专题5 立体几何证明平行问题 专项训练-2026届高三数学一轮复习

专题5 立体几何证明平行问题 1．在三棱柱中，E，F分别是的中点，如图，求证：平面． 2．如图所示，四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，，点是线段的中点，点在线段上，且，求证：平面.    3．如图所示，在三棱柱中，若、D分别为、BC的中点，求证：平面平面． 4．如图，多面体中，四边形与四边形均为梯形.已知点四点共面，且.证明：平面平面. 5．如图，已知四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点.求证： (1)平面PCD； (2)平面平面PBC． 6．如图，在四棱锥中，平面，，，且，点为棱上一点（不与重合），平面交棱于点． 求证：. 7．空间四边形中，点为边上的点，且，求证：.    8．如图，四边形ABCD为长方形，，，点E、F分别为AD、PC的中点．设平面平面． (1)证明：平面PBE； (2)证明：． 9．如图，在四棱锥中，底面是正方形，点在棱上（不与端点重合），，分别是，的中点.证明：平面. 10．如图，点E不在平面ABCD上，ABCD是正方形，F为BE的中点．求证：DE∥平面ACF． 11．如图所示，在三棱柱中，E，F，G，H分别是AB，AC，，的中点．求证：平面平面BCHG． 12．如图，已知长方体中，，.为的中点，平面交棱于点.求证：； 13．如图，在四棱锥中，平面PAD，，点N是AD的中点．求证： (1)； (2)平面PAB． 14．如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点．M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接FN，求证：FN∥CM．    15．如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的边长为2，点F为棱CC1的中点，过直线AF作一平面，与棱BB1，DD1分别交于E，G两点．求证：四边形AEFG为平行四边形； 16．如图，在四棱柱中，底面为梯形，，平面与交于点．求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《专题5 立体几何证明平行问题》参考答案 1．证明见解析 【分析】由已知可得，进而由线面平行的判定定理可证平面． 【详解】因为E，F分别是AC，的中点，所以． 又平面，平面，所以平面． 2．证明见解析 【分析】连接交于，先根据中位线性质证明线线平行，得出，再根据线面平行的判定定理证明平面. 【详解】连接交于，连接，   四边形是矩形,是的中点， 是线段的中点， 是的中位线，， 又平面，平面， 平面. 3．证明见解析. 【分析】利用面面平行的判定定理证明即可. 【详解】证明：如图所示，连接交于点M， ∵四边形是平行四边形，∴M是的中点．连接MD． ∵D为BC的中点，∴． ∵平面，平面，∴平面． 又由三棱柱的性质知，，∴四边形为平行四边形，∴． 又平面，平面，∴平面． 又∵，平面，平面， ∴平面平面． 4．证明见解析 【分析】先根据线面平行的判定定理证明平面，平面，再根据面面平行的判定定理即可得证。 【详解】证明：四边形与四边形均为直角梯形， 且有，， 因为平面，平面，所以平面， 同理可得平面， 因为平面，且， 所以平面平面，得证. 5．(1)证明见解析； (2)证明见解析﹒ 【分析】(1)利用三角形中位线证明MN∥PC即可； (2)利用中位线证明NQ∥PB，结合(1)中结论即可证明． 【详解】（1）由题意，四棱锥的底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点，∴N是AC的中点，∴， ∵平面PCD，平面PCD， ∴平面PCD； （2）由(1)知，平面PBC，平面PBC， ∴MN∥平面PBC， ∵ABCD为平行四边形，∴N是BD中点，又∵Q是PD中点， ∴在△PBD中，NQ∥PB， ∵PB平面PBC，NQ平面PBC，∴NQ∥平面PBC， ∵MN∩NQ=N，MN、NQ平面MNQ， ∴平面平面PBC． 6．证明见解析 【分析】 根据线面平行判定定理证明平面，然后再由线面平行的性质定理可证. 【详解】证明：∵平面平面， ∴平面， 又平面，平面平面， ∴. 7．证明见解析 【分析】利用线线平行证线面平行，再由线面平行的性质判定证明线与线平行，得到结论. 【详解】∵点为空间四边形边上的点， ∴直线平面，直线平面, 又， ∴直线平面, 又∵平面且平面平面， ∴. 8．(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理、平行四边形的性质、线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据面面平行的性质进行证明即可. 【详解】（1）取PB中点，连接FG，EG， 因为点E、F分别为AD、PC的中点， 所以，， 因为四边形ABCD为长方形，所以，且， 所以，，所以四边形DEGF为平行四边形， 所以因为平面PBE，平面PBE，平面PBE； （2）由（1）知平面PBE，又平面PDC，平面平面， 所以. 9．证明见解析 【分析】连接，利用中位线的性质可得，结合线面平行的判定即可证明. 【详解】连接， 因为底面是正方形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以是的中位线， 所以， 因为平面，平面， 所以平面 10．证明见解析 【分析】根据线面平行的判定定理，只需在平面找到一条直线与平行即可. 【详解】连接BD交AC于G，连接FG． ∵F、G分别为BE、BD的中点， ∴，平面ACF，DE 面， ∴平面ACF 11．证明见解析 【分析】证明，进而证明出平面BCHG，再证明，得到平面BCHG，从而证明面面平行. 【详解】证明：∵E，F分别是AB，AC的中点， ∴． ∵平面BCHG，平面BCHG， ∴平面BCHG． ∵，且 ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵平面BCHG，平面BCHG， ∴平面BCHG． ∵， ∴平面平面BCHG． 12．证明见解析 【分析】由面面平行的性质可得平面，再由线面平行的性质即可证结论. 【详解】由长方体的性质知：平面平面，又面， 面，又平面平面，且面， . 13．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用线面平行的性质可证线线平行； （2）先证明四边形ABCN是平行四边形得到，利用线面平行的判定定理可证结论. 【详解】（1）∵平面PAD，平面ABCD，平面平面， ∴． （2）由（1）知，， 又N是AD的中点，，∴， ∴四边形ABCN是平行四边形，∴， 又平面PAB，平面PAB，∴平面PAB． 14．见解析． 【分析】先通过中位线，通过线线平行，证得平面平面，在根据面面平行的性质定理证得. 【详解】因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB． 又DE平面ABC，AB平面ABC，所以DE∥平面ABC， 同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D， 所以平面DEF∥平面ABC． 又平面PCM∩平面DEF＝FN， 平面PCM∩平面ABC＝CM， 所以FN∥CM． 【点睛】本小题主要考查线线平行的证明、线面平行的证明和面面平行的证明，其中涉及到了线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，还有面面平行的性质定理.在平行转化的过程中，已知和求之间，用判定定理还是性质定理，要看清楚题目所给的条件来判断. 15．证明见解析 【分析】根据已知条件及平面与平面平行的性质定理得出，， 再结合平行四边形的判断即可证明； 【详解】证明：∵平面平面，平面平面 且平面平面 由面面平行的性质定理可知：，同理可证：， 故四边形AEFG为平行四边形. 16．证明见解析 【分析】根据四棱柱性质可证明平面平面，再利用面面平行的性质定理即可证明. 【详解】由四棱柱可知，，平面，平面， 所以平面； 又，平面，平面， 所以平面； 又，平面，平面； 所以平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $