精品解析：山东省聊城市临清市实验高级中学2025-2026学年高三上学期第一次教学质量检测（9月）数学试题

2025-2026学年高三年级第一次教学质量检测数学试题 （本试题考试时间120分钟，满分150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 若向量，的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 4. 若函数在区间单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A B. C. D. 6. 已知，则值为（ ） A. 70 B. 126 C. 56 D. 84 7. 已知函数，，若，，使得，则实数取值范围（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数，对任意的实数，都有，则（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数为偶函数 C. 函数关于点对称 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量服从二项分布，则以下选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 10. 已知函数，若将的图象平移后能与函数的图象完全重合，则下列结论正确的是（ ） A. B. 将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象对应的函数为奇函数 C. 的图象关于点对称 D. 在上单调递增 11. 已知，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，是的极小值点 B. 可能单调递增 C. 有最小值，无最大值 D. 当时， 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 不等式的解集为________. 13. 若，则的最小值为__________. 14. 现有相同的哪吒玩偶和相同的敖丙玩偶足够多，有甲、乙、丙三个小朋友，每人去拿1个或2个玩偶，假设每种不同拿取方式是等可能的，则至少有一个小朋友拿到哪吒玩偶的概率为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果 组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）求的单调区间和极小值． 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 （1）求角A； （2）若，边中线长为1，求的面积． 18. 甲、乙两人进行围棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分，约定一方比另一方多3分或比赛满7局时结束，并规定：当一方比另一方多3分或比赛满7局时，得分多的一方才算赢．假设在每局比赛中不存在平局，且甲每局获胜的概率为，各局比赛相互独立．已知前3局中，甲胜1局，乙胜2局，两人又打了局后比赛结束． （1）求甲获得这次比赛胜利概率； （2）求的分布列及期望． 19. 已知函数． （1）若有两个零点，求实数a的取值范围； （2）当时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三年级第一次教学质量检测数学试题 （本试题考试时间120分钟，满分150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集运算求解. 【详解】 故选：C 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的四则运算计算求解即可. 【详解】由，得， 所以， 故选：A 3. 若向量，的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量夹角公式，数量积及模的坐标计算公式求解即可． 【详解】由题可知，， 故选：C． 4. 若函数在区间单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数复合函数的区间单调性，结合二次函数的性质有，即可得. 【详解】令，又在R上单调递减， 所以要使在区间单调递增， 则在区间单调递减， 所以由的开口向上且对称轴为得，解得. 故选：D 5. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 6. 已知，则的值为（ ） A 70 B. 126 C. 56 D. 84 【答案】B 【解析】 【分析】求出展开式中的系数为，其中，从而求解出答案． 【详解】两项中不存在，对于其余部分， 展开式中的系数为，展开式中的系数为，……，展开式中的系数为， 所以， 故选：B． 7. 已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得函数，的最大值，由题意可得，进而可求解. 【详解】因为函数在上单调递增，所以， 因为，所以， 令，解得或（舍去）， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 又，， 所以， 又因为，，使得，所以， 所以，解得，所以实数的取值范围. 故选：A. 8. 已知定义在上的函数，对任意的实数，都有，则（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数为偶函数 C. 函数关于点对称 D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，可得，令，计算可判断B；进而利用平移法可判断C；分析可得是的三次多项式，设，利用导数可判断A，利用赋值法可判断D. 【详解】令，则有，所以， 令，则有，所以， 所以，所以为奇函数，故B错误， 因为为奇函数，所以关于原点对称， 将函数图象向右平移2个单位可得的图象， 再将向上平移1个单位可得的图象， 所以函数关于点对称，故C正确. 设， 则， 故符合题设条件，而， 当时，不恒成立，故A错误； 令，所以， ，可得，故D错误. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量服从二项分布，则以下选项正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据二项分布的期望公式及方差公式得出，根据数学期望及方差性质计算可判断A、B；由二项分布概率公式计算可判断C、 D. 【详解】由于，所以， 对于A，因为，则，A正确； 对于B，因为，则，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，， ， 所以，D正确； 故选：AD 10. 已知函数，若将的图象平移后能与函数的图象完全重合，则下列结论正确的是（ ） A. B. 将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象对应的函数为奇函数 C. 的图象关于点对称 D. 在上单调递增 【答案】BC 【解析】 【分析】利用二倍角公式结合辅助角公式化简，并结合给定条件判断A，利用函数平移的性质结合正弦函数的性质判断B，利用对称中心的求法求解对称中心判断C，举反例判断D即可. 【详解】因为， 所以， 所以，而将的图象平移后能与 函数的图象完全重合，所以，解得，故A错误， 此时，向右平移个单位长度后， 设得到的新函数为，， 由正弦函数性质得是奇函数，故B正确， 令，解得， 当时，，所以的图象关于点对称，故C正确， 由题意得，，， 所以在上不单调，故D错误. 故选：BC 11. 已知，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，是的极小值点 B. 可能单调递增 C. 有最小值，无最大值 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】ABC选项，通过分析和，得到的单调性以及极小值点，并可进一步分析该极小值也是函数最小值，从而逐一判断各选项；D选项，对最小值变形后采用基本不等式判断即可． 【详解】对于A：当时，，定义域， 则，令，则， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 又，所以时，，递减， 时，，递增，即是的极小值点，故A正确； 对于B：若单调递增，需在上恒成立，又， 令，则，故在上单调递增， 又，，也即对任意所给的a，一定存在的情况，即不可能恒成立，故B错误； 对于C：由B选项可知，单调递增，，，又，，故一定存在，使得， 所以，，递减，时，，递增， 即是的极小值，也是的最小值，且无最大值，故C正确； 对于D：当时，最小值满足，即， 即，所以，其中， 由均值不等式，得，等号成立条件为且， 也即，又因为需满足，但显然，等号不成立， 所以恒成立，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 不等式解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】应用对数函数的定义域及单调性列不等式计算求解. 【详解】不等式， 所以，所以， 不等式的解集为. 故答案为：. 13. 若，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】化简得，利用1的代换求解 【详解】由，可知， 所以， 当且仅当，即等号成立，所以的最小值为. 故答案为： 14. 现有相同的哪吒玩偶和相同的敖丙玩偶足够多，有甲、乙、丙三个小朋友，每人去拿1个或2个玩偶，假设每种不同拿取方式是等可能的，则至少有一个小朋友拿到哪吒玩偶的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理求得总的不同拿法，求得不拿哪吒的拿法，进而利用对立事件的概率公式即可求解. 【详解】如果每个人拿1个玩偶，可以是哪吒或敖丙，如果拿2个玩偶，可以是：两个哪吒，两个敖丙，一个哪吒和一个敖丙共5种不同的拿法， 故甲、乙、丙三个小朋友，每人去拿1个或2个玩偶共有种不同的拿法， 甲、乙、丙三个小朋友没有拿哪吒的拿法有， 所以甲、乙、丙三个小朋友没有拿哪吒的概率为， 所以甲、乙、丙三个小朋友至少有一个小朋友拿到哪吒玩偶的概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果 组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10828 【答案】（1） （2）有关 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出； （2）根据独立性检验的基本思想,求出,然后与小概率值对应的临界值比较,即可判断. 【小问1详解】 根据表格可知，检查结果不正常的人中有人患病，所以的估计值为； 【小问2详解】 零假设为：超声波检查结果与患病无关， 根据表中数据可得，， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过. 16. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）求的单调区间和极小值． 【答案】（1） （2）的增区间为，，减区间为；的极小值为 【解析】 【分析】（1）由切点为，求出切线斜率，写出切线的点斜式方程，得到切线方程的横纵截距，即可求得切线与坐标轴围成的三角形的面积； （2）由导数的正负，解出的定义域内的范围，即可求出的单调区间，由的单调情况，可以得到的极小值． 【小问1详解】 因为，定义域为， 所以，， 则，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 令得，令得， 故所求三角形的面积为． 【小问2详解】 因为，， 令得或， 令得或，令得， 又函数的定义域为， 所以的增区间为，，减区间为， 所以的极小值为． 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 （1）求角A； （2）若，边中线长为1，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）采用正弦定理，将化为，再结合三角函数恒等变换公式即可求解； （2）根据，两边平方可得b、c的等式，同时结合余弦定理再列出b、c相关的等式，联立求解bc的值，最后由三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 由可知，， 也即，， 又因为， 所以，． 小问2详解】 由， 两边平方得 又， 所以，解得，所以． 18. 甲、乙两人进行围棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分，约定一方比另一方多3分或比赛满7局时结束，并规定：当一方比另一方多3分或比赛满7局时，得分多的一方才算赢．假设在每局比赛中不存在平局，且甲每局获胜的概率为，各局比赛相互独立．已知前3局中，甲胜1局，乙胜2局，两人又打了局后比赛结束． （1）求甲获得这次比赛胜利的概率； （2）求的分布列及期望． 【答案】（1） （2）分布列详见解析，数学期望为 【解析】 【分析】（1）根据甲先得分的情况进行分类讨论，由此求得甲获胜的概率. （2）根据的取值进行分类讨论，由相互独立事件概率计算公式计算出分布列并求得数学期望. 【小问1详解】 情况1：在接下来的比赛中，甲连赢局，则甲获胜， 概率为； 情况2：在接下来的比赛中，甲赢局，乙赢局， 概率为. 所以甲获得这次比赛胜利的概率为. 【小问2详解】 的可能取值为， 时，在接下来的比赛中，乙连赢局， 所以，则， 所以的分布列为： 数学期望. 19. 已知函数． （1）若有两个零点，求实数a的取值范围； （2）当时，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，分和求解； （2）由（1）当时，，设，利用导数证明即可. 【小问1详解】 ， 当时，，在上单调递减，不符合题意， 当时，由可得，则在上单调递减； 由可得，则在上单调递增， 故， 且当，，，， 因有两个零点，故需使， 设，，则在上单调递增， 又，由可得； 【小问2详解】 由（1）可得当时，， 设，函数定义域为， 则， 故当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 故，即， 故有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $