专题6 立体几何证明垂直问题 专项训练-2026届高三数学一轮复习

专题6立体几何证明垂直问题 1.如图，在直四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°证明：AC⊥平 面BB,D,D A D B C D B 2.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,底面ABCD为平行四边形， PC⊥CD.证明：CD⊥平面PAC. B 3.如图，在正四棱锥P-ABCD中，己知侧棱长为4，底面边长等于2，E是AB的中点.求 证：平面PAC⊥平面PBD, D D 试卷第1页，共3页 4.一副三角板按如图所示的方式拼接，其中CD⊥BC,将△BCD折起，使得AB⊥CD.证明： 平面ABC⊥平面BCD. 5.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面 PAC⊥平面PCD,PA⊥CD,CD=2,AD=3.求证：PA⊥平面PCD C 6.如图1，五边形ABCEF中，AC//EF,AC⊥CE,AB⊥BC,AC=2BC=2CE=4.将三角 形ABC沿AC翻折，使得平面ABC⊥平面ACEF,如图2.求证：AB⊥平面BCE 图1 图2 试卷第1页，共3页 7.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,底面ABCD为平行四边形，PC⊥CD B (1)证明：CD⊥平面PAC; (②)若AP=AC=CD=1,求点A到平面PCD的距离. 8.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,ABIIDC, AD⊥DC,DA=AB=PD=2,DC=4,E,F分别为棱CD,PD的中点 A B (I)求证：PB/1平面AEF; (2)求证：AE⊥平面PBD: (3)求点D到平面PBC的距离. 试卷第1页，共3页 9.如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为2的正方形，SD垂直于底面ABCD,E为SC的 中点，SD=AD,O为BD中点 S 的 (1)求证：SA//平面BDE; (2)求证：AC⊥平面SBD IO.如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，M,N分别是AD,DE的中点， AB=AC,BD=CD.求证： …D (I)MN∥平面ABC; (2)AD⊥BC 11.在直三棱柱ABC-AB,C中，AC⊥BC.求证：平面A,BC⊥平面AA,CC; A C B B 试卷第1页，共3页 I2.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形，E,F分别是 PB,CD的中点 E D B (I)求证：EF/1平面PAD; (2)求证：平面PBD⊥平面PAC 13.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面 PAD⊥底面ABCD,M是线段PD的中点，N是线段PC的中点.求证：MN⊥平面PAD. D D B 14.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD是正三角形，E,F分别 是AB,PD的中点 F D B (I)求证：EF∥平面PBC: (2)若侧面PAD⊥底面ABCD,求证：AF⊥平面PCD 试卷第1页，共3页 15,如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧棱PA⊥底面ABCD, 且PA=2,∠BAD=120°. D (1)证明：BD⊥平面PAC; (②)求点C到平面PAD的距离. 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠CDA=90°，PA⊥平 面ABCD,Q是PB的中点，PA=AD=DC=L,AB=2. D (1)证明：CQ∥平面PAD; (2)求点D到平面PAC的距离. 试卷第1页，共3页 《专题6立体几何证明垂直问题》参考答案 1,因为直四棱柱ABCD-A,B,CD,中，BB,⊥底面ABCD,ACc底面ABCD, 所以AC⊥BB, 因为菱形ABCD,所以AC⊥BD, BD BB,=B,BD,BB,C平面BB,DD, 所以AC⊥平面BB,D,D. 2.证明见解析 【分析】利用线面垂直的判定定理及性质即可证明. 【详解】：PA⊥底面ABCD,CDc平面ABCD,:PA⊥CD, 又PC⊥CD,PA∩PC=P,PA,PCc平面PAC, .CD⊥平面PAC. 3.证明：在正四棱锥P-ABCD中，连接AC,BD交于点O,连接PO, B 因为四棱锥P-ABCD为正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD, 因为BD∈平面ABCD,所以PO⊥BD. 又AC⊥BD,P0∩AC=O,PO,ACC平面PAC, 所以BD⊥平面PAC, 因为BDC平面PBD,所以平面PBD⊥平面PAC. 4.因为CD⊥BC,AB⊥CD, 且AB BC=B,AB,BCC平面ABC, 故CD⊥平面ABC, 又因为CDc平面BCD, 所以平面ABC⊥平面BCD. 5.证明：取PC的中点N,连接DN,如图， 答案第1页，共2页 A D C 因为△PCD为等边三角形，所以DN⊥PC, 因为平面PAC⊥平面PCD,平面PAC∩平面PCD=PC,DNc平面PCD, 所以DN⊥平面PAC, 因为PAc平面PAC,所以DN⊥PA, 又PA⊥CD,DN∩CD=D,DN,CDC面PCD,所以PA⊥平面PCD 即证：PA⊥平面PCD 6.因为平面ABC⊥平面ACEF,CEc平面ACEF,平面ABC∩平面ACEF=AC, AC⊥CE, 所以CE⊥平面ABC,又ABc平面ABC, 所以CE⊥AB,又BC⊥AB,CEBC=C,CE,BCC平面BCE, 所以AB⊥平面BCE 7.(I)PA⊥底面ABCD,CDC平面ABCD,PA⊥CD, 又PC⊥CD,PA∩PC=P,PA,PCC平面PAC, CD⊥平面PAC; (2)PA⊥底面ABCD,ACC平面ABCD,.PA⊥AC, AFCpc.co 2 设点A到平面PCD的距离为d,则'nAcn='A-PcD, 由(1)可知，CD⊥平面PAC,ACc平面PAC,.CD⊥AC, ..CD-xlx 2 :.Vp-ACD=3 1111 S.ICD'AP-3 2×1= 1 6 6 6’d=2 2 :点A到平面PCD的距离为 8.(1) 答案第1页，共2页 A 如图，连接BE,设BDAE=O,连接OF, 因AB11DC,DE=DC=AB=2,可得ABED是平行四边形，则OD=OB, 2 又DF=PF,则得OF /IPB, 因OFc平面AEF,PB文平面AEF,故PBII平面AEF (2)由(1)己得。ABED,因DA=AB=2,故四边形ABED为菱形，则AE⊥BD, 因PD⊥平面ABCD,AEC平面ABCD,则PD⊥AE, 又BD PD=D,BD,PDC平面PBD,故AE⊥平面PBD (3)在R1△ABC中，BD=V22+22=2√2， 因PD⊥平面ABCD,BD、CDC平面ABCD,则PD⊥BD,PD⊥CD 在RtaP0B中，PD=2,BD=2V2,PB=22+(22=2V5,同理，BC=22, PC=25, 故满足勾股定理PB2+BC2=PC2,则PB⊥BC, S.mc-IPBBC=x2x2=2 2 21 而m-写3mD-号×分×4x2x2-号，设点D到平面PBC的距商为d 1 11 32 8 由等体积法待Vo-rnc --S,rncd=o,得12y6 3 3 故点D到平面P8C的距离为2y6 3 9.(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(I)连接AC,交BD于O,连结OE,由OE/ISA可证SA/平面BDE; (2)利用线面垂直的性质和判定定理证明 【详解】(1)连接AC,交BD于O,连结OE, :四棱锥S-ABCD的底面是边长为2的正方形， 答案第1页，共2页 O是AC的中点，：E为SC的中点，OE/SA, :OEc平面BDE,SAd平面BDE,.SAII平面BDE; B (2):AC、BD为正方形ABCD的对角线 .AC⊥BD :SD⊥平面ABCD,且ACc平面ABCD .SD⊥AC, 又：BDSD=D,BD,SDC平面SBD, .AC⊥平面SBD 10.(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(1)连接AE,利用中位线性质得MN/1AE,进而利用线面平行的判定定理证明 即可； (2)利用等腰三角形的中线即高线得AE⊥BC,DE⊥BC,然后利用线面垂直的判定定理 得BC⊥平面ADE,最后利用线面垂直的性质定理证明即可 【详解】(1)连接AE,因为M,N分别是AD,DE的中点，所以MNIIAE, 又MNt平面ABC,AEc平面ABC,所以MN∥平面ABC; D (2)因为AB=AC,BD=CD,且E是BC的中点，所以AE⊥BC,DE⊥BC, 又AE∩DE=E,AE,DEC平面ADE,所以BC⊥平面ADE, 因为ADC平面ADE,所以AD⊥BC 答案第1页，共2页