专题04 与三角形有关的复习压轴题 5大高频考点（期中真题汇编，河南专用人教版2024）八年级数学上学期

专题04 与三角形有关的复习压轴题 5大高频考点概览 考点01 三角形的内外角 考点02 多边形的内外角 考点03 角平分线的性质 考点04 全等三角形的性质 考点05 三角形全等的判定 地 城 考点01 三角形的内外角 1．(24-25八上·河南信阳潢川县·期中)如图，在中，三个内角的平分线交于点，过点作，交边于点，的外角平分线与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）已知，平分，平分，根据角平分线的定义得到的度数，根据内错角相等，两直线平行，即可判断本问结论； （2）根据两直线平行，内错角相等，可得，即可得到的度数，从而求出的度数；已知、分别为、的角平分线，根据角平分线的定义可得的度数，结合三角形内角和即可得到的度数． 【详解】（1）证明：∵，平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵、分别为、的角平分线， ∴， ∴． 2．(24-25八上·河南商丘宁陵县·期中)已知在和中，，，将如图摆放，使得的两条边分别经过点B和点C． (1)当将如图1摆放时，求的度数； (2)当将如图2摆放时，求的度数； (3)能否将摆放到某个位置时，使得、同时平分和？直接写出结论_______（填“能”或“不能”） 【答案】(1) (2) (3)不能 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的计算，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的数量关系． （1）先根据三角形内角和为和已知条件，求出和的度数，再次利用三角形内角和定理求出，最后根据，代入进行计算即可； （2）先根据三角形内角和为和已知条件，求出和的度数，再次利用三角形内角和定理求出，最后根据，代入进行计算即可； （3）先根据已知条件，求出，假设、同时平分和，求出，根据三角形内角和定理平行解答判断即可． 【详解】（1）解：，， ， ，， ， ， ， ； （2）解：，， ， ，， ， ， ， ； （3）解：不能，理由如下： ， ， ， 若、同时平分和， 则， ， ，与三角形内角和定理相矛盾， 不能将摆放到某个位置时，使得、同时平分和， 故答案为：不能． 3．(24-25八上·河南商丘宁陵县·期中)如图所示，点D在的延长线上，，，，，，求度数． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，平角的定义，熟练掌握三角形外角的性质是解决问题的关键．根据三角形的外角性质可求出，，再由平角的定义求解即可． 【详解】解：∵是的外角， ， ∵是的外角， ， ∵， ， ∴， ， 4．(24-25八上·河南洛阳洛龙区·期中)如图、分别是的高和中线，，，，，求： (1)的长； (2)与的周长的差； (3)，，求的度数． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的定义，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握这些性质和定义． （1）利用“面积法”来求线段的长度； （2）根据三角形周长公式计算即可； （3）根据已知条件结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：是的高，，，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴和的周长的差 （）−（） − − ； （3）解：∵，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 5．(24-25八上·河南洛阳西工区·期中)如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点分别叠放在长方形的两条对边上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的外角性质，依据平行线的性质，即可得到，再根据三角形外角性质，可得，进而得出，掌握平行线的性质和三角形的外角性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵长方形纸条的对边平行，， ∴， 根据三角形外角性质，可得， ∴， 故选：． 6．(24-25八上·河南洛阳涧西区·期中)如图，在中，平分，是边上的高，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质以及三角形的角平分线、中线和高，根据各角度数间的关系，求出及的度数是解题的关键．利用三角形的外角性质，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，由是边上的高，可得出，结合三角形内角和定理，可求出的度数，再结合，即可求出的度数． 【详解】解：是的外角，，， ． 平分， ． 是BC边上的高， ． ． ． 7．(24-25八上·河南许昌禹州·期中)如图，在中，平分，点为线段上的一点，过点作，交的延长线于点．若，，求的度数． 【答案】 【分析】由得，从而求得，根据三角形外角的性质可求得，再根据角平分线的定义可求得，从而根据三角形的内角和定理求得的度数． 【详解】解：， ， ， ． ， ． 是的角平分线， ， ． 【点睛】本题考查垂直的定义，角平分线，直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质． 8．(24-25八上·河南驻马店汝南县·期中)综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三个内角度数的一半． （1）如图1，在中，点是的内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程； 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】 （2）如图2，在中，．延长至，延长至，已知的平分线与外角的平分线相交于点，外角的平分线与的延长线相交于点，求的度数； 【变式拓展】 （3）如图3，四边形的内角的平分线与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，则的度数和是__________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】此本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质，是解题关键． （1）根据三角形外角的性质及角平分线的定义，即可得到答案 （2）先推导出，又由（1）的结论可得，进而可以求解 （3）延长，交于点M，延长、交于点N，得到，则，得到，由，由三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵点E是内角的平分线与外角的平分线的交点， ∴，， ∵，，， ∴， ∴； （2）∵平分，平分， ∴； 又∵平分， ∴ ∴； （3）延长，交于点M，延长、交于点N，如图所示， ∵、分别平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 地 城 考点02 多边形的内外角 9．(24-25八上·河南洛阳洛龙区·期中)一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于与它相邻的内角的， (1)求这个多边形一个外角的度数； (2)求这个多边形的边数． 【答案】(1)这个多边形每个外角的度数是； (2)这个多边形的边数是． 【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和等知识点， （1）由多边形的内角与相邻的外角互补，即可计算； （2）由多边形的内角和定理，即可计算． 熟练掌握多边形的内角和定理：（且n为整数）；多边形的外角和是是解决此题的关键． 【详解】（1）解：设多边形每个外角是，则它的每个内角是， 由题意得：， ∴， ∴这个多边形每个外角的度数是； （2）解：∵这个多边形每个外角的度数是， ∴这个多边形的边数是． 10．(24-25八上·河南商丘求实学校·期中)如图，四边形中，是边上的点，，交于点，．    (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多边形的内角和，三角形的内角和定理的应用． （1）根据垂直的定义，四边形的内角和是进行计算即可； （2）根据平角的定义以及已知条件得出，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴． 11．(24-25八上·河南驻马店确山县·期中)在日常生活中，观察各种建筑物的地板，你就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（）时，就拼成了一个平面图形． (1)如图，请根据下列图形，填写表中空格： 正多边形边数 … 正多边形每个内角的度数 … (2)如果限于一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？ (3)从正三角形、正方形、正六边形中选一种，再在其它正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成一个平面图，并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由． 【答案】(1)，，； (2)正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形； (3)正方形和正八边形，图见解析，符合条件的图形只有一种，理由见解析． 【分析】（）利用求解即可； （）根据正多边形的内角能构成角即可； （）设在一个顶点周围有个正方形的角，个正八边形的角，那么，应是方程的正整数解即可； 本题考查了正多边形的内角问题，平面镶嵌，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，，； （2）解：如限于用一种正多边形镶嵌，则由一顶点的周围角的和等于得正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形都能镶嵌成一个平面图形； （3）解：正方形和正八边形（如下图所示）， 理由：设在一个顶点周围有个正方形的角，个正八边形的角，那么，应是方程的正整数解， 即的正整数解，只有一组， ∴符合条件的图形只有一种． 12．(24-25八上·河南驻马店平舆县·期中)（1）一个多边形除了一个内角之外，其余内角之和为，求这个多边形的边数和少加的内角的大小； （2）若多边形所有内角与它的一个外角之和为，求这个多边形的边数及内角和． 【答案】（1）多边形的边数为，少加的内角的大小为：；（2）多边形的边数为，内角和为；多边形的边数为，内角和为 【分析】本题考查的是多边形的内角和与外角和的综合． （1）根据题意可得已知内角和加上这个内角后应为的整数倍； 结合，进而确定边数及未加的内角即可； （2）根据多边形外角和为，由，得到这个多边形的一个外角可能为或，进而确定边数及内角和． 【详解】解：（1）∵这个多边形的内角和少加了一个内角， ∴实际内角和大于，且加上这个内角后应为的整数倍， ∵， ∴多边形边数为， 少加内角的度数； （2）， ∵多边形外角和为， ∴这个多边形的一个外角可能为或， ∵多边形内角和应为的整数倍， ∴多边形边数为或， ∴当这个多边形的一个外角可能为时，多边形的边数为，多边形内角和为：； 当这个多边形的一个外角可能为时，多边形的边数为，多边形内角和为：． 13．(24-25八上·河南驻马店平舆县·期中)根据下列各图求值： (1)如图1，求； (2)如图2，求； (3)如图3，求； (4)如图4，求． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查三角形的内角和、三角形外角的性质，多边形的内角和的计算方法，适当的转化是解决问题的关键． （1）连接，利用三角形内角和定理即可解答； （2）根据三角形外角的性质表示出，再根据三角形外角和为即可解答； （3）根据三角形外角的性质表示出，再根据四边形外角和为即可解答； （4）连接，由三角形内角和定理得到，即可得到为五边形的内角和，利用多边形内角和公式即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴； （3）解：如图， ∵， ∴； （4）解：如图，连接， ∵，， ∴ ∴ ， ． 14．(24-25八上·河南开封第十四中学·期中)下列各角度不是多边形内角和的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多边形的内角和定理．掌握多边形的内角和公式（n整数，）是解题的关键． 根据多边形的内角和公式（n整数，），逐一判断，即得． 【详解】设每个多边形是n边形，（n整数，） A、，解得，符合； B、，解得，符合； C、，解得，不符合； D、，解得，符合． 故选：C． 地 城 考点03 角平分线的性质 15．(24-25八上·河南南阳南召县·期中)（1）①如图1，平分，，，求证：． ②由①可得到命题：“角平分线上的点到角两边的距离相等”．请把该命题写成“如果……那么……”的形式． （2）如图2，平分，，，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明． （3）如图3，在四边形中，，，，于点，请直接写出，，的数量关系． 【答案】（1）①见解析；②如果一点在一个角平分线上，那么这个点到这个角两边的距离相等 （2）结论成立，理由见解析 （3）． 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理是解题的关键． （1）①根据已知条件，可得，可证得，即可求证； ②根据命题的概念解答； （2）作，于．根据角平分线的性质可得，再由，可得，从而证得，即可得解； （3）连接．作于．根据，可得，可证得，从而得到，，再证明，可得，即可得解． 【详解】（1）①证明：∵平分， ∴ ，， ， 在和中， ， ， ； ②解：如果一点在一个角平分线上，那么这个点到这个角两边的距离相等； （2）解：（1）中的结论成立；理由如下： 如图②中，作于E，于， 平分，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （3）；理由如下： 如图③中，连接．作于． ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ∴， ， ， 即． 16．(24-25八上·河南许昌禹州·期中)在中，是边上一点（不与点，重合），连接． (1)如图1，当点是边的中点时，_________； (2)如图2，当平分时，若，，求的值；（用含，的式子表示） (3)如图3，平分，延长到点，使得，连接．若，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解此题的关键． （1）过作于，根据三角形面积公式求出即可； （2）过作于，于，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出即可； （3）根据已知和（1）（2）的结论求出和的面积，即可求出答案； 【详解】（1）解：过作于， 点是边上的中点， ， ， 故答案为： （2）解：如图所示，过点作于点，过点作于点， 为的平分线， ． ，， ，， ； （3）解：，，平分， 由（2）知，． ， ． ， 由（1）知，， ． ． 17．(24-25八上·河南许昌禹州·期中)如图，已知的周长是，，分别平分，，于点，且，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 作于，于，连接，根据角平分线的性质分别求出、，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：作于，OF⊥AC于，连接， 平分，，， ，同理，， 的周长是， ， 的面积， 故答案为： 18．(24-25八上·河南漯河实验中学·期中)已知：如图，在中，是的平分线，点是的中点，于，于．试猜想和的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】，证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，由角平分线的性质可得，进而证明即可求证，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：． 证明：是的平分线，于，于， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 19．(24-25八上·河南商丘永城实验中学·期中)如图，的三边的长分别为，三条角平分线交于点．则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，分别过点作于，于，于，由角平分线的性质可得，即可得，据此即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，分别过点作于，于，于， ∵为的角平分线， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 20．(24-25八上·河南洛阳西工区·期中)如图，平分，于点，若，点是边上一动点，关于线段叙述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，过点作于，利用角平分线上的点到角两边的距离相等以及点到直线的距离中，垂线段最短即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵平分，， ∴， ∵点是边上一动点， ∴根据垂线段最短得， 故选：． 21．(24-25八上·河南濮阳·期中)如图，在中，，平分 于E，点F在边上，连接． (1)求证： ； (2)若 ，求 的长度； (3)若 ，直接写出BE的长度（用含 m，n的代数式表示）． 【答案】(1)见解析； (2)1； (3)． 【分析】（1）应用角平分线到角两边的距离相等这个条件，证明，然后证明； （2）用条件：，先证明，然后求出； （3）根据（2）证明出的结果，直接写出代数式． 此题考查知识点：角平分线的性质、三角形全等的判定、代数式，准确掌握直角三角形判定HL是解答问题的关键． 【详解】（1）解：∵ 平分， ， 在和中， ∴，   ∴； （2）解：∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴，      ，       故答案为：3； （3）解：由（2）证明可得： ， 故答案为． 22．(24-25八上·河南开封第十四中学·期中)如图，钝角三角形的面积为14，最长边，平分，点M、N分别是、上的动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】过点作于点，交于点，过点作于点，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值．本题考查了垂线段最短，角平分线的性质，关键是将的最小值为转化为，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点，过点作于点， 平分，，， ， 当、、三点共线时，有最小值， ， 三角形的面积为14，， ， ． 即的最小值为4． 故答案为：4． 23．(24-25八上·河南周口川汇区·期中)如图，是的三条角平分线的交点，连接，，，若，，的面积分别为，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的三边关系，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点O作，，，根据角平分线的性质得，再根据，即可判断． 【详解】解：过点O作，，，如图所示， ∵点是的三条角平分线的交点， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 故选：B． 24．(24-25八·河南信阳息县关店理想学校·期中)如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是 ． 【答案】6 【分析】此题考查了角平分线的性质．作于，由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：作于， 由尺规作图可知，为的平分线，又，， ， 的面积． 故答案为：6 地 城 考点04 全等三角形的性质 25．(24-25八上·河南周口太康县·期中)如图，，点A对应点D，点B对应点E，点B、F、C、E在同一条直线上． (1)求证：； (2)请你判断和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质、线段的和差、平行线的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，再由线段的和差计算即可得证； （2）由全等三角形的性质可得，再由平行线的判定定理即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴． 26．(24-25八上·河南新乡辉县第一民族学校·期中)如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为设点的运动速度为，当时，x的值为 ；当时，x的值为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查全等三角形的性质，路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识进行分类解决问题．当时，可得：；当时，， 根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：当时，可得：， 运动时间相同， ，的运动速度也相同， ； 当时， ，， ， ， 故答案为：或． 27．(24-25八上·河南商丘宁陵县·期中)三个全等三角形按如图的形式摆放，则的度数是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握全等三角形的性质是解题关键．直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出，，进而得出答案． 【详解】解：如图所示： 由图形可得：， 三个全等三角形， ， 又， ， 的度数是． 故选：A 28．(24-25八上·河南商丘求实学校·期中)已知，且，则长度（设为）的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和三角形的三边关系等知识点，由全等三角形的性质可得，再由三角形的三边关系即可得解，熟练掌握全等三角形的性质和三角形的三边关系并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ，即， 故选：B ． 地 城 考点05 三角形全等的判定 29．(24-25八上·河南信阳息县关店理想学校·期中)（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、猜想线段，，之间的数量关系是______． （2）组员小明想，如果三个角不是直角，那（1）的结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、A、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角请问（1）的结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）常老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，若，点为线段的三等分点，则的面积为______． 【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3）8 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形边的等分点、三角形的面积公式等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）先证明出，得出、，再根据线段的和差即可得到数量关系； （2）证明，得出、，再根据线段的和差即可得到数量关系； （3）如图，过点作于，的延长线于．同（1）可证、可得、、；再证明可得；由点A为线段的三等分点，得，设，，则、，最后根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 故答案为：． （2）仍然成立，证明如下： ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． （3）证明：如图，过点作于，的延长线于． 同（1）可得，， ，，， 在和中， ， ， ， 点A为线段的三等分点， ， 设，， ， ，， 的面积． 30．(24-25八上·河南驻马店新蔡县·期中)如图，在中，是高和的交点， ，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了三角形的高，余角性质，全等三角形的判定和性质，由三角形的高和余角性质可得，进而可证，得到，进而可得，则，即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的高， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 31．(24-25八上·河南辉县太行中学·期中)如图，在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明得出，即可得解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 32．(24-25八上·河南商丘民权县民权县双塔乡第二初级中学·期中)如图，点在上，连接，，交于点，且为的中点．若求的长． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质；根据平行线的性质可得，根据线段中点的性质可得，进而证明，得出，进而即可求解． 【详解】解：，． ， 为的中点 ， 在和中， ， ， ， ． 33．(24-25八上·河南洛阳涧西区·期中)如图，E，F为线段上两点，，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定，关键是判定．判定，推出，即可证明． 【详解】证明：，， . ， ， 即. 在和中， ， . ， . 34．(24-25八上·河南南阳镇平县·期中)如图，在中，点F在边上，于点D，于点，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，证明，得出，再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 35．(24-25八上·河南商丘求实学校·期中)在平面直角坐标系中，直角的两边分别交轴和轴于点，若点坐标为，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，三角形全等的判定与性质，过点P作轴于E，轴于F，证明，推出即可解答． 【详解】解：过点P作轴于E，轴于F， 点坐标为， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 36．(24-25八上·河南南阳南召县·期中)如图，点、分别为的边、上的点，，，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 连结，由，，，根据“”证明，则，由，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连结， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 37．(24-25八上·河南南阳南召县·期中)如图，，，图中全等三角形的对数是（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；注意：从已知条件开始寻找，从由易到难，逐个验证，做到不重不漏． 先利用证明，，得到，再用证明即可． 【详解】解：，，， ， ． ，，， ∴． 又∵，，， ． ∴图中共有3对全等三角形． 故选：C． 38．(24-25八上·河南商丘求实学校·期中)为测量一块区域间的距离，提供了以下方案：如图1，先在平地上取一个可直接到达的点，连接，并分别延长至点，延长至点，使，最后测出的长即为间的距离． (1)请你说说该方案可行的理由； (2)由于在处有一堵墙阻挡了路线，使得无法按照题干的方案测出的长，但在图2中可测得，请据此求出间的距离． 【答案】(1)该方案可行，理由见解析 (2)，之间的距离为 【分析】本题考查了全等三角形的应用，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）该方案是利用全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的； （2）延长，交于，根据平角的定义得到，根据三角形的内角和定理得到，由知识窗求得，于是得到结论． 【详解】（1）解：该方案可行，理由如下：； 在和中， ， ， ； 故该方案可行； （2）解：如图②，延长，交于， ， ， ，， ， ， ， ， 由（1）知， 故，之间的距离为． 39．(24-25八上·河南商丘求实学校·期中)如图， (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据，即可证明； （2）先求出，根据全等三角形的性质可得，然后根据即可求解． 【详解】（1）证明： ， 在和中 ； （2）解：， ， ， ， ． 40．(24-25八上·河南驻马店汝南县·期中)如图，，． (1)求证：； (2)若，则__________°． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质．熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键． （1）利用“”证明，即可证明； （2）利用全等三角形性质得，利用直角三角形两个锐角互余得． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴． （2）解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：15． 41．(24-25八上·河南许昌禹州·期中)如图所示，在中，过点作，垂足为，延长至点，在边上截取，连接．已知，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明得出即可． 【详解】证明：，， ， ， ， ∴， 在和中， ， ∴， ． 42．(24-25八上·河南驻马店泌阳县·期中)如图，某村庄有一块五边形的田地，即五边形，其中，，连结对角线 (1)与之间的数量关系为____________； (2)为保护田内农作物不被牲畜踩踏，村里决定给这块田地的五边上围一圈栅栏，已知每米栅栏的建造成本是50元，则建造栅栏共需花费多少元？ (3)在和区域种上小麦，已知每平方米田地的小麦播种量为18克，则需要提前准备小麦种子____________千克． 【答案】(1) (2)12000元 (3)32.4 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质． （1）由直接可以得到； （2）延长至点G，使，证得，得到，，进而可得的周长，再用周长可得结论； （3）利用（2）中结论可得，运用三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，延长至点G，使，连接． ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 在与中， ∴， ∴， ∴ ， 五边形的周长， （元）． 答：建造木栅栏共需花费12000元； （3）解：∵由（2）得， ∴， ∴， ∴需小麦种数量为：（千克）， 故答案为：32.4． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04与三角形有关的复习压轴题 ☆5大高频烤点概览 考点01三角形的内外角 考点02多边形的内外角 考点03角平分线的性质 考点04全等三角形的性质 考点05三角形全等的判定 目目 考点01 三角形的内外角 1.(24-25八上河南信阳潢川县·期中)如图，在△ABC中，三个内角的平分线交于点0，过点0作 OD⊥OB,交边BC于点D,△ABC的外角平分线与CO的延长线交于点F. (1)求证：BFJOD: (2)若∠F=35°，求∠BAC的度数 2.(24-25八上河南商丘宁陵县期中)已知在△ABC和△DEF中，∠A=50°，∠E+∠F=80°，将 △DEF如图摆放，使得∠D的两条边分别经过点B和点C D 图1 图2 (I)当将△DEF如图1摆放时，求∠ABD十∠ACD的度数： (2)当将△DEF如图2摆放时，求∠ABD+∠ACD的度数： (3)能否将△DEF摆放到某个位置时，使得BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB？直接写出结论 (填 “能”或“不能”) 3.(24-25八上河南商丘宁陵县期中)如图所示，点D在AB的延长线上，∠A=x°十15°，∠E=x°， 1/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠C=2x°，∠D=55°-x°，∠EBC=65°，求∠A度数. B Ax°+15° 55°-x9>D 65 2x E 4.(24-25八上·河南洛阳洛龙区·期中)如图AD、AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm,AC=8cm ,BC=10cm,∠BAC=90°，求： B D E (1)AD的长； (2)△ACE与△ABE的周长的差： (3)∠B=50°，∠C=∠EAC,求∠DAE的度数. 5.(24-25八上·河南洛阳西工区·期中)如图，将一张含有30°角的三角形纸片的两个顶点分别叠放在长方形 的两条对边上.若∠2=40°，则∠1的度数为() 30°1L 2 A.10° B.20° C.90°- D.a-40 6.(24-25八上河南洛阳涧西区·期中)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,AE是BC边上的高，若 ∠ABC=38°，∠ACE=78°，求∠DAE的度数， B D CE 7.(24-25八上河南许昌禹州期中)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,点P为线段AD上的一点，过点 P作PE⊥AD,交BC的延长线于点E.若∠B=35°，∠E=25°，求∠ACB的度数. 2/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D 8.(24-25八上·河南驻马店汝南县·期中)综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型 加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验. E B B 图1 图2 图3 【结论发现】三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三个内角度数的 一半。 (1)如图1，在△ABC中，点E是△ABC的内角∠ACB平分线CE与外角∠ABD的平分线BE的交点， 则有∠E=∠A,请给出证明过程； 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】 (2)如图2，在△ABC中，∠ABC=42°.延长BA至G,延长AC至H,已知∠BAC的平分线AE与外 角∠BCH的平分线CE相交于点E,外角∠GAH的平分线AF与EC的延长线相交于点F,求∠F的度数； 【变式拓展】 (3)如图3，四边形ABCD的内角∠BCD的平分线与外角∠ABG的平分线形成如图所示形状.己知 ∠A=160°，∠D=80°，则∠E+∠F的度数和是 目目 考点02 多边形的内外角 9.(24-25八上河南洛阳洛龙区·期中)一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于与它相邻的内 角的号， (1)求这个多边形一个外角的度数： 3/13 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (2)求这个多边形的边数. 10.(24-25八上河南商丘求实学校期中)如图，四边形ABCD中，∠D=90°，E是BC边上的点， EF⊥AE,交CD于点F,∠EFD=110°. D ● (1)求∠DAE的度数； (2)若∠AEB=∠CEF,求∠C的度数， 11.(24-25八上·河南驻马店确山县期中)在日常生活中，观察各种建筑物的地板，你就能发现地板常用各种 正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留 下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点 拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角(360·)时，就拼成了一个平面图形. (1)如图，请根据下列图形，填写表中空格： 正多边形边数 3 4 5 6 n 正多边形每个内角的度数 60° 120° (2)如果限于一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？ (3)从正三角形、正方形、正六边形中选一种，再在其它正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边 形镶嵌成一个平面图，并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由 12.(24-25八上河南驻马店平舆县·期中)(1)一个多边形除了一个内角之外，其余内角之和为2850°，求 这个多边形的边数和少加的内角的大小： (2)若多边形所有内角与它的一个外角之和为960°，求这个多边形的边数及内角和. 13.(24-25八上·河南驻马店平舆县期中)根据下列各图求值： 4/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D 6 B 图1 图2 图3 图4 (1)如图1，求∠1+∠2+3+∠4： (2)如图2，求∠1+∠2+3+∠4+∠5+∠6： (3)如图3，求∠1+∠2+3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8： (4)如图4，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G, 14.(24-25八上·河南开封第十四中学期中)下列各角度不是多边形内角和的是() A.1800 B.540° C.2100° D.1080° 目目 考点03 角平分线的性质 15.(24-25八上河南南阳南召县期中)(1)①如图1，AD平分∠BAC,∠ABD+∠ACD=180°， ∠ABD=90°，求证：BD=CD ②由①可得到命题：“角平分线上的点到角两边的距离相等”.请把该命题写成“如果那么”的形式. (2)如图2，AD平分∠BAC,∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，(1)中的结论是否成立？请作 出判断并给予证明， (3)如图3，在四边形ABDC中，DB=DC,∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，DE⊥AB于点E ，请直接写出AB,AC,BE的数量关系. B 图1 图2 图3 16.(24-25八上河南许昌禹州期中)在△ABC中，D是BC边上一点（不与点B,C重合），连接AD 5/13 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E B C B4 B D D 图1 图2 图3 (I)如图1，当点D是BC边的中点时，S△4BD:S△4cD= (2)如图2，当AD平分∠BAC时，若AB=m,AC=n,求S△4BD:S△4cD的值；（用含m,n的式子表示） (3)如图3，AD平分∠BAC,延长AD到点E,使得AD=DE,连接BE.若AC=4,AB=6,S△AD=6 ,求S△4BE的值. 17.(24-25八上·河南许昌禹州期中)如图，已知△ABC的周长是31，B0,C0分别平分∠ABC,∠ACB ,OD⊥BC于点D,且OD=4,则△ABC的面积为 A D 18.(24-25八上河南漯河实验中学·期中)已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，点D是BC的 中点，DF⊥AB于F,DE⊥AC于E,试猜想AB和AC的数量关系，并证明你的猜想. F O 19.(24-25八上河南商丘永城实验中学·期中)如图，△ABC的三边AB,BC,CA的长分别为20,30,20， 三条角平分线交于点0.则S△4B0:S△B0cS△c40等于() B A.1:1:1 B.2:3:2 C.2:2:3 D.3:2:2 6/13 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 20.(24-25八上河南洛阳西工区·期中)如图，AP平分∠CAB,PD⊥AC于点D,若PD=8,点E是边AB 上一动点，关于线段PE叙述正确的是() C D B A.PE=8 B.PE>8 C.PE≤8 D.PE28 21.(2425八上河南濮阳期中)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,点F 在边AC上，连接DF (1)求证：AC=AE; (2)若DF=DB,AB=5,AF=3,求BE的长度； (3)若DF=DB,AB=m,AF=n,直接写出BE的长度（用含m,n的代数式表示）. 22.(24-25八上河南开封第十四中学期中)如图，钝角三角形ABC的面积为14，最长边AB=7,BD平分 ∠ABC,点M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为一 B 23.(24-25八上河南周口川汇区·期中)如图，0是△ABC的三条角平分线的交点，连接0A,0B,0C, 若△OAB,△OAC,△OBC的面积分别为S1,S2,S3,则下列关系正确的是() A.S1+S2=S3 B.S1+S2>S3 7/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.S1+S2<S3 D.S1+S2=2S3 24.(2425八河南信阳息县关店理想学校期中)如图，在△ABC中，∠C=90·，以点A为圆心，适当长 为半径画弧，分别交AC,AB于点M,N,再分别以点M,N为圆心，大于专MN的长为半径画弧，两弧交 于点P,作射线AP交BC于点D,若CD=2,AB=6,则△ABD的面积是一 目目 考点04 全等三角形的性质 25.(24-25八上河南周口太康县期中)如图，△ABC兰△DEF,点A对应点D,点B对应点E,点B、 F、C、E在同一条直线上. (I)求证：BF=EC (2)请你判断AC和DF的位置关系，并说明理由. 26.(24-25八上河南新乡辉县第一民族学校·期中)如图，AB=7cm,AC=BD=4cm, ∠CAB=∠DBA,点P在线段AB上以2cms的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向 点D运动.它们运动的时间为t(s),设点Q的运动速度为xcm/s,当△ACP兰△BPQ时，x的值 为 ;当△ACP兰△BQP时，x的值为 D 0 B 27.(24-25八上河南商丘宁陵县期中)三个全等三角形按如图的形式摆放，则上1+∠2+3的度数是() 8/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.1800 B.200° C.360 D.无法确定 28.(24-25八上河南商丘求实学校期中)已知△ABC兰△DEF,且AB=3,EF=6,则AC长度（设为 m)的取值范围为() A.0<m<3 B.3<m<9 C.6<m<9 D.3<m<6 目目 考点05 三角形全等的判定 29.(24-25八上河南信阳息县关店理想学校期中)(1)某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种 典型的基本图形.如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线经过点A,BD⊥直线 ，CE⊥直线，垂足分别为点D、E.猜想线段DE,BD,CE之间的数量关系是· (2)组员小明想，如果三个角不是直角，那(1)的结论是否会成立呢？如图2，将(1)中的条件改为： 在△ABC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线1上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=《,其中a为 任意锐角或钝角.请问(1)的结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由 (3)常老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、 AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG,AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I,若HI=6,点A为 线段HI的三等分点，则△ABC的面积为 图1 图2 图3 30.(24-25八上河南驻马店新蔡县·期中)如图，在△ABC中，F是高AD和BE的交点，AD=BD,CD= 2,AF=3,则BC的长为 9/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E 31.(24-25八上河南辉县太行中学期中)如图，在△ABC中，AD=DE,AB=BE,∠A=80°，则 ∠CED= D B E 32.(24-25八上河南商丘民权县民权县双塔乡第二初级中学·期中)如图，AB川CF点D在AB上，连接AC, DF,交于点E,且E为DF的中点.若AB=10cm,CF=7cm,求BD的长. 夕 C 33.(24-25八上河南洛阳涧西区期中)如图，E,F为线段BC上两点，AB=CD,AF⊥BC,DE⊥BC, CF=BE,求证：ABCD. E B D 34.(24-25八上河南南阳镇平县期中)如图，在△ABC中，点F在边BC上，FD⊥AC于点D, DE⊥AB于点E,AD=CF,AE=CD,若∠CFD=40°，则∠A=(） E D 10/13