1.1 第2课时 验证勾股定理（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（北师大版2024）

null1.1 探索勾股定理 第2课时 验证勾股定理 第一章 勾股定理 北师版 八年级(上) 1.经历画图实验引发探索，以及利用拼图验证勾股定理 的过程，体会数形结合的思想，发展合情推理的能力. (难点) 2.掌握勾股定理的简单应用，培养数学语言表达能力， 发展学生分析问题、解决实际问题的能力. (重、难点) 素养目标 问题：上节课我们认识了勾股定理，你还记得它的内容吗？那么如何验证勾股定理呢？ 若去掉方格纸你还能验证勾股定理吗？ 复习导入 1. 准备四个全等的直角三角形（设直角边分别为 a，b，斜边为 c） 2. 你能用这四个直角三角形拼成正方形吗？小组合作试一试吧！ a b c 探究点一： 勾股定理的验证 【活动1】 新知探究 所以 a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab， 所以 a2 +b2 = c2. 证明： 因为 S大正方形 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab， S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形 = 4× ab + c2 = c2 + 2ab， a a a a b b b b c c c c 方法一： 毕达哥拉斯证法 【点击跳转至几何画板】 探究点一： 勾股定理的验证 新知探究 a b c 因为 S大正方形＝c2， S小正方形＝(b - a)2， 所以 S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形， b- a 证明： “赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积证明了这一命题，表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲！因此，这个图案被选为 2002 年在北京召开的国际数学家大会的会徽. 方法二： 赵爽弦图 【点击跳转至几何画板】 探究点一： 勾股定理的验证 新知探究 a a b b c c ∴a2 + b2 = c2. 证法三 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形， 求证：a2 + b2 = c2. 探究点一： 勾股定理的验证 新知探究 刘徽证法 欧几里得法 据不完全统计，验证的方法有 400多种，你有自己的方法吗？ 【点击跳转至几何画板】 探究点一： 勾股定理的验证 新知探究 如果一个三角形是钝角三角形或锐角三角形，那么它的三边长仍然满足“较长边的平方等于另外两边的平方和”吗？ 说说你的判断和理由，并与同伴进行交流. b a c b a c 探究点一： 勾股定理的验证 新知探究 ①在钝角三角形中，三边长分别为a，b，c，其中 c 为最大边长， 则 a2 + b2 < c2； b a c b a c ②在锐角三角形中， 三边长分别为a，b，c，其中 c 为最大边长， 则 a2 + b2 > c2. S = 9 S = 25 S = 10 S = 9 S = 10 S = 13 探究点一： 勾股定理的验证 新知探究 2 m 1.5 m A B D C 【活动2】 分小组讨论：一个门框的尺寸如图所示，一块长 4 m，宽 2.4 m 的长方形薄木板能否从门框内通过？ 为什么？ 探究点二： 勾股定理的简单运用 新知探究 木板从门框通过的方式 横着通过 竖着通过 斜着通过 2.4 m > l.5 m， 故横着无法通过 A B C D 1.5 m 2m A B C D 1.5 m 2m 2.4 m > 2 m， 故竖着无法通过 A B C D 1.5 m 2m 对角线 AC 是可斜着通过的最大长度，若 AC > 2.4m，则可以斜着通过 探究点二： 勾股定理的简单运用 新知探究 2 m 1.5 m A B D C 一个门框的尺寸如图所示，一块长 4 m，宽 2.4 m 的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？ 解：连接 AC，在Rt△ABC 中，根据勾股定理， AC2＝AB2＋BC2＝1.52＋22＝2.52. 所以 AC＝2.5 m. 因为 AC 大于木板的宽 2.4 m， 所以木板能从门框内通过. 探究点二： 勾股定理的简单运用 新知探究 例1 在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路 400 m 处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶. 他用红外测距仪测得汽车与他相距 400 m；过了 10 s，测得汽车与他相距 500 m. 你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10s的平均速度吗？ 分析：你能根据题意画出图形吗？在你画的图形中存在一个怎样的三角形？ 探究点二： 勾股定理的简单运用 新知探究 公路 B C A 400 m 500 m 解：根据题意，可以画出图，其中点 A 表示王叔叔所在位置，点 C、点 B 表示两个时刻蓝方汽车的位置. 由于王叔叔距离公路 400 m，因此∠C 是直角. 由勾股定理，可得 AB2 = BC2 + AC2， 也就是 5002 = BC2 + 4002， 所以 BC = 300. 蓝方汽车 10 s 行驶了 300 m， 那么它 1 s 行驶的距离为 300÷10 = 30 (m)， 即蓝方汽车这10 s 的平均速度为 30 km/h. 探究点二： 勾股定理的简单运用 新知探究 探究点二： 勾股定理的简单运用 练一练 1.如图，学校教学楼前有一块长为 4 米，宽为 3 米的长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草. （1）求这条“径路”的长； （2）他们仅仅少走了几步(假设 2 步为 1 米)？ 解：(1) 在Rt△ ABC 中， 根据勾股定理得 32 + 42 = 25， (2) 他们仅仅少走了 (3 + 4 - 5)×2 = 4(步). ∴这条“径路”的长为 5 米. AB = 5 (米) C A B 别踩我，我怕疼! 新知探究 1. 如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离， 一个观测者在C点设桩，使∠ABC＝90°，并测得 AC长为20m，BC长为16m，则A点和B点之间的距 离为(　B　) A. 25m B. 12m C. 13m D. 14m 第1题图 B 当堂反馈 2. 两只小鼹鼠在地下同一处打洞，一只朝下挖，每 分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，则 10min后两只小鼹鼠相距(　B　) A. 50cm B. 100cm C. 140cm D. 80cm B 当堂反馈 3. 如图，小明在荡秋千时发现当秋千AB在静止位 置时，下端B离地面0.5m，当秋千荡到AC位置 时，下端C距静止时的水平距离CD为4m，距地面 2.5m，则秋千AB的长为 m. 5　 第3题图 当堂反馈 4. 我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理 验证数学规律和公式，这种方法称之为“无字证 明”，它比严谨的数学证明更为优雅与有条理.下面 是用三块全等的直角三角形移、拼、补所形成的“无 字证明”图形.此图可以用来证明你学过的勾股定理. 若已知直角三角形两直角 边长分别为a，b，斜边 长为c，图①、图②的面 积相等，请你根据下面两 个图来验证勾股定理. 当堂反馈 解：图①的面积为S1＝ ab×3＋a2＋b2， 图②的面积为S2＝ ab×3＋c2. ∵图①、图②的面积相等， ∴ ab×3＋a2＋b2＝ ab×3＋c2. ∴a2＋b2＝c2. 解：图①的面积为S1＝ ab×3＋a2＋b2， 图②的面积为S2＝ ab×3＋c2. ∵图①、图②的面积相等， ∴ ab×3＋a2＋b2＝ ab×3＋c2. ∴a2＋b2＝c2. 当堂反馈 探索勾股定理 勾股定理的验证 勾股定理的简单运用 课堂小结 $