纸裁出符合要求的长方形吗?若能，请你帮助小雯设计裁剪方案；若不能，请说明理由. 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【思路点拨】此题主要考查了算术平方根的实际应用，正确开平方是解题关键． （1）直接利用算术平方根的定义求出正方形纸片的边长，进而得出答案； （2）直接利用算术平方根的定义求出长方形纸片的长与宽，进而得出答案． 【规范解答】（1）解：正方形卡纸的边长是， 故答案为：20； （2）解：不能，理由如下： 长方形纸片的长宽之比为， 设长方形纸片的长为，则宽为． ， ， ， ， 又：， ， 长方形纸片的长为， 又， 即：， 小雯不能用这块纸片裁出符合要求的纸片． 基础夯实 1．（23-24七年级下·云南迪庆·期末）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查平方根和立方根的概念，算术平方根为非负数，负数没有实数平方根，但立方根可以为负数． 【规范解答】解：∵ 算术平方根是非负数，∴ ，A错误； ∵ 负数没有平方根，∴无意义，B错误； ∵，∴ ，C正确； ∵ ，∴∴ D错误； 故选C． 2．（23-24七年级下·四川广安·期末）下列运算中，错误的个数为（ ）个 ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【思路点拨】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键．根据算术平方根的性质逐个判断即可得． 【规范解答】解：①，错误； ②，错误； ③，则没有算术平方根；，错误； ④，，则，错误； 综上，错误的个数为4个， 故选：D． 3．（24-25七年级上·河南南阳·期末）的算术平方根是（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b，若满足，且a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，且，据此求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴的算术平方根是2， 故选：B． 4．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）4的平方根是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查平方根．根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数． 【规范解答】解：∵， ∴4的平方根是． 故答案为：． 5．（23-24七年级下·贵州黔东南·期末）计算： ． 【答案】 【思路点拨】此题主要考查了算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根的概念是解答此题的关键． 直接根据算术平方根的定义进行求解即可． 【规范解答】解：∵ ， ∴, 故答案为：3． 6．（24-25七年级上·重庆九龙坡·阶段练习）若，则的值为 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查了算术平方根和平方式的非负性，求一个数的算术平方根，熟练掌握算术平方根和平方式的非负性是解题的关键． 根据非负数的性质，平方项和算术平方根均为非负数，它们的和为零，则每个部分均为零，从而求出a和b的值，再代入计算所求表达式． 【规范解答】解：∵ ，，且， ∴ ，， 解得 ，， 则 ， ∴ ． 故答案为：3． 7．（2025七年级上·全国·专题练习）若与互为相反数，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，相反数的定义，有理数的加法． 根据相反数的定义可知，根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性得到，，代入计算即可． 【规范解答】解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， 即，， 解得：，， ∴． 故答案为：． 8．（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，用两个边长为的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片． (1)则大正方形的边长为______； (2)沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长宽之比为，且面积为？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【思路点拨】本题考查了算术平方根的实际应用，注意计算的准确性即可； （1）由题意得：大正方形的面积为：，即可求解； （2）假设能截出满足题意的长方形纸片，设它的长、宽分别为，则， 解得：，推出，与大正方形的边长对比即可得出结论； 【规范解答】（1）解：由题意得：大正方形的面积为：， ∴大正方形的边长为； 故答案为：4． （2）解：假设能截出满足题意的长方形纸片，设它的长、宽分别为， 则， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； ∵， ∴， ∴不能截得长宽之比为，且面积为的长方形纸片． 9．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）求下列各式的值． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了求一个数的算术平方根． （1）先将带分数转化为假分数，再求算术平方根即可； （2）直接求算术平方根即可； （3）直接求算术平方根即可． 【规范解答】（1）解： （2）解： （3）解： 10．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到如图（2）的大正方形． (1)若小正方形的面积为2，则大正方形的面积是 (2)若大正方形的面积为 ，则小正方形的面积是 ，边长为 ； (3)如图是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边的长度，若不能，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)面积为 ；边长为 (3) 【思路点拨】（1）根据拼接前后，面积不变即可求解； （2）根据拼接前后，面积不变即可求解； （3）根据提示即可求解； 【规范解答】（1）解：∵拼接前后，面积不变， ∴大正方形的面积是； （2）解：∵拼接前后，面积不变， ∴小正方形的面积是；边长为； （3）解：能把它剪开并拼成一个大正方形，裁剪示意图如图所示： ∵原图形的面积是5， ∴裁剪后的正方形面积也是5， ∴大正方形边长为． 培优拔高 11．（24-25七年级下·河北·阶段练习）已知，则的平方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了绝对值、平方的非负性，平方根，有理数的加法，正确计算是解题的关键．两数相加得零则两数互为相反数，而两个加数皆为非负数，则两个加数都为零，据此解答即可． 【规范解答】解：， ，， ，， ， 的平方根是， 的平方根是． 故选：A． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）“的算术平方根”用数学式子表示正确的是（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【思路点拨】本题考查算术平方根的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据算术平方根的表示方法进行表示，然后即可求解． 【规范解答】解：的算术平方根表示为：， 故选：B 13．（24-25七年级下·新疆阿克苏·期末）若一个正数的两个不同的平方根分别是与，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【思路点拨】本题考查平方根的性质，掌握正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．根据正数的两个平方根互为相反数的性质，列出方程求解即可． 【规范解答】解：由题意得，该正数的两个平方根分别是和， 得 解得：， 将代入与中得，两个不同的平方根分别是和，符合题意， ， 故选：B． 14．（24-25七年级下·云南丽江·期末）已知正数x的两个不同的平方根是和，则 ． 【答案】25 【思路点拨】本题考查平方根定义和性质，根据平方根的性质：一个正数有两个不同的平方根，它们互为相反数，可得和互为相反数，再根据互为相反数的两个数和为0，求得m的值，再得出的值，从而得出x的值. 【规范解答】解：∵正数x的两个不同的平方根是和 ∴和互为相反数 ∴ 解得 则 ∴. 故答案为25. 15．（23-24七年级上·上海·期末）是一个正整数，则最大的负整数 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查算术平方根． 根据题意可知，是一个正数，且为完全平方数，据此求的值即可． 【规范解答】解：∵是一个正整数， ∴是一个正数，且为完全平方数， ∵， ∴最大的负整数． 故答案为：． 16．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图是两个重叠的正方形平移后形成的图案，其中阴影部分为正方形，阴影部分与空白部分面积相等．若，则阴影部分正方形的边长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了平方根的应用，解题的关键是看懂阴影部分、空白部分与两个正方形面积之间的关系．设阴影部分正方形的边长为x，根据阴影部分与空白部分面积相等，由此列式可解． 【规范解答】解：设阴影部分正方形的边长为x， 由于阴影部分与空白部分面积相等，，则有 ， 即 解得 ， ， ， 则阴影部分正方形的边长为． 故答案为：． 17．（24-25七年级下·云南昆明·期中）已知，都为实数，若，则 ． 【答案】9 【思路点拨】本题主要考查了非负数的性质、算术平方根、有理数乘方等知识点，掌握几个非负数的和为，则这几个非负数都为是解题的关键． 根据非负数的性质得到关于、的等式，求得、的值，然后代入代数式求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴，，即，， ． 故答案为：． 18．（25-26七年级上·上海·阶段练习）中国古代数学家很早就会利用数形结合思想来解决生活中的一些问题． 杨辉是我国南宋时期的数学家，一次他画了一张“弦图”，解决了如下问题：一块长方形田地的面积是864平方步，已知它的宽比长少12步，问长与宽是多少？（注：“步”是长度单位，“平方步”是面积单位.1步尺） 解：设宽为步，则长为步，得方程 ． 如图，杨辉将题目中所说长方形的田地安排成“弦图”中四个相同的长方形，并组成了一个大正方形，由题目条件可知小正方形面积是 平方步，大正方形面积是 平方步，于是矩形的长与宽的和是 步，得到宽（即的一个正数解）为 步．（在对应序号处填空，写在答题纸上） 请你仿造杨辉的“画图”方法，解方程（求出一个正数解即可）．（注意：画出示意图，所画图上要有必要数据标记） 【答案】；144；3600；60；24；图见解析； 【思路点拨】题目主要考查算术平方根的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键． 根据题意，结合图形即可得出结果；将变形为，然后根据题意画出图形，求解即可． 【规范解答】解：设宽为步，则长为步，得方程． 如图，杨辉将题目中所说长方形的田地安排成“弦图”中四个相同的长方形，并组成了一个大正方形， 由题目条件得：小正方形的边长为：，面积为平方步， 大正方形的面积是平方步， 于是矩形的长与宽的和是步， 解得：步， ∴宽为24步． 故答案为：；144；3600；60；24； ∵， ∴， ∴， 如图所示： ∴， 矩形的面积为616， ∴， ∴， 解得：． 19．（25-26七年级上·上海·阶段练习）某街区在进行改造时，将原来的正方形场地改建成面积不变的长方形场地，且其长、宽比为． (1)原正方形场地的周长为_____． (2)如果把原来正方形场地的金属板围墙全部循环利用(不改变高度、厚度、不计加工损耗)那么这些金属板是否够用？试利用所学知识说明理由． 【答案】(1)120 (2)这些金属板不够用，理由见详解 【思路点拨】本题主要考查了求一个数的算术平方根，列一元二次方程解决几何问题，二次根式的大小比较，解题的关键是掌握二次根式的运算． （1）利用求一个数的算术平方根进行求解即可； （2）设长方形的长为，宽为，根据面积相等列出方程求解得出，再求出周长和正方形周长比较即可． 【规范解答】（1）解：原正方形场地的周长为， 故答案为：120； （2）解：这些金属板不够用，理由如下： 设长方形的长为，宽为，根据题意得， ， 解得，（负值已舍） ∴长方形的周长为， ∵， ∴， ∴， ∴这些金属板不够用． 20．（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）综合试一试． (1)数轴上有三个点，，表示的数分别为，4，，已知，，中，其中有一点恰好在另外两点的正中间，则可能的值为___________． (2)的算术平方根是___________． (3)若，是正整数，且满足，则的值为___________． (4)某快餐店的价目表如下： 菜品 价格 汉堡（个） 21元 薯条（份） 9元 汽水（杯） 12元 1个汉堡＋1份薯条（套餐） 28元 1个汉堡＋1杯汽水（套餐） 30元 1个汉堡＋1份薯条＋1杯汽水（套餐） 38元 小明和同学们一共需要10个汉堡，5份薯条，6杯汽水，那么最低需要___________元． 【答案】(1)，10，1 (2) (3)12或16或64 (4)300 【思路点拨】本题主要考查数的运算和分类讨论思想的应用，正确理解题意是解答本题的关键． （1）用分类讨论思想分析问题，即当A，B，C分别在另外两点的正中间时，再求出c的值即可． （2）根据算术平方根的定义求解即可； （3）利用有理数的乘方法则推断出a和b的值，再进行分类讨论计算的值即可． （4）买套餐最省钱，即分别讨论方案一：买5份C套餐，1份B套餐，4份汉堡花的钱，方案二：买5份A套餐，5份B套餐，1杯汽水花的钱，方案三：1份C套餐，5份B套餐，4份A套餐花的钱，结果要最少的钱即可． 【规范解答】（1）解：①当点A在正中间时，可得， ， 解得； ②当点B在正中间时，可得， ， 解得； ③当点C在正中间时，可得，， 解得， ∴c可能的值为，10，1． 故答案为：，10，1． （2）解：∵，7的算术平方根为， ∴的算术平方根是， 故答案为：； （3）解：∵， 当， 当， 当， 当， 故答案为：12或16或64． （4）解：A套餐便宜（元）， B套餐便宜（元）， C套餐便宜（元）， 方案一：买5份C套餐，1份B套餐，4份汉堡， 总共花：（元）， 方案二：买5份A套餐，5份B套餐，1杯汽水， 总共花：（元）， 方案三：买1份C套餐，5份B套餐，4份A套餐， 总共花：（元）， 即最低需要300元， 故答案为：300． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 平方根 （知识梳理+10个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：平方根 1 知识点梳理02：算术平方根 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：求一个数的算术平方根 3 考点2：利用算术平方根的非负性解题 3 考点3：估计算术平方根的取值范围 4 考点4：求算术平方根的整数部分和小数部分 4 考点5：算术平方根的实际应用 4 考点6：平方根概念理解 5 考点7：与算术平方根有关的规律探索题 5 考点8：求一个数的平方根 5 考点9：平方根的应用 6 考点10：已知一个数的平方根，求这个数 6 中考真题 实战演练 6 难度分层 拔尖冲刺 7 基础夯实 7 培优拔高 9 知识点梳理01：平方根 1.平方根 平方根 内容 示例 概念 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a 的平方根，也叫作a 的二次方根。 因为(±2)²=4 ，所以±2 是4的平 方根。 表示方法 一个正数a的正平方根用“ ”表示（读作“根号a”）；a 的负平方根用“−”表示（读作“负根号a ”），因此，一个正数a 的平方根就用“± ”表示（读作“正、负根号a”），其中a 叫作被开方数。 是5的正平方 根，− 是5的负平方根，5的平方根是± 。 事实 （1）一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数； （2）零的平方根是零； （3）负数没有平方根。 2.开平方：求一个数的平方根的运算叫作开平方。 注意：开平方时，被开方数必须是非负数。 知识点梳理02：算术平方根 1.算术平方根 算术平方根 内容 示例 概念 正数的正平方根称为算术平方根，0的算术平方根是0。 因为3²=9 ，所以9的算术平方根是3。 表示方法 一个数a(a≥0) 的算术平方根记作“ ”。 的算术平方根是 ，即= 。 性质 （1）被开方数a 是非负数，即a≥0 ； （2）算术平方根 本身是非负数，即≥0 。 2.平方根和算术平方根的区别与联系 算术平方根 平方根 区别 个数 一个正数的算术平方根只有一个。 一个正数的平方根有两个。 表示方法 正数a 的算术平方根表示为 。 正数a的平方根表示为±。 取值范围 正数的算术平方根一定是正数。 正数的平方根为一正一负，它们互为相反数。 联系 （1）平方根包含算术平方根，一个正数的正平方根就是它的算术平方根； （2）只有非负数才有平方根和算术平方根； （3）0的平方根与算术平方根均为0。 辨析： 与 的区别 含义 a 的算术平方根的平方。 a²的算术平方根。 a 的取值范围 a≥0 。 a 为任意数。 运算顺序 先开方，再平方。 先平方，再开方。 运算结果 =a(a≥0) 。 考点1：求一个数的算术平方根 【典例精讲】（24-25七年级上·山东东营·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练01】（2025·青海·中考真题）4的算术平方根是 ． 【变式训练02】（24-25七年级下·北京·期中）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 考点2：利用算术平方根的非负性解题 【典例精讲】（24-25七年级上·全国·单元测试）已知：与互为相反数，求的算术平方根 【变式训练01】（25-26七年级上·黑龙江·阶段练习）若，则 ， ． 【变式训练02】（24-25七年级下·全国·阶段练习）若，则 ． 考点3：估计算术平方根的取值范围 【典例精讲】（23-24七年级下·浙江台州·期末）下列整数中，与最接近的数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练01】（24-25七年级下·云南大理·期中）《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张圆形绣布，面积为51（注：取3），下列关于这张绣布半径的说法正确的是（   ） A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 【变式训练02】（2025·广东深圳·模拟预测）一个正方形的面积是29，通过估算，它的边长在整数与之间，则 ． 考点4：求算术平方根的整数部分和小数部分 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课前预习）任何一个小数，都可以改写成它的整数部分与它的小数部分的和的形式．例如：．若设的纯小数部分为a，则 ． 【变式训练01】（24-25七年级下·西藏昌都·期末）已知的整数部分为 ，小数部分是 ． 【变式训练02】（24-25七年级下·四川·阶段练习）的小数部分是m，则 ； 考点5：算术平方根的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级下·北京海淀·期中）如图将边长分别为1和2的两个正方形剪拼成一个较大的正方形，则大正方形的边长是 ． 【变式训练01】（25-26七年级上·浙江·阶段练习）把四个小正方形摆放在如图的一个大长方形内部，每个小正方形的一个顶点和长方形的一个顶点重合，它们之间即不重叠也无空隙，较小的三个小正方形的面积分别为、、，则图中的阴影部分的周长＝ ． 【变式训练02】（24-25七年级下·河南·期末）在《实数》学习中，我们可以按如图1操作：把面积为1的两个小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图所示的一个大正方形，它的边长为．可以参考这个方法，如图2操作：将长为3、宽为1的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形围成如图所示的正方形，则内部白色正方形的边长为 ． 考点6：平方根概念理解 【典例精讲】（24-25七年级上·北京·期中）若一个正数的两个平方根是和，则a的值是 ． 【变式训练01】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）一个数的平方是，这个数是 ． 【变式训练02】（2024七年级下·广东佛山·竞赛）下列各数中，没有平方根的是（   ） A．18 B． C． D． 考点7：与算术平方根有关的规律探索题 【典例精讲】（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）利用计算器，得，，，，按此规律．可得的值约为 ． 【变式训练01】（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）已知，，则（   ） A．14.36 B．143.6 C．45.4 D．454 【变式训练02】（24-25七年级下·山东临沂·阶段练习）观察下列等式：，，依此类推，第n个等式为 ． 考点8：求一个数的平方根 【典例精讲】（2025七年级上·浙江·专题练习）的平方根是 ． 【变式训练01】（24-25七年级下·甘肃酒泉·阶段练习）若是的一个平方根，则的另一个平方根为 ． 【变式训练02】（24-25八年级上·福建·期中）4的平方根是（    ） A． B．2 C． D． 考点9：平方根的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，若，则x的值等于 ． 【变式训练01】（24-25七年级上·广东广州·期中）工人师傅准备从一块面积为16平方分米的正方形工料上裁剪出一块面积为12平方分米的长方形工件，若要求裁下来的长方形的长和宽的比为，问这块正方形工料能否裁出．（参考数据：，） 【变式训练02】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）若与是同一个数的平方根， 则m的值 ． 考点10：已知一个数的平方根，求这个数 【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）某数的平方根为和，则a是 ． 【变式训练01】（24-25七年级下·甘肃武威·阶段练习）一个正数的平方根是和，则这个数是 ． 【变式训练02】（25-26八年级上·海南海口·阶段练习）已知一个正数的平方根是和，则这个数是（    ） A．−1 B． C．16 D．64 1．（2024·新疆和田·中考真题）已知实数，满足． (1)求，的值． (2)求的平方根． 2．（2024·全国·中考真题）学完平方根后，老师布置了4道填空题，下面是嘉嘉的完成情况：①0的平方根是0；②16的平方根是；③9的算术平方根是3；④的平方根是．嘉嘉做对了几道题（   ） A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 3．（2024·重庆巫山·中考真题）一个正数a的平方根分别是m和，则这个m为 ． 4．（2024·湖北恩施·中考真题）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的周长为（   ） A．2 B．4 C． D． 5．（2024·江苏南通·中考真题）某校开展了迎五一手抄报展览活动，为制作出精美的劳动节主题展览作品，要求：用一张面积为 的正方形卡纸，沿着边的方向裁出一张面积为的长方形，用于制作展览作品的背景. (1)正方形卡纸的边长是 ； (2)小雯同学设计了一种方案：使长方形的长与宽之比为，她能用这张卡纸裁出符合要求的长方形吗?若能，请你帮助小雯设计裁剪方案；若不能，请说明理由. 基础夯实 1．（23-24七年级下·云南迪庆·期末）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·四川广安·期末）下列运算中，错误的个数为（ ）个 ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25七年级上·河南南阳·期末）的算术平方根是（    ） A．4 B．2 C． D． 4．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）4的平方根是 ． 5．（23-24七年级下·贵州黔东南·期末）计算： ． 6．（24-25七年级上·重庆九龙坡·阶段练习）若，则的值为 ． 7．（2025七年级上·全国·专题练习）若与互为相反数，则 ． 8．（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，用两个边长为的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片． (1)则大正方形的边长为______； (2)沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长宽之比为，且面积为？请说明理由． 9．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）求下列各式的值． (1) (2) (3) 10．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到如图（2）的大正方形． (1)若小正方形的面积为2，则大正方形的面积是 (2)若大正方形的面积为 ，则小正方形的面积是 ，边长为 ； (3)如图是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边的长度，若不能，请说明理由． 培优拔高 11．（24-25七年级下·河北·阶段练习）已知，则的平方根是（　　） A． B． C． D． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）“的算术平方根”用数学式子表示正确的是（   ） A． B． C． D．4 13．（24-25七年级下·新疆阿克苏·期末）若一个正数的两个不同的平方根分别是与，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 14．（24-25七年级下·云南丽江·期末）已知正数x的两个不同的平方根是和，则 ． 15．（23-24七年级上·上海·期末）是一个正整数，则最大的负整数 ． 16．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图是两个重叠的正方形平移后形成的图案，其中阴影部分为正方形，阴影部分与空白部分面积相等．若，则阴影部分正方形的边长为 ． 17．（24-25七年级下·云南昆明·期中）已知，都为实数，若，则 ． 18．（25-26七年级上·上海·阶段练习）中国古代数学家很早就会利用数形结合思想来解决生活中的一些问题． 杨辉是我国南宋时期的数学家，一次他画了一张“弦图”，解决了如下问题：一块长方形田地的面积是864平方步，已知它的宽比长少12步，问长与宽是多少？（注：“步”是长度单位，“平方步”是面积单位.1步尺） 解：设宽为步，则长为步，得方程 ． 如图，杨辉将题目中所说长方形的田地安排成“弦图”中四个相同的长方形，并组成了一个大正方形，由题目条件可知小正方形面积是 平方步，大正方形面积是 平方步，于是矩形的长与宽的和是 步，得到宽（即的一个正数解）为 步．（在对应序号处填空，写在答题纸上） 请你仿造杨辉的“画图”方法，解方程（求出一个正数解即可）．（注意：画出示意图，所画图上要有必要数据标记） 19．（25-26七年级上·上海·阶段练习）某街区在进行改造时，将原来的正方形场地改建成面积不变的长方形场地，且其长、宽比为． (1)原正方形场地的周长为_____． (2)如果把原来正方形场地的金属板围墙全部循环利用(不改变高度、厚度、不计加工损耗)那么这些金属板是否够用？试利用所学知识说明理由． 20．（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）综合试一试． (1)数轴上有三个点，，表示的数分别为，4，，已知，，中，其中有一点恰好在另外两点的正中间，则可能的值为___________． (2)的算术平方根是___________． (3)若，是正整数，且满足，则的值为___________． (4)某快餐店的价目表如下： 菜品 价格 汉堡（个） 21元 薯条（份） 9元 汽水（杯） 12元 1个汉堡＋1份薯条（套餐） 28元 1个汉堡＋1杯汽水（套餐） 30元 1个汉堡＋1份薯条＋1杯汽水（套餐） 38元 小明和同学们一共需要10个汉堡，5份薯条，6杯汽水，那么最低需要___________元． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $