精品解析：河北省唐县第一中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题

高三数学考试 时间：120分钟 分值：150分 一、单选题（每小题5分） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由集合的基本运算即可求解. 【详解】全集，，故． 故选：A． 2. 下列命题正确的是（ ） A. ， B. ， C. “”是“”的充分且不必要条件 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】对A，举反例即可判断；对B，根据判别式即可判断；对C，解出一元二次不等式，再根据充分不必要条件的判定即可判断；对D，举反例即可判断. 【详解】对A，当时，，故A错误； 对B，方程的根的判别式，此方程没有实数解，故B错误： 对C，或， 成立，但不成立，是的充分不必要条件，故C正确； 对D，举例，但，故D错误. 故选：C. 3. 在平行四边形中，，点F是线段DE的中点，若，则＝（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，及进行求解. 【详解】 ，． 故选：C． 4. 已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用“1”的妙用求出最小值，再建立不等式求解. 【详解】实数，则， 当且仅当时等号成立， 由恒成立，得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 5. 已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由累加法及等比数列前和公式可得，即可得到. 【详解】由，知， 所以，即， 故，又适合上式，故． 故选：C. 6. 若函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则满足不等式的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合抽象函数的奇偶性，单调性和，画出简图，求解即可． 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，， 所以在上单调递减，且， 作出简图，如图所示， 当时，由得，即， 当时，由得，即， 当时，不合题意， 所以满足不等式的的取值范围是， 故选：C． 7. 若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用平方关系得到，进而得，再代入，利用和差角的余弦公式，计算即得. 【详解】由两边取平方，可得①， 由，两边取平方，可得②， 由①②得到，整理得到， 又，解得，即， 将其代入，可得，即， 即，所以， 故得. 故选：A. 8. 若，当时，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将原问题等价转化为时，恒成立，从而构造函数，推出该函数在上单调递减，求出其导数，分离参数，结合函数的最值，即可求得答案. 【详解】等价于， 即等价于，即等价于． 令， 则条件等价于，当时，， 即函数在上单调递减，即，则． 又，，所以， 所以实数的取值范围是． 故选：A. 二、多选题（每小题6分） 9. 记为数列的前项和，，则（ ） A. B. C. 数列为等比数列 D. 数列的前项和为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用给定的递推公式求出判断A；求出数列的通项公式，并结合错位相减法，再逐一判断选项BCD. 【详解】对于A，数列中，，则，解得，A正确； 当时，，则，即， 数列是首项为，公比为2的等比数列，， 对于B，，B错误； 对于C，，则，因此数列为等比数列，C正确； 对于D，，，， 两式相减得， 因此，D正确. 故选：ACD 10. 已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，且有两解，则的取值范围是 D. 若，的平分线交于点，，则的最小值为9 【答案】BD 【解析】 【分析】A项，用余弦定理统一成边形式化简判断；B项，由为锐角三角形，与正弦函数的单调性可得；C项，结合图形，根据边角的关系与解的数量判断；D项，根据三角形面积可得到，将变为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】选项A，因为，即， 所以有 整理可得，所以或， 故为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 选项B，若为锐角三角形，所以，所以， 由正弦函数在单调递增，则，故B正确. 选项C，如图，若有两解，则， 所以，则b的取值范围是，故C错误． 选项D，的平分线交于点，， 由，由角平分线性质和三角形面积公式， 得，即，得， 得， 当且仅当，即时，取等号，故D正确. 故选：BD 11. 已知函数，则（ ） A. B. 曲线在点处的切线方程为 C. 若方程有两个相异实根，，且，则实数m的值等于 D. 已知函数无最小值，则a的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】求出导数计算判断A；求出切线方程判断B；结合三次函数性质求出方程有2个根时的，再验证判断C；作出函数图象及直线，数形结合判断D. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 对于A，，A正确； 对于B，，曲线在点处的切线方程为，B错误； 对于C，当或时，；当时，， 函数在上递增，函数值集合为，在上递减，函数值集合为， 在上递增，函数值集合为，方程， 当，即时，直线与曲线有两个交点，即方程有两个根， 当时，，解得，，则， 当时，，解得，，不符合题意， 因此方程有两个相异实根，，且，则实数m的值等于，C错误； 对于D，作出函数的图象与直线， 由图知，当时，函数有最小值；当时，函数有最小值， 当时，函数没有最小值，因此a的取值范围是，D正确. 故选：AD 三、填空题（每小题5分） 12. 已知在等差数列中，，则______． 【答案】36 【解析】 【分析】根据等差数列前项公式可得，再利用等差数列性质求解. 【详解】因为， 则， 所以. 故答案为：36 13. 函数在处的切线与直线垂直，则实数_____. 【答案】 【解析】 【分析】 先利用导数求出函数在处的切线的斜率，并求出直线的斜率，再根据两直线垂直得其斜率乘积为-1，列得关于a的方程，即可求出答案. 【详解】因为函数，所以, 所以,即函数在处的切线的斜率为. 直线，即, 所以直线的斜率为. 因为函数在处的切线与直线垂直， 所以,解得：. 故答案为： 14. 已知函数，（i）若，将函数沿x轴向右平移单位后得到函数图像关于y轴对称，则______；（ii）若在上单调，则ω的最大值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（i）根据辅助角公式化简函数的解析式，结合正弦型函数图像平移的性质，结合正弦型奇偶性进行求解即可； （ii）根据正弦型函数单调性与周期性的关系，结合正弦型函数的单调性分类讨论进行求解即可. 【详解】. （i）若，则， 函数沿x轴向右平移单位后得到函数图像的解析式为： ， 由题意可知：函数的图像关于y轴对称， 所以函数是偶函数， 于是有， 因为，所以令，得； （ii）因为函数在上单调， 所以函数的最小正周期， 解得， 当函数在上单调递增时， 因为，所以， 则有， 即， 而，所以令，则有； 当函数在上单调递减时， 因为，所以， 则有， 即， 而，所以令，则有； 综上所述：ω的最大值为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据题意分类讨论. 四、解答题 15. 已知数列的满足，. （1）求数列的通项公式. （2）设数列，前n项和为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）构造数列，判断该数列为等比数列，结合等比数列的通项公式可求数列的通项公式. （2）利用“错位相减求和法”可求数列的前项和. 【小问1详解】 因为，所以， 又， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列. 所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 故， 两式相减得：， 所以. 16. 在中，角的对边分别为，若： （1）求的大小； （2）求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将题干条件变形为，结合余弦定理可求出角的余弦值，进而求出角的值； （2）由（1）可知，所以，用代替角，化简，结合角的范围即可求出最大值. 【小问1详解】 因为，所以， 即， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）可知，所以， 则 又，则， 所以当时，即时，有最大值为1. 17. 已知平面向量，，设函数． （1）求函数图象的对称轴； （2）若方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得； （2）由的取值范围，求出的范围，即可求出函数的单调区间，依题意可得与在上有两个不同的交点，即可得解； 【小问1详解】 解：因为，，且， 所以 即， 当时，解得， 所以对称轴． 【小问2详解】 解：当时，， 令，解得，即函数在上单调递增， 令，解得，即函数在上单调递减， 又，， ∵在区间上有两个不相等的实数根，即与有两个不同的交点， ∴． 18. 已知函数 （1）当时 ①求曲线在点处的切线方程； ②求的单调区间与极值． （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）①；②递增区间为，递减区间为，极大值为，无极小值； （2）. 【解析】 【分析】 （1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）利用零点的定义分离参数、构造函数，把问题转化为直线与函数图象有2个交点求解. 【小问1详解】 ①当时，函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. ②函数的定义域为，， 由，得；由，得， 所以函数的递增区间为，递减区间为， 函数在处取得极大值，无极小值. 【小问2详解】 函数，由，得，令， 由函数有2个零点，得直线与函数的图象有2个交点， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，且， 而当时，恒有，，在同一坐标系内作出直线与函数的图象， 观察图象得，当且仅当时，直线与函数的图象有2个交点， 因此函数有两个零点时，， 所以实数的取值范围为. 19. 已知函数． （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若，证明：当时，在区间上恒成立． 【答案】（1） （2） 的定义域为， 设为图象上任意一点，故， 而， 所以，所以的图象为中心对称图形，且对称中心为． （3） 若，，原命题等价于证明在区间上恒成立， 设，则需满足在区间上恒成立， 设，则， 因为，所以，，若，则， 故恒成立，故在区间上为增函数， 故，即在区间上恒成立． 【解析】 【分析】（1）把代入函数化简解析式后求导，利用基本不等式求出导数最小值，再根据，解关于的不等式求出的最小值. （2）设为图象上任意一点，计算出，从而命题得证. （3）若，原命题等价于证明在区间上恒成立，通过换元法化简不等式，构造函数后求导，利用导数恒正得出函数单调递增，进而得出结论. 【小问1详解】 当时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故，即， 所以的最小值为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学考试 时间：120分钟 分值：150分 一、单选题（每小题5分） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题正确的是（ ） A. ， B. ， C. “”是“”的充分且不必要条件 D. 若，则 3. 在平行四边形中，，点F是线段DE的中点，若，则＝（ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 5. 已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则满足不等式的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（　　） A. B. C. D. 8. 若，当时，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分） 9. 记为数列的前项和，，则（ ） A. B. C. 数列为等比数列 D. 数列的前项和为，则 10. 已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，且有两解，则的取值范围是 D. 若，的平分线交于点，，则的最小值为9 11. 已知函数，则（ ） A. B. 曲线在点处的切线方程为 C. 若方程有两个相异实根，，且，则实数m的值等于 D. 已知函数无最小值，则a的取值范围是 三、填空题（每小题5分） 12. 已知在等差数列中，，则______． 13. 函数在处的切线与直线垂直，则实数_____. 14. 已知函数，（i）若，将函数沿x轴向右平移单位后得到函数图像关于y轴对称，则______；（ii）若在上单调，则ω的最大值为______． 四、解答题 15. 已知数列的满足，. （1）求数列的通项公式. （2）设数列，前n项和为，求. 16. 在中，角的对边分别为，若： （1）求的大小； （2）求的最大值. 17. 已知平面向量，，设函数． （1）求函数图象的对称轴； （2）若方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 18. 已知函数 （1）当时 ①求曲线在点处的切线方程； ②求的单调区间与极值． （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围． 19. 已知函数． （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若，证明：当时，在区间上恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $