精品解析：福建省莆田擢英中学2025-2026学年上学期九年级数学第一次月考试卷

莆田擢英中学2025-2026学年度上学期第一学段九月考试试卷 初三数学 满分：150 分 考试时间：120 分钟 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列事件中必然事件是（ ） A. 车辆随机经过一个有交通信号灯的路口，遇到红灯 B. 某种彩票中奖率是，买这种彩票100张一定会中奖 C. 组内13位同学中有两人的生日在同一个月 D. 连续掷一枚均匀的硬币，若5次都是正面朝上，则第6次正面朝上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是事件的分类，事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件．根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，再对每一项进行分析即可． 【详解】解：A、是随机事件，故此选项不符合题意； B、是随机事件，故此选项不符合题意； C、是必然事件，故此选项符合题意； D、是随机事件，故此选项不符合题意， 故选：C． 2. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A. 开口向上 B. y有最小值是3 C. 对称轴是直线 D. 当时，y随x增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 根据二次函数的顶点式，判断函数图象的开口方向，最大值，对称轴与增减性，由此判断选项即可． 【详解】解：二次函数为， ∵， ∴函数图象开口向下，故A错误； ∵二次函数的顶点为，且开口向下， ∴y有最大值是3，故B错误； 根据二次函数的顶点可知对称轴为，故C错误； ∵对称轴为，且开口向下， ∴当时，y随x增大而增大，故D正确； 故选：D ． 3. 如果2是方程的一个根，那么c的值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义．解题运用“代入求值”思想，将方程的根代入方程转化为关于c的一元一次方程求解．解题关键是准确代入根并正确运算，易错点为代入或后续计算时出错． 根据方程根的定义，把代入方程，得到，然后通过移项、计算，求出c的值． 【详解】解：由题意，将代入方程，得： 解得． 故选：A． 4. 如图有一块四边形草地，，其中，，由于连续降雨使与之间积满污水，现在的延长线的交点处测得，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的判定与性质求解即可，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形中，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 故选：． 5. 如图1，长为，宽为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数（点在界线上不计入试验结果），得到如下数据： 由此可估计不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，解题的关键在于读懂折线统计图的含义． 根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，频率稳定在，再利用频率估计出概率，结合几何概率可知，不规则图案的面积与矩形面积的比为，进而即可求得不规则图案的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，该点落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 长方形的长为，宽为， 则长方形的面积为：， 不规则图案的面积大约为． 故选：B． 6. 九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为  （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是理解题意，找准等量关系． 假设全班有名学生，根据留言的数量，列出方程即可． 【详解】解：假设全班有名学生，根据题意得， 故选：C． 7. 已知二次函数（为常数）的图像与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数性质，以及解一元二次方程，解题的关键在于灵活运用相关知识． 根据题意求出，再将其代入一元二次方程求解，即可解题． 【详解】解：二次函数（为常数）的图像与轴的一个交点为， ， 解得， ， ， 解得， 故选：D． 8. 已知关于的方程的两根分别是方程两根的相反数，则的值为（ ）． A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系，若是方程的根，则是解题的关键． 设方程的两根分别为，根据根与系数的关系可得，由题得分别是方程的两根，再利用根与系数的关系得，结合前面的关系即可求解． 【详解】设方程的两根分别为， 由根与系数的关系得， 又关于的方程的两根分别是方程两根的相反数， 所以方程的两根分别为， 由根与系数的关系得， ， 解得， ． 故选：A． 9. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，动点D在折线段BAC上沿B→A→C方向以每秒1个单位的速度运动，过D垂直于BC的直线交BC边于点E．如果AB＝5，BC＝8，点D运动的时间为t秒，△BDE的面积为S，则S关于t的函数图象的大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分点D在AB上、点D在AC上运动时两种情况，分别求出函数表达式，进而求解． 【详解】解：过点A作AH⊥BC， ∵AB＝AC， ∴HB＝HC＝BC＝4， ∴cosB＝，则sinB＝； 当点D在AB上时， S＝×BE×DE＝＝，该函数为开口向上的抛物线； 当点D在AC上时，如图， 该函数为开口向下的抛物线， 故选：B． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解． 10. 已知二次函数的图象经过，两点，若，，则的值可能为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的大致图象，根据顶点式得到抛物线的对称轴为直线，由于抛物线过，两点，易知关于对称轴对称的点为，可知在上方，可得，然后解不等式后进行判断． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， 而，两点，则关于对称轴对称的点为：， ∵在上方， ∴， 解得． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 从数字2，3，4中任选两个数组成一个两位数，组成的数是偶数的概率是_________． 【答案】． 【解析】 【详解】解：画树状图为： 共有6种等可能的结果数，其中组成的数是偶数的结果数为4， 所以组成的数是偶数的概率=． 故答案为：． 12. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式，利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【详解】解：因为关于的方程有两个相等的实数根， 所以， 解得． 故答案为：． 13. 已知函数图象上的三个点，则的大小关系是（从小到大排列）________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象性质．二次函数图象为开口向上的抛物线，则点到对称轴的距离越远，对应函数值越大，据此即可判断． 【详解】解：二次函数图象为开口向上的抛物线，其对称轴为， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 已知，关于x的函数图象如图所示，当时，自变量x的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是函数图象，数形结合是解题的关键．写出函数图象轴下方的取值范围，即可求出答案． 【详解】解：根据函数图象可知，当时，自变量x的取值范围是或， 故答案为：或． 15. 将一条长为16米绳子截成两条绳子，分别用这两条围成两个正方形，求这两个正方形面积和的最小值___________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据题意得出二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：设其中一条的长度为，则另一条绳子的长度为，两个正方形的边长分别为，． 设两个正方形的面积之和为， 则． ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为8． 故答案为：8． 16. 如图，边长为6的正方形，E为边上一点，将沿翻折，点B的对应点为点P，连接并延长交边于点F，若，则的长是___________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、折叠性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 过点作，分别交，于点，过点作于点，先根据正方形的性质和矩形的判定与性质，结合全等三角形的判定与性质得到，再由折叠性质和勾股定理求得，则 ，然后证明，利用相似三角形的对应边成比例求得，进而可求解． 【详解】解：如图，过点作，分别交，于点，过点作于点， ， 四边形是正方形， 四边形，四边形，四边形和四边形都是矩形， ， 又， ， ， 将沿翻折，点的对应点为点， ， 在中， 由勾股定理，得， ， ， ， 又， ， ，即， 解得， ． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程﹣因式分解法，公式法，解决本题的关键是掌握解一元二次方程的方法． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解： ， 或， 解得，； 【小问2详解】 解： 其中，，， ， 解得，． 18. 已知二次函数的图象经过，，；求这个二次函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，根据所经过点的坐标特征，设二次函数表达式为，然后将代入求得a值即可． 【详解】解：二次函数图象经过点， 设二次函数表达式为， 二次函数图象经过点， ， 解得， 二次函数表达式为． 19. 在运动会中，老师随机调查了部分学生每人参加活动的项数，根据统计结果绘制出如图所示的统计图． （1）被调查的学生每人参加活动项数的中位数是_____项，平均数是_____项； （2）若被调查的学生中参加4项活动的学生是3名女生和1名男生，要从中随机选取2名参加区赛，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）2，2； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据平均数、中位数的含义即可求解． （2）利用列表法列出所有可能的结果数，再用概率公式求得一男一女的概率． 【小问1详解】 解：平均数：， ∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，有， ∴这组数据的中位数是2． 【小问2详解】 解：列表如下： 女 女 女 男 女 女女 女女 女男 女 女女 女女 女男 女 女女 女女 女男 男 男女 男女 男女 从表中可以看出，共有12种等情况数，选中一男和一女的情况数共6种， ∴P（恰好选中一男一女）． 【点睛】本题考查的是条形统计图的运用，求平均数，中位数，用列表法或画树状图法求概率；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率所求情况数与总情况数之比，能对图表信息进行具体分析和熟练掌握概率公式是解题关键比． 20. 已知关于的方程． （1）若此方程有实数根，求的取值范围； （2）当时，求以此方程的两根的绝对值为边长的等腰三角形的周长． 【答案】（1）k≥ （2）5 【解析】 【分析】（1）先将方程化为一般式，通过方程有实数根，则，将各个系数代入求解即可； （2）将k=-1代入方程，求出方程的两个根即可． 【小问1详解】 解：将方程化为一般式： ∵原方程有实数根， ∴， 则，解得：k≥， ∴k≥； 【小问2详解】 将k=-1代入得：，解得：，， ∴，， 经分析，等腰三角形腰长为2，底边长为1， ∴等腰三角形周长=2×2+1=5． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式以及三角形三边的关系，熟练掌握根的判别式是解题的关键．当时，方程有实数根；当时，方程无实数根． 21. 如图，在地面上的点处放置一块平面镜（镜子大小忽略不计），小华站在的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点时，测得小华到平面镜的距离米，小华的吸睛到地面的距离米．将平面镜从点沿的延长线移动10米到点处，小华移动到点处时，小华又刚好在平面镜中看到树的顶点，这时测得小华到平面镜的距离米．请根据以上测量过程及数据求出树的高度． 【答案】树的高度为米． 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，根据题意得出，利用相似三角形的性质得出，的长进而得出答案． 【详解】解：设米，米． ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 解得：， ， 树的高度为米． 22. 在一次社会实践活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两墙足够长），用6米长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设米． （1）如果花园的面积为5平方米，求x的值； （2）如果在点P处有一棵树到墙的距离分别是4米和1米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树粗细），直接写出花园面积的最大值． 【答案】（1）1或5 （2）8平方米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，熟知矩形的面积公式及二次函数的增减性是解题关键． （1）根据米可知米，再根据矩形的面积公式即可得出结论； （2）根据题意列出s和x的函数关系式，然后根据题意求出x的取值范围，然后根据函数的性质求出最大值． 【小问1详解】 解：设米，可知米， 根据题意得：． 解这个方程得：，， 答：x的值为1或5； 【小问2详解】 解：设周围的矩形面积为s， 则 ∵在P处有一棵树与墙、的距离分别是4米和1米， ∴， ∴． ∵抛物线开口向下，当时，s随x的增大而增大， ∴当时，s有最大值为， ∴花园面积的最大值是8平方米． 23. （1）已知a、b是方程的两个根，求 的值； （2）已知a、b、c均为实数，且，，求实数b的最大值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质，熟记根与系数的关系为，是解题的关键． （1）将进行整理得到，再根据根与系数的关系，得到的值，然后利用完全平方公式，即可解答； （2）将已知进行变形可得，则，利用二次函数的性质求解即可解答． 【详解】（1）解：由a、b是方程的两个根， 可得，， ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴当时，b有最大值，最大值为． 24. 在矩形中，点在边上，点在边上，连接，且，． （1）如图1．求证：； （2）如图2．点为线段上一点，连接，作交分别于点和点．且，求证：∽； （3）如图3．在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）的长为． 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质，同角的余角相等，结合已知可证，，等量代换，即可证得结论； （2）由等腰三角形的性质，结合同角（等角）的余角相等，可得，由矩形的性质，结合已知可得，从而可证得结论； （3）设，，作于，由，可得对应边相等，根据勾股定理，角平分线的性质，结合三角形的面积可得，可求出和，由（2）得，对应边成比例，可得，由等腰三角形的性质，同角的余角相等，结合已知可得，对应边成比例，可得，从而可得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 作于， ∵， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查矩形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，同角的余角相等，角平分线的性质，三角形相似的判定和性质． 25. 已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过B、C两点，与轴的另一交点为点． （1）如图1，求拋物线的解析式； （2）如图2，点为直线上方拋物线上一动点，连接，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，当最大值时，求点的坐标； （3）如图3，P、Q分别为抛物线上第一、四象限两动点，连接，分别交轴于M、N两点，若在P、Q两点运动过程中，始终有与的积等于2；试探究直线是否过某一定点；若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是，直线过定点 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质， （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设，过点D作轴交于G点，过点A作轴交于H点，由，可得 ，当时，有最大值为，此时； （3）设直线的解析式为，，当时，，，设直线的解析式为，直线的解析式为，当时，，当时，，，再由，可得，即，整理得，，由此可知直线经过点． 【小问1详解】 解：当时，， ， 当时， 将点B、C代入中， ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设， 过点作轴交于点，过点作轴交于点 ， ， ， 的面积为的面积为， 点为直线BC上方抛物线上， ， 当时，有最大值，此时； 【小问3详解】 解：直线过定点，理由如下: 设直线的解析式为， 当时，， 设直线的解析式为，直线的解析式为， 当时，， 当时，， 整理得，， 直线经过点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田擢英中学2025-2026学年度上学期第一学段九月考试试卷 初三数学 满分：150 分 考试时间：120 分钟 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列事件中必然事件是（ ） A. 车辆随机经过一个有交通信号灯的路口，遇到红灯 B. 某种彩票中奖率是，买这种彩票100张一定会中奖 C. 组内13位同学中有两人的生日在同一个月 D. 连续掷一枚均匀的硬币，若5次都是正面朝上，则第6次正面朝上 2. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A. 开口向上 B. y有最小值是3 C. 对称轴是直线 D. 当时，y随x增大而增大 3. 如果2是方程的一个根，那么c的值是（ ） A. 3 B. 2 C. D. 4. 如图有一块四边形草地，，其中，，由于连续降雨使与之间积满污水，现在的延长线的交点处测得，则的长度为（ ） A. B. C. D. 5. 如图1，长为，宽为的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数（点在界线上不计入试验结果），得到如下数据： 由此可估计不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 6. 九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为  （ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数（为常数）的图像与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的方程的两根分别是方程两根的相反数，则的值为（ ）． A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 9. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，动点D在折线段BAC上沿B→A→C方向以每秒1个单位的速度运动，过D垂直于BC的直线交BC边于点E．如果AB＝5，BC＝8，点D运动的时间为t秒，△BDE的面积为S，则S关于t的函数图象的大致形状是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象经过，两点，若，，则的值可能为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 从数字2，3，4中任选两个数组成一个两位数，组成的数是偶数的概率是_________． 12. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为_______． 13. 已知函数图象上的三个点，则的大小关系是（从小到大排列）________． 14. 已知，关于x的函数图象如图所示，当时，自变量x的取值范围是________． 15. 将一条长为16米绳子截成两条绳子，分别用这两条围成两个正方形，求这两个正方形面积和的最小值___________． 16. 如图，边长为6的正方形，E为边上一点，将沿翻折，点B的对应点为点P，连接并延长交边于点F，若，则的长是___________ 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程 （1）； （2）． 18. 已知二次函数的图象经过，，；求这个二次函数的解析式． 19. 在运动会中，老师随机调查了部分学生每人参加活动的项数，根据统计结果绘制出如图所示的统计图． （1）被调查的学生每人参加活动项数的中位数是_____项，平均数是_____项； （2）若被调查的学生中参加4项活动的学生是3名女生和1名男生，要从中随机选取2名参加区赛，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率． 20. 已知关于的方程． （1）若此方程有实数根，求的取值范围； （2）当时，求以此方程的两根的绝对值为边长的等腰三角形的周长． 21. 如图，在地面上的点处放置一块平面镜（镜子大小忽略不计），小华站在的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点时，测得小华到平面镜的距离米，小华的吸睛到地面的距离米．将平面镜从点沿的延长线移动10米到点处，小华移动到点处时，小华又刚好在平面镜中看到树的顶点，这时测得小华到平面镜的距离米．请根据以上测量过程及数据求出树的高度． 22. 在一次社会实践活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两墙足够长），用6米长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），设米． （1）如果花园的面积为5平方米，求x的值； （2）如果在点P处有一棵树到墙的距离分别是4米和1米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树粗细），直接写出花园面积的最大值． 23. （1）已知a、b是方程的两个根，求 的值； （2）已知a、b、c均为实数，且，，求实数b的最大值． 24. 在矩形中，点在边上，点在边上，连接，且，． （1）如图1．求证：； （2）如图2．点为线段上一点，连接，作交分别于点和点．且，求证：∽； （3）如图3．在（2）的条件下，若，，求的长． 25. 已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过B、C两点，与轴的另一交点为点． （1）如图1，求拋物线的解析式； （2）如图2，点为直线上方拋物线上一动点，连接，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，当最大值时，求点的坐标； （3）如图3，P、Q分别为抛物线上第一、四象限两动点，连接，分别交轴于M、N两点，若在P、Q两点运动过程中，始终有与的积等于2；试探究直线是否过某一定点；若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $