第05讲 解三角形（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第05讲 解三角形 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 正弦定理 3 知识点2 余弦定理 5 知识点3 三角形的形状的判定 6 知识点4 三角形面积公式 6 知识点5 常用结论 7 题型破译 8 题型1 正弦定理理解三角形 8 题型2 余弦定理理解三角形 11 题型3 三角形解的个数问题 15 题型4 正、余弦定理判定三角形形状 19 题型5 和三角形面积有关的问题 21 题型6 求三角形中的边长或周长的最值或范围 26 题型7 距离、高度、角度测量问题 31 题型8 角平分线问题 35 题型9 中线问题 39 题型10 证明三角形中的恒等式或不等式 44 题型11 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 47 04真题溯源·考向感知 52 05课本典例·高考素材 56 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）正弦定理理解三角形 （2）余弦定理理解三角形 （3）和三角形面积有关的问题 （4）正余弦定理与三角函数性质的结合应用 （5）正、余弦定理判定三角形形状 单选题 多选题 填空题 解答题 天津卷，第16题，14分 天津卷，第16题，14分 天津卷，第16题，14分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出三角形，解决三角形中的周长与面积，同时解三角形会与两角和差二倍角进行结合，求解凑求值问题,设题稳定，难度中档，分值为14分. 复习目标： 1.理解、掌握正余弦定理，能够运用正余弦定理解三角形 2.能掌握正余弦定理与三角形的面积周长问题 3.具备数形结合的思想意识，会灵活运用三角形的知识点解决中线，高线，角平分线问题 4.会解三角形的最值与取值范围问题 知识点1 正弦定理 1、 正弦定理 在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即： 2、正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ②；；； ③ ④ ⑤，，（可实现边到角的转化） ⑥，，（可实现角到边的转化） 自主检测在中，分别是角的对边，下列四个命题中正确的个数为（    ） ①若，则是等腰三角形； ②若，三角形面积，则三角形外接圆半径为； ③若点为内一点，且，则； ④在中，若有解，则的取值范围是. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】对于①，因为，由正弦定理得， 所以，又，且，则，所以①正确， 对于②，由题知，又，所以，解得， 又，得到， 又由正弦定理知（其中是三角形外接圆半径）， 所以，解得，所以②错误， 对于③，如图，取中点，因为，又， 所以，即，所以三点共线，且， 又共底边，所以，故③正确， 对于④，由正弦定理知，得到， 所以，又因为有解，又，则，得到，故④错误， 故选：B. 知识点2 余弦定理 1、余弦定理 三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即： ，， 2、余弦定理的变形公式： 自主检测在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，点O是的外心，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵， 由余弦定理有：， ∴，解得， 由得，， 即， ， 即， 即：，，解得，， ∴. 故选：A． 知识点3 三角形的形状的判定 1、特殊三角形的判定 （1）直角三角形 勾股定理：， 互余关系：，，； （2）等腰三角形 ，； 2、用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号） （1）在中，； （2）在中，； （3）在中，； 自主检测在中， 记角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以符号相同， 若，则，而这会导致，这与三角形内角和矛盾， 从而只能，所以， 所以或， 所以或, 所以的形状是等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 知识点4 三角形面积公式 ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④ (其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 自主检测在中，三个内角所对边分别为，若且则的面积等于（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】因为，由正弦定理可得，即，解得或（舍）. 由余弦定理可得， 解得，故， 因为，则角为锐角，所以，， 因此，. 故选：A. 知识点5 常用结论 在三角形中的三角函数关系 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥若 ⑦若或 题型1 正弦定理解三角形 例1-1（2025·天津红桥·模拟预测）在中，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正弦定理，得， 则，解得. 故选：C. 例1-2（24-25高一下·天津西青·阶段练习）在相距2千米的A，B两点处测量目标点C， 若，，则A，C两点之间的距离为（    ）(单位：千米) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，利用正弦定理计算即可. 【详解】，，， 由正弦定理，即， 解得，故C正确. 故选：C． 方法技巧 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素. (2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系. 【变式训练1-1】（24-25高一下·天津滨海新·期中）在中，，，，点D在边上靠近B点的三等分点处，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 在中，， ，可得则， 因，则， 在中，由余弦定理得：，即， 在中，由正弦定理得：， 所以. 故选：D 【变式训练1-2】（2025·天津·二模）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，． (1)求的值； (2)若，求c的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理，得， 即． 因为，，所以，． 由，得， 因为，所以． （2）由正弦定理，可得． 又， 由正弦定理，可得． 【变式训练1-3】（2025·天津滨海新·三模）在中，内角，，所对的边分别，，，已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）方法一：由， 根据余弦定理可得，， 则，即， 由，根据正弦定理可得，则，即. 方法二：由， 根据正弦定理可得，，则， 则，即， 由，根据正弦定理可得，则，即. （2）由余弦定理可得， 又因为，可得. （3）由（2）知，，， 则，， 由正弦定理，则，即， 又，则，所以， 所以. 题型2 余弦定理解三角形 例2-1（2025·天津红桥·模拟预测）在中，若，，，则的长度为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【详解】由余弦定理得：， 所以， 故选：A. 例2-2（2025·天津河西·二模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作直线分别交双曲线的左、右两支于，两点，满足，且，，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，即， 又，得为的中点，则， 又，于是为等边三角形，设的边长为， 由双曲线定义知，，，则，， 又，则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，得，，， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：A 方法技巧 1、已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边． 2、已知三角形的三边解三角形的方法 利用余弦定理求出三个角的余弦，进而求出三个角． 【变式训练2-1】（2025·天津·二模）双曲线的左右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，若，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】过点作，垂足为，则，如图所示， 设，则， 所以， 所以，则， 因为直线的斜率为，所以，则， 在中，， 在中，， 由余弦定理得，， 整理得，， 故选：D．    【变式训练2-2】已知的内角的对边分别为的面积为． (1)求A； (2)若，且的周长为5，设为边中点，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意，， 所以， 由正弦定理可得，， 由余弦定理，，解得， 因为，所以； （2）依题意，， 因为，解得， 因为， 所以， 所以． 【变式训练2-3·变载体】（2025·天津·二模）在中，内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，且面积， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求． 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ） 【详解】（1）因为， 所以，可得：， 由正弦定理可得：， 可得：， 因为，所以， 所以，即， 因为，所以 （2）（ⅰ）因为，且， 解得：，， 由余弦定理可得：，解得： ； （ⅱ）由余弦定理可得， 所以，，， 所以. 题型3 三角形解的个数问题 例3-1（24-25高一下·天津南开·期中）在中，下列命题不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则一定为等腰三角形 C．若，则为钝角三角形 D．若，，，则有两解 【答案】B 【详解】对于：若，则，所以， 所以，故正确； 对于：，则或， 即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故错误； 对于：，则， 所以角为钝角，所以为钝角三角形，故正确； 对于：， 因为，，所以角可能是锐角，也可能是钝角， 故有两解，故正确. 故选：. 例3-2（24-25高一下·天津武清·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（   ）． A．，，，无解 B．，，，有一解 C．，，，有两解 D．，，，有两解 【答案】A 【详解】对于A，由正弦定理，可得， 三角形无解，故A正确； 对于B，因为，且，由大边对大角可知角不存在， 故三角形无解，故B错误； 对于C，由正弦定理可得，此时， 三角形有一解，故C错误； 对于D，由正弦定理可得，三角形无解， 故D错误； 故选：A 方法技巧 1、已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 2、已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定. (1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<B=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三角形 内角和等于”等，此时需进行讨论. (2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 【变式训练3-1】（24-25高一下·天津南开·阶段练习）由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（   ） A．，，，有两解 B．，，，有两解 C．，，，有两解 D．，，，无解 【答案】B 【详解】对于A，因为，可得，，， 则，故只能有一个值，所以三角形有一解，故A错误； 对于B，由于，即，所以三角形有两解，故B正确； 对于C，由于，故三角形为直角三角形，有一解，故C错误； 对于D，因为，，，有余弦定理，可求得唯一，所以三角形有一解，故D错误. 故选：B. 【变式训练3-2】由下列条件解，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，由，,由正弦定理可得, 由和可知和只有唯一解，所以只有唯一解，因此A不正确； 对于B，因为，由余弦定理可知只有唯一解， 所以三角形的三个边唯一确定，即只有唯一解，因此B不正确； 对于C，因为，由正弦定理得， 即，又，所以， 所以角只有唯一解，即只有唯一解，因此C不正确； 对于D，因为，由正弦定理得， 所以，又，所以，所以角有两个解，即有两个解，因此D正确. 故选：D. 【变式训练3-3】根据下列情况，判断三角形解的情况，其中有唯一解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，由正弦定理可得：，所以， 因为，所以，所以三角形有2解，故A错误； 对于B，由正弦定理可得：，所以，此三角形无解，故B错误； 对于C，由正弦定理可得：，所以， 因为，所以，则为钝角，不成立，所以无解，故C错误； 对于D，由正弦定理可得：，所以， 因为，所以，所以此三角形只有唯一解,故D正确. 故选：D. 题型4 正、余弦定理判定三角形形状 例4-1已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【详解】因为，故， 整理得， 即，故， 故或，故三角形为等腰或直角三角形， 故选：D. 例4-2在中，，记的面积为，若，判断 的形状为（     ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【详解】由，可得， 即，可得， 因为，可得， 又由余弦定理，可得， 因为，可得，所以， 整理得，即，所以，所以， 所以为等边三角形. 故选：B. 方法技巧 (1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系； (2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁. 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 【变式训练4-1】在中，已知，且，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．有一个角为的直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【详解】由可得， 又，所以， 由和正弦定理可得，即， 所以，所以，所以的形状为等边三角形， 故选：D. 【变式训练4-2】（24-25高一下·天津·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求C的大小； (2)设，，且，判断的形状． 【答案】(1) (2)等腰三角形 【详解】（1）由余弦定理：， 又C为三角形内角，所以． （2）由知， 由正弦定理，得， 又，从而， 因为，所以， ，则， 所以为等腰三角形． 【变式训练4-3·变载体】已知△的内角的对边分别为，若，，且△的面积， (1)求边； (2)求边并判断△的形状. 【答案】(1)b＝1，c＝3 (2)，直角三角形 【详解】（1） 又. 又. （2）由余弦定理得：，故. 由知△为直角三角形. 题型5 和三角形面积有关的问题 例5-1（24-25高一下·天津·期末）记面积的为S，若，则角A的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，， 则，故， 而，所以. 故选：A. 例5-2（24-25高一下·天津南开·期中）设锐角的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则下列命题正确的个数为（   ） ①；        ②的外接圆的面积是； ③的面积的最大值是；    ④的取值范围是． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】对于①，因为， 由正弦定理得， 所以， 因为，所以，，又因为，，故①正确； 对于②，设的外接圆的半径为，由正弦定理可得， 解得，则的外接圆的面积是，故②正确； 对于③，由余弦定理得，整理得， 即，当且仅当时等号成立， 所以的面积为，当且仅当时等号成立， 即的面积的最大值是，故③正确； 对于④，由正弦定理得， 则， 所以 ， 因为是锐角三角形，所以， 可得，，所以， 所以，即的取值范围是，故④错误. 故选：B. 方法技巧 (1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积； (2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量. 【变式训练5-1】（24-25高三上·天津·期中）已知的内角所对应的边分别为，且． (1)求； (2)若，求的面积． (3)若，的面积为，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）， 因此，根据题意，， 由正弦定理可得，即， 在中，， 所以， 即，， ，故. （2）依题意，，，根据余弦定理可得： ， 即，，， 解得， 根据三角形面积公式得. （3）依题意，，，根据余弦定理可得： ， 即，， 由基本不等式可知，当且仅当时取等， 即，解得，当且仅当时取等， 综上，， 即当时，取最大值. 【变式训练5-2】（24-25高二下·天津河北·期末）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求的单调递增区间： (3)在中，角所对的边分别为，若，，且的面积为，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以. 所以最小正周期为. （2）因为， 所以当时，函数单调递增， 即. 所以的单调递增区间为. （3）因为，所以， 所以或， 即或. 因为，所以. 因为的面积为，所以，解得. 所以，解得. 根据余弦定理. 因为，所以. 【变式训练5-3】（24-25高一下·天津·期末）在中，为角对应的边，S为的面积，且满足如下条件：. (1)求角A； (2)若，求面积的最大值； (3)为锐角三角形，且，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以， 由正弦定理得， 整理得， 由余弦定理得， 又，所以； （2）由得：， 则， 从而， 由余弦定理可得：， 因为，所以，所以， 当且仅当时等号成立， 从而， 所以面积的最大值为； （3）由及正弦定理可得：， ，， 则 ， 为锐角三角形，，， ，， 令，，二次函数在上单调递减，在上单调递增， ，，实数的取值范围是. 题型6 求三角形中的边长或周长的最值或范围 例6-1在锐角中，角的对边分别为为的面积，且，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】中，由余弦定理得， 且的面积为， 由，得，化简得， 又，，所以， 化简得，解得，或（不合题意，舍去） 所以， 所以， 由，且，， 解得， 所以，所以，所以， 设，其中， 所以， 当且仅当时，即时取最小值， 令， 由对勾函数可得函数在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以． 故选：C. 例6-2在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线AD的长为3，则的最小值为（    ） A．12 B．24 C．27 D．36 【答案】A 【详解】因为， 所以，即， 所以， 又因，所以， 由，得， 所以， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为. 故选：A. 【变式训练6-1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方法一：设的外接圆半径为R， 则， 因为， 所以， 可得， 即， 可得， 因为，， 所以， 结合，可得， 又，所以， 可得， 则的周长为 ， 因为，所以， 则， 可得 故的周长的取值范围为 方法二：由，可知周长，排除ABD， 故选：C 【变式训练6-2】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若平面向量，其中，． (1)求角B的大小； (2)若，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，则，又，， 所以，由正弦定理得， 即，又A是内角，则， 所以，即， 又，所以； （2）由余弦定理得，即， 所以（当且仅当时取等号）， 所以， 又，所以， 所以， 令，， ，则在上单调递增， 所以，即，即， 所以的最大值为. 【变式训练6-3·变考法】（24-25高一下·天津·期中）已知的内角所对的边分别为，其中. (1)若. ①求角； ②若为锐角三角形，求周长的取值范围； (2)若，求内切圆面积的最大值. 【答案】(1)①；② (2) 【详解】（1）①因，则， 即， 则由正弦定理可得，则， 因，则 ②由正弦定理，得， 则周长 ， 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以周长范围是. （2）因为，则， 由正弦定理得， 即， 即， 化简得， 因为，所以，则， 所以，则， 设内切圆半径为，则， 又， 当且仅当时，即当时等号成立， 所以， 的内切圆面积， 即的内切圆面积的最大值是. 题型7 距离、高度、角度测量问题 例7-1（23-24高一下·天津河北·期中）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在河的这边测定，，，，则两点距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，，， 由正弦定理可得， 在中，，， 在中，， 可得． 故选：C． 例7-2（24-25高一下·天津·期中）天津市滨海新区最高的楼叫天津周大福金融中心，简称“津沽棒”，也有人戏称它为“金箍棒”.如图所示，为了测量大楼高度，在大楼附近的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则津沽棒的高度（   ）米    A． B．260 C． D． 【答案】C 【详解】设塔的高，    在中，，同理，， 在中，，则， ， 即，解得. 所以塔的高度为米. 故选：C 方法技巧 1、距离类问题特点：求不可达的两点间的距离时，由于构造的三角形的两边均不可直接测量，故只能寻求构造已知两角及一边的三角形． 2、高度类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题。 【变式训练7-1】如图，观测站在目标的南偏西方向，经过A处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距的处有一人正沿此公路向处行走，走到达处，此时测得相距． （1）求． （2）求之间的距离． 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由题意知：，，， 在中，由余弦定理得：. （2），， 由题意知：， 在中，由正弦定理得：，， 由余弦定理得：， 即，解得：或（舍）， 之间的距离为. 【变式训练7-2】（1）如图，为求河对岸某建筑物的高，在地面上引一条基线，测得，求. （2）如果米，求建筑物的高.（保留一位小数） 【答案】（1）；（2）米 【详解】（1）在中，，即， 得，则 （2）将代入得（米） 【变式训练7-3】疫情无情，人间有情．为了有效解决疫情发生以来市民群众因管控带来的出门买菜难等生活不便问题，某市在全市范围内组织开展“送菜上门、便民利民”工作．如图，运送物资的车辆已装车完毕，运送人员小赵计划从处出发，前往，，，4个小区运送生活物资，已知，，，与的交点为，且，． (1)分别求，的长度． (2)假设，，，，，，，均为平坦的直线型马路，小赵开着货车在马路上以的速度匀速行驶，每到1个小区，需要10分钟的卸货时间，直到第4个小区卸完货，小赵完成运送生活物资的任务．若忽略货车在马路上损耗的其他时间（例如：等红绿灯，货车的启动和停止……），求小赵完成运送生活物资任务的最短时间（单位：min）． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：在中，由余弦定理得， 解得． 因为，，所以． 在中，由余弦定理得， 解得． （2）解：如图，过作，垂足为点，过作，垂足为点． 因为，，所以，， 得四边形为矩形，所以，， 所以． 因为，所以，所以，． 因为的长度最长，，的长度最短，所以路线避免选择，选择，， 所以最佳路线为，此路线的长度为， 故小赵完成运送生活物资任务的最短时间为． 题型8 角平分线问题 例8-1（24-25高三上·天津·期中）在中，，是边中点，线段长为，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】是边中点，则， 所以， 即，解得， ， 是的平分线，则，， ， 在中，， 故选：B． 例8-2在 ABC中，，，∠A的角平分线AD的长为，则|AC|＝（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】解：在 ABD中，，，∠A的角平分线AD的长为， 由正弦定理得，则， 所以，则， 所以 ABC 是等腰三角形，即 所以， 故， 故选：C 方法技巧 三角形角平分线方法 如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，， 1内角平分线定理 核心技巧：或 2等面积法 核心技巧： 3角形式 核心技巧： 在中有：; 在中有：; 【变式训练8-1】在中，为的角平分线，若，，，则边的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得， ， 所以 ， 所以， 所以， 所以， 故选：C 【变式训练8-2】已知的内角的对边为，且 (1)求; (2)若的面积为 ①已知为的中点，且，求底边上中线的长; ②求内角的角平分线长的最大值. 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）由正弦定理得，即， 故，因为，所以， 所以. （2）①由（1）知，因为的面积为， 所以，解得， 且，解得，由于， 所以 ，所以，即. ②因为为角的角平分线，所以， 由于， 得到， 由于，所以， 由二倍角公式得，则，解得， 又，所以， 由于，当且仅当时，等号取得到， 故，故. 【变式训练8-3】在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，，，求的值； (3)设是边上一点，为角平分线且，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意及正弦定理可得：， 可得，即， 在中，，所以， 因为，所以； （2）因为，，， 由余弦定理得， 所以，即， 所以，，由正弦定理可得：， 可得， 因为，则，则， 可得， 且， 所以 ； （3）因为，是角平分线，即， 因为， 所以，由正弦定理可知， 所以，所以， 整理可得，即， 又因为，且， 即，解得. 题型9 中线问题 例9-1如图，在三角形中，已知边上的两条中线相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】法一：分别是的中点，. 与的夹角等于， ， 则； 法二：以为轴，过点作与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，则 ， 则 ； 法三：在中，由余弦定理， 又因为P为的重心，则， 在中再由余弦定理， 在中由余弦定理， 在中，由余弦定理，则 . 故选：D. 例9-2在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，，若，，则AC边上的中线BD为（ ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，，结合正弦定理得， 因，则，则， 若，则，与上式矛盾，故，则， 因，则， 因为AC边上的中线，则， 则 ， 则. 故选：C 方法技巧 三角形中线方法 在中，设是的中点角,,所对的边分别为，， 1向量形式：（记忆核心技巧，结论不用记忆） 核心技巧： 结论： 2角形式： 核心技巧： 在中有：; 在中有：; 【变式训练9-1】记的内角所对的边分别为，若，则边上的中线长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 所以， 即， 则由正弦定理得， 因为，所以，所以，即， 又，所以，因为， 所以由余弦定理得，即. 由题可得， 所以， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，则， 所以边上的中线长度的最小值为. 故选：C. 【变式训练9-2】（2024·天津河西·模拟预测）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点． (1)求中线AM的长； (2)求的余弦值； (3)求面积． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为为BC的中点，， ， . （2）因为 , ， . （3）为中线的交点，为重心， ， ，， . 【变式训练9-3】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 (1)求角B的大小； (2)若，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 由正弦定理，得a2-ac=b2-c2，即a2+c2-b2=ac. 由余弦定理，得. 因为0<B<π，所以B=. （2）因为A=，所以C=π-A-B=. 设AC=m（m>0），则BC=m，所以CM=m. 在△AMC中，由余弦定理， 得AM2=CM2+AC2-2CM·AC·cos， 即（）2=m2+m2-2·m·m·（-）， 整理得m2=4，解得m=2. 所以S△ABC=CA·CBsin=×2×2×=. 题型10 证明三角形中的恒等式或不等式 例10-1在中，角所对应的边分别是，下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则为锐角三角形 【答案】B 【详解】由，则，A错； 由，则，结合正弦边角关系得，B对； 由，若为钝角、为锐角，则，C错； 由，则，故， 所以为锐角，但不能确定为锐角三角形，D错. 故选：B 例10-2下列四个命题： 函数的最大值为1； “，”的否定是“”； 若为锐角三角形，则有； “”是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件． 其中错误的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：由,得的最大值为,故错误; “,”的否定是“”,故正确; 为锐角三角形,,则， 在上是增函数,,同理可得，,,故正确; ,函数的零点是,0,结合二次函数的对称轴, 可得函数在区间内单调递增; 若函数在区间内单调递增,结合二次函数的对称轴,可得, , “”是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件,故正确． 其中错误的个数是1. 故选:A. 方法技巧 解决不等式问题，通常先构造新函数，然后再利用导数研究这个函数的单调性，从而使不等式问题得以解决． 【变式训练10-1】若是锐角三角形，三边为、、，则下列选项中可能不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对A,若则,因为在区间为减函数, 故即,因为是锐角三角形故显然成立.故A正确. 对B,若,因为是锐角三角形则 .又.故显然恒成立,故成立.故B正确 对C,因为则由余弦定理 显然成立.故C正确 故选D 【变式训练10-2】在中. (1)求的值及的面积； (2)求证：. 【答案】(1)，； (2)证明见解析. 【详解】（1）在中,所以是锐角，. 由，可得，而， 所以， 可得，则， 故； （2）由（1）易知，则， 由（1）及余弦定理有， 所以，又，则. 【变式训练10-3】在中，内角，，满足. (1)证明：； (2)若，求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由， 则， 化简可得， 又，，， 则或（舍）， 即， 则； （2）由已知，， 则，， 则，，， 所以， 又由正弦定理可知，即， 面积. 题型11 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 例11-1记的内角的对边分别为，已知，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得，所以， 即， 因为，可得，所以或， 当时，即，此时，可得，不符合题意，舍去； 当时，可得且， 由正弦定理得， 则 ， 又由，可得，所以， 即的取值范围. 故选：B. 例11-2在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，由余弦定理得，且的面积， 由，得，化简得， 又，，联立解得，， 所以， 为锐角三角形，有，，得， 则有，可得，所以. 故选：C 【变式训练11-1】在锐角中，角A，B，C所对应边分别为a，b，c，. (1)求A； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意，由正弦定理 得 即 又在锐角中，有，所以， 所以，所以； （2）结合（1）可得， 由，则根据正弦定理有， 得， 根据余弦定理有，得， 又为锐角三角形，则有，得， ，. 故 【变式训练11-2】（23-24高一下·天津东丽·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角A的大小； (2)若，，求的面积； (3)若锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）由及正弦定理得： ， 因为， 所以，又，， ，又，故； （2）由余弦定理，又， 所以，所以， 由可得， 故的面积； （3）由正弦定理可知，故， 因为是锐角三角形， 所以， 所以， 令，，， 由对勾函数的性质可知，当时，y单调递增；当，y单调递减； 当时，；当时，；当时，； 因为，所以， 故. 【变式训练11-3】设的内角，，的对边分别为，，，已知，. (1)求角的大小； (2)若点在直线上，当为锐角三角形时，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 且， 则， 可得， 因为，则，可得，即， 且，所以. （2）设，则， 因为为锐角三角形，则，解得， 由正弦定理可得， 则， ， 可得， 构建， 可知在内单调递减，且， 当趋近于时，趋近于， 可得，所以的取值范围为. 1．（2016·天津·高考真题）在中，若    ，则= A．1 B．2         C．3 D．4 【答案】A 【详解】余弦定理将各值代入 得 解得或(舍去)选A. 2．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】空1：因为为的中点，则，可得， 两式相加，可得到， 即，则； 空2：因为，则，可得， 得到， 即，即. 于是. 记， 则， 在中，根据余弦定理：， 于是， 由和基本不等式，， 故，当且仅当取得等号， 则时，有最大值. 故答案为：；.    3．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； （2）由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得（舍去）， 故； （3）由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 4．（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设，，则根据余弦定理得， 即，解得（负舍）； 则. （2）法一：因为为三角形内角，所以， 再根据正弦定理得，即，解得， 法二：由余弦定理得， 因为，则 （3）法一：因为，且，所以， 由（2）法一知， 因为，则，所以， 则， . 法二：， 则， 因为为三角形内角，所以， 所以 5．（2023·天津·高考真题）在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：； （2）由余弦定理可得，，即， 解得：或（舍去）． （3）由正弦定理可得，，即，解得：，而， 所以都为锐角，因此，， ． 1．在中，，，，是边上的一点，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图 由题意可知；， 所以由正弦定理得：， 在中，由余弦定理可知， ． 所以． 故选：C． 2．如图，已知平面ABC，垂足为点A，，，则（    ）. A． B．6 C．12 D．144 【答案】C 【详解】因为， 则 又 ， 则 故选：C. 3．已知A，B两地间的距离为10km，B，C两地间的距离为20km．若测得，则A，C两地间的距离为（    ） A．10km B．km C．km D．km 【答案】D 【详解】由题意可知， 结合余弦定理可得， 所以，故， 所以A，C两地间的距离为， 故选；D 4．中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，面积是面积的2倍． (1)求； (2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长． 【答案】（1）；（2）,1 【详解】试题分析：（1）借助题设条件运用三角形的面积公式求解；（2）借助题设余弦定理立方程组求解. 试题解析： （1），， ∵，，∴． 由正弦定理可知. （2）∵，， ∴． 设，则， 在△与△中，由余弦定理可知， ， ， ∵，∴， ∴，解得， 即． 5．已知、、分别为三个内角、、的对边，. (1)求； (2)若，的面积为，求、. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据正弦定理， 变为，即， 也即， 所以． 整理，得，即，所以， 所以，则． （2）由，，得． 由余弦定理，得， 则，所以．则． 2 / 50 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 解三角形 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 正弦定理 3 知识点2 余弦定理 4 知识点3 三角形的形状的判定 4 知识点4 三角形面积公式 5 知识点5 常用结论 5 题型破译 6 题型1 正弦定理理解三角形 6 题型2 余弦定理理解三角形 7 题型3 三角形解的个数问题 8 题型4 正、余弦定理判定三角形形状 10 题型5 和三角形面积有关的问题 10 题型6 求三角形中的边长或周长的最值或范围 11 题型7 距离、高度、角度测量问题 12 题型8 角平分线问题 14 题型9 中线问题 15 题型10 证明三角形中的恒等式或不等式 16 题型11 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 17 04真题溯源·考向感知 18 05课本典例·高考素材 19 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）正弦定理理解三角形 （2）余弦定理理解三角形 （3）和三角形面积有关的问题 （4）正余弦定理与三角函数性质的结合应用 （5）正、余弦定理判定三角形形状 单选题 多选题 填空题 解答题 天津卷，第16题，14分 天津卷，第16题，14分 天津卷，第16题，14分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出三角形，解决三角形中的周长与面积，同时解三角形会与两角和差二倍角进行结合，求解凑求值问题,设题稳定，难度中档，分值为14分. 复习目标： 1.理解、掌握正余弦定理，能够运用正余弦定理解三角形 2.能掌握正余弦定理与三角形的面积周长问题 3.具备数形结合的思想意识，会灵活运用三角形的知识点解决中线，高线，角平分线问题 4.会解三角形的最值与取值范围问题 知识点1 正弦定理 1、 正弦定理 在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即： 2、正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ②；；； ③ ④ ⑤，，（可实现边到角的转化） ⑥，，（可实现角到边的转化） 自主检测在中，分别是角的对边，下列四个命题中正确的个数为（    ） ①若，则是等腰三角形； ②若，三角形面积，则三角形外接圆半径为； ③若点为内一点，且，则； ④在中，若有解，则的取值范围是. A．1 B．2 C．3 D．4 知识点2 余弦定理 1、余弦定理 三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即： ， ， 2、余弦定理的变形公式： 自主检测在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，点O是的外心，若，则（   ） A． B． C． D． 知识点3 三角形的形状的判定 1、特殊三角形的判定 （1）直角三角形 勾股定理：， 互余关系：， ， ； （2）等腰三角形 ，； 2、用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号） （1）在中，； （2）在中，； （3）在中，； 自主检测在中， 记角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 知识点4 三角形面积公式 ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④ (其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 自主检测在中，三个内角所对边分别为，若且则的面积等于（    ） A． B． C． D．3 知识点5 常用结论 在三角形中的三角函数关系 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥若 ⑦若或 题型1 正弦定理解三角形 例1-1（2025·天津红桥·模拟预测）在中，若，，，则（    ） A． B． C． D． 例1-2（24-25高一下·天津西青·阶段练习）在相距2千米的A，B两点处测量目标点C， 若，，则A，C两点之间的距离为（    ）(单位：千米) A． B． C． D． 方法技巧 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素. (2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系. 【变式训练1-1】（24-25高一下·天津滨海新·期中）在中，，，，点D在边上靠近B点的三等分点处，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】（2025·天津·二模）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，． (1)求的值； (2)若，求c的值． 【变式训练1-3】（2025·天津滨海新·三模）在中，内角，，所对的边分别，，，已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 题型2 余弦定理解三角形 例2-1（2025·天津红桥·模拟预测）在中，若，，，则的长度为（    ） A．2 B．4 C． D． 例2-2（2025·天津河西·二模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作直线分别交双曲线的左、右两支于，两点，满足，且，，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 方法技巧 1、已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边． 2、已知三角形的三边解三角形的方法 利用余弦定理求出三个角的余弦，进而求出三个角． 【变式训练2-1】（2025·天津·二模）双曲线的左右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，若，则双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D．   【变式训练2-2】已知的内角的对边分别为的面积为． (1)求A； (2)若，且的周长为5，设为边中点，求． 【变式训练2-3·变载体】（2025·天津·二模）在中，内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，且面积， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求． 题型3 三角形解的个数问题 例3-1（24-25高一下·天津南开·期中）在中，下列命题不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则一定为等腰三角形 C．若，则为钝角三角形 D．若，，，则有两解 例3-2（24-25高一下·天津武清·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（   ）． A．，，，无解 B．，，，有一解 C．，，，有两解 D．，，，有两解 方法技巧 1、已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 2、已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定. (1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<B=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三角形 内角和等于”等，此时需进行讨论. (2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 【变式训练3-1】（24-25高一下·天津南开·阶段练习）由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（   ） A．，，，有两解 B．，，，有两解 C．，，，有两解 D．，，，无解 【变式训练3-2】由下列条件解，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】根据下列情况，判断三角形解的情况，其中有唯一解的是（    ） A． B． C． D． 题型4 正、余弦定理判定三角形形状 例4-1已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 例4-2在中，，记的面积为，若，判断 的形状为（     ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 方法技巧 (1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系； (2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁. 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 【变式训练4-1】在中，已知，且，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．有一个角为的直角三角形 D．等边三角形 【变式训练4-2】（24-25高一下·天津·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求C的大小； (2)设，，且，判断的形状． 【变式训练4-3·变载体】已知△的内角的对边分别为，若，，且△的面积， (1)求边； (2)求边并判断△的形状. 题型5 和三角形面积有关的问题 例5-1（24-25高一下·天津·期末）记面积的为S，若，则角A的大小为（   ） A． B． C． D． 例5-2（24-25高一下·天津南开·期中）设锐角的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则下列命题正确的个数为（   ） ①；        ②的外接圆的面积是； ③的面积的最大值是；    ④的取值范围是． A．4 B．3 C．2 D．1 方法技巧 (1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积； (2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量. 【变式训练5-1】（24-25高三上·天津·期中）已知的内角所对应的边分别为，且． (1)求； (2)若，求的面积． (3)若，的面积为，求的最大值． 【变式训练5-2】（24-25高二下·天津河北·期末）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求的单调递增区间： (3)在中，角所对的边分别为，若，，且的面积为，求的值. 【变式训练5-3】（24-25高一下·天津·期末）在中，为角对应的边，S为的面积，且满足如下条件：. (1)求角A； (2)若，求面积的最大值； (3)为锐角三角形，且，若恒成立，求实数的取值范围. 题型6 求三角形中的边长或周长的最值或范围 例6-1在锐角中，角的对边分别为为的面积，且，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 例6-2在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线AD的长为3，则的最小值为（    ） A．12 B．24 C．27 D．36 【变式训练6-1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若平面向量，其中，． (1)求角B的大小； (2)若，求的最大值． 【变式训练6-3·变考法】（24-25高一下·天津·期中）已知的内角所对的边分别为，其中. (1)若. ①求角； ②若为锐角三角形，求周长的取值范围； (2)若，求内切圆面积的最大值. 题型7 距离、高度、角度测量问题 例7-1（23-24高一下·天津河北·期中）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在河的这边测定，，，，则两点距离是（    ）    A． B． C． D． 例7-2（24-25高一下·天津·期中）天津市滨海新区最高的楼叫天津周大福金融中心，简称“津沽棒”，也有人戏称它为“金箍棒”.如图所示，为了测量大楼高度，在大楼附近的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则津沽棒的高度（   ）米    A． B．260 C． D． 方法技巧 1、距离类问题特点：求不可达的两点间的距离时，由于构造的三角形的两边均不可直接测量，故只能寻求构造已知两角及一边的三角形． 2、高度类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题。 【变式训练7-1】如图，观测站在目标的南偏西方向，经过A处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距的处有一人正沿此公路向处行走，走到达处，此时测得相距． （1）求． （2）求之间的距离． 【变式训练7-2】（1）如图，为求河对岸某建筑物的高，在地面上引一条基线，测得，求. （2）如果米，求建筑物的高.（保留一位小数） 【变式训练7-3】疫情无情，人间有情．为了有效解决疫情发生以来市民群众因管控带来的出门买菜难等生活不便问题，某市在全市范围内组织开展“送菜上门、便民利民”工作．如图，运送物资的车辆已装车完毕，运送人员小赵计划从处出发，前往，，，4个小区运送生活物资，已知，，，与的交点为，且，． (1)分别求，的长度． (2)假设，，，，，，，均为平坦的直线型马路，小赵开着货车在马路上以的速度匀速行驶，每到1个小区，需要10分钟的卸货时间，直到第4个小区卸完货，小赵完成运送生活物资的任务．若忽略货车在马路上损耗的其他时间（例如：等红绿灯，货车的启动和停止……），求小赵完成运送生活物资任务的最短时间（单位：min）． 题型8 角平分线问题 例8-1（24-25高三上·天津·期中）在中，，是边中点，线段长为，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 例8-2在 ABC中，，，∠A的角平分线AD的长为，则|AC|＝（    ） A．2 B．3 C． D． 方法技巧 三角形角平分线方法 如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，， 1内角平分线定理 核心技巧：或 2等面积法 核心技巧： 3角形式 核心技巧： 在中有：; 在中有：; 【变式训练8-1】在中，为的角平分线，若，，，则边的长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2】已知的内角的对边为，且 (1)求; (2)若的面积为 ①已知为的中点，且，求底边上中线的长; ②求内角的角平分线长的最大值. 【变式训练8-3】在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，，，求的值； (3)设是边上一点，为角平分线且，求的值. 题型9 中线问题 例9-1如图，在三角形中，已知边上的两条中线相交于点，则（    ） A． B． C． D． 例9-2在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，，若，，则AC边上的中线BD为（ ） A． B．3 C． D． 方法技巧 三角形中线方法 在中，设是的中点角,,所对的边分别为，， 1向量形式：（记忆核心技巧，结论不用记忆） 核心技巧： 结论： 2角形式： 核心技巧： 在中有：; 在中有：; 【变式训练9-1】记的内角所对的边分别为，若，则边上的中线长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-2】（2024·天津河西·模拟预测）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点． (1)求中线AM的长； (2)求的余弦值； (3)求面积． 【变式训练9-3】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 (1)求角B的大小； (2)若，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积. 题型10 证明三角形中的恒等式或不等式 例10-1在中，角所对应的边分别是，下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 例10-2下列四个命题： 函数的最大值为1； “，”的否定是“”； 若为锐角三角形，则有； “”是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件． 其中错误的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 方法技巧 解决不等式问题，通常先构造新函数，然后再利用导数研究这个函数的单调性，从而使不等式问题得以解决． 【变式训练10-1】若是锐角三角形，三边为、、，则下列选项中可能不成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-2】在中. (1)求的值及的面积； (2)求证：. 【变式训练10-3】在中，内角，，满足. (1)证明：； (2)若，求的面积. 题型11 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 例11-1记的内角的对边分别为，已知，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例11-2在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-1】在锐角中，角A，B，C所对应边分别为a，b，c，. (1)求A； (2)若，求的取值范围. 【变式训练11-2】（23-24高一下·天津东丽·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角A的大小； (2)若，，求的面积； (3)若锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 【变式训练11-3】设的内角，，的对边分别为，，，已知，. (1)求角的大小； (2)若点在直线上，当为锐角三角形时，求的取值范围. 1．（2016·天津·高考真题）在中，若    ，则= A．1 B．2         C．3 D．4 2．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ． 3．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 4．（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 5．（2023·天津·高考真题）在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 1．在中，，，，是边上的一点，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知平面ABC，垂足为点A，，，则（    ）. A． B．6 C．12 D．144 3．已知A，B两地间的距离为10km，B，C两地间的距离为20km．若测得，则A，C两地间的距离为（    ） A．10km B．km C．km D．km 4．中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，面积是面积的2倍． (1)求； (2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长． 5．已知、、分别为三个内角、、的对边，. (1)求； (2)若，的面积为，求、. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$