专题05 与等腰三角形有关的复习压轴题 5大高频考点（期中真题汇编，河南专用人教版2024）八年级数学上学期

专题05 与等腰三角形有关的复习压轴题 5大高频考点概览 考点01 三线合一 考点02 等腰三角形的性质和判定 考点03 根据等角对等边证明边相等 考点04 等边三角形的判定和性质 考点05 含30度角的直角三角形 地 城 考点01 三线合一 1．(24-25八上·河南洛阳涧西区·期中)如图，在中，，，是的中点，点，分别在边，上，且满足，则四边形的面积为（） A．36 B．18 C．9 D． 【答案】C 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，证明是解题的关键．由，，得，，由是的中点，得，，，则，而，即可根据“”证明，则，推导出，于是得到问题的答案． 【详解】解：，， ，， 是的中点， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， 故选：C． 2．(24-25八上·河南洛阳涧西区·期中)“洛阳牡丹甲天下，丽景城楼世无双”，诗中提到的丽景门具有“中原第一楼”“古都第一门”的美誉．如图，丽景门的顶端可看作等腰三角形，，D是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 根据等腰三角形“三线合一”的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、∵，， ∴，即是的高线， ∵是等腰三角形，， ∴是的角平分线，故此选项不符合题意； B、∵是等腰三角形，， ∴是的角平分线，故此选项不符合题意； C、若，不能说明是的角平分线，故此选项符合题意； D、∵， ∴是的角平分线，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．(24-25八上·河南商丘求实学校·期中)下面是多媒体上展示的一道习题，请你将下面的解题过程补充完整． 试题：如图，中，，平分交于点，于点，交于点，求的度数． 解：根据三角形的内角和定理可知： _______°， 又， 根据计算可知_______°； _______°， 又平分， _______（填两个角的数量关系）_______°， _______．， ． 【答案】180；80；90；；30；60； ，，30 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，数形结合是解答本题的关键．由三角形内角和定理得，由三线合一可求出，然后根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：根据三角形的内角和定理可知： ， 又， 根据计算可知； ， 又平分， ， ， ． 故答案为：180；80；90；；30；60； ，，30． 4．(24-25八上·河南驻马店平舆县·期中)如图，在等腰三角形的底边的高上取一点E，连接，，则图中全等三角形的对数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，注意不要漏解．由已知证出，从而运用全等三角形性质及判定方法证明，． 【详解】解：图中的全等三角形共有3对． 理由如下：∵，， ∴，，， 在与中， ， ∴， 在与中 ， ∴． 在与中 ， ∴， 故选：C． 5．(24-25八上·河南南阳方城县·)如图，中，，D为上一点，E是上一点，且，若，则的长是（    ） A．7 B．9.5 C． D．10 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形，过点作，垂足为，利用证明，进而可得，最后利用等腰三角形的三线合一性质进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， 故选：D． 6．(24-25八下·河南郑州新郑·期中)如图，在中，的面积为的垂直平分线交于点，若为边的中点，是线段上一动点，则周长的最小值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】连接、，如图所示，由，为边的中点，由等腰三角形三线合一性质可得，根据，，求出，因为是垂直平分线，则周长，当三点共线时，最小，值为，又，得到周长最小值为． 【详解】解：连接、，如图所示： ∵，为边的中点， ∴由等腰三角形三线合一性质可得， ∵，的面积为， 即， 则， 解得， ∵是垂直平分线， ∴， ∴， 则当三点共线时，取得最小值，这个最小值就是的长度， 又∵为边的中点，， ∴， ∴周长最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查动点最值问题-两点之间线段最短，涉及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、中点定义、三角形面积公式的应用及三角形周长公式．解题的关键在于利用垂直平分线的性质将的周长进行转化，然后通过三角形面积求出相关线段长度，进而由两点之间线段最短分析出周长的最小值． 7．(23-24八上·河南安阳第十中学、七中、十一中等十校联考·期中)如图，于，且，，若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，利用等腰三角形三线合一的性质得到，，再证明，得到． 【详解】解：过点A作于点H， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为． 地 城 考点02 等腰三角形的性质和判定 8．(24-25八上·河南南阳方城县·)综合与实践 已知：中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧，且． (1)操作填空 如图1，当点D在线段上时，过点E作于H， ①找出始终与相等的角　　，与相等的线段　　； ②直接写出，，的关系　　； (2)类比探究： 如图2，当点D在线段的延长线上时，连接，连接交的延长线于点M，求证：； (3)拓展应用： 当点D在射线上时，连接交直线于M，若，请直接写出的值． 【答案】(1)①；或；②； (2)见解析 (3)或1 【分析】（1）①由，，，得，所以，即可证明，则， ②根据全等三角形的性质解答即可； （2）作交的延长线于点，先证明，得，再证明，得； （3）作交的延长线于点，先证明，得，，所以，可证明，得，再分两点情况，一是点在的延长线上，设，则，由，则，于是用表示出，，即可求解；二是点在线段上，设，则，则，同理求解即可． 【详解】（1）解：①如图1，，，，   ， ， 在和中， ， ， ，． 故答案为：；； ②由①可知，， ，， ， ， 即， 故答案为：； （2）证明：如图2，作交的延长线于点，   ，，， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． （3）解：如图3，点在的延长线上，作交的延长线于点，则，   ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ， ， ，， ， 的值为； 如图4，点在线段上，设，则，   ， ， ， ，， ， 综上所述，的值为1或． 【点睛】此题是三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、有关三角形的面积问题的求解等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 9．(24-25八上·河南驻马店平舆县·期中)如图，在中，分别是和的平分线，过点E作，分别交于点D，F．若，，则的周长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，平行线的性质以及角平分线的定义根据平行线的性质和角平分线的定义得出，，进而解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵、分别是和的平分线， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ． 故选：A． 10．(24-25八上·河南漯河郾城区·期中)（1）正多边形的每个内角比它相邻的外角的倍还多，求这个多边形的对角线条数． （2）已知等腰三角形周长为cm，腰长为cm，求的取值范围． 【答案】（1）条；（2） 【分析】（1）设多边形的一个外角为，列方程求出，再根据对角线公式求出答案； （2）根据三角形两边之和大于第三边及周长的限制，确定的取值范围． 【详解】解：（1）设多边形的一个外角为，则与其相邻的内角等于， 由题意，得，解得， 即多边形的每个外角为， 又∵多边形的外角和为， ∴多边形的外角个数， ∴多边形的边数为， ∴这个多边形的对角线条数（条）； （2）∵等腰三角形周长为cm，腰长为cm，根据三角形的三边关系得， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了多边形内角与外角，等腰三角形三边关系的性质，三角形三边关系定理，解不等式组，熟练掌握多边形内角与相邻外角的关系和三角形三边关系定理是解题的关键． 11．(24-25八上·河南安阳五中教育集团·期中)【综合与实践】 问题情境：安阳市第五中学实施“五育并举”，在数学第二课堂上，同学们以等腰三角形为背景展开探究． 如图1，在中，，D为射线上（不与B、C重合）一动点，在的右侧射线的上方作，使得，，连接． （1）求证：； 独立思考： （2）延长交的延长线于点F，若，利用（1）中的结论求出的度数． 拓展延伸： （3）当D在线段上时，若线段，面积为6，则四边形周长的最小值为______． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）10 【分析】（1）利用证明即可； （2）延长交的延长线于点F，利用三角形外角性质可得，再由求出，即可求得答案； （3）过点A作于点F，根据四边形周长，可知当最小时，四边形周长最小，即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：如图1，延长交的延长线于点F，， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，过点A作于点F， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形周长， 当最小时，四边形周长最小， ∴，即与AF重合时，， ∴四边形周长的最小值； 故答案为：10． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 12．(24-25八上·河南洛阳·期中)如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定、角平分线的定义以及平行线的性质等知识，由平行线的性质得，，再证明，，然后证明，，即可得出结论． 【详解】解： ， ，， 和的平分线分别交于点，， ，， ，， ，， ，， ． 故答案为：． 13．(24-25八上·河南洛阳·期中)如图，在中，，，为线段上一动点（不与点、点重合），连接，作，交线段于点．以下四个结论：①；②当为中点时，；③当时，；④当为等腰三角形时，．其中正确的结论为（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理；①根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到；故①正确；②根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到，故②正确；③根据全等三角形的性质得到；故③正确；④根据三角形外角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到或，当时，，求出，故④错误． 【详解】解：①， ， ，， ；故①正确， ②为中点，， ， ， ， ， ， ，故②正确， ③， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故③正确， ④， ， ， 为等腰三角形， 或， 当时，， ， ， ， ，故④错误， 综上所述，①②③正确， 故选：B． 14．(24-25八上·河南濮阳·期中)阅读下面材料 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出问题：如图①．在中，若，，求边上的中线取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是_______； A．    B．   C．   D． （2）由三角形三边的关系可求得长的取值范围是________； 解后反思：题中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到一个三角形中． （3）【初步运用】 如图②，是的中线，交于E，交于F，且，若，，求线段的长． 【答案】（1）D；（2）；（3）8． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形三边关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由三角形的中线的性质可得，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，，，即，再由三角形三边关系即可得解； （3）延长至，使得，连接，由（1）可得：，得出，，再证明，即可得解． 【详解】解：（1）延长到点E，使， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 故选：D； （2）∵， ∴，，， ∴， 在中，，即， ∴， ∴； （3）如图，延长至，使得，连接， ， 由（1）可得：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．(24-25八上·河南南阳方城县·)同学们在学了“第13章三角形全等和等腰三角形”的知识之后，掌握了两种证明线段相等的方法，即看两条线段若在同一个三角形中，常证明其所在的三角形为等腰三角形，若两条线段在不同的三角形中，常证明两个三角形全等．请同学们尝试利用上述方法解决下面的问题： 如图（1），中，，垂足为D，平分，交于点E，交于点F； (1)求证：； (2)将图（1）中的沿向右平移到的位置，使点落在边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：与有怎样的数量关系？请证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)猜想：．证明见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等角对等边、图形的平移等知识． （1）利用余角和对顶角的性质得到，即可证明结论； （2）证明，则，由（1）可知，即可证明猜想成立． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵于D， ∴， ∴ ∴； （2）猜想：． 证明：如图， ∵， ∴． ∵于D， ∴， ∴，即． 由平移的性质可知：， ∵平分， ∴， ∴即 在与中， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴． 16．(24-25八上·河南周口川汇区·期中)如图，直线过等腰直角的直角顶点，点、点到直线的距离，，分别为，，则梯形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 先根据等腰直角三角形的性质证得，即可得出，进而即可求解． 【详解】解：∵，， 是等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 17．(24-25八上·河南周口川汇区·期中)如图，在中，，平分，于点，于点，与交于点，于点，且与交于点．则下面的结论：①；②；③．其中正确结论的序号有（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形综合．熟练掌握等腰三角形判定和性质，线段垂直平分线的性质是解决本题的关键．根据，得到，根据，得到，即可判断①；根同角的余角相等可判断②，连接，根据角平分线定义得到，根据线段垂直平分线性质得到，进而得到，根据三角形外角性质得到，根据，推出，即得，即可判断③． 【详解】解：①， ， ， ， ， ， ， ， 故本选项符合题意； ②， ， ， ， 故本选项符合题意； ③如图，连接， ，平分， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 故本选项符合题意； 故选：． 地 城 考点03 根据等角对等边证明边相等 18．(24-25八上·河南洛阳涧西区·期中)如图，在中，，的平分线交于点，过点作于点，交于点，过点作于点．下列结论中正确的有　　个．①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由角平分线定义得到，由余角的性质得到，由对顶角的性质得到，因此，过作于，由角平分线的性质得到，由三角形面积公式得到，由余角的性质得到，由角平分线定义得到，因此，由角平分线的性质得到，由等腰三角形的判定推出，得到． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ， 故①符合题意； 过作于， 平分，， ， ，， ， 故②符合题意； ， ， 平分， ， ， 故③符合题意； 平分，，， ， ， ， ， 故④符合题意， 结论中正确的有4个． 故选：D． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，余角的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等． 19．(24-25八上·河南周口川汇区·期中)在和中，与相交于点，，． (1)求证：； (2)利用尺规作图，在线段上确定点，使（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的判定，尺规作图，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）证明，得出，根据等腰三角形的判定即可求解； （2）延长与，交于点，连接，并延长与交于点，根据等腰三角形的判定和线段垂直平分线的判定，即可求解． 【详解】（1）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图所示． 20．(24-25八上·河南周口川汇区·期中)如图，某旅游区要在景观湖的湖心小岛上修建一个度假村，需要知道景点与小岛的距离，施工人员的设计方案如下：在岸边确定点，画出，，射线交于点，只需量出线段的长，就可以知道景点与小岛的距离． (1)说明这样设计的理由； (2)实际测量时，由于在处有一堵墙阻挡了测量路线，无法直接测量出，间的距离，施工人员改进了方案，量得，，，，，求景点与小岛的距离． 【答案】(1)理由见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定和等腰三角形的判定是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定进行证明即可； （2）根据三角形内角和定理和三角形外角的性质判断出，进而即可求解． 【详解】（1）解：理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴测量出线段的长度，就可以知道景点与小岛的距离． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴景点与小岛的距离是． 21．(24-25八上·河南商丘柘城县·期中)已知:如图，中，于点D，平分，且于点E，与交于点F，H是边的中点，连接与交于点G． (1)求证:； (2)求证:． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）由，得是等腰直角三角形，进而可证明，由全等三角形的性质即可证明结论； （2）易证，从而有；由，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴；    ∵， ∴，即； 在和中， ， ∴，    ∴； （2）证明：∵平分， ∴ 在和中， ， ∴，    ∴； 又∵，    ∴． 22．(23-24八下·河南焦作温县·期中)在中，平分交于点D．将沿的方向平移，使点D移至点C的位置，得到，且交于点G．猜想线段与之间数量的关系，并说明理由．    【答案】，理由见详解 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，角平分线的定义，先由平移得出，，则，再结合角平分线的定义，得出，再根据等角对等边，即可作答． 【详解】解：，理由如下： ∵将 沿的方向平移，使点 D移至点 C 的位置，得到， ∴，， ∴， ∵平分交于点D， ∴， 则， ∴， ∴． 23．(23-24八上·河南开封龙亭区金明中学·期中)在中，，如图①，当，为的角平分线时，在上截取，连接，易证． (1)如图②，当，为的角平分线时，请直接写出你的猜想： (2)如图③，当为的外角平分线时，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明． 【答案】(1)猜想： (2)猜想：．证明见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定定理．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用． （1）首先在上截取，连接，易证，则可得，，又由，，所以，即，易证，则可求得； （2）首先在的延长线上截取，连接，易证，可得，，又由，易证，则可求得． 【详解】（1）解：猜想：． 证明：如图，在上截取， ∵为的角平分线时， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）猜想：． 证明：在的延长线上截取，连接． ∵平分， ∴． ∵，，， ∴． ∴，． ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴． ∴． ∴． 24．(24-25八下·河南焦作焦作城乡一体化示范区·期中)如图，在和中，，，与交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，先证明得，再由等角对等边即可得证．掌握“等角对等边”是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 25．(23-24八上·河南新乡长垣·期中)如图中，、的角平分线交于点，过作交于，交于． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，等角对等边； （1）根据三角形内角和定理可得，根据角平分线的定义可得，进而根据三角形内角和定理即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，，根据平行线的性质可得，，则，，根据等角对等边可得，，进而即可得出结论． 【详解】（1）∵， ∴ ∵、的平分线交于点 ∴， ∴ ∴ （2）∵、的平分线交于点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 地 城 考点04 等边三角形的判定和性质 26．(24-25八上·河南信阳淮滨县台头乡初级中学·期中)如图，是等边内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，见解析 (3)或或时，是等腰三角形 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的性质及判定，分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况是解题的关键． （1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得是等边三角形； （2）根据全等可得，继而得到，即可求解； （3）根据题中所给的全等及的度数可得的度数，进而得到的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可． 【详解】（1）证明：， ． ， 是等边三角形． （2）解：是直角三角形．理由如下： 是等边三角形， ． ，， ， ． 是直角三角形． （3）解：是等边三角形， ． ，， ， ， ． ①当时，， ； ②当时，， ； ③当时，， ； 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 27．(24-25八上·河南商丘永城实验中学·期中)如图，为线段上一动点（不与点重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接．下列结论①；②；③是等边三角形；④；⑤平分．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】由和是等边三角形，可得，，，进而可证，即可判断①；利用等边三角形的性质可得，再根据平行线的性质得到，即可得 ，即可判断②；根据可得，得到，，可判断③；根据知，据此可判断④；过点作，，垂足分别为点，由可得，即可得，再根据角平分线的判定即可判断⑤，据此即可求解． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴，， 故①正确； ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴是等边三角形，故③正确； ∴， ∴， ∴， 故④正确； 如图，过点作，，垂足分别为点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上， ∴平分，故选项⑤正确； 综上，正确的有①②③④⑤，共个， 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，角平分线的判定，平行线的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 28．如图，在等边三角形中，点D在上，点E在的延长线上，且． 【问题发现】 （1）如图①，当D为的中点时，探究线段与的数量关系，请你直接写出结论：______（填“＞”“＜”或“＝”） 【类比探究】 （2）如图②，当点D为边上任意一点时，探究线段与的数量关系，并写出证明过程； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知D是等边三角形的边的中点，，P、Q分别为射线、射线上的动点，且，若，直接写出的长． 【答案】（1）=；（2），证明见解析过程；（3）的长为9或1 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，，从而得到，由等边对等角结合三角形外角的定义及性质可得，即可推出； （2）过点D作，交于点M，结合等边三角形的判定与性质，证明即可得证； （3）分两种情况：当点Q在线段的延长线上时，当点Q在线段上时，分别求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵为等边三角形，D为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 故答案为：=； （2），证明如下： 如图②，过点D作，交于点M， ， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）的长为9或1，理由如下： 当点Q在线段的延长线上时， 如图③，作交于点M， ， 由（2）知为等边三角形， ∴，， ∵D为等边的边的中点，, ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 当点Q在线段上时，如图④， 同理可证明， 则， 综上所述，的长为9或1． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，证明三角形全等是解此题的关键． 29．(23-24八上·河南许昌·期中)如图，，，延长至D，使，连接，则 ． 【答案】105 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理和三角形外角的性质，过点D作于E，连接，则，根据等边对等角得到，再证明是等边三角形，得到，接着证明，推出是等腰直角三角形， 得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于E，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：105． 30．(23-24八上·河南漯河郾城区·期中)在等边三角形中，点E在直线上，点D在直线上，且，请根据下列题组情境进行解答： (1)如下图，当点E为的中点时，下列结论中正确的是______；（填序号） ①        ②    ③    ④ (2)当点E不为的中点时，（1）中哪个正确的结论仍成立？请结合下图进行证明； (3)若的边长为3，，请直接写出的长． 【答案】(1)①②③ (2)证明见解析 (3)2或4 【分析】（1）根据等边三角形的三线合一可以判断①；同时得到，再根据等边对等角得到，依次判断②③④； （2）过作交于点，由题意可得是等边三角形，可得，可利用“”证明 可得； （3）分点在上和在的延长线上，类似（2）证得全等，再利用平行得到所求线段的长． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，点E为的中点， ∴，，故①正确； 又∵， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④错误； ∴正确的有①②③， 故答案为：①②③； （2）解：当E为边上任意一点时，仍成立； 证明：如图1，过E作交于点F． ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， 即， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：因为，的边长为，所以点可能在线段上，也可能在的延长线上， 当点在时，由 可知，则； 当点在的延长线上时，如图，过点作，交的延长线于点， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴，是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∴， ∴ ． 故答案为：或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质等知识，利用全等得到，再找和的关系是解题的关键． 31．(23-24八上·河南新乡牧野区河南师范大学附属中学·期中)如图，为等边三角形，点D与点C关于直线对称，E，F分别是边和上的点，，与交于点G，交于点H．下列四个结论不一定成立的是（   ）    A． B． C． D． 为等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．根据等边三角形的性质证得，可判断选项A；则，利用三角形外角性质可求；延长至点，使，证明为等边三角形，得到，，证得，可得，即可得到，可判断选项B；证明，由全等三角形的性质即可得出，可判断选项C；由，，，可判断选项D． 【详解】解：是等边三角形， ，， 在和中，， ，故选项A成立； ， ∴， 延长至点，使，如图，   ， 为等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， 而， ；故选项B成立； 连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 而不一定等于，故选项C不成立； ④如图，    ∵，，， ∴，即， ∴是等边三角形，故选项D成立； 故选：C． 32．(23-24八上·河南漯河源汇区实验中学·期中)如图，，均是等边三角形，点A，C，B在同一条直线上，且，分别与，交于点M，N，连结．则下列结论：（1）；（2）为等边三角形；（3）平分；（4）；（5）平分．其中正确的有（  ） 【答案】（1）（2）（3）（4） 【分析】证明，由全等三角形的性质得出，证得，由全等三角形的性质得出，再由，判定为等边三角形，进而得到，根据平行线的判定得出，连接，过点C作于点P，作于点Q，根据三角形面积公式和角平线定理可证（3），再证，可判断（5），即可解答． 【详解】解：和均是等边三角形， ，，， 点A，C，B在同一条直线上， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， 为等边三角形， ， ， ， 故（2）（4）正确， 如图，连接，过点C作于点P，作于点Q， ， ，， ， ， ，， 平分， 故（3）正确， 在和中， ， ， ， 不一定等于， 不一定平分， 故（5）不正确， 所以，正确的有（1）（2）（3）（4）， 故答案为：（1）（2）（3）（4）． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，角平线定理，平行线的判定，属于综合压轴题，难度较大，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 地 城 考点05 含30度角的直角三角形 33．(24-25八上·河南洛阳西工区·期中)如图，在中，是内两点，平分，若，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，延长交于M，延长交于N，得出为等边三角形，是含30度角的直角三角形，求出的长，根据三线合一求出的长即可． 【详解】解：延长交于M，延长交于N， ∵，平分， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 34．(24-25八上·河南信阳息县·期中)如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边对等角得出，证明，即可得证； （2）证明为等边三角形．得出，由直角三角形的性质可得，求出，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴，． ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形． ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 35．(24-25八下·河南郑州高新区朗悦慧外国语中学·期中)如图，在等边中，D是边上的一点，点E在边的延长线上．    (1)若，D为的中点，求证：． (2)过点D作于点M，在（1）的条件下，当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键： （1）三线合一，等边对等角，得到，三角形的外角求出，即可得证； （2）作于点，三线合一结合含度角的直角三角形的性质推出，即可得解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）作于点，如图，    ∵， ， ，， ， ， ， ． 36．(24-25八下·河南平顶山鲁山县两校·期中)如图，是等边三角形，E，F分别是边上的点，且且交于点P，且 垂足为G． (1)求证：； (2)若求的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得到，再证明，即可得出结论； （2）求出，得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 在与中， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴在中， ， ∵， ∴． 37．(24-25八下·河南郑州新郑·期中)如图，等边三角形的边长为9，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】过点D作，交于F，先证是等边三角形，再证，得，设，则，最后根据在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半，计算，即可． 【详解】解：如下图，过点D作，交于F，   是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， 点P为中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，在直角三角形中，的角所对的边是斜边的一半，解题的关键是作辅助线证明． 38．(24-25八下·河南郑州·期中)已知和均是等边三角形． (1)与之间的数量关系为_____； (2)如图2，当绕点C旋转至点D，且在的延长线上时，，，存在什么数量关系？并说明理由； (3)如图3，当绕点C旋转至经过点B时，过点A作于点F，请直接写出线段，与之间的数量关系． 【答案】(1)相等 (2)，理由见解析 (3) 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判断，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由等边三角形得到，，，然后证明出，即可得到； （2）同（1）可得，结合，可得结论； （3）如图所示，连接，同（1）可得，，得到，，然后求出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）相等，理由如下： ∵和均是等边三角形 ∴，， ∴ ∴ ∴； （2），理由如下： 同（1）可得， ∴ ， ∵， ∴； （3），理由如下： 如图所示，连接 同（1）可得， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 39．(23-24八下·河南郑州高新区·期末)如图，在中，，D是边上的动点，过点D作交于点E，将沿折叠，点A的对应点为点F，当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】4或2/2或4 【分析】当为直角三角形时，分两种情况和，然后根据30度角的直角三角形的性质结合求解即可．本题考查了折叠的性质，平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 【详解】解：∵，， ∴． ∵将沿翻折，点A的对应点为F， ∴，， ∴， ∴当为直角三角形时，分两种情况： ①当时， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ②当时，如图， 则：， ∴， ∴， ∴； 综上：或； 故答案为：4或2． 40．(23-24八上·河南商丘春来学校·期中)已知等边的边长为，点，分别是直线，上的动点． (1)如图1，当点从顶点沿向点运动，点同时从顶点沿向点运动，它们的速度都为，到达终点时停止运动．设它们的运动时间为秒，连接，． ①当时，求的度数． ②当为何值时是直角三角形？ (2)如图2，当点在的延长线上，在上，若，请判断、和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；②当或秒时，为直角三角形 (2)，理由见解析 【分析】（1）①利用等边三角形的判定，得出是等边三角形，，进而即可求解； ②利用分类思想，分两种情形：当时，当时，分别根据直角三角形的性质，列出方程，解方程即可； （2）过点作，交于，证明，得出，根据，得出，即可证明结论. 【详解】（1）解：①根据题意得：当时，， ∵等边三角形的边长为， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，是等边三角形， ∴， ∴； ②由题意知，， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 当时， ∵， ∴， ∴， 得， 解得； ∴当或秒时，为直角三角形； （2）解：，理由如下： 如图所示，过点作，交于， 则是等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，数学分类思想，构造辅助线，证明三角形的全等是解题的关键. 41．(23-24八上·河南漯河郾城区·期中)如图，为等边三角形，，，相交于点E． (1)求证：垂直平分； (2)求的长； (3)若点F为的中点，点P在上，则的最小值为______．（直接写出结果）． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)6 【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定及性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）先证明，再证明，即可求证； （2）求出，利用直角三角形角所对直角边等于斜边的一半即可求解； （3）连接交于点，连接的最小值为，求出即可． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分； （2）解：∵， ∴平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：连接交于点，连接， ∵是的垂直平分线， ∴、关于对称， 的最小值为 是的中点， 故答案为：6． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05与等腰三角形有关的复习压轴题 ☆5大高频烤点概览 考点01三线合一 考点02等腰三角形的性质和判定 考点O3根据等角对等边证明边相等 考点04等边三角形的判定和性质 考点05含30度角的直角三角形 目目 考点01 三线合 1.(24-25八上河南洛阳涧西区·期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90·,AC=BC=6,D是AB的中 点，点E,F分别在边AC,CB上，且满足AE=CF,则四边形CEDF的面积为() A.36 B.18 C.9 D.号 2.(24-25八上河南洛阳润西区·期中)“洛阳牡丹甲天下，丽景城楼世无双”，诗中提到的丽景门具有中原第 一楼“古都第一门”的美誉.如图，丽景门的顶端可看作等腰三角形ABC,AB=AC,D是边BC上的一点. 下列条件不能说明AD是△ABC的角平分线的是() A.∠ADB=∠ADC B.BD=CD C.BC=2AD D.∠BAD=∠DAC 3.(2425八上河南商丘求实学校期中)下面是多媒体上展示的一道习题，请你将下面的解题过程补充完整. 试题：如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=40°，AP平分∠BAC交BC于点P, BN⊥AP于点M,交AC于点N,求∠CBN的度数. 1/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 解：根据三角形的内角和定理可知： ∠ABC+∠ACB+∠BAC= 0, 又∠BAC=60°，∠ACB=40°， :根据计算可知∠ABC=°； :BNL AP,∠AMB=, 又：AP平分∠BAC, :∠BAP= (填两个角的数量关系)∠BAC=°， :∠ABM=90°-∠BAP= ·， ∠CBN=∠-----∠----- 4.(24-25八上·河南驻马店平舆县·期中)如图，在等腰三角形ABC的底边BC的高AD上取一点E,连接BE ,CE,则图中全等三角形的对数为() D A.0 B.1 C.2 D.3 5.(24-25八上河南南阳方城县)如图，△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，E是AB上一点，且 ∠BDE=90°，DB=DE=AE,若BC=5,则AD的长是() B C 2/15 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.7 B.9.5 c.75 D.10 6.(24-25八下，河南郑州新郑期中)如图，在△ABC中，AB=AC,BC=6,△ABC的面积为18，AB的 垂直平分线EF交AC于点F,若D为BC边的中点，M是线段EF上一动点，则△BDM周长的最小值为() E M B D A.6 B.8 C.9 D.10 7.(23-24八上河南安阳第十中学、七中、十一中等十校联考期中)如图，AM1MN于M,且 MN:NC=1:2,AN=AC,若∠NAC=40°，则∠MAN= 目目 考点02 等腰三角形的性质和判定 8.(24-25八上河南南阳方城县)综合与实践 己知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB,D为直线BC上一动点，连接AD,在直线AC右侧 AE⊥AD,且AE=AD. E M D B 图1 图2 备用图 (1)操作填空 如图1，当点D在线段BC上时，过点E作EH⊥AC于H, 3/15 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①找出始终与∠E相等的角一，与HE相等的线段一： ②直接写出BD,AH,HE的关系： (2)类比探究： 如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接DE,连接BE交CA的延长线于点M,求证：BM=EM: (3)拓展应用： 当点D在射线CB上时，连接BB交直线AC于M,若AC=3CM,请直接写出二的值。 9.(24-25八上·河南驻马店平舆县·期中)如图，在△ABC中，BECE分别是∠ABC和∠ACB的平分线， 过点E作DFBC,分别交AB,AC于点D,F.若AB=4,AC=3,则△ADF的周长为() A.7 B.8 C.9 D.10 10.(24-25八上·河南漯河郾城区·期中)(1)正多边形的每个内角比它相邻的外角的3倍还多36°，求这个 多边形的对角线条数. (2)已知等腰三角形周长为10cm,腰BC长为xcm,求x的取值范围. 11.(24-25八上河南安阳五中教育集团·期中【综合与实践】 问题情境：安阳市第五中学实施“五育并举”，在数学第二课堂上，同学们以等腰三角形为背景展开探究. A 图1 备用图 备用图 如图1，在△ABC中，AB=AC,D为射线BC上（不与B、C重合）一动点，在AD的右侧射线BC的上 方作△ADE,使得AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE. (1)求证：△ABD≌△ACE; 独立思考： (2)延长EC交AB的延长线于点F,若∠F=30·,利用(1)中的结论求出∠DCE的度数. 拓展延伸： (3)当D在线段BC上时，若线段BC=4,△ABC面积为6，则四边形ADCE周长的最小值为 4/15 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 12.(24-25八上河南洛阳期中)如图，在△ABC中，DE‖BC,∠ABC和∠ACB的平分线分别交DE于点 F,G,若FG=2,DE=6,则DB+EC的值为_ B 13.(24-25八上·河南洛阳期中如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=40°，D为线段BC上一动点（不 与点B、点C重合)，连接AD,作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E.以下四个结论：① ∠CDE=∠BAD;②当D为BC中点时，DE⊥AC;③当∠BAD=30°时，BD=CE;④当△ADE为 等腰三角形时，∠EDC=30·,其中正确的结论为() 402X40 B D A.①②③④ B.①②③ C.①②④ D.①③④ 14.(24-25八上·河南濮阳·期中)阅读下面材料 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出问题：如图①.在△ABC中，若AB=12,AC=8,求BC边上的中线 AD取值范围. D ① ② 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E,使DE=AD,请根据小明方法思考： (1)由己知和作图能得到△ADC兰△EDB的理由是 A.HL B.SSS C.AAS D.SAS (2)由三角形三边的关系可求得AD长的取值范围是」 解后反思：题中出现“中点“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的 5/15 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 结论集中到一个三角形中， (3)【初步运用】 如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF,若EF=5,EC=3,求线段 BF的长. 15.(2425八上·河南南阳方城县)同学们在学了“第13章三角形全等和等腰三角形”的知识之后，掌握了两 种证明线段相等的方法，即看两条线段若在同一个三角形中，常证明其所在的三角形为等腰三角形，若两 条线段在不同的三角形中，常证明两个三角形全等.请同学们尝试利用上述方法解决下面的问题： 如图(1)，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D,AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB 于点F: DA 图(1) 图(2) (1)求证：CE=CF; (2)将图(1)中的△ADE沿AB向右平移到△AD'E的位置，使点E落在BC边上，其它条件不变，如图(2) 所示.试猜想：BE与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论 16.(24-25八上河南周口川汇区·期中)如图，直线1过等腰直角△ABC的直角顶点A,点B、点C到直线的 距离BD,CE,分别为5cm,12cm,则梯形BDEC的面积为一· B D A E 17.(2425八上河南周口川汇区·期中)如图，在△ABC中，∠ACB=45°，CD平分∠ACB,CD⊥AB于 点D,BE⊥AC于点E,CD与BE交于点H,EF⊥BC于点F,且与CD交于点G.则下面的结论：① S△BEF=S△FC:②∠ABE=∠ACD:③DB=DG.其中正确结论的序号有() A A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 6/15 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点03 根据等角对等边证明边相等 18.(24-25八上·河南洛阳涧西区·期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于 点D,过C点作CG⊥AB于点G,交AD于点E,过D点作DF⊥AB于点F.下列结论中正确的有()个 ①∠CED=∠CDE;②S△4EC:S△AEG=AC:AG;③2∠DAF=∠GCB;④CE=DF. D E G F A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 19.(24-25八上河南周口川汇区·期中)在△ABC和△ABD中，AC与BD相交于点E,AD=BC, AC=BD. D (1)求证：AE=BE: (2)利用尺规作图，在线段AB上确定点P,使PD=PC(保留作图痕迹，不写作法)· 20.(24-25八上·河南周口川汇区期中)如图，某旅游区要在景观湖的湖心小岛P上修建一个度假村，需要知 道景点A与小岛P的距离，施工人员的设计方案如下：在岸边确定点B,画出∠BAC=∠BAP, ∠ABD=∠ABP,射线AC、BD交于点E,只需量出线段AE的长，就可以知道景点A与小岛P的距离. (1)说明这样设计的理由； (2)实际测量时，由于在GH处有一堵墙阻挡了测量路线，无法直接测量出A,E间的距离，施工人员改进了 方案，量得∠BAC=63°，∠ABD=60°，∠AGH=114°，AG=300m,GH=400m,求景点A与 7/15 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 小岛P的距离， 21.(24-25八上河南商丘柘城县期中)已知如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD1AB于点D,BE平分 ∠ABC,且BE⊥AC于点E,与CD交于点F,H是BC边的中点，连接DH与BE交于点G. B H (I)求证：BF=AC: (2)求证：CE=BF 22.(23-24八下·河南焦作温县·期中)在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D.将△ABD沿BC的方向 平移，使点D移至点C的位置，得到△EFC,且EF交AC于点G.猜想线段GC与GE之间数量的关系， 并说明理由. B 23.(23-24八上河南开封龙亭区金明中学·期中在△ABC中，∠ACB=2∠B,如图①，当∠C=90·, AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE=AC,连接DE,易证AB=AC十CD. B D D C B C 图1 图2 图3 (1)如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，请直接写出你的猜想： (2)如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、ACCD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想， 并对你的猜想给予证明， 24.(24-25八下·河南焦作焦作城乡一体化示范区·期中)如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90 ,AC=BD,AC与DB交于点M,求证：MB=MC. 8/15 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B 25.(23-24八上河南新乡长垣·期中)如图△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点F,过F作 DEBC交AB于D,交AC于E. (1)若∠A=50°，求∠BFC的度数： (2)求证：DE=BD+CE 目目 考点04 等边三角形的判定和性质 26.(24-25八上·河南信阳淮滨县台头乡初级中学期中)如图，0是等边△ABC内一点，D是△ABC外的 一点，∠A0B=110°，∠0CD=60°，∠B0C=,△B0C兰△ADC,连接0D. 1109 (1)求证：△OCD是等边三角形； (2)当a=150·时，试判断△A0D的形状，并说明理由； (3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形 27.(24-25八上河南商丘永城实验中学期中)如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧 分别作等边△ABC和等边△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接 PQ.下列结论①AD=BE:②∠A0B=60°：③△PQC是等边三角形；④PQIAE;⑤0C平分∠A0E .其中正确的有() 9/15 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B E A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 28.如图，在等边三角形ABC中，点D在BC上，点E在AB的延长线上，且CD=BE 【问题发现】 (1)如图①，当D为BC的中点时，探究线段AD与DE的数量关系，请你直接写出结论：AD DE(填 “><”或“=”) 【类比探究】 (2)如图②，当点D为BC边上任意一点时，探究线段AD与DE的数量关系，并写出证明过程： 【拓展延伸】 (3)如图3，已知D是等边三角形ABC的边BC的中点，AB=10,P、Q分别为射线AB、射线CA上的 动点，且∠PDQ=120°，若AQ=4,直接写出BP的长. B B ① ② ③ 29.(23-24八上河南许昌·期中)如图，△ABC,∠ABC=30°，∠ACB=15°，延长BA至D,使 AD=AB,连接CD,则∠D= D 30.(23-24八上河南漯河郾城区·期中)在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且 ED=EC,请根据下列题组情境进行解答： (1)如下图，当点E为AB的中点时，下列结论中正确的是 ；(填序号) ①CE⊥AB ②BD=AE③∠BDE=∠ACE④∠AED=120· 10/15