第05讲 空间直线、平面的垂直（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第05讲 空间直线、平面的垂直 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 直线与平面垂直的定义 4 知识点2 直线与平面垂直的判定定理 4 知识点3 直线与平面垂直的性质定理 6 知识点4 平面与平面垂直的定义 7 知识点5 平面与平面垂直的判定定理 7 知识点6 平面与平面垂直的性质定理 8 题型破译 8 题型1 证明线线垂直 8 题型2 证明线面垂直 9 题型3 证明面面垂直 11 题型4 面面垂直的性质定理 13 题型5 鳖臑几何体中的垂直 15 04真题溯源·考向感知 17 05课本典例·高考素材 19 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）直线与平面垂直的判定定理 （2）直线与平面垂直的性质定理 （3）平面与平面垂直的判定定理 （4）平面与平面垂直的性质定理 单选题 多选题 填空题 解答题 天津卷，第17题，15分 天津卷，第6题，5分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出几何体求解线与面的关系，以及动点问题。设题稳定，难度中档，分值为15分或5分 复习目标： 1.理解、掌握空间集体中的线面关系。 2.能掌握线面垂直的问题。 3.会解空间中的动点问题，利用线与面中的垂直关系去参数问题。 知识点1：直线与平面垂直的定义 1.异面直线所成的角 （1）定义：已知两条异面直线，，经过空间任一点作直线，，则与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）． （2）异面直线所成的角的取值范围：． （3）如果两条异面直线，所成的角是_________，就说这两条直线互相垂直，记作． 2.直线与直线垂直的定义 两条直线垂直的定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直． 3、直线和平面垂直的定义 如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作．直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离． 自主检测下列命题中正确的有 ①四边形可以确定一个平面； ②若一条直线与一个平面平行，则这条直线平行于这个平面内的任意一条直线； ③若两平面平行，则一个平面内的任一直线必平行于另一个平面； ④若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直； ⑤过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直； ⑥过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行. 知识点2：直线与平面垂直的判定定理 文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线_________，则该直线与此平面垂直． 图形语言： 符号语言： 特征：线线垂直线面垂直 注意：（1）判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视． （2）要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要． 相关的重要结论 ①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条． ②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直． ③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直． 自主检测已知，，表示三条不同的直线，，表示不同的平面，则（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，，则 知识点3：直线与平面垂直的性质定理 1、基本性质 文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线． 符号语言： 图形语言： 2、性质定理 文字语言：____________________________________． 符号语言： 图形语言： 自主检测如图，在直三棱柱中，，，，是直线上一动点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 知识点4：平面与平面垂直的定义 平面与平面垂直定义 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直． 表示方法：平面与垂直，记作． 画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的_________垂直．如图： 自主检测如图所示，在三棱锥中，若，E是的中点，则下列说法中正确的是（    ） A．平面⊥平面； B．平面⊥平面； C．平面⊥平面，且平面⊥平面； D．平面⊥平面，且平面⊥平面． 知识点5：平面与平面垂直的判定定理 平面与平面垂直的判定定理 文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 符号语言： 图形语言： 特征：线面垂直面面垂直 注意： 平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”．因此，处理面面垂直问题转化为处理_________问题，进一步转化为处理线线垂直问题．以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面内的一条直线垂直即可． 自主检测 已知是直线，，是两个不同的平面，下列正确的命题是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 知识点6：平面与平面垂直的性质定理 1、性质定理 文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 符号语言： 图形语言： 注意：面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的_________，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法． 2、平面与平面垂直性质定理的推论 如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内． 自主检测 如图，四棱锥的底面是菱形，底面ABCD，O、E分别是AD、AB的中点，，，    (1)求证：平面PAD； (2)求证：平面平面POE； (3)求直线PC与平面POE所成角的正弦值 题型1 证明线线垂直 例1-1如图，已知三棱锥，为等边三角形，，，点为的中点. (1)证明：； (2)当时，取的中点，求与平面所成角的余弦值； 例1-2（2025·天津武清·模拟预测）如图所示，在正方体中，.证明：    (1)； (2)与是异面直线. 方法技巧 （1）利用平面几何的结论，如矩形，等腰三角形的三线合一，勾股定理； （2）定义法：即证明两条直线夹角是； （3）利用一些事实：两条平行直线，若其中一条直线垂直另一条直线，则其平行线也垂直此直线． 【变式训练1-1】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中. (1)求A1C1与B1C所成角的大小； (2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小. 【变式训练1-2】如图所示，在正方体中，.证明：    (1)； (2)与是异面直线. 【变式训练1-3】（2025·天津·调研）如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC． 题型2 证明线面垂直 例2-1（2025·天津·联考）如图，已知正方体. （1）求与所成角的大小； （2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：. 例2-2四棱锥中，底面为矩形，平面平面， ，    (1)若为线段上一动点（不含端点），且平面交棱于点，证明：； (2)记为中点，证明：平面. 方法技巧 利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的关键是在这个平面内找到两条相交直线，证明它们都和这条直线垂直． 【变式训练2-1】如图，等腰梯形中，，于点，且．沿把折起到的位置，使． (1)求证：平面． (2)线段上是否存在点，使得平面．若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 【变式训练2-2】（2025·天津·二模）如图，在平行四边形中，已知，将三角形沿折起，问：当折到点与点的距离为多大时，才有平面？    【变式训练2-3·变载体】（2025·天津·二模）如图，在三棱锥中，平面，底面是直角三角形，，是棱的中点，是的重心，是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； 题型3 证明面面垂直 例3-1（2025·天津·调研）如图，多面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，是线段的两个三等分点． 求证： (1)平面； (2)平面平面． 例3-2如图，在四棱锥中，平面，，，，，点E为棱的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 方法技巧 （1）定义法：即说明两个平面所成的二面角是直二面角； （2）判定定理法：其关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”； （3）性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面． 【变式训练3-1】如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，E是侧棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【变式训练3-2】如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【变式训练3-3】如图，在三棱柱中，侧面BB1C1C为菱形，，，． (1)证明：平面ACB1平面BB1C1C； (2)求二面角的余弦值． 题型4 面面垂直的性质定理 例4-1（2025·天津·调研）如图，在三棱锥中，，且. (1)若，证明：平面平面； (2)若与平面所成的角为，求二面角的正弦值. 例4-2如图1，在矩形中，为的中点．将沿向上翻折，进而得到多面体（如图2）．    (1)当平面平面时，求直线与平面所成角的正切值； (2)在翻折过程中，求直线与平面所成角的最大值； (3)在翻折过程中，求二面角的最大值． 方法技巧 利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：（1）两个平面垂直；（2）直线必须在其中一个平面内；（3）直线必须垂直于它们的交线． 【变式训练4-1】如图，在三棱锥中，平面，平面平面．    (1)若，的面积等于3，求三棱锥的体积； (2)证明：平面． 【变式训练4-2】《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的四面体中，平面，平面平面． (1)试判断该四面体是否为鳖臑，并说明理由； (2)若分别是棱的中点，且，二面角的余弦值为，求四面体的全面积． 【变式训练4-3·变载体】（2024·天津静海·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且．    (1)求证：； (2)当时，求点到平面的距离； (3)当时，求二面角的正切值的取值范围． 题型5 鳖臑几何体中的垂直 例5-1（2025·天津武清·一模）四棱锥中，四边形为菱形，，，平面平面. (1)证明：； (2)若，且棱的中点，三棱锥的高，求与平面所成角. 例5-2《九章算术》是我国古代的数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，在四面体中，底面，平面平面． (1)求证：四面体为鳖臑； (2)若，，M是的中点． （ⅰ）求与平面所成角的正弦值； （ⅱ）已知D，E分别在线段，上移动，若平面，求线段长度的最小值． 方法技巧 若一条直线垂直于一个平面，如果在被垂直的平面内找到两条相交的相互垂直的直线与，则与异面的直线垂直于和构成的平面． 【变式训练5-1】《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥为阳马，底面，，，分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面. 【变式训练5-2】《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，平面，，四边形中，，，，． (1)证明：四面体为鳖臑； (2)求点C到平面的距离． 【变式训练5-3】在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，平面，若，E为的中点，M，N分别为的中点， (1)证明：平面； (2)求与所成的角的正切值； (3)若为线段上的动点，平面与平面是否垂直？ 如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. 【变式训练5-4】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点是的中点，连接，，． (1)证明：∥平面； (2)证明：平面，试判断四面体是否为鳖臑（只需写出结论）； (3)若二面角为．求点到平面的距离． 1．（2024·天津·高考真题）已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2023·天津·高考真题）在三棱锥中，点M,N分别在棱PC,PB上，且，，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 3．（2019·天津·高考真题） 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，， （Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值. 4．（2006·天津·高考真题）如图，在五面体中，点O是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱且． (1)证明： 平面； (2)设，证明：平面． 5．（2013·天津·高考真题）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1， AA1=AB=2，E为棱AA1的中点． （1）证明B1C1⊥CE； （2）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值． （3）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长． 6．（2013·天津·高考真题）如图, 三棱中, 侧棱底面，且各棱长均相等.、、分别为棱、、的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 1．在正方体中，平面与平面的位置关系怎样？并请画图说明． 2．下列命题中错误的是（    ）． A．如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 B．如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 C．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 D．如果平面平面，平面平面，，那么 3．如图，菱形所在平面与矩形ACEF所在平面相互垂直，试探究当为何值时，平面平面？并证明你的结论．    4．如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，，点E是棱PB的中点．求证：．如果把这个四棱锥镶嵌到长方体内，你能引申出什么结论？画图并说明你的结论．    5．如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足条件时，有．（填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．）    6．下面有四个说法： ①经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直； ②如果平面和不在这个平面内的直线a都垂直于平面，那么； ③垂直同一平面的两个平面互相平行； ④垂直同一平面的两个平面互相垂直． 其中正确的说法个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，已知是正三角形，和都垂直于平面，且，，F，G分别是和的中点．求证：    (1)平面； (2)平面． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 空间直线、平面的垂直 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 直线与平面垂直的定义 4 知识点2 直线与平面垂直的判定定理 5 知识点3 直线与平面垂直的性质定理 6 知识点4 平面与平面垂直的定义 7 知识点5 平面与平面垂直的判定定理 8 知识点6 平面与平面垂直的性质定理 9 题型破译 10 题型1 证明线线垂直 10 题型2 证明线面垂直 15 题型3 证明面面垂直 19 题型4 面面垂直的性质定理 24 题型5 鳖臑几何体中的垂直 32 04真题溯源·考向感知 41 05课本典例·高考素材 48 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）直线与平面垂直的判定定理 （2）直线与平面垂直的性质定理 （3）平面与平面垂直的判定定理 （4）平面与平面垂直的性质定理 单选题 多选题 填空题 解答题 天津卷，第17题，15分 天津卷，第6题，5分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出几何体求解线与面的关系，以及动点问题。设题稳定，难度中档，分值为15分或5分 复习目标： 1.理解、掌握空间集体中的线面关系。 2.能掌握线面垂直的问题。 3.会解空间中的动点问题，利用线与面中的垂直关系去参数问题。 知识点1：直线与平面垂直的定义 1.异面直线所成的角 （1）定义：已知两条异面直线，，经过空间任一点作直线，，则与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）． （2）异面直线所成的角的取值范围：． （3）如果两条异面直线，所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作． 2.直线与直线垂直的定义 两条直线垂直的定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直． 3、直线和平面垂直的定义 如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作．直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离． 自主检测下列命题中正确的有 ①四边形可以确定一个平面； ②若一条直线与一个平面平行，则这条直线平行于这个平面内的任意一条直线； ③若两平面平行，则一个平面内的任一直线必平行于另一个平面； ④若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直； ⑤过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直； ⑥过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行. 【答案】③⑤ 【详解】①错误，因为不共线的三点确定一个平面，第四点可能不在同一个平面内； ②错误，若一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与平行平面相交有一条交线，则这条直线与交线平行，所以它并不平行于平面内的任意一条直线； ③正确，根据两平面平行的性质，可知一个平面内的任意直线必平行于另一个平面； ④错误，根据线面垂直的判定定理，是需要垂直于平面内的两条相交直线，而平面内无数条直线有可能都不相交，所以不能判定线面垂直； ⑤正确，过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直； ⑥错误，因为过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行. 故答案为：③⑤. 知识点2：直线与平面垂直的判定定理 文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 图形语言： 符号语言： 特征：线线垂直线面垂直 注意：（1）判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视． （2）要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要． 相关的重要结论 ①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条． ②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直． ③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直． 自主检测已知，，表示三条不同的直线，，表示不同的平面，则（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，，则 【答案】C 【详解】A：若，则或，故A错误； B：若，则或，故B错误； C：若，则，故C正确； D：若，且，则，故D错误. 故选：C 知识点3：直线与平面垂直的性质定理 1、基本性质 文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线． 符号语言： 图形语言： 2、性质定理 文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． 符号语言： 图形语言： 自主检测如图，在直三棱柱中，，，，是直线上一动点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在平面内，在平面内， 将两个平面铺平后转化成平面上的问题解决，如图：    则的最小值就是平面四边形内的长， 在直三棱柱中，平面，平面， ， ，，即， ，平面，平面， 平面，， ，， 在中，，，， 由余弦定理可得. 故选：A. 知识点4：平面与平面垂直的定义 平面与平面垂直定义 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直． 表示方法：平面与垂直，记作． 画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．如图： 自主检测如图所示，在三棱锥中，若，E是的中点，则下列说法中正确的是（    ） A．平面⊥平面； B．平面⊥平面； C．平面⊥平面，且平面⊥平面； D．平面⊥平面，且平面⊥平面． 【答案】C 【详解】C选项，因为，E是的中点，所以， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以平面⊥平面， 同理平面，所以平面⊥平面，C正确； AB选项，由于平面⊥平面，而平面平面，故平面与平面不垂直，同理可得平面与平面不垂直，AB错误； D选项，平面与平面不一定垂直，D错误. 故选：C 知识点5：平面与平面垂直的判定定理 平面与平面垂直的判定定理 文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 符号语言： 图形语言： 特征：线面垂直面面垂直 注意： 平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”．因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题．以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面内的一条直线垂直即可． 自主检测 已知是直线，，是两个不同的平面，下列正确的命题是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】选项A：根据给定条件有 或； 选项B：根据给定条件有 或； 选项C：根据给定条件有与的位置可能平行、相交或m在α内； 选项D：因为，所以存在直线使得， 又因为，所以，因为，所以. 故选：D. 知识点6：平面与平面垂直的性质定理 1、性质定理 文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 符号语言： 图形语言： 注意：面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法． 2、平面与平面垂直性质定理的推论 如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内． 自主检测 如图，四棱锥的底面是菱形，底面ABCD，O、E分别是AD、AB的中点，，，    (1)求证：平面PAD； (2)求证：平面平面POE； (3)求直线PC与平面POE所成角的正弦值 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3). 【详解】（1）四棱锥底面是菱形，连接，，则是正三角形， 由底面ABCD，平面，得，由是的中点，得， 而平面，所以平面.    （2）连接，由菱形，得，由是的中点，得，则， 由底面ABCD，底面ABCD，得， 而平面，则平面，又平面， 所以平面平面. （3）令，连接，由（2）知平面，得是直线PC与平面POE所成的角， ，，则， 由，得，， ，， 在直角中，， 所以直线PC与平面POE所成角的正弦值为. 题型1 证明线线垂直 例1-1如图，已知三棱锥，为等边三角形，，，点为的中点. (1)证明：； (2)当时，取的中点，求与平面所成角的余弦值； 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）设等边三角形的边长，连接、， 因为点为的中点. 则， 因为，所以，又， 所以，所以； （2）因为，所以，又，平面， 所以平面，连接，则为与平面所成角， 又平面，所以， 又，，所以为等腰直角三角形，所以， 所以，即与平面所成角的余弦值为； 例1-2（2025·天津武清·模拟预测）如图所示，在正方体中，.证明：    (1)； (2)与是异面直线. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）如图所示，连接，   为正方体， ， 平面为平行四边形， . 为正方形， ， . （2）由面，面，且面面， 又与不平行，与是异面直线. 方法技巧 （1）利用平面几何的结论，如矩形，等腰三角形的三线合一，勾股定理； （2）定义法：即证明两条直线夹角是； （3）利用一些事实：两条平行直线，若其中一条直线垂直另一条直线，则其平行线也垂直此直线． 【变式训练1-1】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中. (1)求A1C1与B1C所成角的大小； (2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小. 【答案】(1)60°(2)90° 【详解】（1）如图所示，连接AC，AB1. 由六面体ABCD－A1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形， ∴ACA1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角. 在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成的角为60°. （2）如图所示，连接BD.由（1）知ACA1C1， ∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角. ∵EF是△ABD的中位线，∴EFBD. 又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF， ∴EF⊥A1C1，即A1C1与EF所成的角为90°. 【变式训练1-2】如图所示，在正方体中，.证明：    (1)； (2)与是异面直线. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）如图所示，连接，   为正方体， ， 平面为平行四边形， . 为正方形， ， . （2）由面，面，且面面， 又与不平行，与是异面直线. 【变式训练1-3】（2025·天津·调研）如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC． 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图所示，取BD的中点H，连接EH，FH． 因为E是AB的中点，且AD=2， 所以EH∥AD，EH=1．同理FH∥BC，FH=1． 所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角． 因为EF=，所以EH2+FH2=EF2， 所以EFH是等腰直角三角形，EF是斜边， 所以∠EHF=90°，即AD与BC所成的角是90°， 所以AD⊥BC． 题型2 证明线面垂直 例2-1（2025·天津·联考）如图，已知正方体. （1）求与所成角的大小； （2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：. 【答案】（1）（2）证明见解析 【详解】解：（1）如图，连接，由几何体是正方体，知四边形为平行四边形，所以， 从而与所成的角为与所成的角， 由，可知. 故与所成的角为. （2）如图，连接，易知四边形为平行四边形，所以， 因为为的中位线， 所以. 又， 所以， 所以. 例2-2四棱锥中，底面为矩形，平面平面， ，    (1)若为线段上一动点（不含端点），且平面交棱于点，证明：； (2)记为中点，证明：平面. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）因为底面为矩形，所以 又因为平面， 平面，所以平面. 因为平面，平面平面， 所以又因为，所以. （2）如图，连接.    因为，所以，因为侧面底面， 侧面底面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为底面为矩形，且，的中点， 所以，，所以， 又，所以，所以， 因为，所以， 所以，因为平面，所以平面. 方法技巧 利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的关键是在这个平面内找到两条相交直线，证明它们都和这条直线垂直． 【变式训练2-1】如图，等腰梯形中，，于点，且．沿把折起到的位置，使． (1)求证：平面． (2)线段上是否存在点，使得平面．若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析(2)存在，为的中点，证明见解析 【详解】（1）∵， ∴． ∵在等腰梯形中，， ∴在四棱锥中，． 又，平面， ∴平面，又平面， ∴． ∵在等腰梯形中，，，且， ∴，，， 由勾股定理得，故， ∴， ∴由勾股定理逆定理得． ∵，平面， ∴平面． （2）线段上存在一点，使得平面，为的中点， 证明如下： 证明：取的中点，的中点，连结，，． ∵，分别为，的中点， ∴且． ∵且， ∴且， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∴． 又平面，平面， ∴平面． 【变式训练2-2】（2025·天津·二模）如图，在平行四边形中，已知，将三角形沿折起，问：当折到点与点的距离为多大时，才有平面？    【答案】 【详解】作，如图， 由，可得， 故，即， 在折起的过程中，保持不变. 若使折起后有平面，则应有， 此时，在Rt中，，所以. 即当折到点与点的距离为时，才有平面.    【变式训练2-3·变载体】（2025·天津·二模）如图，在三棱锥中，平面，底面是直角三角形，，是棱的中点，是的重心，是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【详解】（1）平面，且平面，， 底面是直角三角形且，， 又平面，平面，， 平面. （2）如图，连结并延长交于点，连结，， 是的重心，为边上的中线，即为的中点， 又有为的中点，， 平面，平面，平面， 同理，是的中点，可得， 平面，平面，平面， 又平面，平面，， 平面平面， 又有平面，平面. 题型3 证明面面垂直 例3-1（2025·天津·调研）如图，多面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，是线段的两个三等分点． 求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）因为四边形为等腰梯形，，，是线段的两个三等分点， 所以，，， 连接，因为，， 所以四边形为平行四边形，所以，又， 所以，因为为的中点， 所以，即， 同理． 又平面， 所以平面． （2）由（1）知，，， 所以四边形为平行四边形， 所以． 因为平面不在平面内，所以平面． 由已知，， 所以四边形为平行四边形， 所以． 因为平面不在平面内，所以平面． 又，平面， 所以平面平面． 例3-2如图，在四棱锥中，平面，，，，，点E为棱的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解 【详解】（1）取的中点，连接，   分别是的中点， ，且， 又，且， 且， 四边形为平行四边形， ， 又平面平面， 平面 （2）底面，平面，， ，，， ，平面， 平面， 平面， 平面平面 方法技巧 （1）定义法：即说明两个平面所成的二面角是直二面角； （2）判定定理法：其关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”； （3）性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面． 【变式训练3-1】如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，E是侧棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）连接交于，连接， 因为四边形是正方形，所以是的中点， 又E是侧棱的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面；    （2）因为侧棱底面，平面，所以平面底面， 又因为底面，，平面底面， 所以平面，又平面，所以平面平面. 【变式训练3-2】如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【详解】（1）在四棱锥中，四边形为正方形， 连接，，交于点，则是中点，连接， 为中点，则为的中位线， ， 在平面外，平面， 平面． （2）在四棱锥中，四边形为正方形， ， 平面，平面， ， 平面， 平面， 平面， 平面平面． 【变式训练3-3】如图，在三棱柱中，侧面BB1C1C为菱形，，，． (1)证明：平面ACB1平面BB1C1C； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：连接，与交于点，则为，的中点，连接AD， 因为，所以，因为侧面为菱形，，，，所以，，所以，即， 因为，，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面． （2）取的中点，连接，AE，， 由（1）知，，又，所以，又，所以，又因为，菱形中，所以， 所以为二面角的平面角， 在中，， ，， 所以， 所以二面角的余弦值为．    题型4 面面垂直的性质定理 例4-1（2025·天津·调研）如图，在三棱锥中，，且. (1)若，证明：平面平面； (2)若与平面所成的角为，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）取的中点为，连接, 由于，且， 故,所以为平面与平面的夹角或其补角， 又故,则 所以 结合，故则， 即，故平面平面. （2）由（1）知：,平面， 所以平面，而平面，则平面平面， 于是是在平面上的射影，即， 由，得是正三角形，则, 由于,均为等腰三角形，取中点，连接, 则，故为二面角的平面角， 由于, 故, 故，故二面角的正弦值为. 例4-2如图1，在矩形中，为的中点．将沿向上翻折，进而得到多面体（如图2）．    (1)当平面平面时，求直线与平面所成角的正切值； (2)在翻折过程中，求直线与平面所成角的最大值； (3)在翻折过程中，求二面角的最大值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）连接交于点，如下图所示：    则， 因为，所以，即， 又，所以，可得， 同理易证，所以， 翻折后当平面平面时，平面平面，且， 又平面，所以平面； 可知即为直线与平面所成的角， 在中，， 即直线与平面所成角的正切值为； （2）过点作，垂足为，如下图所示：    因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 又，平面， 所以平面， 即即为直线与平面所成的角， 在翻折过程中，设，由（1）可知，， 在中，， 所以， 设，则， 所以，其中， 所以，解得， 显然当时，，故， 即，又易知，所以， 即直线与平面所成角的最大值为； （3）过作于点，连接，如下图所示：    由（2）知平面，因为平面，所以， 又，平面， 所以平面， 又平面，所以，又， 所以为二面角的平面角， 因为，，所以，可得， 结合（2）可得， 在中，, 令，则， 即，其中， 所以，解得， 显然当时，，故， 即，结合，可知， 因此二面角的最大值为. 方法技巧 利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：（1）两个平面垂直；（2）直线必须在其中一个平面内；（3）直线必须垂直于它们的交线． 【变式训练4-1】如图，在三棱锥中，平面，平面平面．    (1)若，的面积等于3，求三棱锥的体积； (2)证明：平面． 【答案】(1)3(2)证明见解析 【详解】（1）因为平面， 所以三棱锥是以为高，为底面积的三棱锥， 其体积为. （2）作交于点，如下图所示：    因为平面平面，且平面平面， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为平面，平面，所以， 易知平面，， 所以平面. 【变式训练4-2】《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的四面体中，平面，平面平面． (1)试判断该四面体是否为鳖臑，并说明理由； (2)若分别是棱的中点，且，二面角的余弦值为，求四面体的全面积． 【答案】(1)该四面体是鳖臑，理由见解析(2) 【详解】（1）该四面体是鳖臑，理由如下： 平面，平面，，， ，均为直角三角形， 过点作于点， 平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，， 平面，平面，， 又，平面，平面， 又平面，，， ，均为直角三角形， ，，，均为直角三角形，该四面体为鳖臑. （2）设中点为，连接， 分别为的中点，是的中位线，， 平面，平面，平面，， 又是的中点，均为直角三角形，， 是等腰三角形，，从而二面角的平面角为，即， 分别为的中点，是的中位线，， 又平面，平面，平面，， 则，解得，， ，又，， ，， 四面体的全面积 【变式训练4-3·变载体】（2024·天津静海·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且．    (1)求证：； (2)当时，求点到平面的距离； (3)当时，求二面角的正切值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3). 【详解】（1）由，得，则， 而平面平面，平面平面，平面， 所以平面，而平面，则， 又，则， 又，平面，因此平面， 又平面， 所以. （2）在中，平面，平面，则平面， 于是点到平面的距离等于点到平面的距离， 在平面内过作于， 由（1）知，平面， 在中，， 则，， 所以点到平面的距离为.    （3）在平面内过作于M，作于N，连接， 由（1）得平面平面，平面平面，则平面， 又平面，则， 又平面，则平面， 又平面，因此， 则即为二面角的平面角， 设，，由（1）得， 则， 在中，由，得， 在中，由，得， 在中，， 因此， 由，得，则， 所以二面角的正切值的取值范围为. 题型5 鳖臑几何体中的垂直 例5-1（2025·天津武清·一模）四棱锥中，四边形为菱形，，，平面平面. (1)证明：； (2)若，且棱的中点，三棱锥的高，求与平面所成角. 【答案】(1)证明见详解(2) 【详解】（1）因为四边形ABCD为菱形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以. （2）设相交于点，连接， 四边形ABCD为菱形，则为中点，又，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为棱的中点，三棱锥的高，所以， 又平面，所以就是与平面所成角， 又四边形为菱形，，， 所以为等边三角形，即， ，，所以， 所以与平面所成角为. 例5-2《九章算术》是我国古代的数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，在四面体中，底面，平面平面． (1)求证：四面体为鳖臑； (2)若，，M是的中点． （ⅰ）求与平面所成角的正弦值； （ⅱ）已知D，E分别在线段，上移动，若平面，求线段长度的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）如图，在平面内过点作于点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为底面，平面， 所以，所以为直角三角形， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为直角三角形， 所以四面体为鳖臑； （2）（ⅰ）如图，取的中点，连接， 因为底面，底面，所以， 因为，所以， 又，平面，所以平面， 所以即为与平面所成的角， 因为，，M是的中点， 所以，，所以， 所以， 所以与平面所成角的正弦值为； （ⅱ）如图，过点作，垂足为，连接， 由（1）知，，平面，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，，平面， 所以平面平面， 因为平面平面，平面平面，所以， 设，则，， 易知，所以，即，得， 所以， 则当时有最小值 所以线段长度的最小值为. 方法技巧 若一条直线垂直于一个平面，如果在被垂直的平面内找到两条相交的相互垂直的直线与，则与异面的直线垂直于和构成的平面． 【变式训练5-1】《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥为阳马，底面，，，分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）取的中点，连接. 在中，，所以. 因为， 所以，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，而不在平面内， 所以平面. （2）连接. 在中，，，所以. 由（1）知，所以. 因为平面，平面，所以. 根据勾股定理得. 而，， 所以，又，所以. 又平面， 所以平面. 【变式训练5-2】《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，平面，，四边形中，，，，． (1)证明：四面体为鳖臑； (2)求点C到平面的距离． 【答案】(1)证明过程见解析(2) 【详解】（1）四边形中，，，，， 由勾股定理得，且， 故. 在中，由余弦定理得， 故，由勾股定理逆定理得⊥，为直角三角形. 因为平面，，故平面， 因为平面，所以， 又因为，平面，所以⊥平面， 又因为平面，所以⊥， 故为直角三角形. 因为平面，平面，所以，， 所以为直角三角形. 综上，四面体为鳖臑； （2）， 因为平面，且，所以， 由（1）知⊥，在中，由勾股定理得， 所以， 设点C到平面的距离为，其中， 所以，点C到平面的距离为. 【变式训练5-3】在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，平面，若，E为的中点，M，N分别为的中点， (1)证明：平面； (2)求与所成的角的正切值； (3)若为线段上的动点，平面与平面是否垂直？ 如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析(2)5(3)垂直，证明见解析 【详解】（1）方法一：连接，如图， 因为分别是的中点，所以 . 又平面平面， 所以 平面. 方法二：如图，取的中点为，连接，则 . 又平面平面， 所以 平面. 同理可证 平面， 因为平面， 所以平面 平面. 又平面，所以 平面. （2）因为底面，平面，所以， 过M点作，交于H点，则，所以和所成的角是， 在中，，E为中点，M为中点，所以， 连接，在中，，，所以， 所以； （3）平面与平面垂直. 证明如下：因为底面底面，所以. 由题意知为直角三角形且，所以. 又平面， 所以平面 又平面，所以. 因为为的中点，所以. 又平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 【变式训练5-4】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点是的中点，连接，，． (1)证明：∥平面； (2)证明：平面，试判断四面体是否为鳖臑（只需写出结论）； (3)若二面角为．求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析，是一个鳖臑(3)1 【详解】（1）如图，连接，交于点，连接， 则点为的中点，又因为为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）因为底面，平面，所以， 因为为长方形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，点是的中点，所以， 因为，故可得平面，所以平面， 由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形， 即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是，，，. （3）如图，取的中点，连接，过作，连接． 因为分别是的中点，所以， 所以平面，又平面， 所以，又因为，，平面， 所以平面，所以就是二面角的平面角， 即，所以，又，得， 过作，因为平面，平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 在中，，，所以． 因为，互相平分，是的中点， 所以点到平面的距离点到平面的距离点到平面的距离的2倍， 即点到平面的距离为1. 1．（2024·天津·高考真题）已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A，若，，则平行或相交，不一定垂直，故A错误. 对于B，若，则或，故B错误. 对于C，，过作平面，使得， 因为，故，而，故，故，故C正确. 对于D，若，则，故D错误. 故选：C. 2．（2023·天津·高考真题）在三棱锥中，点M,N分别在棱PC,PB上，且，，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，分别过作,垂足分别为.过作平面，垂足为，连接,过作,垂足为.    因为平面，平面，所以平面平面. 又因为平面平面，，平面，所以平面，且. 在中，因为，所以，所以， 在中，因为，所以， 所以. 故选：B 3．（2019·天津·高考真题） 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，， （Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（I）见解析；（II）见解析；（III）. 【详解】（I）证明：连接，易知，， 又由，故， 又因为平面，平面， 所以平面. （II）证明：取棱的中点，连接， 依题意，得， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面，又平面，故， 又已知，， 所以平面. （III）解：连接， 由（II）中平面， 可知为直线与平面所成的角. 因为为等边三角形，且为的中点， 所以，又， 在中，， 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 4．（2006·天津·高考真题）如图，在五面体中，点O是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱且． (1)证明： 平面； (2)设，证明：平面． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析； 【详解】（1）取CD中点M，连结OM， EM， 在矩形ABCD中，，， 又， 则，，所以四边形EFOM为平行四边形． ∴， 又∵FO平面CDE，且EM平面CDE， ∴FO∥平面CDE． （2）连结FM, 则在等边中，，，又 且，由(1) 四边形EFOM为平行四边形， 所以四边形EFOM为菱形，从而， ∵，，，平面， ∴平面，平面， 从而，，平面， 所以平面. 5．（2013·天津·高考真题）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1， AA1=AB=2，E为棱AA1的中点． （1）证明B1C1⊥CE； （2）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值． （3）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【详解】解：本题可通过建立空间坐标系求解． 如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)． (1)证明：易得＝(1,0，－1)，＝(－1,1，－1)，于是·＝0，∴B1C1⊥CE. (2)＝(1，－2，－1)． 设平面B1CE的法向量＝(x，y，z)， 则,即 消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量为＝(－3，－2,1)． 由(1)，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故＝(1,0，－1)为平面CEC1的一个法向量． 于是cos〈，〉＝＝＝－，从而sin〈，〉＝， 故二面角B1－CE－C1的正弦值为. (3)＝(0,1,0)，＝(1,1,1)． 设＝λ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有＝＋＝(λ，λ＋1，λ)．可取＝(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量． 设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则 sinθ＝|cos〈，〉|＝ ＝＝. 于是＝，解得λ＝ (λ＝－舍去)， ∴AM＝. 6．（2013·天津·高考真题）如图, 三棱中, 侧棱底面，且各棱长均相等.、、分别为棱、、的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）. 【详解】（1）如下图所示，连接， 在三棱柱中，且， 、分别为、的中点，且， 又是棱的中点，且，且， 四边形是平行四边形，， 平面，平面，平面； （2），是的中点，， 又平面，平面，， ，平面， 平面，平面平面； （3）如下图所示，过点在平面内作交的延长线于点，连接， 平面，平面，， 又，，平面， 所以，直线与平面所成角为， 设三棱柱棱长为， 由于平面，平面，， 是的中点，， 由于，则，， 所以，，则，， 平面，平面，， 在中，，，， 因此，直线与平面所成的角的正弦值为. 1．在正方体中，平面与平面的位置关系怎样？并请画图说明． 【答案】答案见解析 【详解】解：如图所示，平面与平面的位置关系垂直. 理由如下：在正方体中，平面， 因为平面，所以， 又因为，且，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面.    2．下列命题中错误的是（    ）． A．如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 B．如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 C．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 D．如果平面平面，平面平面，，那么 【答案】A 【详解】对于A中，如图所示，在正方体中，平面平面， 但直线与平面不垂直，所以如果平面平面，则平面内所有直线不一定垂直于平面，所以A不正确； 对于B中，例如：在正方体中，平面平面， 直线平面，且平面，所以如果平面平面，在平面内一定存在直线平行于平面，所以B正确；    对于C中，如果平面不垂直于平面，假设在平面内存在直线垂直于平面， 根据面面垂直的判定定理，可得平面平面，这与平面不垂直于平面，矛盾，所以C正确； 对于D中，如图所示，设平面平面，平面平面， 在平面内取一点，过点作， 因为平面平面，且平面，所以， 又因为，所以，同理可证， 因为，且平面，所以，所以D正确. 故选：A.    3．如图，菱形所在平面与矩形ACEF所在平面相互垂直，试探究当为何值时，平面平面？并证明你的结论．    【答案】当时，平面平面；证明见解析. 【详解】当时，平面平面； 证明：设，取的中点，连结如图所示：   平面平面，平面平面， 矩形中，平面， 平面， 同理可得：， ， 因为菱形中，矩形中， ，，是的中点，， 假设平面平面成立， 平面平面，且， 平面，平面，， 矩形ACEF中M是EF的中点，菱形ABCD中O是AC的中点， ， 平面，平面， ， 又，是的中点，可知为等腰直角三角形， ， ， 当时，平面平面 4．如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，，点E是棱PB的中点．求证：．如果把这个四棱锥镶嵌到长方体内，你能引申出什么结论？画图并说明你的结论．    【答案】证明见解析 【详解】 底面，底面为矩形，， 平面，平面，平面， 又根据矩形的性质知，则平面， 平面， 又是的中点，， 平面，平面， 平面，. 把这个四棱锥镶嵌到长方体内，如图所示：    可以发现所在直线为对角线所在直线，为体对角线， 可引申为以下结论：对角面对角面. 证明如下： 前面已证，又四边形为正方形，， 又，且平面，平面， 平面，又平面，平面平面. 5．如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足条件时，有．（填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．）    【答案】（其他答案正确也可） 【详解】当底面四边形满足. 如图所示，连接 ,    因为平面 平面 , 所以, 因为, 所以BD平面，因为平面 , 所以 ，因为 ，所以. 6．下面有四个说法： ①经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直； ②如果平面和不在这个平面内的直线a都垂直于平面，那么； ③垂直同一平面的两个平面互相平行； ④垂直同一平面的两个平面互相垂直． 其中正确的说法个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】①由面面垂直的判定定理可知，经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直，故①正确； ②由线面垂直和面面垂直的性质可知，若，则或， 又，所以，即②正确； ③垂直同一平面的两个平面互相平行或相交，故③错误； ④垂直同一平面的两个平面互相平行或相交，故④错误； 综上可得，正确的说法个数是2个. 故选：B 7．如图，已知是正三角形，和都垂直于平面，且，，F，G分别是和的中点．求证：    (1)平面； (2)平面． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【详解】（1）F，G分别是和的中点，， 又平面，平面； （2）连接， F，G分别是和的中点，，且， 和都垂直于平面，，且， ，且， 四边形是平行四边形，， 平面平面， 平面.    2 / 50 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $