专题11 利用导数求单调区间 专项训练-2026届高三数学一轮复习

专题11 利用导数求单调区间 1．已知函数，其中且．当时，求函数的单调区间； 2．设函数，直线是曲线在点处的切线．当时，求的单调区间. 3．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 4．已知函数． (1)求的导数； (2)求的单调区间． 5．已知函数. (1)若函数的图像在点处的切线与直线垂直，求实数的值； (2)若，求函数的单调区间. 6．已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 7．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若函数的最小值为2，求实数的值． 8．已知函数（，为自然对数的底数）. (1)若曲线在点处的切线平行于轴，求的值； (2)讨论函数的单调性. 9．函数．求函数的单调区间. 10．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 11．已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求曲线在处的切线方程. 12．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间. 13．已知函数，且. (1)求的解析式； (2)求函数的单调区间. 14．已知函数，． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 15． (1)，求曲线在点处的切线方程 (2)讨论的单调性 16．已知 (1)若 求在处的切线的斜率; (2)讨论的单调性; 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《专题11 利用导数求单调区间》参考答案 1．单调递增区间为，单调递减区间为． 【分析】求出，由导数的正负求单调区间； 【详解】由题可知函数的定义域为， 当时，，所以， 得，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 2．单调递减区间为，单调递增区间为. 【分析】直接代入，先求出定义域，再利用导数研究其单调性即可； 【详解】当时，，定义域为， ， 当时，；当，； 在上单调递减，在上单调递增. 则的单调递减区间为，单调递增区间为. 3．(1) (2)单调增区间为和，单调递减区间为 【分析】（1）由先求出，再求导数，进而求出，即可根据直线方程的点斜式求出切线方程； （2）先求函数的定义域，再解不等式和，即可求出的单调区间. 【详解】（1）因为，所以. 因为 ， 所以， 所以在点处的切线方程为， 即； （2）函数的定义域为，因为恒成立，恒成立， 所以令，解得或，令，解得， 所以函数的单调增区间为和，单调递减区间为. 4．(1)； (2)单调递增区间为，无递减区间 【分析】（1）利用求导法则计算即可； （2）先求定义域，利用根的判别式得到导函数大于0恒成立，故得到函数单调区间. 【详解】（1）； （2）定义域，令，即，即， ，其中判别式，故恒成立， 单调递增区间为，无递减区间. 5．(1) (2)函数的单调增区间为，单调减区间为. 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）先对函数求导，利用导函数的正负确定函数单调区间即可. 【详解】（1）由题意知的定义域为， 由题设知函数的图象在点处的切线斜率为，即， 所以； （2）由于的定义域为， 当时，单调增；当单调减， 故函数的单调增区间为，单调减区间为. 6．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）对函数求导，分类讨论当，，，四种情况，通过确定导函数的正负即可判断出函数的单调性. 【详解】（1）当时，，，则切点坐标为． 又因为，， 所以在处的切线方程为． （2）由函数求导可得 ． 定义域为， 则①当时，由得， 当或时，，当时，， 故在上单调递增，在单调递增，在上单调递减； ②当时，，在上单调递增； ③当时，由得， 当或时，， 当时，， 故在上单调递增，在单调递增，在单调递减； ④当时，由得， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，在递增，上递减，递增； 当时，在上递增； 当时，在递增，递减，递增； 当时，在递减，递增． 7．(1)答案见解析 (2)或 【分析】（1）由题意得，分别讨论，，的情况，即可求解； （2）由（1）可得当时函数有最小值，从而可求解. 【详解】（1）由题意得的定义为，且， 当时，恒成立，此时在上单调递减； 当时，令，则或， 当时，则，当时，，此时在上单调递减； 当时，当时，，当时，， 此时在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）由（1）可得当时，为减函数则无最小值，所以， 当时，即时，取得极小值也是最小值， 所以，解得或， 故函数的最小值为，实数的值为或. 8．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出，由导数的几何意义，解方程即可； （2）解方程，注意分类讨论，以确定的符号，从而确定的单调性， 【详解】（1）由,得． 又曲线在点处的切线平行于轴, 得,即,解得． （2）, ①当时,,为上的增函数, ②当时,令,得,则． ,；,． 所以在上单调递减,在上单调递增, 综上,当时, 为上的增函数, 当,在上单调递减,在上单调递增, 9．在上单调递减，在上单调递增 【分析】先对求导，判断导数的单调性，最后求解单调区间即可. 【详解】因为，所以， 令，，令，， 故在上单调递减，在上单调递增． 10．(1) (2)单调递减区间为，单调递增区间为 【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义求出切线方程； （2）解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间. 【详解】（1）因为，所以， 则，， 所以切点为，切线的斜率，则切线方程为； （2）函数的定义域为， 又， 所以当时，当时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 11．(1) (2) 【分析】（1）首先求函数的导数，再根据不等式求解函数的单调区间； （2）根据导数的几何意义，即可求解. 【详解】（1）， 令，得或， 所以的单调递增区间为，； ，得，的单调递减区间为 （2）， ，所以切线方程为，即. 12．(1) (2)递增区间为和，递减区间为和 【分析】（1）求出导函数，计算出，，根据导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解； （2）令即可求出函数的单调递增区间，令即可求出函数的单调递减区间. 【详解】（1）由题意知， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）的定义域为， 由（1）知， 令得或；令得，且， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和. 13．(1) (2)的单调增区间为，单调减区间. 【分析】（1）求出导数，由，代入求得，得解； （2）根据导数，判断导数正负得解. 【详解】（1）由题意知，， 所以， 又，所以， 故函数解析式为. （2）由（1）知，， 令，得，（舍）， 当时，；当时，， 故在上单调递增，在上单调递减. 14．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）求出函数的定义域与导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间. 【详解】（1）当时，则，， 所以， 所以函数在点处的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， 又， 当时恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，由，解得，由，解得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上可得：当时，单调递增区间为，无单调递减区间； 当时单调递增区间为，单调递减区间为. 15．(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）把代入，求出的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出的导数，再分类讨论求出函数的单调区间. 【详解】（1）当时，，求导得，则，而， 所以所求切线方程为：，即． （2）函数的定义域为R，求导得， 当时，恒成立，函数在R上单调递减； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在R上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 16．(1) (2)答案见详解 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率即可. （2）求导，分和讨论，求出单调性即可. 【详解】（1）当时，，则， 所以所求切线的斜率为. （2）由，，则， 当时，，即在上单调递增， 当时，， 由，得，由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $