专题3.2 实数和实数的运算（高效培优讲义）数学浙教版2024七年级上册

专题3.2 实数和实数的运算 教学目标 1.理解实数的定义与分类 2.掌握实数的核心性质 3.建立实数与数轴的联系 4.掌握实数的运算规则 教学重难点 教学重点 1.实数的概念与分类 2.实数与数轴的一一对应关系 3.实数的性质（相反数、绝对值）与运算 教学难点 1.无理数 “无限不循环” 本质的理解 2.实数与数轴一一对应的证明（尤其是无理数在数轴上的表示） 3.实数运算中无理数的化简与符号处理 4.实数性质的灵活应用（如非负性） 知识点01 无理数的概念 定义：有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 注意： （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 【即学即练】 1．在实数，0，，，，，（相邻两个6之间1的个数逐次加1）中，无理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 知识点02 实数的概念 有理数和无理数统称为实数. 实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 【即学即练】 1．下列说法正确的是（    ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 2．将下列各数填入相应的大括号内： ，0，8，， (每相邻两个2之间依次多一个1)，，． 正数集：{ …}； 有理数集：{ …}； 负数集：{ …}； 无理数集：{ …}． 知识点03 实数的性质 实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 【即学即练】 1．计算： ． 2．的相反数是 ． 题型01 无理数 【典例1】在3.14159，4，1.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1），，，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】在数2，0， ，中，无理数是（    ） A．2 B．0 C． D． 【变式2】下列说法错误的是（    ） A．无限小数是无理数 B．无限不循环小数是无理数 C．是无理数 D．圆周率是无理数 题型02 无理数的大小估算 【典例2】估算的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【变式1】数轴上表示的点的位置应在（　　） A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间 【变式2】估算在哪两个整数之间？（   ） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 【变式3】若，且x是整数，则满足条件的x值有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 题型03 无理数整数部分的有关计算 【典例3】阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是_____________，小数部分是_____________； (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的平方根； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【变式1】若的整数部分为x，x的值是（    ） A．3 B．4 C．2 D．5 【变式2】已知的整数部分为a，小数部分为b，则 ， ． 【变式3】【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)若，其中是整数，且，求的相反数； (3)已知的小数部分是，的小数部分是，求的值． 题型04实数的分类 【典例4】把下列各数填到相应的集合中． 1，，0.5，，0，，，，，0.3，，，． 正数集合：{ …}； 负数集合：{ …}； 整数集合：{ …}； 分数集合：{ …}． 【变式1】把下列各数填入相应的集合内． ，，，，，，，，，… 整数集合{ …}； 分数集合{ …}； 无理数集合{ …}． 【变式2】把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，2013，，（每两个5之间多一个0），， (1)正数集合：         ． (2)非正整数集合：          ． (3)无理数集合：         ． (4)分数集合：          ． 题型05实数的性质 【典例5】的相反数是 ． 【变式1】的绝对值是（   ） A． B．2 C． D． 【变式2】实数的倒数是（    ） A．4 B． C． D．2 题型06 实数与数轴 【典例6】如图所示的数轴上，点A表示的数为，点B到点A的距离为1个单位长度，则点B所表示的数为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1】下列选项中，可以用点表示的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点A与表示的点重合，圆沿着数轴滚动一周，此时点A表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式3】数轴上表示，的点分别为，，点是的中点，则点所表示的数是(　　) A． B． C． D． 题型07 实数的大小比较 【典例7】比较大小： ． 【变式1】比较大小 （填“”，“”或“”） 【变式2】比较大小： 2． 题型08实数的混合运算 【典例8】计算：； 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】计算：． 【变式3】计算：． 1．的绝对值是（   ） A． B． C．2 D． 2．如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数对应的可能是点 ． 3．比较大小： 5（填“>”，“=”，“<”）． 4．求下列各式的值： (1)； (2)． 5．已知是的算术平方根，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的立方根． 6．计算： (1) (2) 7．阅读下面的文字，解答问题． 例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为，请解答： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)已知：小数部分是，小数部分是，求的相反数． 8．座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 9．如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 10.团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 实数和实数的运算 教学目标 1.理解实数的定义与分类 2.掌握实数的核心性质 3.建立实数与数轴的联系 4.掌握实数的运算规则 教学重难点 教学重点 1.实数的概念与分类 2.实数与数轴的一一对应关系 3.实数的性质（相反数、绝对值）与运算 教学难点 1.无理数 “无限不循环” 本质的理解 2.实数与数轴一一对应的证明（尤其是无理数在数轴上的表示） 3.实数运算中无理数的化简与符号处理 4.实数性质的灵活应用（如非负性） 知识点01 无理数的概念 定义：有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 注意： （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 【即学即练】 1．在实数，0，，，，，（相邻两个6之间1的个数逐次加1）中，无理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，无限不循环小数叫做无理数，解题关键要逐一细心分析． 【详解】是无限不循环小数，所以也是无限不循环小数，是无理数； 0是整数，属于有理数； 开方开不尽，是无限不循环小数，是无理数； 是有限小数，属于有理数； ，属于有理数； 是分数，属于有理数； （相邻两个6之间1的个数逐次加1）是无限不循环小数，是无理数． 综上，无理数共有3个． 故选：B． 知识点02 实数的概念 有理数和无理数统称为实数. 实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 【即学即练】 1．下列说法正确的是（    ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】本题考查实数、有理数的定义，解题的关键是掌握：有理数和无理数统称为实数，整数和分数统称为有理数．据此解答即可． 【详解】解：A．有理数和无理数统称为实数，实数包括正实数、负实数和0，原说法遗漏了0，故原说法不正确，故此选项不符合题意； B．有理数由正有理数、负有理数和0组成，而选项中的“正数”包含了无理数（如），故原说法不正确，故此选项不符合题意； C．有理数和无理数统称为实数，原说法不正确，故此选项不符合题意； D．无理数和有理数统称实数，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 2．将下列各数填入相应的大括号内： ，0，8，， (每相邻两个2之间依次多一个1)，，． 正数集：{ …}； 有理数集：{ …}； 负数集：{ …}； 无理数集：{ …}． 【答案】8，；，0，8，，；， (每相邻两个2之间依次多一个1)，；， (每相邻两个2之间依次多一个1) 【分析】本题主要考查了实数的分类，无理数和有理数的识别，解题的关键是熟练掌握相关定义． 利用实数的分类，无理数和有理数的定义进行求解即可． 【详解】解：正数集：{8，，…}； 有理数集：{，0，8，，，…}； 负数集：{， (每相邻两个2之间依次多一个1)，，…}； 无理数集：{， (每相邻两个2之间依次多一个1)，…}. 知识点03 实数的性质 实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 【即学即练】 1．计算： ． 【答案】/ 【分析】该题考查了实数的性质，先比较大小，再把绝对值的符号去掉即可得． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 故答案为：． 2．的相反数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数的性质，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：的相反数是； 故答案为：． 题型01 无理数 【典例1】在3.14159，4，1.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1），，，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．由此即可判定选择项． 【详解】解：3.14159是有限小数，属于有理数； 4是整数，属于有理数； 是无限循环小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 无理数有1.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1），π共2个． 故选：B． 【变式1】在数2，0， ，中，无理数是（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数叫无理数，常见形式有：开方开不尽的数，如等；无限不循环小数，如等；字母表示的无理数，如等． 【详解】解：数2，0， ，中，无理数为． 故选：D． 【变式2】下列说法错误的是（    ） A．无限小数是无理数 B．无限不循环小数是无理数 C．是无理数 D．圆周率是无理数 【答案】A 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数． 【详解】解：A、无限不循环小数是无理数，故原说法错误，符合题意； B、无限不循环小数是无理数，故原说法正确，不符合题意； C、是无理数，故原说法正确，不符合题意； D、圆周率是无理数，故原说法正确，不符合题意； 故选：A． 题型02 无理数的大小估算 【典例2】估算的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，先估算的范围，再估算的范围即可得解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】数轴上表示的点的位置应在（　　） A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系，无理数的估算，熟练掌握“夹逼法”估值是解题的关键．先估算无理数的大小，然后利用不等式的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， 即， 故数轴上表示的点的位置应在与之间． 故选：A ． 【变式2】估算在哪两个整数之间？（   ） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的估算，先根据无理数的估算得到的范围，进而得到答案即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选∶D． 【变式3】若，且x是整数，则满足条件的x值有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】此题考查实数的大小比较． 先估算出、的大小，再找出的大小，然后找出符合条件的数即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴符合条件的x的值为：，共4个． 故选：B． 题型03 无理数整数部分的有关计算 【典例3】阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是_____________，小数部分是_____________； (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的平方根； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)4， (2) (3) 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值、无理数的大小比较、相反数的概念，正确进行无理数的估算是解题的关键． （1）根据材料提示，即，由此即可求解； （2）根据材料提示可得，，代入计算即可求解； （3）根据，再根据，其中是整数，且可得的值，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为，小数部分为； （2）解：∵， ∴， ∵的小数部分为， ∴， ∵， ∴， ∵的整数部分为， ∴， ∴， ∴的平方根为； （3）解：∵的整数部分为， ∴， ∵是整数，，且， ∴， ∴， ∴的相反数为． 【变式1】若的整数部分为x，x的值是（    ） A．3 B．4 C．2 D．5 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，利用夹逼法求出无理数的范围，进而求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为3，即：； 故选A． 【变式2】已知的整数部分为a，小数部分为b，则 ， ． 【答案】 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键． 先求出的取值范围，再求出，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴的整数部分为，小数部分为， 故答案为：，. 【变式3】【阅读理解】大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 【解决问题】 (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)若，其中是整数，且，求的相反数； (3)已知的小数部分是，的小数部分是，求的值． 【答案】(1)4， (2) (3)1 【分析】本题主要考查了无理数的估算． （1）先估算的大小，然后求出其整数部分和小数部分即可； （2）先估算的大小，再根据不等式的性质估算的大小，求出整数部分x和小数部分y，从而求出的值，再求出它的相反数即可； （3）先估算和的大小，再根据不等式的性质估算和的大小，分别求出小数部分和，从而求出的值． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是4，小数部分， 故答案为：4，； （2）解：∵，即， ∴，， ∴的整数部分是10，小数部分是：， ∵，其中是整数，且， ∴，， ∴， ∴的相反数为：； （3）解：∵，即， ∴，，即， ∴，即， ∵的小数部分是，的小数部分是， ∴，， ∴． 题型04实数的分类 【典例4】把下列各数填到相应的集合中． 1，，0.5，，0，，，，，0.3，，，． 正数集合：{ …}； 负数集合：{ …}； 整数集合：{ …}； 分数集合：{ …}． 【答案】1，，0.5，，，0.3，，； ，，，； 1，，0，，； ，0.5，，，0.3， 【分析】此题考查了实数的分类，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 利用正数，负数，整数以及分数定义判断即可． 【详解】解：正数集合：{1，，0.5，，，0.3，，}； 负数集合：{，，，}； 整数集合：{1，，0，，}； 分数集合：{，0.5，，，0.3，}． 故答案为：1，，0.5，，，0.3，，； ，，，； 1，，0，，； ，0.5，，，0.3，． 【变式1】把下列各数填入相应的集合内． ，，，，，，，，，… 整数集合{ …}； 分数集合{ …}； 无理数集合{ …}． 【答案】见解析 【分析】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键．本题根据整数，分数，无理数的意义，逐一判断即可解答． 【详解】解：整数集合{ ，0，，5，…}； 分数集合{ ，，，，…}； 无理数集合{，…，…}； 【变式2】把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，2013，，（每两个5之间多一个0），， (1)正数集合：         ． (2)非正整数集合：          ． (3)无理数集合：         ． (4)分数集合：          ． 【答案】(1)，2013 （每两个5之间多一个0），， (2)，0， (3)（每两个5之间多一个0）， (4)，， 【分析】本题考查了实数的分类，正数，负数，无理数的定义等知识，根据各个定义进行准确分类为解题关键． （1）根据正数的定义进行解答即可； （2）根据非正整数的定义解答即可； （3）根据无理数的定义解答即可； （4）根据分数的定义解答即可． 【详解】（1）解：正数集合：，2013，（每两个5之间多一个0），，； （2）非正整数集合：，0，， （3）无理数集合：（每两个5之间多一个0），， （4）分数集合：，，． 题型05实数的性质 【典例5】的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题考查实数，相反数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据相反数的定义，即可解答． 【详解】解：的相反数是． 故答案为：． 【变式1】的绝对值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的意义，实数的性质．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：的绝对值是， 故选：A． 【变式2】实数的倒数是（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【分析】此题考查了一个数的倒数的求法，实数的性质，解题的关键是要明确：互为倒数的两个数的乘积是1． 根据倒数的定义求解即可． 【详解】解：实数的倒数是． 故选：B． 题型06 实数与数轴 【典例6】如图所示的数轴上，点A表示的数为，点B到点A的距离为1个单位长度，则点B所表示的数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，写出点B表示的数.根据到点A的距离为1的数分别位于A点的左侧或右侧，即可得到点B表示的数． 【详解】解：∵数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为1个单位长度， ∴点B表示的数为或． 故选：C． 【变式1】下列选项中，可以用点表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，先估算出，再结合数轴即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴点表示在和之间，如图： ， 故选：A． 【变式2】如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点A与表示的点重合，圆沿着数轴滚动一周，此时点A表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查数轴上的点，圆的周长，掌握相关知识是解题关键．分两种情况讨论：当圆沿着数轴往右或往左滚动一周，所经过的路径长为圆的周长，据此解答． 【详解】解：圆滚动一周所经过的路径长为： 当圆沿着数轴往右滚动一周，此时点A表示的数是：； 当圆沿着数轴往左滚动一周，此时点A表示的数是：， 综上所述，点A表示的数是或， 故选：C． 【变式3】数轴上表示，的点分别为，，点是的中点，则点所表示的数是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，用到的知识点为：求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数．知道两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．首先根据数轴上1，的对应点分别是点A和点B，可以求出线段AB的长度，然后根据中点的性质即可解答． 【详解】解：∵数轴上1，的对应点分别是点A和点B， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴点C表示的数为：． 故选：C． 题型07 实数的大小比较 【典例7】比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小估算，无理数的大小比较，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先估算出，，即可得出答案． 【详解】解：, ， ，即， ， 故答案为：． 【变式1】比较大小 （填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小比较． 估算出的大小，进而得到，即可作答． 【详解】∵， ∴，， ∴ ∴． 故答案为：． 【变式2】比较大小： 2． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，利用平方法将两个数都转化为有理数是解决此题的关键．因为两个数均大于0，将二者平方后比较大小，平方大的数就大． 【详解】解：∵ ∴， 故答案为：． 题型08实数的混合运算 【典例8】计算：； 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算．直接根据算术平方根、立方根以及绝对值的意义将原式进行化简，然后根据实数的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据实数的运算法则计算即可得解； （2）先化简各式，再进行计算即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式2】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了求算术平方根、化简绝对值、求立方根，先计算算术平方根、化简绝对值、立方根，再计算加减即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：． 【变式3】计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了实数的运算，根据立方根的意义，绝对值的意义，算术平方根，有理数的乘方进行运算即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 1．的绝对值是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查实数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的绝对值是， 故选：B． 2．如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数对应的可能是点 ． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． 先根据无理数的估算方法确定的取值范围，再观察数轴即可求解． 【详解】解：， 观察数轴可得，实数对应的可能是点， 故答案为：． 3．比较大小： 5（填“>”，“=”，“<”）． 【答案】< 【分析】本题考查了实数的大小比较，解题关键是掌握实数的大小比较方法． 先得出，再化简得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：<． 4．求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根的求解，注意计算的准确性即可． （1）根据 即可求解； （2）根据即可求解； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式. 5．已知是的算术平方根，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查立方根，平方根以及算术平方根的定义； （1）根据算术平方根的定义求出，再根据立方根的定义求出，即可解答； （2）将，代入求出的值，再根据立方根的定义解答． 【详解】（1）解：是的算术平方根， ， 解得：， 的立方根是， ∴，即 解得：； （2），， ， 的立方根是． 6．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算： （1）先化简绝对值、开方、乘方，再算加减即可； （2）先化简绝对值、开方，再算加减即可； 【详解】（1） （2） 7．阅读下面的文字，解答问题． 例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为，请解答： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)已知：小数部分是，小数部分是，求的相反数． 【答案】(1)3， (2) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的意义是正确解答的前提，确定m、n的值是正确解答的关键． （1）估算无理数的大小即可； （2）估算的大小确定m、n的值，代入方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∴的整数部分是3，小数部分是； （2）解：， ， ， 小数部分是， ， 小数部分是， ， ∴的相反数是． 8．座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 【答案】(1) (2)该座钟大约发出了420次滴答声 【分析】（1）将数据代入函数关系式，进行计算即可； （2）用总时间除以一个周期的时间进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； （2）（次）． 答：该座钟大约发出了420次滴答声． 【点睛】本题考查求实数运算的实际应用．属于基础题型，正确的计算，是解题的关键． 9．如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 【答案】(1)正方形A和正方形B的边长各是，3 (2)2.20 【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方求解即可； （2）根据阴影部分面积=最大的大长方形面积-正方形A的面积-正方形B的面积进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形A和正方形B的面积分别为3和9， ∴正方形A和正方形B的边长各是； （2）解：由题意得：． 【点睛】本题主要考查算术平方根的应用，实数的混合计算的应用，正确求出正方形A和正方形B的边长是解题的关键． 10．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】(1)， (2)圆的周长较小 【分析】本题考查扇形面积的计算，实数的运算，掌握圆周长，面积的计算方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据圆面积、正方形面积公式进行计算即可； （2）求出两种形状的扇子的周长即可． 【详解】（1）解：设圆形扇的半径为，正方形的边长为， 由题意得，，， ，， 故答案为：，； （2）解：圆形扇的周长为：， 正方形扇的周长为：，， ∴圆的周长较小． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $