专题01 空间向量与立体几何（期中真题汇编，广西专用）高二数学上学期人教A版

专题01 空间向量与立体几何 高频考点概览 考点01 空间向量的线性运算 考点02 空间向量运算的坐标表示 考点03空间向量的应用 考点04 解答题 地 城 考点01 空间向量的线性运算 一、单选题 1．(24-25高二上·广西来宾忻城县高级中学·期中)在平行六面体中，，记向量，，，则向量（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·广西平果铝城中学·期中)三棱锥中，M是平面BCD内的点，则以下结论可能成立的是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·广西玉林·)如图，空间四边形中，，，，在线段上，且，点为中点，则（    ）   A． B． C． D． 4．(24-25高二上·广西示范性高中·期中)如图，在四面体ABCD中，为DC的中点，为BE的中点，设，则（   ）   A． B． C． D． 5．(24-25高二上·广西部分名校·)如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，为上底面圆内一点，则的最小值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 二、多选题 6．(24-25高二上·广西南宁第三十六中学·期中)在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（    ） A．当时，的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，有且仅有一个点，使得 D．当时，有且仅有一个点，使得平面 7．(24-25高二上·广西平果铝城中学·期中)如图所示四面体中，，，，且，，为的中点，点是线段上动点，则下列说法正确的是（    ） A．； B．当是靠近的三等分点时，，，共面； C．当时，； D．的最小值为． 三、填空题 8．(24-25高二上·广西部分名校·)在四面体中，空间的一点满足．若，，，四点共面，则 ． 9．(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)如图，已知、分别是四面体的棱、的中点，点在线段上，且，设向量，，，则 （用表示）   11．(24-25高二上·广西名校联盟·期中)已知M，E，F均为圆柱表面上的动点，直线EF经过圆柱的中心O，，圆柱的底面圆的半径为5，则的最大值为 . 地 城 考点02 空间向量运算的坐标表示 一、单选题 1．(23-24高二上·广西桂林·期末)在空间直角坐标系中，点到坐标原点的距离为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·广西示范性高中·期中)已知分别是平面的法向量，若，则（   ） A．1 B．7 C． D．2 3．(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)设向量，，若，则（ ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·广西部分名校·)已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)已知点，，向量，求向量与夹角的余弦值（  ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·广西玉林六校·期中)已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则与的关系是（    ） A． B． C．与相交 D．或 7．(24-25高二上·广西玉林六校·期中)如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．(24-25高二上·广西名校联盟·期中)已知空间向量，，，则（   ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 三、填空题 9．(24-25高二上·广西玉林六校·期中)已知，则 . 地 城 考点03 空间向量的应用 一、单选题 1．(24-25高二上·广西示范性高中·期中)已知分别是平面的法向量，若，则（   ） A．1 B．7 C． D．2 2．(24-25高二上·广西玉林六校·期中)已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则与的关系是（    ） A． B． C．与相交 D．或 3．(24-25高二上·广西南宁第九中学·月考)已知点，则点A到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·广西玉林六校·期中)如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)如图，在直三棱柱中，分别为的中点，则直线到平面的距离为（    ）   A． B． C． D． 6．(24-25高二上·广西平果铝城中学·期中)如图，是棱长为1的正方体，若在正方体内部且满足，则到直线的距离为（    ）   A． B． C． D． 7．(24-25高二上·广西南宁琼林高级中学·期中)如图，在棱锥中，，，两两垂直，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 8．(24-25高二上·广西玉林第一中学、容县高级中学·)若两异面直线与的方向向量分别是，，则直线与的夹角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 二、多选题 9．(22-23高二上·广西柳州六校·期中)以下命题正确的是（    ） A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量，则 B．直线l的方向向量，平面的法向量，则 C．两个不同平面，的法向量分别为，，则 D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 10．(24-25高二上·广西南宁琼林高级中学·期中)下列命题中，正确的是（    ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，，则 B．直线l的方向向量，平面的法向是，则 C．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 D．直线l的方向向量，平面的法向量，则直线l与平面所成角的大小为 11．(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)直线的方向向量为，平面的法向量，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则直线平面 B．若，则直线平面 C．若，则直线与平面所成角的大小为 D．若，则直线与平面所成角的大小为 12．(24-25高二上·广西南宁第三中学·月考)已知正方体棱长为4，点N是底面正方形ABCD内及边界上的动点，点M是棱上的动点（包括点），已知，P为MN中点，则下列结论正确的是（    ） A．无论M，N在何位置，为异面直线 B．若M是棱中点，则点P的轨迹长度为 C．M，N存在唯一的位置，使平面 D．AP与平面所成角的正弦最大值为 13．(24-25高二上·广西南宁第三中学·)正方体中，E、F、G、H分别为、BC、CD、的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B．平面平面 C．面AEF D．二面角的大小为 14．(24-25高二上·广西南宁银海三雅学校·期中)如图，在棱长为2的正方体中，E、F分别为、的中点，G是线段上的一个动点，则下列说法正确的是（   ） A．直线AG与平面AEF所成角的余弦值的取值范围为 B．点G到平面AEF的距离为 C．四面体AEFG的体积为 D．若线段的中点为H，则GH一定平行于平面AEF 15．(24-25高二上·广西玉林第一中学、容县高级中学·)如图，在长方体中，，点为线段上动点（包括端点），则下列结论正确的是（    ）   A．当点为中点时，平面 B．当点为中点时，直线与直线所成角的余弦值为 C．当点在线段上运动时，三棱锥的体积是定值 D．点到直线距离的最小值为 16．(24-25高二上·广西部分名校·)已知正方体的棱长为1，点满足（，），下列说法正确的是（   ） A．若，则与垂直 B．三棱锥的体积恒为 C．若，，平面与平面夹角的余弦值为 D．若，，则点到平面的距离为 17．(24-25高二上·广西合浦县·期中)在空间直角坐标系中，已知，则（    ） A．为质数 B．为直角三角形 C．与所成角的正弦值为 D．几何体的体积为 三、填空题 18．(24-25高二上·广西来宾忻城县高级中学·期中)已知，分别是平面的法向量，若，则 ． 19．(24-25高二上·广西百色平果铝城中学·期末)已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为 . 20．(24-25高二上·广西南宁普通高中·期中)0．人教版选择性必修一习题拓广探索第题中提到“在空间直角坐标系中，已知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为”.现已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，且直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为 . 21．(24-25高二上·广西南宁琼林高级中学·期中)在棱长为的正方体中，平面与平面间的距离是 . 22．(24-25高二上·广西南宁银海三雅学校·期中)2．如图，平行六面体的所有棱长均两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，直线与所成角的余弦值为 ． 23．(24-25高二上·广西玉林六校·期中)3．已知四棱锥平面，底面为矩形，为的中点，为上一点，若与平面所成角的正弦值为，则 ． 地 城 考点04 解答题 1．(24-25高二上·广西来宾忻城县高级中学·期中)已知空间三点，，，设，． (1)求，； (2)求与的夹角． 2．(24-25高二上·广西南宁普通高中·期中)已知向量，. (1)求，，； (2)求向量与夹角的余弦值. 3．(24-25高二上·广西玉林·)如图，在四棱锥中，平面，，，，且直线与所成角的大小为. (1)求的长； (2)求点到平面的距离. 4．(24-25高二上·广西南宁普通高中·期中)如图所示，平行六面体中，． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 5．(24-25高二上·广西部分名校·)如图，在四棱柱中，，，，，是线段上的点，且． (1)求的长； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 6．(24-25高二上·广西玉林六校·期中)已知四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面是PB的中点. (1)求直线BD与直线PC所成角的大小； (2)求点B到平面ADE的距离． 7．(24-25高二上·广西柳州高级中学柳南校区·期中)如图，和所在平面垂直，且，求： (1) (2)求二面角的夹角的正弦值. 8．(24-25高二上·广西合浦县·期中)如图，平面，平面，四边形为正方形，E，F位于平面的两侧． (1)若，试用，，表示； (2)若，，，求直线与平面所成角的正弦值． 9．(24-25高二上·广西南宁银海三雅学校·期中)如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱上的动点，且． (1)求证：； (2)若点分别为中点，求直线与平面所成角的正弦值． (3)当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面夹角的余弦值. 10．(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)如图，已知在四棱锥中，平面平面，在四边形ABCD中，， ，在中，，点是棱上靠近S端的三等分点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 11．(24-25高二上·广西南宁武鸣区武鸣高级中学·期中)如图，已知四边形为等腰梯形，且，，，．为中点，将沿进行翻折，使点与点重合．取中点，连接、． (1)证明：平面； (2)当时，求与平面所成角的正弦值． 12．(24-25高二上·广西南宁第三中学·月考)如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，平面分别是的中点.   (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 13．(24-25高二上·广西南宁琼林高级中学·期中)如图，三棱锥中，平面，，，是的中点，是的中点，点在上，. （1）证明：平面； （2）若，求二面角的余弦值. 14．(24-25高二上·广西来宾忻城县高级中学·期中)如图，四棱锥中，平面，底面四边形为矩形，，，，为中点，为靠近的四等分点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值. 15．(24-25高二上·广西平果铝城中学·期中)如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCD是矩形，△BCF是边长为2的等边三角形，平面平面ABCD，，二面角的大小是. (1)求证：直线平面ABCD； (2)求直线AE与平面CDEF所成角的正弦值. 16．(24-25高二上·广西南宁第二中学·)如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，为中点，点在上，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得平面，说明理由？ 试卷第1页，共3页 9 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量与立体几何 高频考点概览 考点01 空间向量的线性运算 考点02 空间向量运算的坐标表示 考点03空间向量的应用 考点04 解答题 地 城 考点01 空间向量的线性运算 一、单选题 1．(24-25高二上·广西来宾忻城县高级中学·期中)在平行六面体中，，记向量，，，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为平行六面体钟，，所以是的中点，故.故选：C 2．(24-25高二上·广西平果铝城中学·期中)三棱锥中，M是平面BCD内的点，则以下结论可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，因为点M在平面BCD内，可设，则有，即用向量，，表示，三个基向量的系数之和为1，显然A符合题意．故选：A． 3．(24-25高二上·广西玉林·)如图，空间四边形中，，，，在线段上，且，点为中点，则（    ）   A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为的中点，则，因为，则，因此，.故选：B. 4．(24-25高二上·广西示范性高中·期中)如图，在四面体ABCD中，为DC的中点，为BE的中点，设，则（   ）   A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由是的中点，则，由为的中点，则， 在中，，在中，， .故选：B. 5．(24-25高二上·广西部分名校·)如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，为上底面圆内一点，则的最小值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【详解】，当且仅当与重合时，等号成立，故的最小值为12.故选：D 二、多选题 6．(24-25高二上·广西南宁第三十六中学·期中)在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（    ） A．当时，的周长为定值 B．当时，三棱锥的体积为定值 C．当时，有且仅有一个点，使得 D．当时，有且仅有一个点，使得平面 【答案】BD 【详解】易知，点在矩形内部（含边界）．对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误；对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误；对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确． 故选：BD． 7．(24-25高二上·广西平果铝城中学·期中)如图所示四面体中，，，，且，，为的中点，点是线段上动点，则下列说法正确的是（    ） A．； B．当是靠近的三等分点时，，，共面； C．当时，； D．的最小值为． 【答案】BCD 【详解】以为基底，则，，,. 对A：因为.所以，故A错误；对B：当是靠近的三等分点，即时，，又，所以.故，，共面.故B正确；对C：因为，所以：，所以，故，故C正确； 对D：设，.因为：.所以，.当时，有最小值，为：，故D正确.故选：BCD 三、填空题 8．(24-25高二上·广西部分名校·)在四面体中，空间的一点满足．若，，，四点共面，则 ． 【答案】3 【详解】由题意知，，根据四点共面的充要条件可得，解得． 故答案为： 9．(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)如图，已知、分别是四面体的棱、的中点，点在线段上，且，设向量，，，则 （用表示）   【答案】． 【详解】因为、分别是棱、的中点，且，所以 .故答案为：. 11．(24-25高二上·广西名校联盟·期中)已知M，E，F均为圆柱表面上的动点，直线EF经过圆柱的中心O，，圆柱的底面圆的半径为5，则的最大值为 . 【答案】144 【详解】因为，又因为O为圆柱的中心，且M，E，F均为圆柱表面上的动点，则，当且仅当为底面圆周上时，等号成立，且，当且仅当为过O且与底面平行的圆周上时，等号成立，可得，所以的最大值144.故答案为：144. 地 城 考点02 空间向量运算的坐标表示 一、单选题 1．(23-24高二上·广西桂林·期末)在空间直角坐标系中，点到坐标原点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在空间直角坐标系中，点到坐标原点的距离为. 故选：C. 2．(24-25高二上·广西示范性高中·期中)已知分别是平面的法向量，若，则（   ） A．1 B．7 C． D．2 【答案】D 【详解】由于，所以，故，解得，故选：D 3．(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)设向量，，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，可得，解得故选：C. 4．(24-25高二上·广西部分名校·)已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知可得，，所以向量在向量上的投影向量是，故选：D 5．(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)已知点，，向量，求向量与夹角的余弦值（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知点，所以.故选：B. 6．(24-25高二上·广西玉林六校·期中)已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则与的关系是（    ） A． B． C．与相交 D．或 【答案】A 【详解】由向量，得，所以，所以.故选：A 7．(24-25高二上·广西玉林六校·期中)如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取的中点，则，且，以所在直线为轴，所在直线为轴，与中点连线所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，则，所以在上的投影的长度为，故点到直线的距离为，故选：C. 二、多选题 8．(24-25高二上·广西名校联盟·期中)已知空间向量，，，则（   ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 【答案】AC 【详解】，A正确；，，，B错误；由得，C正确；在方向上的投影向量为，D错误.故选：AC. 三、填空题 9．(24-25高二上·广西玉林六校·期中)已知，则 . 【答案】 【详解】因为，所以.故答案为：. 地 城 考点03 空间向量的应用 一、单选题 1．(24-25高二上·广西示范性高中·期中)已知分别是平面的法向量，若，则（   ） A．1 B．7 C． D．2 【答案】D 【详解】由于，所以，故，解得，故选：D 2．(24-25高二上·广西玉林六校·期中)已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则与的关系是（    ） A． B． C．与相交 D．或 【答案】A 【详解】由向量，得，所以，所以.故选：A 3．(24-25高二上·广西南宁第九中学·月考)已知点，则点A到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，,则与同方向的单位向量为，又,于是，点A到直线的距离是：.故选：B. 4．(24-25高二上·广西玉林六校·期中)如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取的中点，则，且，以所在直线为轴，所在直线为轴，与中点连线所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，则，所以在上的投影的长度为，故点到直线的距离为，故选：C. 5．(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)如图，在直三棱柱中，分别为的中点，则直线到平面的距离为（    ）   A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在直三棱柱中，，如图所示，以为原点建立空间直角坐标系， 因为，E、F分别为的中点，则，，，，，所以，，，  设平面的法向量为，则，即，取，则，，所以是平面的一个法向量，又因为，所以点F到平面的距离为.因为在直三棱柱中，分别为的中点，则且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，则点F到平面的距离即为直线到平面的距离.故选：B. 6．(24-25高二上·广西平果铝城中学·期中)如图，是棱长为1的正方体，若在正方体内部且满足，则到直线的距离为（    ）   A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，所以，所以在上的投影向量的长度为：，所以到直线的距离为.故选：C.   7．(24-25高二上·广西南宁琼林高级中学·期中)如图，在棱锥中，，，两两垂直，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示），则，，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，所以平面的一个法向量为；设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.故选：C. 8．(24-25高二上·广西玉林第一中学、容县高级中学·)若两异面直线与的方向向量分别是，，则直线与的夹角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】B 【详解】由题意，两异面直线与的方向向量分别是，，可得，，，设异面直线与所成的角为，则，又因为，所以，即直线与的夹角为.故选：B. 二、多选题 9．(22-23高二上·广西柳州六校·期中)以下命题正确的是（    ） A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量，则 B．直线l的方向向量，平面的法向量，则 C．两个不同平面，的法向量分别为，，则 D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 【答案】CD 【详解】A:，，，则不垂直，直线与不垂直，故A不正确；B:若，则，∴存在实数，使得,无解，故B错误； C:，∴，与共线，，故C正确；D:点，，，，.向量是平面的法向量，，即，解得，故D正确.故选：CD. 10．(24-25高二上·广西南宁琼林高级中学·期中)下列命题中，正确的是（    ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，，则 B．直线l的方向向量，平面的法向是，则 C．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 D．直线l的方向向量，平面的法向量，则直线l与平面所成角的大小为 【答案】AC 【详解】A选项：因为，且不重合，所以，A正确；B选项：因为，所以所以或，B错误；C选项：因为，所以，C正确；D选项：记直线l与平面所成角为，则，因为，所以，D错误.故选：AC 11．(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)直线的方向向量为，平面的法向量，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则直线平面 B．若，则直线平面 C．若，则直线与平面所成角的大小为 D．若，则直线与平面所成角的大小为 【答案】BD 【详解】对于A，若，则直线平面或直线平面，A错；对于B，若，则直线平面，B对；对于C，若，可知直线与平面所成角的正弦值为，则直线与平面所成角的大小为，C错；对于D，若，则，可知直线与平面所成角的正弦值为，则平则直线与平面所成角的大小为，D对.故选：BD. 12．(24-25高二上·广西南宁第三中学·)已知正方体棱长为4，点N是底面正方形ABCD内及边界上的动点，点M是棱上的动点（包括点），已知，P为MN中点，则下列结论正确的是（    ） A．无论M，N在何位置，为异面直线 B．若M是棱中点，则点P的轨迹长度为 C．M，N存在唯一的位置，使平面 D．AP与平面所成角的正弦最大值为 【答案】ABD 【详解】由于点M到平面的距离为且，所以点P一定在平面外，因此为异面直线，A正确，当M是棱中点，建立如图所示的空间直角坐标系，设,故， 且， 由于，故，化简得，由于，所以点P的轨迹长度为半径为的圆的，故长度为，B正确，设,则，且，，,设平面的法向量为，则，令，则,，故，由于，故，化简得，联立，故解不唯一，比如取，则或取，故C错误， 由于平面，平面，故,又四边形为正方形，所以, 平面，所以平面，故平面的法向量为 ，设AP与平面所成角为，则， 则，当且仅当时取等号，，时，令，则， 故，由于，当且仅当，即时等号成立，此时，由且可得，因此，由于，，故的最大值为，故D正确，故选：ABD 13．(24-25高二上·广西南宁第三中学·)正方体中，E、F、G、H分别为、BC、CD、的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B．平面平面 C．面AEF D．二面角的大小为 【答案】BC 【解析】通过线面垂直的判定和性质，可判断选项，通过线线和线面平行的判断可确定和选项，利用空间向量法求二面角，可判断选项. 【详解】由题可知，在底面上的射影为，而不垂直，则不垂直于，则选项不正确；连接和，E、F、G、H分别为、BC、CD、BB、的中点，可知，所以平面，则平面平面，所以选项正确；由题知，可设正方体的棱长为2，以为原点，为轴，为轴，为轴，则各点坐标如下：，设平面的法向量为， 则，即，令，得，得平面的法向量为， 所以，所以平面，则选项正确；由图可知，平面，所以是平面的法向量，则.得知二面角的大小不是，所以不正确. 故选：BC. 14．(24-25高二上·广西南宁银海三雅学校·期中)如图，在棱长为2的正方体中，E、F分别为、的中点，G是线段上的一个动点，则下列说法正确的是（   ） A．直线AG与平面AEF所成角的余弦值的取值范围为 B．点G到平面AEF的距离为 C．四面体AEFG的体积为 D．若线段的中点为H，则GH一定平行于平面AEF 【答案】BD 【详解】如图，以为坐标原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，设，， 可得，，，设平面AEF的法向量，则，可得，对于选项A：设直线AG与平面AEF所成角为， 可得，所以直线AG与平面AEF所成角的正弦值的取值范围为，故A错误；对于选项B：点G到平面AEF的距离为，故B正确；对于选项C：由题意知，所以四面体AEFG的体积为，故C错误；对于选项D：由题意可知：，则，可得，可知，且平面AEF，所以GH一定平行于平面AEF，故D正确；故选：BD． 15．(24-25高二上·广西玉林第一中学、容县高级中学·)如图，在长方体中，，点为线段上动点（包括端点），则下列结论正确的是（    ）   A．当点为中点时，平面 B．当点为中点时，直线与直线所成角的余弦值为 C．当点在线段上运动时，三棱锥的体积是定值 D．点到直线距离的最小值为 【答案】ACD 【详解】在长方体中，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，  则，设，对于A，，，，，，即，而平面，因此平面，A正确；对于B，，，B错误；对于C，由选项A知，点到平面的距离为，而的面积，因此三棱锥的体积是定值，C正确；对于D，，则点到直线的距离，当且仅当时取等号，D正确.故选：ACD 16．(24-25高二上·广西部分名校·)已知正方体的棱长为1，点满足（，），下列说法正确的是（   ） A．若，则与垂直 B．三棱锥的体积恒为 C．若，，平面与平面夹角的余弦值为 D．若，，则点到平面的距离为 【答案】ACD 【详解】A．若，则点在上且不与重合，建立如下空间直角坐标系： ，， ，，，，故A正确．B．由（，），可知点在平面上，则点到平面的距离恒为1，故三棱锥的体积恒为，故B错误．C．若，，则为的中点，由上图，则，，，．设平面的法向量为，，，，则令，则， 易知是平面的一个法向量，，故C正确．D．设点到平面的距离为，则，即点到平面的距离为，故D正确．综上， 故选：ACD． 17．(24-25高二上·广西合浦县·期中)在空间直角坐标系中，已知，则（    ） A．为质数 B．为直角三角形 C．与所成角的正弦值为 D．几何体的体积为 【答案】BCD 【详解】对于选项A：因为，所以不是质数，A错误；对于选项B：因为，则，所以为直角三角形，B正确；对于选项C：因为，所以与所成角的正弦值为，C正确；对于选项D：根据已知6个点的空间直角坐标可得几何体为三棱台， 且与该三棱台的底面垂直，，所以几何体的体积为，D正确.故选：BCD. 三、填空题 18．(24-25高二上·广西来宾忻城县高级中学·期中)已知，分别是平面的法向量，若，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以，所以，解得．故答案为： 19．(24-25高二上·广西百色平果铝城中学·期末)已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为 . 【答案】45°或135° 【详解】因为两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角与相等或互补，因为，且，故.故两平面所成的二面角为45°或135°.故答案为：45°或135° 20．(24-25高二上·广西南宁普通高中·期中)0．人教版选择性必修一习题拓广探索第题中提到“在空间直角坐标系中，已知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为”.现已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，且直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】 【详解】由题意知：平面的一个法向量，平面的一个法向量，平面的一个法向量，的方向向量为，，令，解得：，，，，即直线与平面所成角的正弦值为.故答案为：. 21．(24-25高二上·广西南宁琼林高级中学·期中)在棱长为的正方体中，平面与平面间的距离是 . 【答案】 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，设平面的法向量为，，，由，取，可得，设平面的法向量为，，，由，取，可得，因为，平面与平面不重合，故平面平面，，所以，平面与平面间的距离为.故答案为：. 22．(24-25高二上·广西南宁银海三雅学校·期中)2．如图，平行六面体的所有棱长均两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【详解】连接，，，故， 又，故 ，故， 则 ， 所以直线与所成角的余弦值为，故答案为：. 23．(24-25高二上·广西玉林六校·期中)3．已知四棱锥平面，底面为矩形，为的中点，为上一点，若与平面所成角的正弦值为，则 ． 【答案】1 【详解】因为平面，底面为矩形，建立如图所示的空间直角坐标系，易得，设，则，设平面BEF的法向量为，则即令，则，所以，解得，即．故答案为：1. 地 城 考点04 解答题 1．(24-25高二上·广西来宾忻城县高级中学·期中)已知空间三点，，，设，． (1)求，； (2)求与的夹角． 【详解】（1）由题意，，， （2）由（1）得：，； 所以， 又，所以，即与的夹角为. 2．(24-25高二上·广西南宁普通高中·期中)已知向量，. (1)求，，； (2)求向量与夹角的余弦值. 【详解】（1），， ，，. （2），， ， 即向量与夹角的余弦值为. 3．(24-25高二上·广西玉林·)如图，在四棱锥中，平面，，，，且直线与所成角的大小为. (1)求的长； (2)求点到平面的距离. 【详解】（1）因为平面，且， 所以建立如图分别以为轴的空间直角坐标系， 则，令，则，所以， 所以， 因为直线与所成角的大小为，所以，即， 解得（舍）或者，所以的长为2； （2）由（1）知， 令平面的法向量为，因为， 所以，令，则，所以， 又，所以，所以点到平面的距离为. 4．(24-25高二上·广西南宁普通高中·期中)如图所示，平行六面体中，． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 【详解】（1），则 ，所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以， ， 则. 5．(24-25高二上·广西部分名校·)如图，在四棱柱中，，，，，是线段上的点，且． (1)求的长； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【详解】（1）因为，即， 所以， ． （2），， ， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 6．(24-25高二上·广西玉林六校·期中)已知四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面是PB的中点. (1)求直线BD与直线PC所成角的大小； (2)求点B到平面ADE的距离． 【详解】（1）以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图空间直角坐标系. 由题意，，，，，， 设直线BD与直线PC所成的角为，因为，，，所以直线BD与直线PC所成角为； （2）因为，，， 所以，， 则为平面的一个法向量， 设点到平面的距离为，则为向量在向量上的投影的绝对值， 由，得，所以点到平面的距离为. 7．(24-25高二上·广西柳州高级中学柳南校区·期中)如图，和所在平面垂直，且，求： (1) (2)求二面角的夹角的正弦值. 【详解】（1），∴≌，， 取中点，连接，为等腰三角形，， 又，平面，平面，又平面，； （2）法一：射影面积法，过点作⊥，交的延长线于点，连接， 因为和所在平面垂直，且交线为，平面，所以⊥平面， 由（1）知，≌，， 故≌，故， 故⊥，同理可得平面，两两垂直， 不妨设，∵， ，， 设平面与平面所成角为，由勾股定理得， ，在中， ，， 故二面角的夹角正弦值为； 法二：过点作⊥，交的延长线于点，连接， 因为和所在平面垂直，且交线为，平面，所以⊥平面， 由（1）知，≌，， 故≌，故， 故⊥，同理可得平面，两两垂直， 以为原点，方向分别为轴，如图建系， 不妨设，∵， ，， 平面的法向量，又，， 设平面的法向量为，， 令，则，故， 设平面与平面所成角为， ， 故， 故二面角的夹角正弦值为. 8．(24-25高二上·广西合浦县·期中)如图，平面，平面，四边形为正方形，E，F位于平面的两侧． (1)若，试用，，表示； (2)若，，，求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）连接，由题意得， 又，所以； （2）以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为，则令，得， 设直线与平面所成的角为，则， 故直线与平面所成交的正弦值为. 9．(24-25高二上·广西南宁银海三雅学校·期中)如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱上的动点，且． (1)求证：； (2)若点分别为中点，求直线与平面所成角的正弦值． (3)当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面夹角的余弦值 【详解】（1）以为原点，如图所示建立空间直角坐标系， 由，设，则， 所以，则，即，故. （2）由题意，得， 所以， 设平面的法向量为，有，令，所以， 设与平面所成角为，有. （3）由，， 由二次函数性质，时，取得最大值， 此时为的中点，结合（2）知，平面的法向量， 易知平面的法向量为，设平面与平面的夹角为， . 10．(24-25高二上·广西“贵百河一武鸣高中”·期中)如图，已知在四棱锥中，平面平面，在四边形ABCD中，， ，在中，，点是棱上靠近S端的三等分点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）取中点O，连接，过O点作，交于点M， 由题可知，，，则，，且， 因为，即， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 在四边形中， ，则， 且，则， 以点为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 可得，且点E是棱上靠近S端的三等分点， 则，可知.且， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，可得. 又因为，则， 可得，且平面，所以平面. （2）由（1）易知， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，可得. 设平面与平面夹角的为， 则， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 11．(24-25高二上·广西南宁武鸣区武鸣高级中学·期中)如图，已知四边形为等腰梯形，且，，，．为中点，将沿进行翻折，使点与点重合．取中点，连接、．    (1)证明：平面； (2)当时，求与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）证明：连接，因为四边形为等腰梯形，所以，, 又为中点，，， 所以四边形为平行四边形，则，，即， 因为，所以为等边三角形，即为等边三角形， 又为的中点，所以，则， 又，所以，即， 因为，且平面，所以平面. （2）由（1）知，为等边三角形，，所以， 则，在中，，则， 又，所以，则，因为平面，，所以平面， 以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，所以，， 设平面的一个法向量为，则，取，则， 设与平面所成角为，则， 即与平面所成角的正弦值为． 12．(24-25高二上·广西南宁第三中学·月考)如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，平面分别是的中点.   (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）是等边三角形，是的中点，， 又平面平面， 又平面平面平面. （2）由（1）得平面，连接，建立以为原点， 以所在直线分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系， 如图所示，底面是边长为4的正方形， 则， ，则， 设平面的法向量为，则 取，则平面的法向量为， 又平面的法向量为，平面与平面的夹角的余弦值为 . 13．(24-25高二上·广西南宁琼林高级中学·期中)如图，三棱锥中，平面，，，是的中点，是的中点，点在上，. （1）证明：平面； （2）若，求二面角的余弦值. 因为GE∩GF=G，AC∩AB=A，所以平面GEF//平面ABC，所以EF//平面ABC． （Ⅱ）作BO⊥AC于点O，过点O作OH//PA，以O为坐标原点，OB，OC，OH所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图6所示的空间直角坐标系，则 ∴，则平面CDA的一个法向量为 设平面CDB的一个法向量为则可取， 所以，所以二面角B−CD−A的余弦值为． 14．(24-25高二上·广西来宾忻城县高级中学·期中)如图，四棱锥中，平面，底面四边形为矩形，，，，为中点，为靠近的四等分点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值. 【详解】（1）因为平面，四边形为矩形，因此两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，, , 因为，所以，即 因为，所以，即 又因为，平面，平面，因此平面 （2）因为平面，所以为平面的一个法向量 由（1）知为平面的一个法向量， 显然二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. 15．(24-25高二上·广西平果铝城中学·期中)如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCD是矩形，△BCF是边长为2的等边三角形，平面平面ABCD，，二面角的大小是. (1)求证：直线平面ABCD； (2)求直线AE与平面CDEF所成角的正弦值. 【详解】（1）如图，取AD的中点G，连接EG，则， 因为△BCF是边长为2的等边三角形，底面ABCD是矩形，所以， 因为，所以. 设E在平面ABCD内的射影为O，连接EO，则平面ABCD， 连接OA，OD，OG，则，所以，所以， 所以为二面角的平面角，所以，所以. 过F作，垂足为H， 因为平面平面ABCD，平面平面，平面，所以平面ABCD， 又平面ABCD，所以.易知，连接OH，则四边形EFHO为矩形， 所以，又平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD. （2）以C为坐标原点，分别以向量，的方向为x轴、y轴的正方向建立空间直角坐标系，如图， 设，则，，，，， 所以，，. 设平面的法向量为，则， 所以即得取，得. 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 16．(24-25高二上·广西南宁第二中学·)如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，为中点，点在上，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得平面，说明理由？ 【详解】（1）在中，．所以，即； 又因为，在平面中，面，面，， 所以平面； （2）因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面，所以， 由（1）已证，且已知，故以为原点，建立如图空间直角坐标系， 则，，， 所以，，， 因为为中点，所以， 由知，， 设平面的法向量为，则即，令，则， 于是，又因为由（1）已证平面， 所以平面的法向量为，所以， 平面与平面夹角的余弦值； （3）设是线段上一点，则存在使得， 因为，.所以， 因为平面，所以平面当且仅当，即， 即，解得， 因为，所以线段上不存在使得平面． 试卷第1页，共3页 33 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $