重难点培优01 平行垂直的判定（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优01平行垂直的判定 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 6 题型一 线面平行Ⅰ—利用三角形中位线（★★） 6 题型二 线面平行Ⅱ—利用平行四边形线面,平行Ⅲ—利用线面平行的性质定理（★★★） 12 题型三 线面平行Ⅳ—利用面面平行,面面平行的判定定理（★★★★） 17 题型四 垂直性质的简单判定及线面垂直的判定（★★★★）.................................................................24 题型五 线线垂直的判定及面面垂直的判定（★★★★）......................................................................29 03 实战检测・分层突破验成效 35 检测Ⅰ组 重难知识巩固 35 检测Ⅱ组 创新能力提升 43 一、直线和平面平行 1．定义 直线与平面没有公共点，则称此直线与平面平行，记作∥ 2．判定方法（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 线∥线线∥面 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行 面∥面线∥面 如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面 3．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 线∥面线∥线 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 二、两个平面平行 1．定义 没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和，若，则∥ 2．判定方法（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理线∥面面∥面 如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行 线面面∥面 如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行 ∥ 3．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 面//面 线//面 如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”） 面//面 线面 如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线 【常用结论】 1.证明直线与平面平行的常用方法： ①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明； ②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行．辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段； ③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行； 2.证明面面平行的常用方法： ①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合； ②利用面面平行的判定定理； ③利用两个平面垂直于同一条直线； ④证明两个平面同时平行于第三个平面． 3.证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理； 三、直线与平面垂直的定义 如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直． 四、判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判断定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 面⊥面⇒线⊥面 两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a 平行与垂直的关系 一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直 _ 平行与垂直的关系 两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直 _ b _ a 五、性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行 _ b _ a 文字语言 图形语言 符号语言 垂直与平行的关系 垂直于同一直线的两个平面平行 _ 线垂直于面的性质 如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直 六、平面与平面垂直 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若，且，则） 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 七、判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 _ 八、性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a 【常用结论】 1.证明线线垂直的方法 ①等腰三角形底边上的中线是高； ②勾股定理逆定理； ③菱形对角线互相垂直； ④直径所对的圆周角是直角； ⑤向量的数量积为零； ⑥线面垂直的性质； ⑦平行线垂直直线的传递性（）． 2.证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义； ②线面垂直的判定（）； ③面面垂直的性质（）； 平行线垂直平面的传递性（）； ⑤面面垂直的性质（）． 3.证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理（）． 题型一 线面平行—利用三角形中位线 【技巧通法·提分快招】 1.可以拿一把直尺放在位置（与平齐） 2.然后把直尺平行往平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止 3.此时刚好经过点（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与相交于点，连接 4.此时长度有长有短，连接并延长刚好交于一点，刚好构成型模型（为中点，则也为中点，若为等分点，则也为对应等分点）， 1．（2025·天津西青·期末）如图，直三棱柱中，，，D为线段的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3). 【详解】（1）证明：连接交于点O，连接. 因为四边形是正方形，则O为中点， 又因为点D为中点， 所以. 结合图形可知：平面，平面， 故平面 （2）证明： 已知三棱柱为直棱柱，则平面， 因为平面，所以. 又因为，，平面，平面， 所以平面， 而平面，所以. 又因为，所以. 由题知，D为线段的中点，所以， 又，平面，平面， 所以平面. 又因为平面， 故平面平面. （3）取的中点F，连接，，则. 已知三棱柱为直棱柱，平面， ∵平面，∴. 又因为，，平面，平面， ∴平面. 又因为，∴平面， ∴为直线与平面所成的角. ∵，∴，中，. 在中，. ∵平面，平面，∴. 在中，， ∴直线与平面所成角的正切值为. 2．（2025·天津·期中）如图，在正四棱柱中，，，H，G，E分别为AD，AB，BC的中点. (1)求证：平面； (2)求点B到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【详解】（1）连接HE，因为四边形ABCD是正方形，且H，E分别为AD，BC的中点 所以且，又且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）由题设， 在中，，， 得， ， ， 设点B到平面的距离为h，又， 所以，则，从而. 3．（2025·天津滨海新·期中）如图， 在正方体中， 是的中点. (1)求异面直线和所成角的大小； (2)求证：平面； (3)求和平面所成角的正弦值. 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【详解】（1）连接，在正方体中，且，所以四边形为平行四边形， 所以，所以或其补角即为异面直线和所成角， 又为等边三角形，所以，所以异面直线和所成角为； （2）连接，设直线交直线于点，连接， 因为在正方体中，底面是正方形，所以为中点， 又因为为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以直线平面． （3）设正方体的棱长为，则， 又，， 所以， 设点到平面的距离为，则，即，解得， 设和平面所成角为，则， 所以和平面所成角的正弦值为. 4．（2025·天津·期中）如图所示，在平行六面体 中，分别是的中点，求证:    (1) (2)平面; 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）因为， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又分别为的中点，所以， 所以 （2）    连结，设与连结交于点，连接， 四边形为平行四边形，点是的中点， 又是的中点， 是的中位线， 又面，面，平面， 5．（2025·天津南开·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论错误的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．直线与直线所成角的取值范围为 C．的最小值为 D．若为线段中点，过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为 【答案】D 【详解】在棱长为2的正方体中，为线段的中点， 对于A，，平面，平面，则平面， 则点到平面的距离为定值，而的面积为定值，为定值，A正确； 对于B，如图，过点作，则直线DP与直线所成角与直线与直线所成角相等， 当点运动至点时，角最大为，点运动至点时，角最小为，B正确； 对于C，如图，将侧面和侧面展开至同一平面，当三点共线时，取最小值，C正确； 对于D，如图，过点三点的平面截正方体所得截面为等腰梯形， 其中上底，下底，腰为，则梯形高为， 所以等腰梯形的面积为，D错误. 故选：D 题型二线面平行—利用平行四边形及性质定理 【技巧通法·提分快招】 1.可以拿一把直尺放在位置 2.然后把直尺平行往平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止。 3.此时刚好经过点（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与相交于点O，连接。 4.此时长度相等（感官上相等即可，若感觉有长有短则考虑法一A型的平行），连接，刚好构成平行四边形型模型（为中点，O也为中点，为三角形中位线），。 1．（2025·天津和平·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)在上取一点（不与重合），设过点和的平面交平面于，求证：． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）取的中点，连接，如图所示. 因为分别是的中点， 所以中，，且. 因为为四棱锥，所以，且. 所以且 所以四边形为平行四边形，所以 又在平面内，在平面外， 所以平面. （2）连接交于点，连接，如图所示. 因为四边形是平行四边形，所以是的中点. 又因为是的中点，在中，根据三角形中位线定理可得. 因为平面,在平面外， 根据线面平行的判定定理，得知平面. 因为过点和的平面交平面于，且平面， 根据线面平行的性质定理可得，. 2．（2025·天津·期中）如图，已知分别是空间四边形的边的中点，．求证： (1)四边形是菱形； (2)平面． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）由题意得分别是空间四边形的边的中点， 则是的中位线，是的中位线， 由中位线定理得，且， 同理可得，，因为，所以， 因为，，所以，故四边形为平行四边形， 因为，所以四边形是菱形． （2）由上问得，而平面，且平面， 得到平面，故平面． 3．（23-24高一下·天津·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，PO⊥平面，，为中点. (1)证明：平面； (2)求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）如图所示，连接， 因为为平行四边形，是中点， 所以是平行四边形的对角线，所以是中点， 又因为是中点，所以是中位线，所以， 因为平面，平面，所以平面； （2）. 4．（2025·天津·模拟预测）已知四棱台，下底面为正方形，，，侧棱平面，且为CD中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)求到平面的距离． 【答案】(1)证明见详解(2)(3) 【详解】（1）由于，， 故， 而，故四边形是平行四边形， 所以， 而在平面内，不在平面内， 所以平面； （2） 如上图所示，以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系. 则，，，，， ， 设平面与平面的法向量分别是和， 则有和， 即，， 从而，，. 故我们可取，，而， 故平面与平面所成角的余弦值是. （3）设到平面的距离为，由于， 而，故，所以. 所以到平面的距离为. 5．（2025·天津西青·期中）如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为棱的中点.求证：    (1) (2)平面. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）证明：四棱锥的底面是平行四边形， ， 又分别为的中点， ， 四边形为平行四边形. . （2）证明：由（1）知，又平面平面， 平面. 题型三 线面平行—利用面面平行及判定定理 【技巧通法·提分快招】 1.如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 2.已知平面平面，则平面里的任意直线均与平面平行 1．（2025·天津·期中）如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点是棱的中点． (1)求证：平面； (2)求到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1） 取与的交点为，连接， 由侧面均为正方形，可得，又因为点是棱的中点， 所以，又因为平面，平面， 所以平面； （2） 因为侧面，均为正方形，，， 所以，，又因为点是棱的中点， 所以，即可得， 所以， 又因为， 设点到平面的距离为，则根据等体积公式可得， ．解得， 故到平面的距离为. 2．（2025·天津·期中）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】对于A，若，，则或，A错误； 对于B，若，则或与相交，B错误； 对于C，由，，，得或是异面直线，C错误； 对于D，若，，两个平面平行，一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面， 即，D正确. 故选：D. 3．（2025·天津南开·期中）如图所示，在三棱柱中，分别是的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)平面将三棱柱分割成两部分，两部分几何体的体积分别为，求的值． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3). 【详解】（1）分别是的中点， ， 又平面，平面， 所以平面． （2）分别为中点， 故， 又，， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 平面 又由（1）知平面，且平面，， 平面平面． （3）设三棱柱的底面积为，高为，则其体积为， 平面将三棱柱分割成三棱台和多面体两部分， 设三棱台的体积为，多面体的体积为， 因为分别为中点，所以， 则， ， 又，所以，， 故． 4．（2025·天津西青·期中）在四棱锥 中，底面为平行四边形，为底面中心，、分别为、的中点，，且. (1)求证:平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若、分为、的中点，点在线段上，且. 求证: 平面平行平面. 【答案】(1)证明见解析.(2).(3)证明见解析. 【详解】（1）证明：连接，则为中点，点为中点，所以， 因为平面平面，平面，所以平面． （2）由（1）得，异面直线与所成角即为与夹角， ，，所以为等腰直角三角形， 设，则，，， 在中，由余弦定理得，， 所以异面直线与所成角的余弦值为． （3）连接，如图所示，因为、分别为、的中点， 所以， 因为为的中点，所以， 因为点在线段上，且， 所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 同理可得平面， 又因为，、平面， 所以平面平面． 5．（2025·天津南开·模拟预测）在四棱锥中，底面为平行四边形，为底面中心，分别为的中点，为等腰直角三角形，且． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若分为的中点，点在线段上，且．求证：平面平面． （注：只能使用几何法，其他方法一律不给分） 【答案】(1)证明见解析(2)(3)证明见解析 【详解】（1）证明：连接，则为中点， 又点为中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面． （2）由（1）得，异面直线与所成角即为与夹角， 在等腰直角三角形中，设，则，，， 在中，由余弦定理得，， 所以异面直线与所成角的余弦值为． （3）连接，如图所示， 因为分为的中点，所以， 因为为的中点，所以， 因为点在线段上，且，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可得平面， 又，平面， 所以平面平面． 题型四 垂直性质及线面垂直的判定 【技巧通法·提分快招】 1．（2025·天津南开·期末）如图，在直三棱柱中，，，，是直线上一动点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在平面内，在平面内， 将两个平面铺平后转化成平面上的问题解决，如图：    则的最小值就是平面四边形内的长， 在直三棱柱中，平面，平面， ， ，，即， ，平面，平面， 平面，， ，， 在中，，，， 由余弦定理可得. 故选：A. 2．（2025·天津南开·期末）如图，正三棱柱的各棱长均为1 ，点是棱的中点，点是线段上的动点，点为的中点，点是棱上靠近点的四等分点，则下列命题： ①平面； ②三棱锥的体积为定值； ③当是的中点时，过点的平面截正三棱柱所得图形的面积为 ④点是上底面上的一个动点，且直线与所成的角为，则点的轨迹长度为 其中正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】对于①，如图，由点R，P分别为的中点，得． 又平面，平面，所以平面，故①正确； 对于②，由题意可知， 设点到平面的距离为d，平面平面， 所以点到平面的距离等于点到线段的距离． 又，所以， 所以，为定值，故②正确； 对于③，连接并延长交于点S，连接， 则过点P，A，R的平面截正三棱柱所得截面图形为． 因为，平面平面，平面平面， 平面，所以平面． 又平面，所以， 取的中点N，连接，则点Q为的中点， 又点R为的中点，所以，， 又点M为的中点，所以， 所以，所以，所以， 所以，故，故③错误； 对于④，由题可知，点D的轨迹是以为轴（其中B为顶点）， 母线与轴所成角为的圆锥的底面圆周与正三棱柱的上表面的交线． 所以，所以， 所以D在上运动时，其轨迹是以为圆心，为半径，圆心角为的圆弧， 故点D在上运动的轨迹长度为，故④正确； 故选：C． 3．（2025·天津西青·期末）设是一个平面，、是两条直线，则正确的命题为（    ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【答案】D 【详解】对于A：如果，，那么与平行、相交或异面，故A错误； 对于B：如果，，那么或，故B错误； 对于C：如果，，那么或或与相交，相交也不一定垂直，故C错误； 对于D：如果，，根据线面垂直的性质可得，故D正确． 故选：D． 4．（2025·天津·三模）如图，已知两个四棱锥与的公共底面是边长为2的正方形，顶点在底面的同侧．棱锥的高，分别为AB、CD的中点，与交于点E，与交于点F，则四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 连接，，如图，因为平面ABCD，平面ABCD， 所以，又，所以四边形是矩形， 所以，， 又，分别为AB，CD的中点，所以，， 所以，，所以四边形是平行四边形， 又对角线，所以点E为线段的中点. 连接，交EF于点N，过点作于M， 由题意知，故， 又，，，平面，所以平面， 故，又，，平面， 所以平面，即是四棱锥的高， 同理可得点F为线段的中点，所以，， 在中，，则，所以， 因为， 所以. 故选：B. 5．（2025·天津静海·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，． (1)求与所成角的余弦值； (2)求三棱柱的体积． 【答案】(1)(2)6 【详解】（1）连接，交于点，连接， 因四边形为平行四边形，则为的中点， 又为的中点，则， 所以与所成角等于或， 因为底面，底面，所以，， 又，所以平行四边形为正方形，则，， 在中，因为，为的中点，所以， 又，，所以，． 因为，所以，又，，所以． 在中，由余弦定理得， ． 所以与所成角的余弦值为． （2）由题知，的面积，高， 所以三棱柱的体积． 题型五 线线垂直及面面垂直的判定 【技巧通法·提分快招】 1．（2025·天津武清·联考）已知表示不同的直线，α，β表示不同的平面，给出下面四个命题： （1）若，，则；（2）若，，，，则； （3）若，，则；（4），，则． 上面四个命题正确的有（    ） A．（1），（3） B．（2），（4） C．（1），（2），（4） D．（1），（3），（4）． 【答案】C 【分析】利用面面平行的性质，线面平行的性质，线面垂直的性质即可判断各选项. 【详解】在（1）中,若，，由面面平行的性质可得，，故（1）正确； 在（2）中，由，，，则， 又因为，且，所以，故（2）正确； 在（3）中，若，，则或为异面直线，故（3）错误； 在（4）中，，，根据线面垂直的性质可得，故（4）正确； 故选：C. 2．（2025·天津·期中）如图，在正方体中，E为的中点.    (1)求证：平面AEC； (2)取中点F，求证：平面平面 (3)求异面直线AE与所成角的余弦值 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3). 【详解】（1）在正方体中，连接交于，连接， 则为的中点，而为的中点，则， 又平面，平面， 所以平面. （2）由为的中点，为的中点，得， 则四边形为平行四边形，，又平面，平面， 于是平面，由（1）知平面，而，平面， 所以平面平面．    （3）由（1）知，，则是异面直线AE与所成的角或其补角， 令正方体的棱长，则，， 因此， 所以异面直线AE与所成角的余弦值为. 3．（25-26高三上·天津河北·开学考试）设，是两条不同的直线，，是两个平面，下列说法错误的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，那么 【答案】A 【详解】对于A，如图，多面体为长方体，    记平面为平面，平面为平面，直线为直线， 则若，，此时，故A错误， 对于B，如图，，，， 设，在直线上任取一点，在平面内过作，在平面内过作， 因为，，，，所以，又， 所以， 同理， 因为，，，， 所以为二面角的平面角，又， 所以，又，，所以，B正确，    对于C，如图，，， 过直线作平面，，因为，，所以， 过直线作平面，，因为，，所以， 所以，又，，所以，又，， 所以，又，所以，C正确，      对于D，因为，所以平面与平面没有公共点， 又，所以直线与平面没有公共点， 所以，D正确， 故选：A. 4．（2025·天津红桥·期末）如图，在棱长为1的正方体中，E是棱的中点，F为的中点.    (1)求证: 平面 (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）连接，，，连接，其中， 因为E是棱的中点，F为的中点，故，且， 又，且，所以，， 所以四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面； （2）正方体的体积为， 其中，， ，， ，， 所以， 其中， 由余弦定理得， 故， 所以， 设到平面的距离为，则， 解得， 设边上的高为， 其中， 故，， 故， 所以平面与平面夹角的正弦值为， 故平面与平面夹角的余弦值为. 5．（2025·天津·期末）如图，在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，则以下命题正确的个数为（   ） ①直线平面， ②平面与平面的夹角大小为 ③三棱锥的体积为定值 ④异面直线AP与所成角的取值范围是 ⑤三棱锥外接球表面积是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】如图，连接，正方形中，， 因为正方体的棱平面，平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又平面，所以，同理． 又，平面， 所以平面，故①正确； 因为平面，平面，所以， 又平面平面，，平面，平面， 则是平面与平面的夹角，显然三角形为等腰直角三角形， 则该角大小为，故②错误； 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，因此有， 又平面，平面，所以平面， 又，因此到平面的距离为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故③正确； 由于，因此异面直线AP与所成角就是与所成的角， 即图中或，设正方体棱长为1，所以， 当点为中点时，此时， 因为是等边三角形，在线段上， 因此或中较小的角的范围是，④错误； 三棱锥的外接球即为正方体的外接球， 又正方体的外接球的直径为正方体的体对角线， 即，所以， 所以三棱锥外接球表面积是，故⑤正确． 故选：C． 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2025·天津北辰·三模）已知正四棱柱的底面边长为4，侧棱长为2，点是棱的中点，为上底面内（包括边界）的一动点，且满足平面，的轨迹把该正四棱柱截成两部分，则较小部分的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取的中点，连接 由题意可得，又，所以，所以平面即为平面， 又，平面，平面，所以平面， 易得，所以四边形为平行四边形， 所以且，又且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面， 又，，平面， 所以平面平面，又因为平面， 所以平面，又为上底面内（包括边界）的一动点， 所以，由图易知的轨迹把该正四棱柱截成两部分中体积较小的部分为三棱锥， 又， 所以三棱锥的外接球的半径， 较小部分的外接球的体积为. 故选：D. 2．（2025·天津南开·一模）如图，在平行六面体中，是线段上的一点，且，则三棱锥的体积与平行六面体的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设及平行六面体的结构特征易知，面，面， 所以面，则上任意一点到面的距离为定值， 又，则， 由的底面面积是平行六面体底面面积的一半，且高相等， 所以. 故选：D 3．（2025·天津滨海新·模拟预测）在如图所示的多面体中，四边形ABCD为正方形，A，E，B，F四点共面，且和均为等腰直角三角形，，平面平面AEBF，． (1)求证：直线平面ADF； (2)求平面CBF与平面BFD夹角的正弦值； (3)若点P在直线DE上，求直线AP与平面BCF所成角的最大值． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）因为和均为等腰直角三角形，且， 所以，所以， 又平面ADF，平面ADF，所以平面ADF． （2）因为四边形ABCD为正方形，所以， 因为平面平面AEBF，平面ABCD，平面平面， 所以平面AEBF，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 因为，所以B（2，0，0），C（2，0，2），F（1，，0），A（0，0，0）， ，，，设平面BCF的法向量为， 则，得，令，则， 设平面BFD的法向量，， 由，令，得 因为 平面CBF与平面BFD夹角的正弦值是 （3）设P（0，，），则， 设AP与平面BCF所成的角为，则 要使最大，则，所以，时等号成立， 所以，所以AP与平面BCF所成角的最大值为． 4．（2025·天津·二模）已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．，，， B．，， C．， D．， 【答案】D 【详解】对于A：当时，满足，，，，则与有可能相交，故A错误； 对于B：当时，则，，，故B错误； 对于C：满足，，则或，故C错误； 对于D：由，,故D正确. 故选：D. 5．（2025·天津·二模）已知a，b是两条直线，α，β是两个平面．下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【详解】对于A，若，，则，即垂直于同一个平面的直线平行，故A错误； 对于B，若，设，，，则． 又，则． 因为，，则， 所以，故B正确； 对于C，若，，则，即垂直于同一直线的两个平面平行，故C错误； 对于D，若，，则，或，故D错误． 故选：B． 5．（2025·天津·一模）《九章算术》中记载了几何体“刍甍”，即“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”译为：底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．现有一刍甍如图所示，底面为矩形，且为等边三角形，且平面平面，点M为棱上靠近点E的三等分点，平面将几何体分成体积为的左、右两部分，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以可将刍甍补成如图所示的三棱柱，取中点，连接， 因为是等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 所以三棱柱是直三棱柱， 不妨设的面积为，三棱锥的体积为， 从而. 故选：D. 6．（2025·天津红桥·二模）如图，已知四棱锥的底面为矩形，平面,，是的中点，是的中点.    (1)证明：平面 (2)若， ①求平面与平面夹角的余弦值； ②求点到平面的距离； 【答案】(1)证明见解析； (2)①；② 【详解】（1）由底面为矩形，，所以， 即，又因为是的中点，所以； 因为平面，平面， 所以， 由平面, 所以平面； （2）①连接，如下图所示：    由（1）知平面，又平面，所以， 又，所以即为平面与平面所成的夹角， 易知，所以， 又，，所以， 因此， 即平面与平面夹角的余弦值为； ②易知三棱锥的体积为； 设点到平面的距离为， 由可知， 又，即，解得； 即点到平面的距离为. 7．（2025·天津·一模）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】B 【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项. 【详解】A.若，，则或，故A错误； B. 若，，，则，故B正确； C. 若，，则或与相交，故C错误； D. 若，，，则或异面，故D错误. 故选：B 8．（2023·天津和平·三模）已知正方体的棱长为6，点，分别在棱，上，且满足，点为底面的中心，过点，，作平面，则平面截正方体所得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接，，与交点即为， 因为，所以‖， 因为‖，所以‖， 所以共面， 所以平面截正方体所得的截面为梯形， 因为正方体的棱长为6，且， 所以， 在中，，则， 在中，，则 ， 在，，则 ， 过作于，则， 所以, 所以等腰梯形的面积为 , 故选：A    检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2024·天津·一模）在中国古代数学经典著作九章算术中，称图中的多面体为“刍甍”书中描述了刍甍的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即，其中是刍甍的高，即点到平面的距离若底面是边长为的正方形，，且，和是等腰三角形，，则该刍甍的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示， 设点在底面的射影为，分别为的中点， 连接， 则即为刍甍的高， 由，平面，平面， 所以平面， 又平面，且平面平面， 所以， 在“刍甍”中，和是等腰三角形， 所以一定在上， 由题意底面是边长为的正方形，， 可知， 在是等腰直角三角形，且， 所以， 所以， 所以. 故选：B. 2．（2025·天津和平·一模）在中国古代数学经典著作《九章算术》中，称图中的多面体ABCDEF为“刍甍”，书中描述了刍甍的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即，其中h是刍甍的高，即点F到平面ABCD的距离.若底面ABCD是边长为4的正方形，且平面ABCD，和是等腰三角形，，则该刍甍的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取中点，连接，如图， 由正方形知，，，而为等腰三角形，且， 即有平面，则平面， 同理平面，而，于是平面，则点在平面内， 而平面，于是平面平面，在平面内过作于， 而平面平面，因此平面， 因为，是等腰三角形，则， 因为平面，平面平面，平面， 则，四边形为等腰梯形，， 因此， 所以该刍甍的体积为. 故选：B 3．（2025·天津·模拟预测）18世纪英国数学家辛普森运用定积分，推导出了中学数学教材中柱、锥、球、台体等几何体的统一体积公式：（其中，，，h分别为几何体的上底面面积、下底面面积、中截面面积和高），我们也称为“万能求积公式”.例如，正四棱锥的底面边长为a，高为h，则该正四棱锥的体积为.类似的，运用该公式求解问题：如图，在五面体中，平面，四边形为矩形，，，，，直线与平面所成角的正切值为，则该五面体的体积为（    ） A．312 B．318 C．324 D．336 【答案】D 【详解】由，直线与平面所成角的正切值为，则正弦值为，所以到平面的距离为， 由平面，四边形为矩形，，，， 作出中截面，, 四边形为矩形，所以四边形为矩形， ， 所以体积为. 故选：D 4．（2025·天津·一模）祈年殿（图1）是北京市的标志性建筑之一､距今已有600多年历史.殿内部有垂直于地面的28根木柱，分三圈环形均匀排列.内圈有4根约为19米的龙井柱，寓意一年四季；中圈有12根约为13米的金柱，代表十二个月；外圈有12根约为6米的檐柱，象征十二个时辰.已知由一根龙井柱和两根金柱形成的几何体（图2）中，米，，则平面与平面所成角的正切值约为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若平面平面，则平面与平面所成角，即为平面与平面所成角， 由题意有，即是等腰三角形，腰长约为8米，，易知， 若是的中点，连接，则，且平面， 由平面，则，都在平面内， 所以平面，则是平面与平面所成角的平面角， 其中，，则.    故选：B 5．（2024·天津·模拟预测）“蝠”与“福”发音相同，在中国文化中，蝙蝠图案经常寓意福气临门．某商家设计的折叠储物凳是正三棱台形状，如图，其侧面展开图形似蝙蝠．每个侧面梯形的上底长为分米，下底长为分米，梯形的腰长为分米，忽略储物凳的表面厚度，则该正三棱台储物凳的储物容积为（   ） A．立方分米 B．立方分米 C．7立方分米 D．立方分米 【答案】D 【详解】如图，在正三棱台中，， 将棱台补全为正三棱锥， 设为底面的中心，连接，则平面， 而平面，所以， 因为，所以， ， 所以， 则正三棱台的高， 该正三棱台的上底面面积， 下底面面积， 所以该正三棱台储物凳的储物容积 . 故选：D. 40．（2025·天津·期中）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图所示，某同学利用两个完全一样的半圆柱，得到了一个三棱锥，该三棱锥为鳖臑，，为半圆柱的圆心，半径为2，，，动点在内运动（含边界），且满足，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为三棱锥为鳖臑，平面， 在中，， 过做垂足为，则， 即，所以， 因为， ， 在中，， 所以，则， 又平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以中，， 过作，， 即，可得， 则过作，因为是中点，所以， 所以动点在内（含边界）的轨迹为以为圆心以为半径的半圆， 则点的轨迹长度为. 故选：A. 34 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优01平行垂直的判定 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 6 题型一 线面平行Ⅰ—利用三角形中位线（★★） 6 题型二 线面平行Ⅱ—利用平行四边形线面,平行Ⅲ—利用线面平行的性质定理（★★★） 8 题型三 线面平行Ⅳ—利用面面平行,面面平行的判定定理（★★★★） 10 题型四 垂直性质的简单判定及线面垂直的判定（★★★★）.................................................................12 题型五 线线垂直的判定及面面垂直的判定（★★★★）......................................................................14 03 实战检测・分层突破验成效 16 检测Ⅰ组 重难知识巩固 16 检测Ⅱ组 创新能力提升 18 一、直线和平面平行 1．定义 直线与平面没有公共点，则称此直线与平面平行，记作∥ 2．判定方法（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 线∥线线∥面 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行 面∥面线∥面 如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面 3．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 线∥面线∥线 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 二、两个平面平行 1．定义 没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和，若，则∥ 2．判定方法（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理线∥面面∥面 如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行 线面面∥面 如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行 ∥ 3．性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 面//面 线//面 如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”） 面//面 线面 如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线 【常用结论】 1.证明直线与平面平行的常用方法： ①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明； ②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行．辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段； ③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行； 2.证明面面平行的常用方法： ①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合； ②利用面面平行的判定定理； ③利用两个平面垂直于同一条直线； ④证明两个平面同时平行于第三个平面． 3.证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理； 三、直线与平面垂直的定义 如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直． 四、判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判断定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 面⊥面⇒线⊥面 两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a 平行与垂直的关系 一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直 _ 平行与垂直的关系 两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直 _ b _ a 五、性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一平面的两条直线平行 _ b _ a 文字语言 图形语言 符号语言 垂直与平行的关系 垂直于同一直线的两个平面平行 _ 线垂直于面的性质 如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直 六、平面与平面垂直 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若，且，则） 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 七、判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 _ 八、性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 _ _ a 【常用结论】 1.证明线线垂直的方法 ①等腰三角形底边上的中线是高； ②勾股定理逆定理； ③菱形对角线互相垂直； ④直径所对的圆周角是直角； ⑤向量的数量积为零； ⑥线面垂直的性质； ⑦平行线垂直直线的传递性（）． 2.证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义； ②线面垂直的判定（）； ③面面垂直的性质（）； 平行线垂直平面的传递性（）； ⑤面面垂直的性质（）． 3.证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理（）． 题型一 线面平行—利用三角形中位线 【技巧通法·提分快招】 1.可以拿一把直尺放在位置（与平齐） 2.然后把直尺平行往平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止 3.此时刚好经过点（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与相交于点，连接 4.此时长度有长有短，连接并延长刚好交于一点，刚好构成型模型（为中点，则也为中点，若为等分点，则也为对应等分点）， 1．（2025·天津西青·期末）如图，直三棱柱中，，，D为线段的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正切值. 2．（2025·天津·期中）如图，在正四棱柱中，，，H，G，E分别为AD，AB，BC的中点. (1)求证：平面； (2)求点B到平面的距离. 3．（2025·天津滨海新·期中）如图， 在正方体中， 是的中点. (1)求异面直线和所成角的大小； (2)求证：平面； (3)求和平面所成角的正弦值. 4．（2025·天津·期中）如图所示，在平行六面体 中，分别是的中点，求证:    (1) (2)平面; 5．（2025·天津南开·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论错误的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．直线与直线所成角的取值范围为 C．的最小值为 D．若为线段中点，过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为 题型二线面平行—利用平行四边形及性质定理 【技巧通法·提分快招】 1.可以拿一把直尺放在位置 2.然后把直尺平行往平面方向移动，直到直尺第一次落在平面内停止。 3.此时刚好经过点（这里熟练后可以直接凭数感直接找到点），此时直尺所在的位置就是我们要找的平行线，直尺与相交于点O，连接。 4.此时长度相等（感官上相等即可，若感觉有长有短则考虑法一A型的平行），连接，刚好构成平行四边形型模型（为中点，O也为中点，为三角形中位线），。 1．（2025·天津和平·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)在上取一点（不与重合），设过点和的平面交平面于，求证：． 2．（2025·天津·期中）如图，已知分别是空间四边形的边的中点，．求证： (1)四边形是菱形； (2)平面． 3．（23-24高一下·天津·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，PO⊥平面，，为中点. (1)证明：平面； (2)求四棱锥的体积. 4．（2025·天津·模拟预测）已知四棱台，下底面为正方形，，，侧棱平面，且为CD中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)求到平面的距离． 5．（2025·天津西青·期中）如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为棱的中点.求证：    (1) (2)平面. 题型三 线面平行—利用面面平行及判定定理 【技巧通法·提分快招】 1.如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 2.已知平面平面，则平面里的任意直线均与平面平行 1．（2025·天津·期中）如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点是棱的中点． (1)求证：平面； (2)求到平面的距离． 2．（2025·天津·期中）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 3．（2025·天津南开·期中）如图所示，在三棱柱中，分别是的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)平面将三棱柱分割成两部分，两部分几何体的体积分别为，求的值． 4．（2025·天津西青·期中）在四棱锥 中，底面为平行四边形，为底面中心，、分别为、的中点，，且. (1)求证:平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若、分为、的中点，点在线段上，且. 求证: 平面平行平面. 5．（2025·天津南开·模拟预测）在四棱锥中，底面为平行四边形，为底面中心，分别为的中点，为等腰直角三角形，且． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若分为的中点，点在线段上，且．求证：平面平面． （注：只能使用几何法，其他方法一律不给分） 题型四 垂直性质及线面垂直的判定 【技巧通法·提分快招】 1．（2025·天津南开·期末）如图，在直三棱柱中，，，，是直线上一动点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 2．（2025·天津南开·期末）如图，正三棱柱的各棱长均为1 ，点是棱的中点，点是线段上的动点，点为的中点，点是棱上靠近点的四等分点，则下列命题： ①平面； ②三棱锥的体积为定值； ③当是的中点时，过点的平面截正三棱柱所得图形的面积为 ④点是上底面上的一个动点，且直线与所成的角为，则点的轨迹长度为 其中正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025·天津西青·期末）设是一个平面，、是两条直线，则正确的命题为（    ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 4．（2025·天津·三模）如图，已知两个四棱锥与的公共底面是边长为2的正方形，顶点在底面的同侧．棱锥的高，分别为AB、CD的中点，与交于点E，与交于点F，则四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·天津静海·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，． (1)求与所成角的余弦值； (2)求三棱柱的体积． 题型五 线线垂直及面面垂直的判定 【技巧通法·提分快招】 1．（2025·天津武清·联考）已知表示不同的直线，α，β表示不同的平面，给出下面四个命题： （1）若，，则；（2）若，，，，则； （3）若，，则；（4），，则． 上面四个命题正确的有（    ） A．（1），（3） B．（2），（4） C．（1），（2），（4） D．（1），（3），（4）． 2．（2025·天津·期中）如图，在正方体中，E为的中点.    (1)求证：平面AEC； (2)取中点F，求证：平面平面 (3)求异面直线AE与所成角的余弦值 3．（25-26高三上·天津河北·开学考试）设，是两条不同的直线，，是两个平面，下列说法错误的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，那么 4．（2025·天津红桥·期末）如图，在棱长为1的正方体中，E是棱的中点，F为的中点.    (1)求证: 平面 (2)求平面与平面夹角的余弦值. 5．（2025·天津·期末）如图，在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，则以下命题正确的个数为（   ） ①直线平面， ②平面与平面的夹角大小为 ③三棱锥的体积为定值 ④异面直线AP与所成角的取值范围是 ⑤三棱锥外接球表面积是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2025·天津北辰·三模）已知正四棱柱的底面边长为4，侧棱长为2，点是棱的中点，为上底面内（包括边界）的一动点，且满足平面，的轨迹把该正四棱柱截成两部分，则较小部分的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·天津南开·一模）如图，在平行六面体中，是线段上的一点，且，则三棱锥的体积与平行六面体的体积之比为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津滨海新·模拟预测）在如图所示的多面体中，四边形ABCD为正方形，A，E，B，F四点共面，且和均为等腰直角三角形，，平面平面AEBF，． (1)求证：直线平面ADF； (2)求平面CBF与平面BFD夹角的正弦值； (3)若点P在直线DE上，求直线AP与平面BCF所成角的最大值． 4．（2025·天津·二模）已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．，，， B．，， C．， D．， 5．（2025·天津·二模）已知a，b是两条直线，α，β是两个平面．下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．（2025·天津·一模）《九章算术》中记载了几何体“刍甍”，即“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”译为：底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．现有一刍甍如图所示，底面为矩形，且为等边三角形，且平面平面，点M为棱上靠近点E的三等分点，平面将几何体分成体积为的左、右两部分，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·天津红桥·二模）如图，已知四棱锥的底面为矩形，平面,，是的中点，是的中点.    (1)证明：平面 (2)若， ①求平面与平面夹角的余弦值； ②求点到平面的距离； 7．（2025·天津·一模）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 8．（2023·天津和平·三模）已知正方体的棱长为6，点，分别在棱，上，且满足，点为底面的中心，过点，，作平面，则平面截正方体所得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2024·天津·一模）在中国古代数学经典著作九章算术中，称图中的多面体为“刍甍”书中描述了刍甍的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即，其中是刍甍的高，即点到平面的距离若底面是边长为的正方形，，且，和是等腰三角形，，则该刍甍的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·天津和平·一模）在中国古代数学经典著作《九章算术》中，称图中的多面体ABCDEF为“刍甍”，书中描述了刍甍的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即，其中h是刍甍的高，即点F到平面ABCD的距离.若底面ABCD是边长为4的正方形，且平面ABCD，和是等腰三角形，，则该刍甍的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·模拟预测）18世纪英国数学家辛普森运用定积分，推导出了中学数学教材中柱、锥、球、台体等几何体的统一体积公式：（其中，，，h分别为几何体的上底面面积、下底面面积、中截面面积和高），我们也称为“万能求积公式”.例如，正四棱锥的底面边长为a，高为h，则该正四棱锥的体积为.类似的，运用该公式求解问题：如图，在五面体中，平面，四边形为矩形，，，，，直线与平面所成角的正切值为，则该五面体的体积为（    ） A．312 B．318 C．324 D．336 4．（2025·天津·一模）祈年殿（图1）是北京市的标志性建筑之一､距今已有600多年历史.殿内部有垂直于地面的28根木柱，分三圈环形均匀排列.内圈有4根约为19米的龙井柱，寓意一年四季；中圈有12根约为13米的金柱，代表十二个月；外圈有12根约为6米的檐柱，象征十二个时辰.已知由一根龙井柱和两根金柱形成的几何体（图2）中，米，，则平面与平面所成角的正切值约为（    ）    A． B． C． D． 5．（2024·天津·模拟预测）“蝠”与“福”发音相同，在中国文化中，蝙蝠图案经常寓意福气临门．某商家设计的折叠储物凳是正三棱台形状，如图，其侧面展开图形似蝙蝠．每个侧面梯形的上底长为分米，下底长为分米，梯形的腰长为分米，忽略储物凳的表面厚度，则该正三棱台储物凳的储物容积为（   ） A．立方分米 B．立方分米 C．7立方分米 D．立方分米 40．（2025·天津·期中）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图所示，某同学利用两个完全一样的半圆柱，得到了一个三棱锥，该三棱锥为鳖臑，，为半圆柱的圆心，半径为2，，，动点在内运动（含边界），且满足，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $