小测卷(26) 空间直线、平面的垂直（Word练习）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（人教A版）

小测卷(二十六)　空间直线、平面的垂直 一、单选题 1．设α，β为两个平面，则α⊥β的充要条件是(　　 ) A．α，β平行于同一个平面 B．α，β垂直于同一个平面 C．α内一条直线垂直于β内一条直线 D．α内存在一条直线垂直于β 2．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列判断正确的是(　　 ) A．A1D⊥CC1 B．BD1⊥AD C．A1D⊥AC D．AC⊥BD1 3．如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下列结论中错误的是(　　 ) A．AE⊥CE B．BE⊥DE C．DE⊥AB D．平面ADE⊥平面BCE 4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线m、n分别在平面ABCD和ABB1A1内，且m⊥n，则下列命题中正确的是(　　) A．若m垂直于AB，则n垂直于AB B．若m垂直于AB，则n不垂直于AB C．若m不垂直于AB，则n垂直于AB D．若m不垂直于AB，则n不垂直于AB 5．已知四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，侧棱与底面垂直，点P是侧棱DD1上的点，且DP＝2PD1，AA1＝3，AB＝1.若Q点在侧面BCC1B1(包括其边界)上运动，且总保持AQ⊥BP，则动点Q的轨迹长度为(　　) A． B． C． D． 6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝，AC＝1，P为△ABC所在平面外一点，△PAB的面积为，且平面PAC⊥平面ABC，PC＝2PA，则三棱锥P­ABC体积的最大值为(　　) A．1 B． C． D． 二、多选题 7．如图，AB为圆锥SO底面圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的一点，N为SA的中点，则圆O上存在点M使(　　 ) A．MN∥SC B．MN∥平面SBC C．SM⊥AC D．AM⊥平面SBC 8．如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C是圆周上异于A，B 任一点，则下列结论中正确的是(　　 ) A．PB⊥AC B．PC⊥BC C．AC⊥平面PBC D．平面PAC⊥平面PBC 三、填空题 9．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为4，P在平面BCC1B1上，A，P之间的距离为5，则C1、P之间的最短距离为______． 10．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为4，点P在该正方体的表面上运动，且PA＝4，则点P的轨迹长度是____________． 11．在正四棱柱中，AB＝1，AA1＝4，E 为DD1中点，P为正四棱柱表面上一点，且C1P⊥B1E，则点P的轨迹的长为_____． 四、解答题 12．如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°的菱形，PA＝PD，平面PAD垂直于底面ABCD，G为AD边的中点. (1)求证：BG⊥平面PAD； (2)若PA＝AB＝6，求多面体PABCD的体积． 13．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2，并将直角梯形ABCD绕AB边旋转至ABEF. (1)求证：直线AB⊥平面ADF； (2)求证：直线CE∥平面ADF； (3)当平面ABCD⊥平面ABEF时，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使平面ADE与平面BCE垂直．并证明你的结论． 条件①：AE＝；条件②：AD＝1；条件③：BE⊥DE. 14．如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E，F分别为BC，PD的中点． (1)求证：BD⊥平面PAC； (2)求证：CF∥平面PAE； (3)若平面PAE⊥平面PAD，求∠ABC的大小． 15．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面AA1C1C是矩形，侧面BB1C1C是菱形，∠B1BC＝60°，D、E分别为棱AB、B1C1的中点，F为线段C1E的中点． (1)证明：AF∥平面A1DE； (2)在棱BB1上是否存在一点G，使平面ACG⊥平面BB1C1C？若存在，请指出点G的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 小测卷(二十六)　空间直线、平面的垂直 1．解析：α，β平行于同一个平面时，则α∥β，A错误； α，β垂直于同一个平面时，α，β可能垂直，也可能相互平行，也可能相交但不垂直，B错误； α内一条直线垂直于β内一条直线，α，β可能垂直，也可能相互平行，也可能相交但不垂直，C错误； α内一条直线垂直于β，则α⊥β，反之也成立，D正确． 答案：D 2．解析：对于A选项，∵CC1∥DD1，∠A1DD1＝45°，∴CC1与A1D所成的角为45°， ∴A1D与CC1不垂直，A错； 对于B选项，连接A1B，∵A1D1⊥平面AA1B1B，A1B⊂平面AA1B1B，∴A1D1⊥A1B，∴∠A1D1B为锐角，∵AD∥A1D1，∴AD与BD1所成角不是直角，B错； 对于C选项，连接A1C1、C1D，∵AA1∥CC1，且AA1＝CC1， ∴四边形AA1C1C为平行四边形，∴A1D、AC所成角为∠C1A1D或其补角， 设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则A1C1＝A1D＝C1D＝a， 即△A1C1D是等边三角形，∴∠C1A1D＝60°，C错； 对于D选项，∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC， ∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DD1， ∵BD∩DD1＝D，BD、DD1⊂平面BDD1，∴AC⊥平面BDD1， ∵BD1⊂平面BDD1，∴AC⊥BD1，D对． 答案：D 3．解析：因为AB是底面圆的直径，则∠AEB＝，即AE⊥EB. ∵四边形ABCD是圆柱的轴截面，∴AD⊥底面AEB，BC⊥底面AEB. 选项A，∵BC⊥平面ABE，∴BC⊥AE， ∵AE⊥BE，BC∩BE＝B，BC、BE⊂平面BCE， ∴AE⊥平面BCE，又CE⊂平面BCE，∴AE⊥CE，即选项A正确； 选项B，∵AD⊥平面ABE，∴AD⊥BE， ∵AE⊥BE，AD∩AE＝A，AD、AE⊂平面ADE， ∴BE⊥平面ADE，又DE⊂平面ADE，∴BE⊥DE，即选项B正确； 选项C，若DE⊥AB，又∵BE⊥DE，AB∩BE＝B，AB，BE⊂平面AEB，则可得DE⊥底面AEB，且AD∩DE＝D，则与AD⊥底面AEB矛盾，即选项C错误； 选项D，∵AE⊥平面BCE，AE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面BCE，即选项D正确．故选C. 答案：C 4．解析：若m垂直于AB，由平面ABCD⊥平面ABB1A1，平面ABCD∩平面ABB1A1＝AB，可得m垂直于平面ABB1A1， 即平面ABB1A1内的所有直线均与m垂直，而n可能垂直于AB，也可能不垂直于AB，故A错误，B错误； 若m不垂直于AB，则BC，m为平面ABCD内的两条相交直线，由题可知BC⊥n，m⊥n，则n垂直平面ABCD，又AB⊂平面ABCD，所以n垂直于AB，故C正确，D错误． 答案：C 5．解析：如图，在侧棱AA1上取一点R，使得AR＝2RA1，连接PR，BR，过点A作AN⊥BR交BR于点M，交BB1于点N，连接AC，CN， 由PR∥AD，可知PR⊥AN，BR、PR⊂平面BPR，BR∩PR＝R， 从而AN⊥平面BPR，所以BP⊥AN， 又由BP在平面ABCD内的射影BD⊥AC， 所以BP⊥AC，AN、AC⊂平面ACN，AN∩AC＝A， 知BP⊥平面ACN，CN⊂平面ACN，所以BP⊥CN， 所以动点Q的轨迹为线段CN， 在Rt△ABN，Rt△RAB中，∠BAN＝∠ARB，所以Rt△ABN∽Rt△RAB， 则，得BN＝， 易得CN＝. 答案：D 6．解析：因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，又AB⊥AC，AB⊂平面ABC， 所以AB⊥平面PAC，因为PA∩平面PAC，故AB⊥PA， 设PA＝x，则，得AB＝， 设∠PAC＝θ，θ∈(0，π)， 在△PAC中，由余弦定理得cos θ＝，所以sin θ＝， 所以S△PAC＝， 则VP­ABC＝VB­PAC＝， 当且仅当9x2＝，即x＝时等号成立，所以三棱锥P­ABC体积的最大值为． 答案：D 7．解析：假设存在点M使MN∥SC，所以M，N，S，C四点共面， 又因为A∈SN，所以A∈平面MNSC， 易得A，M，C为平面MNSC和平面ABC的公共点，所以A，M，C三点共线，与题意矛盾， 故不存在点M使MN∥SC，即A错误； 过O作OM∥BC，交劣弧AC于点M，连接ON， 由于N，O分别为SA，AB的中点，所以ON∥SB， 由于OM⊄平面SBC，ON⊄平面SBC，SB，BC⊂平面SBC，所以OM∥平面SBC，ON∥平面SBC， 又因为OM∩ON＝O，所以平面OMN∥平面SBC， 由于MN⊂平面OMN，所以MN∥平面SBC，即B正确； 点M的位置同选项B，由于AB为直径，所以AC⊥BC，即AC⊥OM， 由圆锥易得SO⊥AC，SO∩OM＝O， 所以AC⊥平面SOM，所以AC⊥SM，即C正确； 假设存在点M使AM⊥平面SBC，所以AM⊥SB， 又因为AM⊥SO，SO∩SB＝S，所以AM⊥平面SBO， 故平面SBC应与平面SBO平行，与题意显然不符，即D错误． 答案：BC 8．解析：因为PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，所以PA⊥BC，PA⊥AC.又点C是圆周上异于A，B任一点，所以AC⊥BC. 对于A，若PB⊥AC，则可得AC⊥平面PBC，则AC⊥PC，与PA⊥AC矛盾，故A错误； 对于B，D，可知BC⊥平面PAC，所以PC⊥BC，由BC⊂平面PBC，可得平面PAC⊥平面PBC，故B，D正确； 对于C，由AC与PC不垂直，可得AC⊥平面PBC不成立，故C错误． 答案：BD 9．解析：分别连接AP，BP， 因为AB⊥平面BCC1B1，BP⊂平面BCC1B1， 所以AB⊥BP，∵AP＝5，AB＝4，∴|BP|＝＝3， 故点P的轨迹为以B为圆心，3为半径的段圆弧， 故|C1P|min＝|C1B|－3＝4－3. 答案：4－3 10．解析：因为PA＝4>4，所以点P可能在平面A1B1C1D1内，可能在平面BCC1B1内，可能在平面DCC1D1内． 当点P在平面A1B1C1D1内时， 由AA1⊥平面A1B1C1D1，A1P⊂平面A1B1C1D1，可知AA1⊥A1P， 所以PA2＝＋A1P2，所以A1P2＝PA2－＝2－42＝16， 所以点P到A1的距离为4， 所以点P的轨迹为以点A1为圆心，4为半径的圆与正方形A1B1C1D1边界及其内部的交线． 如图，∠D1A1B1＝，A1B1＝4，则 的长l＝×4＝2π， 所以当点P在平面A1B1C1D1内时，点P的轨迹长度是2π. 同理可得，当P点在平面BCC1B1内时，点P的轨迹长度也是2π. 当点P在平面DCC1D1时，点P的轨迹长度也是2π. 综上所述，点P的轨迹长度为2π＋2π＋2π＝6π. 答案：6π 11．解析：如图，连接B1D1，A1C1，由题可知，A1C1⊥B1D1，ED1⊥平面A1B1C1D1. 因A1C1⊂平面A1B1C1D1，则ED1⊥A1C1. 又B1D1⊂平面EB1D1，ED1⊂平面EB1D1，ED1∩B1D1＝D1，则A1C1⊥平面EB1D1.又B1E⊂平面EB1D1，则C1A1⊥B1E； 如图，过E作D1C平行线，交CC1于F，则F为CC1中点．连接EF，B1F，过C1作B1F垂线，交BB1于G. 由题可得，D1C1⊥平面BCC1B1，又EF∥D1C1，则EF⊥平面BCC1B1. 因C1G⊂平面BCC1B1，则C1G⊥EF. 又B1F⊂平面B1FE，FE⊂平面B1FE，FE∩B1F＝F，则C1G⊥平面B1FE. 因B1E⊂平面B1FE，则C1G⊥B1E； 因C1G⊂平面C1GA1，C1A1⊂平面C1GA1，C1A1∩C1G＝C1，则B1E⊥平面C1GA1. 连接A1G，则点P轨迹为平面C1GA1与四棱柱的交线，即△A1C1G. 注意到∠B1C1G＋∠GC1F＝∠GC1F＋∠B1FC1⇒∠B1C1G＝∠B1FC1，∠C1B1G＝∠FC1B1，则△C1B1G∽△FC1B1，故＝2⇒B1G＝. 则点P的轨迹的长为A1G＋C1G＋A1C1＝2. 答案： 12．解：(1)证明：∵四边形ABCD是∠DAB＝60°的菱形， ∴△ABD为等边三角形，又G为AD的中点，∴BG⊥AD， 又∵平面PAD⊥平面ABCD，BG⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD. (2)∵PA＝PD，G为AD的中点，∴PG⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，PG⊂平面APD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， ∴PG⊥平面ABCD，即PG是四棱锥P­ABCD的高， ∵PA＝AB＝6，∴△PAD是等边三角形， ∴PG＝， VP­ABCD＝·PG·AD·AB·sin 60°＝＝54. 13．证明：(1)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，将直角梯形ABCD绕AB边旋转至ABEF， 所以AB⊥AF，又AD∩AF＝A，AD，AF⊂平面ADF， 所以AB⊥平面ADF. (2)依题意可得DC∥EF且DC＝EF， 所以四边形DCEF为平行四边形， 所以CE∥DF，DF⊂平面ADF，CE⊄平面ADF， 所以CE∥平面ADF. (3)因为平面ABCD⊥平面ABEF，AB⊥AD，平面ABCD∩平面ABEF＝AB， AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面ABEF，因为BE⊂平面ABEF，所以AD⊥BE， 过点E作EM⊥AB，交AB于点M， 若选①：AE＝，EF＝1，所以AF＝， 所以BE＝，此时cos ∠AEB＝， 所以60°<∠AEB<90°. 如图过点E作EH⊥AE交AB的延长线于点H， 因为AD⊥平面ABEF，EH⊂平面ABEF，所以AD⊥EH， 因为AD∩AE＝A，AD，AE⊂平面ADE，所以EH⊥平面ADE， 又EH⊂平面HCE， 所以平面HCE⊥平面ADE，显然平面CBE与平面ADE不垂直； 若选②：AD＝1，则AF＝1，所以AE＝， 所以AE2＋BE2＝AB2，即AE⊥EB， 又AD∩AE＝A，AD，AE⊂平面ADE，所以EB⊥平面ADE， 又EB⊂平面BCE， 所以平面BCE⊥平面ADE； 若选③：BE⊥DE，又AD⊥BE，AD∩DE＝D，AD，DE⊂平面ADE， 所以EB⊥平面ADE，又EB⊂平面BCE， 所以平面BCE⊥平面ADE. 14．解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， 所以PA⊥BD. 又因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC. 又因为PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC. (2)证明：取G为PA的中点，连接EG，GF. 在△PAD中，G，F分别为PA，PD的中点，所以GF∥AD，GF＝AD. 因为底面ABCD为菱形，且E为BC的中点，所以CE∥AD，CE＝AD. 所以CE∥GF，CE＝GF. 所以四边形GFCE为平行四边形，所以EG∥CF. 因为CF⊄平面PAE，EG⊂平面PAE. 所以CF∥平面PAE. (3)因为PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AD. 因为平面PAE⊥平面PAD， 且平面PAE∩平面PAD＝PA，AD⊂平面PAD， 所以AD⊥平面PAE. 所以AD⊥AE. 因为底面ABCD为菱形，且E为BC的中点，所以CE∥AD， 所以∠AEB＝∠EAD＝90°，则△ABC是等边三角形． 所以∠ABC＝60°. 15．解：(1)证明：取A1C1的中点M，连接AM、EM、FM， 因为AA1∥BB1且AA1＝BB1，故四边形AA1B1B为平行四边形， 所以AB∥A1B1且AB＝A1B1， 因为D为AB的中点，则AD∥A1B1且AD＝A1B1， 因为M、E分别为A1C1、B1C1的中点， 所以EM∥A1B1且EM＝A1B1， 所以AD∥EM且AD＝EM，故四边形ADEM为平行四边形， 所以AM∥DE， 因为AM⊄平面A1DE，DE⊂平面A1DE，所以AM∥平面A1DE， 因为M、F分别为A1C1、C1E的中点，所以FM∥A1E， 因为FM⊄平面A1DE，A1E⊂平面A1DE，所以FM∥平面A1DE， 因为AM∩FM＝M，AM、FM⊂平面AFM， 所以平面AFM∥平面A1DE， 因为AF⊂平面AFM，故AF∥平面A1DE. (2)当点G为BB1的中点时，平面ACG⊥平面BB1C1C， 因为四边形AA1C1C为矩形，则AC⊥CC1， 因为BB1∥CC1，则BB1⊥AC， 因为四边形BB1C1C为菱形，则BC＝BB1， 因为∠B1BC＝60°，则△B1BC为等边三角形， 因为G为BB1的中点，所以BB1⊥CG， 因为AC∩CG＝C，AC、CG⊂平面ACG，所以BB1⊥平面ACG， 因为BB1⊂平面BB1C1C，所以平面ACG⊥平面BB1C1C， 因此当点G为BB1的中点时，平面ACG⊥平面BB1C1C. 学科网（北京）股份有限公司 $