1.1 第2课时 验证勾股定理 课件 2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

几何语言： 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， 由勾股定理得： a2 + b2 = c2 a A B C b c ∟ 总结归纳 定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系. 　直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果 a，b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2 + b2 = c2． 勾股定理 分类讨论(谁为斜边） 在 Rt△ABC 中， ∠A = 90° ,则c2 + b2 = a2 ∠B = 90°,则a2 + c2 = b2 ∠C = 90°，则 a2 + b2 = c2 分类讨论(已知边为直角边还为斜边） 例1 已知∠ACB = 90°，CD⊥AB，AC = 3，BC = 4. 求 CD 的长. 利用勾股定理进行计算 二 典例精析 解：在 Rt△ABC 中,由勾股定理得 AB2 = AC2+BC2 = 25， 即 AB = 5. 根据三角形面积公式， 得 AC·BC = AB·CD. ∴ CD = . A D B C 3 4 解：x=10，y=12. 1.求出下列直角三角形中未知边的长度. 1. 求下列图中未知数 x、y 的值，完成课本p3随堂1 解：由勾股定理可得 81 + 144 = x2， x = 15. 解：由勾股定理可得 y2 + 144 = 169， y = 5. 6 7 求下列直角三角形中未知边的长：（课本P4习题1) 练一练 8 x 17 12 5 x 解：由勾股定理可得 82 + x2 = 172， x = 15. 解：由勾股定理可得 52 + 122 = x2， x = 13. 解：③④的面积之和，⑦⑧⑨⑩的面积之和，③⑧⑩的面积之和，④⑦⑨的面积之和均恰好等于①的面积. 3.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，请在图中找出若干个图形，使得它们的面积之和恰好等于最大正方形①的面积，尝试给两种以上的方案． D 解：如图，作△ABC的高CD. 则AD=BD= AB=3（cm）. 在Rt△ADC中，由勾股定理，得CD²=AC²－AD²=16=4²，所以CD=4cm. 所以S△ABC= AB·CD=12（cm²）. 4.如图，求等腰三角形ABC的面积． 1. 学会用几种方法验证勾股定理；（重点） 2. 能够运用勾股定理解决简单问题．（重点，难点） 学习目标 讲授新课 勾股定理的验证 一 据不完全统计，验证的方法有 500多种，你有自己的方法吗？ 问题：上节课我们认识了勾股定理，你还记得它的内容吗？那么如何验证勾股定理呢？ 双击图标 演示几何画板 13 导入新课 观察与思考 活动：请你利用自己准备的四个全等的直角三角形拼出以斜边为边长的正方形． 有不同的拼法吗？ 14 证法1 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧. 课本p5图1-5 15 a a a a b b b b c c c c ∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab. ∴ a2 + b2 = c2. ∵ S大正方形 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab， S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形 = 4× ab + c2 = c2 + 2ab， a2＋b2＝c2 17 a b b c a b c a 证法2 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图，再用所拼的图形证明命题吧.课本p5图1-6 a b c ∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b - a)2， ∴S大正方形＝4S三角形＋S小正方形. 赵爽弦图 b-a 证明： 20 a a b b c c ∴ a2 + b2 = c2. 证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形， 求证：a2 + b2 = c2. 课本p8 5 点击视频开始播放→ 视频： 勾股定理 面积法验证 议一议 观察下图，用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足 a2 + b2 = c2. 课本p6 锐角三角形 a2 + b2 ＞ c2. 直角三角形 a2 + b2 = c2. 钝角三角形 a2 + b2 ＜ c2. 例1 我方侦查员小王在距离东西向公路 400 m 处侦查，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距 400 m，10 s 后，汽车与他相距500 m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗? 勾股定理的简单应用 课本p5 二 公路 B C A 400 m 500 m 解：由勾股定理，得 AB2 = BC2 + AC2， 即 5002 = BC2 + 4002，所以 BC = 300. 敌方汽车 10 s 行驶了 300 m，那么它 1 h 行驶的路程为 300×6×60 = 108000 (m). 即它行驶的速度为 108 km/h. 24 练一练 1. 湖的两端有 A、B 两点，从与 BA 方向成直角的 BC 方向上的点 C 测得 CA = 130 米，CB = 120 米，则 AB 为 ( ) A B C A. 50 米 B. 120 米 C. 100 米 D. 130 米 130 120 ? A A B C 2. 如图，太阳能热水器的支架 AB 长为 90 cm，与 AB 垂直的 BC 长为 120 cm. 太阳能真空管 AC 有多长? 解：在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90° 由勾股定理， 得 AC2 = AB2 + BC2， AC2 = 902 + 1202， AC = 150 (cm). 答：太阳能真空管 AC 长 150 cm. 3. 在直角三角形中，满足条件的三边长可以是 . (写出一组即可) 【解析】答案不唯一，只要满足式子a2 + b2 = c2 即可. 如：3，4，5. 4. 如图，王大爷准备建一个蔬菜大棚，棚宽 8 m，高 6 m，长 20 m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，阳光透过的最大面积是_______m2. 200 27 5. 如图，一根旗杆在离地面 9 m 处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部 12 m 处. 旗杆原来有多高? 12 m 9 m 解：设旗杆顶部到折断处的距离为 x m， 根据勾股定理得 解得 x = 15，15 + 9 = 24 (m). 答：旗杆原来高 24 m. 28 29 a2＋b2＝c2 30 例2 如图，在一条公路上有 A、B 两站相距 25 km，C、D 为两个小镇，已知 DA⊥AB，CB⊥AB，DA = 15 km，CB = 10 km，现在要在公路边上建设一个加油站 E，使得它到两镇的距离相等，请问 E 站应建在距 A 站多远处? D A E B C 15 10 25-x x 变式： 如图，高速公路的同侧有 A，B 两个村庄，它们到高速公路所在直线 MN 的距离分别为AA1＝2 km，BB1＝4 km，A1B1＝8 km.现要在高速公路上A1、B1之间设一个出口P，使 A，B 两个村庄到 P 的距离之和最短，求这个最短距离和． 解：作点 B 关于 MN 的对称点 B′， 连接 AB′，交 A1B1 于P 点，连接 BP. 则 AP＋BP＝AP＋PB′＝AB′． 易知 P 点即为到点 A，B 距离之和最短的点． 过点 A 作 AE⊥BB′ 于点 E， 则 AE＝A1B1＝8 km，B′E＝AA1＋BB1＝2＋4＝6 (km)． 由勾股定理，得 AB′2＝AE2＋B′E2＝82＋62＝100， ∴ AB′＝10 (km)，即 AP＋BP＝AB′＝10 km． 故出口 P 到 A，B 两村庄的最短距离和是 10 km． 4. 如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地 (图中的四边形 ABCD)，经测量，在四边形 ABCD 中，AB = 3m，BC = 4 m，AD = 13 m，∠B =∠ACD = 90°．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米 100 元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 解：在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得 AC2 = AB2 + BC2，∴AC = 5 m. 在 Rt△ACD 中，由勾股定理， 得 CD2 = AD2－AC2，∴ CD = 12 m. S草坪 = SRt△ABC + SRt△ACD = AB•BC + AC•DC = ×(3×4 + 5×12) = 36 (m2)． 故需要的费用为 36×100 = 3600 (元)． 5. 如图，折叠长方形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的 F 点处，若 AB = 8 cm，BC = 10 cm，求 EC 的长. D A B C E F 解：在 Rt△ABF 中，由勾股定理， 得 BF2 = AF2－AB2 = 102－82， ∴ BF = 6，CF = BC－BF = 4. 设 EC = x cm，则 EF = DE = 8－x， 在 Rt△ECF 中，根据勾股定理， 得 x2+ 42 = (8－x)2， 解得 x = 3. ∴ EC 的长为 3 cm. 探索勾股定理 勾股定理的验证 课堂小结 勾股定理的简单运用 B．如图，在△ABC中，∠C＝90°， (1)若a＝3，b＝4，则c＝ ； (2)若a＝6，c＝10，则b＝ 。 解：因为在△ABC中，∠C＝90°，所以有关系式a2＋b2＝c2。 在此关系式中，涉及三个量，利用方程的思想，可“知二求一”。 (1)c2＝a2＋b2＝32＋42＝52，则c＝5。 (2)b2＝c2－a2＝102－62＝82，则b＝8。 答：(1)5　(2)8 C．如图，在△ABC中，∠C＝90°，若a∶b＝3∶4，c＝15，则a＝ ，b＝ 。 解：若a∶b＝3∶4，可设a＝3x(x＞0)，b＝4x， 则(3x)2＋(4x)2＝152。 化简，得9x2＋16x2＝225， 即25x2＝225，x2＝9，x＝3。 因此a＝3x＝9，b＝4x＝12。 答：9　12 1．用四个相同的直角三角形(直角边为a，b，斜边为c)构成如图所示的正方形。 由“大正方形的面积＝小正方形的面积＋4个直角三角形的面积”，得式子 _________________________，化简可得 。 (a＋b)2＝c2＋4×eq \f(1,2)ab A．用四个相同的直角三角形(直角边为a，b，斜边为c)构成如图所示的正方形。请利用这个图形证明勾股定理。 解：由“大正方形的面积＝小正方形的面积＋4个直角 三角形的面积”，得 c2＝(b－a)2＋4×eq \f(1,2)ab。 化简可得a2＋b2＝c2。 A．用四个相同的直角三角形(直角边为a，b，斜边为c)构成如图所示的正方形。请利用这个图形证明勾股定理。 解：由“大正方形的面积＝小正方形的面积＋4个直角 三角形的面积”，得 c2＝(b－a)2＋4×eq \f(1,2)ab。 化简可得a2＋b2＝c2。 1．用四个相同的直角三角形(直角边为a，b，斜边为c)构成如图所示的正方形。 由“大正方形的面积＝小正方形的面积＋4个直角三角形的面积”，得式子 _________________________，化简可得 。 (a＋b)2＝c2＋4×eq \f(1,2)ab $